Комбинаторное множество перестановок кортежей и его свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

РозпоЫл рабочих станцш по об'ектах розглядаетъся як задача нелтшного щлочиселъного програмування. За-пропоновано алгоритм пошуку рШення, в основ1 якого ле-жатъ ide'i град1ентного методу та умови Лтшица для умовного сходження з постшним кроком. Приведет при-клади використання розробленого алгоритму.

The distribution of workstations on objects is submitted as a task of nonlinear integer programming. The algorithm of search of the decision based on ideas gradients of method and Lipschitz condition for conditional convergence with a constant step is offered. The examples of use of the developed algorithm are given.

УДК 519.85

И. В. Гребенник

КОМБИНАТОРНОЕ МНОЖЕСТВО ПЕРЕСТАНОВОК КОРТЕЖЕЙ

И ЕГО СВОЙСТВА

Вводится новое комбинаторное множество перестановок кортежей. Дается его описание, исследуются комбинаторные свойства при отображении в евклидово пространство. Выполняется постановка и решение некоторых задач оптимизации на множестве перестановок кортежей, определяется диаметр множества. Приводится и анализируется пример.

ВВЕДЕНИЕ

Важный класс задач геометрического проектирования составляют экстремальные задачи с дискретными параметрами. Построение математических моделей таких задач основано на применении комбинаторных множеств, составляющих их области допустимых решений [1, 2].

Во многих случаях специфика решаемой задачи требует отражения в модели ее комбинаторной структуры. Эта структура может быть достаточно сложной и не позволять использовать для ее описания классические комбинаторные множества [3]. Для моделирования задач со сложной комбинаторной структурой в [4] введено понятие и предложен способ описания композиционного образа (А-образа) комбинаторных множеств. //-образами комбинаторных множеств являются комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами представляют собой элементы других комбинаторных множеств. / -образы комбинаторных множеств могут быть использованы для описания областей допустимых решений экстремальных задач со сложной структурой.

Целью настоящей работы является описание евклидова комбинаторного множества перестановок кортежей и исследование его свойств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПЕРЕСТАНОВОК КОРТЕЖЕЙ

Построим А-образ комбинаторных множеств, в котором в качестве базового выступает евклидово комби-

наторное множество перестановок. Для формирования данного А-образа используем подход, приведенный в [4].

Рассмотрим композиционный образ комбинаторных множеств Рпа, Т1, Т2, ..., Тп, порожденный множества-

.11 1..22 2, ( п п п ,

ми { 21, 22,..., гт1 {¿1, ¿2,..., 2т Ь { ¿1, 22'-' 2т }.

Здесь Рпа - множество перестановок из п элементов, А

из которых различны [1, 2], Т; = {(¿1, 22,-, 21т)] -кортеж, составленный из элементов множества

{zl' z2' zm}, 2] е ^ { е 3п = {1' п} / е 3

т. При

этом, среди п множеств Т^ А являются различными. Обозначим такой А-образ комбинаторных множеств через РТпк(Т^ Т2, —, Тп) или РТ>тк и назовем множеством перестановок кортежей.

Множество РТ'тк представляет собой множество перестановок кортежей 2* = (2^ 22, ..., 21т), то есть упорядоченных наборов вида Н е Р^^,,

^1 ^2 ^п

Н = (2 ,2 , —, 2 ) =

_ , Ч Ч Ч г2 г2 г2 1п 1п

= (21 , 22 , -, 2т, 21 , 22 , -, 2т, -, 21 , 22 , -, 2т),

где 1,.,е 3п, ф, 5 е /п. Элементы множества РТпН отличаются друг от друга только порядком следования

кортежей 2* в наборах. Мощность множества РТ>тк равна мощности базового комбинаторного множества

Рпк.

Из способа построения множества РТШа следует, что все его элементы являются также элементами множества перестановок Р0, порожденного множеством

^ ,11 122 2 п п п . г-.

Д = (zl' 2и z2'-' zm' z1' z2'-' 2т). Здесь

N = тп, > А, где - количество различных эле-

ментов в множестве В. Это значит, что справедливо соотношение

3. Множество ЕТпк симметрично относительно плоскостей вида

пк 1

Мк"

(1)

Х1 -х] = 0, г,] е , г *], 1 е /п. (5)

Осуществим отображение множества РТПк в ариф-

М

метическое евклидово пространство Я . Согласно [1,2] указанное отображение (называемое погружением) обозначим через / и зададим в виде:

При этом количество плоскостей вида (5) равно 1

X = 2шп(п - 1).

