Количество разложений матриц в подгруппе группы RC Текст научной статьи по специальности «Математика»

Попов И.Н. Количество разложений матриц в подгруппе группы RC

УДК 512.541+512.542

ПОПОВ Иван Николаевич, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова. Автор 38 научных публикаций

КОЛИЧЕСТВО РАЗЛОЖЕНИЙ МАТРИЦ В ПОДГРУППЕ ГРУППЫ RC

В статье изложены результаты исследований группы RCn. Элементами группы RC являются квадратные матрицы над полем Z2 размерности n, операция в группе - сложение матриц. Любая матрица из конечной аддитивной группы RC имеет порядок 2 и представляется в виде суммы так называемых матриц-строк и матриц-столбцов, множество которых является носителем элемента группы. Каждая матрица из группы RC имеет ровно два различных носителя.

Любую подгруппу группы RC можно рассматривать как линейную оболочку матриц, которые называются образующими оболочки. Оболочка может иметь несколько наборов образующих. Среди всех образующих линейной оболочки выделяют так называемые фундаментальные системы, через каждую из которых любой элемент оболочки выражается единственным образом.

В работе рассматривается вопрос о количестве разложений матриц в подгруппе группы RC, заданной в виде линейной оболочки с определенным числом образующих. Устанавливается связь между количеством разложений произвольной матрицы с количеством разложений нулевой матрицы через образующие линейной оболочки. Формулируется и доказывается теорема, в которой утверждается, что количество разложений матрицы в подгруппе группы RC равно количеству разложений нулевой матрицы в этой подгруппе. В связи с этим предлагается формула для определения количества всех разложений нулевой матрицы в произвольной подгруппе группы RC. В статье затрагивается вопрос о фундаментальной системе образующих подгруппы группы RC. Показывается ее роль в определении порядка линейной оболочки как подгруппы группы RC, так и самой группы RC.

ключевые слова: порядок группы, линейная оболочка, фундаментальная система образующих.

Группа RC. Пусть N = {1; 2; ... ; n} - множество натуральных чисел от 1 до n, где n - натуральное число, отличное от 1.

Пусть Z2 = {0; 1}. Определим сложение на этом множестве следующим образом: 0 + 0 = = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Очевидно, что

© Попов И.Н., 2014

Z2 является группой относительно введенного сложения.

Пусть Mn(Z2) - множество всех квадратных матриц порядка n с элементами из множества Z2. Нулевую матрицу обозначим 0. С обычным сложением матриц множество Mn(Z2) есть абе-

115

ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА

лева группа. Очевидно, что любая матрица A группы Mn(Z2) имеет порядка 2, т е. A = A = 0. Естественно считать, что 0 х A = 0 и 1х A = A для любой матрицы A eMn(Z2).

Ясно, что \Mn (Z2)| = 2n. По теореме Лагранжа для конечных групп получаем, что порядок любой подгруппы группы Mn(Z2) есть степень числа 2.

Рассмотрим матрицы следующего вида: E. — квадратная матрица порядка n, в которой все элементы i-й строки равны 1, а остальные - 0; В — квадратная матрица порядка n, в которой все элементы j'-го столбца равны 1, а остальные - 0. Матрицу E. будем называть матрицей-строкой с номером i, а матрицу E. — матрицей-столбцом с номером J. Здесь i, j є N.

Пример. Для случаев n = 2 и n = 3 соответственно получаем:

E =

( 1 1' ( 0 , В2 = 1 °', E1 = (1 0'

,0 0, , 2 11 1/ °,

E2 =

ґ0

0

єМ2(Z2);

(1 1 1' (0 0 0' (0 0 0'

E 0 0 0 , E 2 = 1 1 1 , Ез = 0 0 0

, 0 0 0, , 0 0 0, , 1 1 1,

(1 0 0' (0 1 0' (0 0 1'

= 1 0 0 , E2 = 0 1 0 , E3 = 0 0 1 e M

0 0, ,0 1 0, ,0 0 1,

Для произвольного случая количество матриц-строк, также как и матриц-столбцов, равно n. ■

Введем в рассмотрение подгруппу RC группы Mn(Z2), порожденную матрицами-строками E1, В2, ..., Еп и матрицами-столбцами E1, В2, ..., В, т. е. каждая матрица группы RC есть сумма вида:

n

X (ХВг + УiE') = Х1Е1 + Х2E2 + • • • + X„E„ +

І=1

+Уі В + у2 E2 +... + у„Е„ ,

где x,x2,...,х„,Уі,у2,•••,Уп eZ2.

