Комбинированные модели борта карьера в задачах годового и среднесрочного планирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. Новосибирск: Наука, 1980.

2. Киреев В.И. Интегро-дифферен-циальный метод приближения функций алгебраическими многочленами // Вычислительные технологии. Новосибирск, ИВТ СО РАН т.2, №6, 1993.

3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа. 2004.

4. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике : Наука, 1976.

5. Шпаков П.С., ПоповВ.Н. Статистическая обработка экспериментальных данных. М.: Издательство МГГУ, 2003.

— Коротко об авторах

Киреев В.И. - доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Вычислительные машины», Московский государственный горный университет.

--------------------------------------------- © А.М. Валуев, 2006

УДК 622.271 А.М. Валуев

КОМБИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ БОРТА КАРЬЕРА В ЗАДАЧАХ ГОДОВОГО И СРЕДНЕСРОЧНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

Семинар № 2

Для моделирования горных работ используют три основных типа моделей: блочные, секторные и контурные [1]. В работах автора [1,2] показано, что блочные модели в их современном виде, имея достоинство приближенной передачи произвольной формы карьера, в то же самое время достаточно грубы для описания карьера с той степенью детализации, которая требуется для годового и среднесрочного планирования, причем погрешность передачи формы не

может быть существенно снижена при каком угодно уменьшении размеров блоков. Секторная модель предложена И.Б. Табакманом [3] специально для задач годового планирования, при ее применении расчет объемов горных работ, массы полезного ископаемого и его компонентов выполняется достаточно удобно. Линейная форма большинства соотношений модели выгодна для решения оптимизационных задач. Однако при значительном изменении направле-

ния фронта горных работ (более чем на п/6) погрешность передачи формы карьера, и без того достаточно значительная, неограниченно возрастает.

Контурная модель обычно используется при интерактивном моделировании развития горных работ [4], однако автором она приведена к форме [1], позволяющей проводить и оптимизационные вычисления. Единая модель охватывает практически всевозможные положения горных работ, исключая разве случай, когда карьер распадается на несколько котлованов. Рациональный выбор параметров модели позволяет достигнуть требуемой точности в передаче конфигурации борта [2]. В то же самое время проверка системы ограничений модели и расчет показателей открытой разработки оказываются значительно сложнее и требуют значительно больших вычислительных ресурсов, чем для секторной модели.

В связи с отмеченными обстоятельствами в настоящей работе предлагается комбинированная модель, сочетающая черты контурных моделей (в форме записи отдельных условий) и секторных (набор величин, совокупность условий). Соединение некоторых достоинств обеих моделей при минимизации их недостатков достигается путем отказа от линейности соотношений секторной модели. В настоящей работе мы ограничиваемся наиболее распространенным случаем, когда разработка ведется несколькими горизонтальными уступами.

В контурной модели борта карьера бровки (или средние линии откосов) уступов карьера приближенно представляются многоугольными контурами — полилиниями, описываемые координатами их вершин — хц, уц для 1-го уступа. В модели имеется четыре типа ограничений — на расстояние между контурами смежных уступов (складывающееся

из ширины рабочей площадки и горизонтальной проекции откоса уступа), на расстояние между противоположными бортами, на кривизну кривой, аппроксимируемой полилинией, и на погрешность аппроксимации (последнее сводится к ограничению сверху на длину каждого звена полилинии). Первое ограничение связывает всевозможные пары отрезков смежных контуров, и для каждой такой пары выражается четырьмя неравенствами:

Р^Х’іи уіЬ xjl+1, У^+Ъ xj+1l+1, У+1 l+1)<dmm, р 1 (хг+1 /, у+1Ь xjl+1, у'+1и xj+1l+1, y;+1l+1)<dmm, p1(■xjl+1, yjl+1, ХгЬ уЛ Хі+1Ь yi+1l)<dmm, p1(xj+1l+1, yj+1l+1, Хц, уЦ, Х+11, yi+ll)<dmm,

(1)

где р1 обозначает расстояние от точки до отрезка. Таким образом, проверка ограничений для двух и-звенных полилиний требует 4и2 вычислений функций р1, которые, в свою очередь, требуют вычисления координат проекции точки на прямую линию, соединяющую отрезки и вычисления расстояний от точки до проекции и до концов отрезка. Ограничение на ширину дна связывает пары отрезков одного контура и требует почти такого же количества операций. Ограничение на аппроксимацию есть просто ограничение на длину sil = р(хя, уіі, Хти Уі+11) каждого звена каждого контура, а ограничение на кривизну выражается ограничением на радиус окружности, касающейся отрезков хі-11, уі-11, хіі, уіі и хіі, уи, хті, уі+1і в точках, отстоящих от Хц, уи на расстояние тіп^п, sil)l2; здесь объем вычислений пропорционален и.

Рассмотрим преобразование перечисленных ограничений при секторном описании контуров уступов. Согласно [3], система секторов, используемых для представления борта карьера в целом (или только в рабочей зоне) представляет собой либо систему параллельных полос, либо систему смежных углов с

общей вершиной, либо сочетание того и другого. Можно считать, что фактически рабочая зона карьерного поля в плане помещается в большой угол (объединяющий все угловые сектора) или полосу (точнее, полуполосу) или разбивается на совокупность элементов в виде угла или полуполосы, а затем эти крупные элементы разбиваются на собственно сектора. Такое представление удобно тем, что при нем количество секторов можно считать переменным, зависящим от требуемой точности представления борта карьера. Правда, реальная система секторов служит также цели представления пространственного распределения характеристик полезного ископаемого, которое описывается посекторно зависимостями значений от положений горных работ в секторе. Ясно, однако, что при использовании кусочно-линейной аппроксимации при переходе от более крупных секторов к более мелким никакой ошибки в расчете запасов и качества не произойдет.