Основой доказательства является теорема о симметрии множества Е^ относительно гиперплоскостей

М

Дк) = х = (х1, х2, ..., хМ) е ЕТпк с Я ,

Ук = (к„ к2,..., км)е РТПк, (2)

где хг = кг, г е /М.

Образ множества РТ^ в пространстве Я при отображении f обозначим через ЕТ^,.

СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ЕТ

пк

ПРИ ОТОБРАЖЕНИИ В Я

М

Исследуем некоторые свойства множества ЕТИз соотношения (1) следует справедливость включения

ЕТПк с Емк°,

где Е о = К( Р, ,о).

Мк Мк п

Это значит, что множество ЕТпк обладает рядом

свойств, которые справедливы для множества Е о [1, 2]. М

1. Точки множества ЕТпк принадлежат гиперплоскости вида

Х{ -X] = 0, г,] е /м, г *],

(6)

доказанная в [2]. Введем в рассмотрение множества

2% = {г\, г2,..., гп}, г е /п. В точках множества ЕТ^ 1

координаты X;, г е 1м принимают значения всевозмож-

1

ных перестановок элементов множества 2 , координа-. т2

ты х г, г е 1м - значения всевозможных перестановок

г,2 . тш

элементов множества 2 , ..., х,, г е 1м - значения все-

ГуШ

возможных перестановок элементов множества 2 . Применяя результаты теоремы о симметрии множества Е о относительно гиперплоскостей вида (6) для

координат X;,, г е 1м, отдельно по каждому множеству

/М, приходим к справедливости утверждения. Количество плоскостей X определим исходя из того, что в

каждом из ш множеств /М можно выбрать 1 п(п - 1)

пар индексов.

4. Точки множества ЕТШк принадлежат семействам

параллельных плоскостей {Та( 2)}, вида

М

I ^ = I I '

г = 1 г = 1 ] = 1

(3)

,М

в пространстве Я , М = пш.

2. Точки множества ЕТШк принадлежат (М - 1 )-сфере Шм -1 вида

I х, = I

г = 1 г = 1 Уст = {¿1, ¿2,..., }с/М, у5 = {]1,/2,...,/5}с/n,

т гу1 ■ т ■ ■

3 е г{ е г , г е /ш, гд * ]ч * ]р

при д *р; д, р е /3. (7)

М

22

I (хг - т) = г

(4)

г=1

1 п ш г 2 п ш г 2

где т = М I I ] ' = I I(z1 - т) , и (М -2)-

г = 1 ] = 1 г = 1 ] = 1

сфере Шм - 2, описываемой системой соотношений

(3)-(4). М 2

При этом каждое множество 2 порождает 2 - 1 семейство плоскостей, а в каждом семействе содержится

не более, чем | плоскостей. V з)

Доказательство, как и в предыдущем случае, может быть построено на основе доказательства утверждения о распределении элементов множества Е о по семей-

Обозначим /М = {1, ш + 1, 2ш + 1,...,(п - 1 )ш + 1}, ствам гиперплоскостей вида [2]:

2

/М = {1, ш + 2, 2ш + 2, ..., (п - 1)ш + 2}, ...,

= {ш, 2ш, 3ш, ..., пш}. Очевидно, /м = /М.

г = 1

'М

I

]=1

I

]=1

где ay'Ру е JN, «у Ру ф Р- при - ф у у е , Рассмотрим теперь точки у е ^ т, координаты

г е JN, а множество ENko порождено элементами которых принимают значения, равные значениям

{9р g2'-' 9^. Проводя аналогичные доказательства первых М _ т координат точек х1, г е 3М. Множество

отдельно для каждого множества и порождаемых всех построенных таким образом точек у обозначим им семейств плоскостей {Тст(Zl)}, приходим к доказательству справедливости утверждения о принадлежности точек множества ЕТЩ^к семействам плоскостей вида (7).

5. Точки множества Е^а принадлежат семействам параллельных плоскостей {0а}, вида

ЕТ(п_ 1)к сR , где t = гп. Мощность множества

rlmt

(п _ 1)!

Ё Ё Х(г _ 1)т + у Ё Ё

{ еа у = 1 tе8 у = 1

= {гl' г2,..., г^с 3п, V8 = {^ t2'-' ts}c 3п,

, е (8)

7—» гт-т! /1Ь V ' 1 о

ЕТ(п_ 1)к равна —---—--. Здесь

(п 1)к «1! • п^. • — • («г _ 1)! • — • п^.

Иу,у е 3к - кратности, с которыми кортежи 2 входят в

перестановки из множества ЕТ^, Ё пу = п В

у = 1

случае, если пг^ = 1, то множество ЕТ'т^_ 1)к следует рассматривать как ЕТ'т^_ 1 )(к _ 1), поскольку оно порождается (к _ 1) различными кортежами 2. Из способа

построения множества ЕТ(п _ ^ следует, что оно пред-Доказательство. Рассмотрим произвольную плос- ставляет собой множество перестановок кортежей

кость из семейства (8), зафиксировав множества а = {¿1, ¿2, —, г5} и 8 = {tl' t2' —, ts}. В этой плоскости лежат такие точки х е ЕТ^, у которых координаты Х( г _ 1)т + у, Я е у е 3т принимают значения всевоз-

t1 t2 Тл можных перестановок кортежей 2 , 2 , ..., 2 . Используя данный подход, можно для каждой точки множества ЕТ^^к указать содержащую ее плоскость из семейства {0а}.

Количество семейств параллельных плоскостей {0а} определяется числом всевозможных подмножеств

ас3п и равно 2п_ 1. Количество уа различных плоскостей в каждом семействе {Ра} зависит от числа способов, которыми можно выбрать 5 кортежей

t2 t 2 , 2 , —, 2

п!

множества ЕТ(п _ 1)к принадлежат (N _ т _ 1 )-сфере

N _ т _ 1) вида

N _ т 2 2

Ё (Хг _ ) =

г=1

где по аналогии с (4) =

(9)

п_1 т

пЁ1 Ёт 2у ,

- N _ т ^

1 = 1 у = 1

2 п _ 1 т / г \ 2

г2 = Ё Ё1.2/ _ т-) и N _ т _ 2)-сфере ^_ т _ 2, 1 = 1 у = 1

описываемой уравнением (9) и плоскостью

12

N _ т

п _1 т

У,

1 а. и ^

из 2 ,2 ,—, 2 . Следовательно, Знак неравенства в последнем соотноше-

а ,! (п _ ,)!

нии означает, что некоторые плоскости семейства {Ра} множество ЕТШа в виде имеют одинаковые значения правых частей в равенстве (8) и поэтому совпадают.

6. Построим следующее разложение множества

Ё хг = Ё Ё 2/.

г = 1 1 = 1 у = 1 Выполненные построения позволяют представить

ЕТтпк =

Т7 грШ с

и ЕТпк ,

(10)

т г1 г2 гп т

ЕТ пк. Пусть х = (2 ,2 , —, 2 ) е ЕТпк - произволь-

пк

ная точка. Рассмотрим точки хг е ЕТ^, первые N_ т координат которых принимают значения всевозмож-

г1 г2 гп _ 1 ,т

ных перестановок кортежей 2 , 2 ,—, 2 . Указанные точки хг, г е 3м, М <(п _ 1)!, имеют одинаковые

гп гп

значения координат xN _ т + 1 = 21 , xN _ т + 2 = 22 , ...,

XN = 2: и, следовательно, принадлежат плоскостям ства ЕТ^, чем (10): вида (8):

где ЕТтк = ЕТтп_ 1) к *Vt, Vt = (у1,у2,—,ут)е ^, а вектор V- принимает значения 2. При этом множества

ЕТт_ 1 )к лежат на сферах W(N_т_ 1) вида (9). Применяя описанную процедуру разложения к множествам ЕТт-

(п _ 1 )к

, получим более общее представление множе-

Ё XN _ т + у Ё 2у уе а у е а

г.тт _ У. ЕТпк =

и I ЕТт- х ЕТт-

(п _ 1 )к

1 2 п_1

г , 2 ,—, 2 . В соответствии со свойством 2 точки

п_1

где множество ЕТш<'з лежит на (зш- 1)-сфере Шзш-, в

зк 1 3ш 1

,-,5ш-1 ^п^шг

пространстве Я , а множество Ып-5 - на ((п-з )ш- 1 )-сфере Ш(п-з) ш-1 в пространстве я(п 5)ш 1. Справедливость формулы (11) следует из того, что множества ЕТшГ, ЕТш<' 1п_з представляют

зк (п-з )к

ш

собой множества перестановок кортежей Ы з, ЕТш „_з соответственно. Кроме того, прямое произ-

(п-з )к

ведение векторов ví xv^ x.xvi , координаты которых принимают значения соответственно кортежей г , г , ..., г , г, е/п, г е /з, порождают множество перестановок кортежей ЕТт^.