Пусть некоторая система секторов такова, что для возможных вариантов горных работ контуры уступов пересекают оси (средние линии, биссектрисы) секторов ровно по одному разу и притом под углом, отличающимся от прямого не более чем на у<п/2 (независимо от количества секторов). Тогда любой контур может быть описан точками пересечения с осями секторов, т.е. для 1-го сектора — расстоянием гц от начала его оси. Координаты точек пересечения тогда выражаются формулами Хи = ага+ хю, у,1 = Ъга+ ую. (2)

Система ограничений комбинированной модели при единой системе секторов состоит из соотношений (1) для ] = / и ограничений на кривизну контурной модели с подстановкой в эти неравенства соотношений (2). Количество этих соотношений пропорционально п, а

не п , где п по-прежнему означает количество вершин аппроксимирующей полилинии, но разница здесь в том, что количество вершин для всех контуров комбинированной модели одинаково, а для контурной может и различаться. Вопрос в том, может ли быть достигнута одинаковая погрешность аппроксимации для обеих моделей при одинаковых или близких значениях п.

Расстояние между двумя смежными вершинами, заданных на параллельных осях секторов, расстояние между которыми dп, в силу оговоренного условия, составляет не более аП/с08 у. Если смежные сектора суть углы, причем для всех секторов гц<Ьтах, тогда расстояние между равноудаленными точками смежных осей, угол между которыми составляет в, не превысит dy = 2£та^т(р/2), а между смежными вершинами контура, находящимися в этой области, составит не более dy/cos (у-Р/2). Наконец, для случая, когда одна вершина лежит на оси полосы, а вторая — на биссектрисе смежного угла, расстояние составит не больше (dп+dy)/2cos у.

Контуры уступов карьера со степенью детализации, которая требуется для годового и среднесрочного планирования, представляют собой гладкие кривые с радиусом кривизны не менее Лтт. Модель борта должна служить как для того, чтобы с требуемой точностью передавать контуры проектного или реального положения горных работ и позволять выполнять расчеты и выбор направления развития горных работ с соблюдением того условия, что по аппроксимирующим модельным контурам можно построить гладкие контуры с допустимой ошибкой восстановления гладкого контура по модельному. Для погрешности приближения (существующего контура модельным) и восстановления (гладкого контура по модельному) наиболее подходящей мерой приближе-

ния, как и во многих других задачах геометрической аппроксимации, нам представляется расстояние по Хаусдорфу — наибольшее расстояние между одноименным модельным и гладким контуром [1]. Для комбинированной модели, заимствующей из контурной ограничение на кривизну, как и для контурной, справедлива одна и та же оценка погрешности как для задачи аппроксимации, так и для задачи восстановления: Д = тах^я)2 /(8Лт1П), где максимум берется по всем вершинам. Отсюда видно, что, во-первых, для достижения приемлемой погрешности необходимо иметь su<<Rmm, а во-вторых, все sil должны быть одного порядка. Таким образом, 5тах = (8ЛттД)1/2. Для контурной модели, оценивая максимальный периметр 1-го контура величиной Р1тах, при заданном можно выбрать в качестве величину nl>Plmax/s'max. Если все секторы представляют собой полосы совокупной ширины Б, достаточно для их количества выбрать величину п>Б/ /(smaxcos у), при использовании только угловых секторов, составляющих в совокупности угол а, оценка будет аDmax/(smaxcos у), что всегда будет больше. Наконец, при соединении угловых секторов с совокупным углом а с прямолинейными совокупной ширины Б,

1. Валуев А.М. Горно-геометрическое моделирование в задачах проектирования открытых горных работ: Учебное пособие. — М.: МГИ, 1989. — 107 с.

2. Валуев А.М. Об аппроксимации геометрической формы карьера // Обозрение прикл. и промышл. математ. — 2004. — Т. 11. —вып. 2. — С. 308-309.

количество тех и других секторов для минимизации погрешности должно быть пропорционально соответственно аДтах и Д, общее количество секторов — и>(аДтах+Д)/ (5тахсо8 у). Из перечисленных оценок вытекает, что по порядку величины щ для контурной модели и и для комбинированной одинаковы. Действительно, допустив, что контур пересекает хотя бы половину секторов-полос, получим для рассматриваемого случая, что справедлива оценка

ДСОЪ У>ртах>Д/2. (3)

Предположив, что у—п/3, что в большинстве случаев дает достаточную гибкость в представлении вариантов горных работ, получим из (3), что для этого случая будет иметь место соотношение, 1<и/и1<4, показывающее явное преимущество в объеме вычислений комбинированной модели по сравнению с контурной. Комбинированная модель будет иметь преимущество и по отношению к традиционной секторной модели, т.к. для последней приемлемая погрешность аппроксимации и восстановления достигается только при малых значениях у[2], что не позволяет рассматривать сколько-нибудь широкий набор вариантов горных работ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Табакман И.Б. Принципы построения АСУ на карьерах. — Ташкент: Фан, 1977. — 140 с.

4. Аленичев В.М., Суханов В.И., Хохряков В. С. Моделирование природно-сырьевых технологических комплексов (горное производство) / Под ред. В. Л.Яковлева. — Екатеринбург: УРО РАН, 1998.

— Коротко об авторах ---------------------------------------------------------

Валуев Андрей Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Организация и управления в горной промышленности», Московский государственный горный университет.