1. Из структуры соотношения (13) и произвольнос-

^ " г ¿1 ¿1 ¿¡\ г ¿к ¿к ¿к\

ти выбора кортежей (г^, г2, ..., гш), (г1, г2 , ..., гш) следует, что любые два кортежа из множества

{(4 4)}, {(4 г2,4)}, {(4 4 4)}

сравнимы между собой по отношению Р.

2. Отношение Р рефлексивно, так как для него вы-

( ¿1 ¿1 ¿1Л / ¿1 ¿1 ¿Л с полняется условие , г2, ..., гш)р^м, г2,..., гш). Это

следует из того, что

¿1-г!\ = 0.

I 1-1) ш + 1 си-1) ш + г)уг1 г1 г = 1

3. Отношение р антисимметрично, поскольку для него справедливо соотношение

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ Е^

Рассмотрим задачу оптимизации

г, г, гЛ ,( ¿к ¿к г

г(, г^. гш)рI г{, г^. г^)

¿к ¿к гк\( г, г, г

г1, г2 , гш)РIг1, г2,., г

¿1 ¿1 ¿1] — ( ¿к ¿к г

^Цг1, г2гш) = 1г1 , г2 г

М

ф(х) = I с,х; ^ шт, ; = 1

(12) Справедливость этого соотношения вытекает из то-

го, что неравенства

где х = (х1, х2,..., хМ)еЕТшксЯМ, с = (с1, с2,..., сМ)е

М

е Я .

Отметим, что задачи минимизации линейных функций на евклидовых комбинаторных множествах исследовались ранее [2, 5, 6]. Распространим изложенный в этих работах подход на задачу оптимизации вида (12).

Учтем, что координаты точек множества Е^к принимают значения всевозможных перестановок

кортежей гг = (г1, г^, ..., г'ш), г е /п. Зададим на множестве кортежей гг, г е /п, следующее отношение порядка:

I (с(1 -1)ш + г-с(к-1)ш + г)(г1-гк - 0,

г = 1

I (с(к-1)ш + г~сЦ-1)ш + г)(гг -г1)- 0

г = 1

одновременно выполняются только при (г/, г2, ..., гш) =

, ¿к ¿к ¿к\ = (г1 , г2 , гш).

Выстроим кортежи гг, г е /п, в соответствии с отношением (13). Пусть последовательность {¿1, г2, ..., гп} такова, что

Ч '2 , 'п

г Рг Р.. .Р г ,

с с с

(14)

г'/, г*,..., &-<(г\к, г\к, г'к

I 1с( 1 -1)ш + 1 -с(к-1)ш + г)\г1-гг) -0

г = 1

.(13)

Смысл введенного отношения порядка в том, что

¿1 ¿к

два кортежа г и г находятся в отношении р, если

при транспозиции значений координат точки х е Е^к, принимающих значения этих кортежей, значение функции (12) возрастает.

Отметим некоторые свойства введенного отношения.

где г1 = (г\,г1гш), г1е г1е /п.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Минимум линейной функции ф(х) задачи (12) на множестве Е^к, порожденном множествами Тг, г е /п, достигается в точке

х (х1, х2, хМ) е ЕТшк,

(15)

где х(У- 1)ш + Г = г1 г1 * гз при з *1, гр гз е -п, 1 е -п,

з е /п, Г е /ш, а последовательность {¿1, г2,..., гп} удовлетворяет (14).

N *

mEnTm У) = Z Z(^) + Z ^ + 2 "ET Z d*yi,

У е ETnk i = 1 у = 1 i = 1 y е ETnk i = 1

Доказательство. Предположим противное, пусть п т г 2 N

минимум функции ф(х) задачи (12) на множестве

ЕТ"тк достигается в точке у е ЕТ^, отличной от х ви-

*

да (15). Это значит, что можно указать такое значение где = _di, г е JN * *

р е JN, что Ху = уу, у е _ 1, хр ф ур. Предположим, что р е ^. Тогда в соответствии с комбинаторной

структурой множества ЕТтк существует такое ц е ^,

**

Я >Р, что уя = хр, у9_ 1 = хр_ 1, ., уя_г + 1 =

В соответствии с теоремой 1 минимум в правой час* т * гу ти достигается в точке у е ЕТпк, где у у _ 1) т + - = 2[,

г. ф при 5 фу, у е Jn, у е Jn, 1 е Jn, - е Jm, а последовательность {г^ ¿2, —, гп} удовлетворяет соотноше-

хр - i + 1' yq + 1 xp + 1' •••' yq - i + m xp - i + m' ® BeK

торе y выполним транспозиции значений координат

Ур - i + 1 и yq - i + 1' yp - i + 2 и yq - i + 2' •••' yp - i + m и

нию (14) при c = d , то есть г p г p ...p zn. Тогда

d' d' d'

n m i 2 N

N

"EL, V(y) = Z £(*;) + Z d2+ 2 Z d*y*. (16)

У е bink i = 1 у = 1 i = 1 i = 1

уц_г + т. Другими словами, выполним транспозицию

двух тарте^^ соответствующих указанным индексам Рассмотрим задачу оптимизации вида

координат. Полученный вектор обозначим у. Очевид-

но, y е ETnk. Рассмотрим разность

Ф(У) - Ф(У) = Z cp - i + tyq - i +1 + Z cq - i + typ - i + f

t = 1

t = 1

Z cp-i + typ-i +1 Z cq-i + tyq-i +1

t = 1

t = 1

Z (cp - i + t cq - i + t)( yq - i + t yp - i + t)

v(y) = lly - d\ ^ max, y е ET^ d = (d1, d2, ..., dN) е RN.

По аналогии с быбодом соотношения (16) получим

2 n m i 2 N 2

met, lly- d = Z Z(zy) + Z d*"

y е E1nk i = 1 у = 1 i = 1

t = 1

Z(cp - i + t cq - i + t)( Xq - i + t yp - i + t) .

t = 1

max

m

y е ETnk

В соответствии с (14), (15) x* - i + 1 = Z1S, xp - i + 2 =

( \ N

-2 Z di'yi

i=1

- min

m

y е ETnk

n m ■ 2 N 0

^ ^ (zy-) + Zd2"

i = 1 у = 1 i = 1

( \

N

2 Z diyi.

. i = 1 )

*

z2 , •••, xp - i + m zm, yp - i + 1 Z1 , yp - i + 2 z2 ,

yp-i + m = zm. При этом, d > t, d, t е Jn. Тогда

ФСу) - Ф(y) = Z (cp - i + t- cq - i + t)(zt- zt ). t = 1

Согласно (14), (15) zlP zd, поэтому ф(У) - ф( y )< 0. Это противоречит предположению о достижении в точке y е ET^^k минимума функции ф(х) задачи (12) и приводит к справедливости утверждения теоремы.

Результаты теоремы 1 можно применить при решении следующей задачи: y(y) = ||y - d|| ^ min,

На основании теоремы 1 минимум в правой части равенства достигается в точке у е ЕТтк, где

уу _ 1)т + - = ^ гу ф ¿з при 1 ф¿У ¿з е Jn, у е Jn,

1 е Jn, - е Jm, а последовательность {¿1, ¿2, —, гп} удовлетворяет соотношению (14) при с = d, то есть

г1 г2 гп

2 р 2 р —р 2 . Тогда

d d г!

n m i 2 N

N

maxJiy-d = Z Z (z-) + Zd2+2 Z diyi.(17)

y е ETnk i = 1 у = 1

i = 1 i = 1

N

Предположим теперь, что г е R является элементом множества ЕТ^. Тогда справедливо соотношение

y е ETnk, где d = (d1, d2, dN) е R . Для y(y) при n 2 n m i 2

Z = Z Z(zy). Значит,

i = 1 i = 1 у = 1

y е ETmk справедливо:

v(y) = iiy- d\\ = Z y* + Z2 Z diyyi =

i = 1 i = 1 i = 1

2 n m i 2 N -

m axmlly - d = 2 Z Z( ZУ) - 2 Z diy i

y е ETnk i = 1 у = 1 i = 1

n m i 2 N

N

Z Z(zj) + Zdi-2Z

i = 1 у = 1 i = 1 i = 1

N

=L - 2 Z diy^

i=1

где Ь = 2 II (г^) = со^.

' = 11 = 1

М

Рассмотрим функцию ¡^(у) = I где

' = 1

й е ЕТ^,. Покажем, что минимальное значение ¡^(у)

ш

на множестве ЕТпк не зависит от выбора вектора

М

коэффициентов й е ЕТпк и равно М = I йу¿, где

; = 1

у е ЕТш^ удовлетворяет соотношению (17). С этой

М1

целью введем функцию I 1(у) = I где

; = 1

й1 е ЕТ^, й * й. Поскольку й1 можно получить из й путем конечного числа транспозиций, изменим порядок суммирования слагаемых в выражении для ¡а 1( У) таким образом, чтобы выполнялось условие

М

11

¡ (у) = I й{у{, = йу, / е /М. Но тогда, посколь-

1 = 1 1 1

ку у е ЕТ^, принимает значения всевозможных перестановок кортежей г' = (г1, г^, ..., гЩ), г е /п, то

шт ш1й( у ) = шт ш1,,( у) = М, (18)

у е ЕТш, у е ЕТш, а

у ^ пк у ^ пк

что и требовалось показать. Это значит, что для любой точки й е ЕТ>шк расстояние до наиболее удаленной от нее точки множества Е^к является величиной постоянной, ее значение определяется соотношением (18) и

--п ш ■ 2

равно В0 = 4Ь - 2М, где Ь = 2 II (г)) , а М

' = 11 = 1

определяется соотношением (19). Приведенные рассуждения доказывают справедливость следующего утверждения.

Теорема 2. Диаметр множества Е^к равен

п ш ' 2 м

I !(г' ) -2 I у0у'

' = 11 = 1 г = 1

шашЕТ^ = 12

0 ,™ш

где у - произвольный элемент множества Ыпк, а

у е ЕУ^ удовлетворяет условиям у у -1) ш + Г = гГ, * гз при з * 1, гз е /п, г е /п, з е /п, Г е /ш, последовательность {¿1, ¿2,., гп} удовлетворяет соотноше-

^ Л Л \ 0 ¿1 ¿2 , , 'п

нию (11) при с = у , то есть г р г р ... р г .

у0 у0 у0

Рассмотрим пример. Пусть множество перестановок

3

кортежей ЕТ33 порождено множествами Т1 = {(2, -1, 3)}, Т2 = {(4, -2, 2)}, Т3 = {(5, 6,-1)}.

3

Координаты точек множества ЕТ33 принимают значения всевозможных перестановок кортежей

1 2 3

г1 = (2, -1, 3), г = (4, -2, 2), г = (5, 6, -1). Множе-3 9

ство ЕТ33 с Я содержит 3! = 6 элементов:

(2,-1, 3, 4, -2, 2, 5, 6, -1) (2,-1, 3, 5, 6,-1, 4, -2, 2) (4, -2, 2, 2, -1,3, 5, 6, -1) (4, -2, 2, 5, 6,-1, 2, -1, 3) (5, 6, -1, 2, -1,3, 4, -2, 2) (5, 6, -1,4, -2, 2, 2, -1, 3).

В соответствии с (3) точки множества ЕТ33 в

99 пространстве Я лежат на плоскости I х; = 18.

' = 1

Уравнение сферы (4) для множества ЕТ33 имеет вид 92

I (х;- 2) = 64. Сформируем индексные множества

' = 1

/гМ, м = 9, г е /3: /9 = {1,4, 7}, /Ц = {2, 5, 8},

33 /9 = {3, 6, 9}. Множество ЕТ33 симметрично относительно следующих девяти плоскостей:

х 1 — х^ 0, х 1 — х 7 0, х^ — х 7 0,

х2 — х^ — 0, х2 — х8 0, х^ — х8 0,

х3- х6 = 0, х3 х9 = 0,

х6 х9 = 0.

3

Для множества ЕТ33 построим семейства параллельных плоскостей {Тст( 2')} и {Оа}, содержащие все его

элементы. 1

{Тст(2 )}: х1 = 2; х1 = 4; х1 = 5; х4 = 2; х4 = 4; х4 = 5; х7 = 2; х7 = 4; х7 = 5; х1 + х4 = 2 + 4 = 6;

х1 + х4 = 2 + 5 = 7; х1 + х4 = 4 + 5 = 9; х1 + х7 = 6; х1 + х7 = 7 ; х1 + х7 = 9; х4 + х7 = 6; х4 + х7 = 7;

х4 + х7 = 9; х1 + х4 + х7 = 2 + 4 + 5 = 11.

Здесь 21 = {2, 4, 5}. Множество 21 порождает

23-1 = 7 семейств параллельных плоскостей. По ана-

2

логичной схеме строятся семейства {Тст(2 )},

3 2 3

{Тст(2 )}, где 2 = {-1, -2, 6}, 2^ = {3, 2,-1}.

{Qa}: Х\ + Х2 + x3 = 2-1 + 3 + 4; x4 + x5 + x6 = 4

x7 + x8 + Xg = 4; xi + Х2 + Х3 = 4-2 + 2 = 4; X4 + x5 + x6 = 10; x7 + x8 + x9 = 10; x1 + x2 + x3 = 5 + 6-1 = 10;

xi + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 — 8;

x1 + x2 + x3 + x^ + xg + xg 8; x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 14; x1 + x2 + x3 + x7 + xg + xg = 14; x4 + x5 + x6 + x^ + xg + xg 8; x4 + x5 + x6 + x^ + xg + xg = 14; x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + xg + xg = 1g.

Здесь всего 23 1 = 7 семейств параллельных плоскостей, каждое из которых, кроме последнего, содержит по три плоскости. При этом в первых шести семействах две плоскости из трех совпадают и поэтому

далее приводится только по две плоскости.

3

Пусть на множестве ЕТ33 задана линейная функция вида (12), коэффициенты которой имеют вид с = (3, 4, -1, 5, 6, -7, -2, 1, -3). Задавая на множестве

кортежей г' отношение порядка (13), получим следующее упорядочение: (4, -2, 2)р (2,-1, 3)р(5, 6,-1). В

у0 у0

соответствии с теоремой 1 минимум линейной функции

3

с вектором коэффициентов с на множестве ЕТ33 достигается в точке у° = (4, -2, 2, 2, -1, 3, 5, 6, -1) и равен

3

16. Для определения диаметра множества ЕТ33 выберем точку й = у0 и введем отношение р вида (13). В

у0

соответствии с этим отношением (2, -1, 3)р(5, 6, -1)р

у0 у0

р0(4, -2, 2).

Диаметр множества ET33 найдем по теореме 2:

diam£r33 = л/154 = 12,4.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в статье получены новые теоретические результаты, касающиеся свойств композиционных образов комбинаторных множеств.

В работе введен новый класс композиционных образов комбинаторных множеств - множества перестановок кортежей.

Исследованы некоторые свойства множества перестановок кортежей при отображении в евклидово пространство. Представлены распределения элементов данного множества по семействам параллельных плоскостей и сферам в евклидовом пространстве. Получены решения некоторых классов оптимизационных задач на множестве перестановок кортежей.

Полученные результаты могут послужить основой для построения оптимизационных моделей и методов решения задач со сложной комбинаторной структурой, чем определяется их научная ценность и практическая значимость.

Дальнейшие исследования в данном направлении могут быть связаны с постановкой и решением на основе описанных результатов классов задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. - К.: Наук. думка, 1986. - 268 с.

2. Стоян Ю. Г., бмець О. О. Теор1я i методи евюидовоТ комбшаторноТ оптимiзацiТ. - К.: ¡нститут системних до-сл^жень осв™, 1993. - 188 с.

3. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

4. Стоян Ю. Г., Гребенник И. В. Специальные классы комбинаторных множеств в геометрическом проектировании. // В кн.: Сборник тезисов докладов по мате-риалам 10-й юбилейной междунар. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» Харьков-Туапсе - 2004, с. 253-254.

5. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике // ДАН УССР, Сер. А. - 1988. - № 3, с. 238-240.

6. Яковлев С. В., Гребенник И. В. О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах // Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 11. - С. 74-86.

Надшшла 11.10.04 Шсля доробки 2g.04.05

Вводиться нова комбтаторна множина переставлень кортеж1в. Надаеться його опис, досл1джуються комб1на-торт властивост1 при в1дображент в евкл1д1в прост1р. Виконуеться постановка та розв'язання деяких задач оптим1зацп на множиш переставлень кортеж1в, визна-чаеться д1аметр множини. Наводиться та анал1зуеться приклад.

The new combinatorial set of m-tupple permutations is introduced. Its description is given; combinatorial properties on reflection to Euclidean space are investigated. The formulation and solving of some optimization problems on the set of m-tupple permutations is completed, the diameter of the set is determined. The example is given and analyzed.

У