При необходимости у символа RCn нижним индексом будем указывать размерность матриц

n, входящих в нее. Заметим, что порядок группы RC есть степень числа 2.

n

Пусть A є RC. Тогда матрицу A можно записать в виде:

A = В + В +... + E, + Eji + Ej +... + Eh ,

h h lk

где 0 < k < n, 0 < 1 < n и i1, i2, ..., ik, также как и i1, i2, ..., i, — попарно различные числа из множества N. Будем говорить, что представлено разложение матрицы A через матрицы Ек,...,Eh и Ej,...,EJ‘, или матрица A выражается через эти матрицы. При этом если k = 0, то будем считать, что в разложение матрицы A ни одна из матриц-строк не входит, если же I = 0, то в разложение не входит ни одна матрица-столбец.

Отметим, что в разложение матрицы из группы RC каждая матрица-строка и матрица-столбец из множества {E1;.; En; E1.; En} входит не более одного раза.

Пусть A є RC и

A = E. + E. +... + E. + EJl + Ej +... + EJ‘,

где i1, i2,..., ik, также как и i1, i2,..., i, — попарно различные числа из множества N, где 0 < k < n и 0 < I < n . Множество

ййййййй= E. E, ... E. EJl Ej ... EJ‘

h h lk

назовем носителем матрицы A. В носителе матрицы из группы RC все матрицы попарно различны. Отметим, что не предполагается, что носитель матрицы определен для него однозначно. Будем считать, что носитель нулевой матрицы из группы RC, матрица 0, в частности, может быть и пустым, и равенство 0 = 0 будем рассматривать как разложение матрицы 0 в группе RC. Отметим, что нулевой элемент не входит в носитель никакой матрицы из группы RC.

Пример. Из справедливости равенства E + E = 0 не вправе написать, что supp(0) =

= {Ei}. ■

В частности, носитель каждой матрицы из множества {E1;.; En; E1;.En} равен самому элементу.

Теорема (характеристическое свойство матриц из группы RCn). Матрица группы Mn(Z2)

116

Попов И.Н. Количество разложений матриц в подгруппе группы RC

принадлежит группе RCn тогда и только тогда, когда суммы первой строки (первого столбца) и любой другой строки (любого другого столбца) как векторов есть вектор, все элементы которого одновременно равны 0 или 1.

Пример. Рассмотрим две матрицы из группы M4(Z2):

f 1 1 0 0' f 1 1 0 0'

0 0 1 1 0 1 1 1

A = 1 1 0 0 и B = 1 1 0 0

v1 1 0 0 v 1 1 0 1

Так как суммы первой строки и любой другой строки матрицы A есть вектор (1; 1; 1; 1) или (0; 0; 0; 0), все элементы которого равны 1 или 0, то матрица A удовлетворяет характеристическому свойству матриц из группы RC4, значит, A є RC4.

Для матрицы B справедливо: сумма первой и второй строк есть вектор (1; 0; 1; 1), который не совпадает ни с вектором (0; 0; 0; 0), ни с вектором (1; 1; 1; 1). Значит, B € RC4. ■

Общие вопросы теории групп изложены в работе [1]. Более подробно о группе RCn можно ознакомиться в монографии [2].

Линейные оболочки матриц из группы RC. Порядок группы H, то есть количество ее элементов, будем обозначать символом \H|.

Пусть A1, A2, ... , Am - ненулевые матрицы из группы RCn. Множество вида

F = ( Aj; A2;...; A) =

= {^1A1 + ^2A2 + ‘ ' ' + &mAm \ Д, ^2 , " ', ^m Є Z2 }

назовем линейной оболочкой матриц A1, A2, ., Am. Сами матрицы A1, A2, ., Am назовем образующими линейной оболочки F. Если матрица A из группы RCn принадлежит линейной оболочке (A1, A2, ..., Am>, то будем говорить, что матрица A раскладывается (выражается) через матрицы A1 , A2, ., Am. Равенство

A = C1 + ••• + Cp

где C1, ..., Ck - попарно различные матрицы из множества {A1, A2, ., Am}, где 1 < к < m, назовем разложением матрицы A. Множество {C1; ...; Ck} назовем носителем матрицы A,

обозначим его символом supp(A). Договоримся, что для нулевой матрицы 0 равенство 0 = 0 является ее разложением, носитель которого равен пустому множеству. В этом случае справедливо: 0+ = 0.

Очевидно, что линейная оболочка (A1; A2; .; Am> является подгруппой группы RCn, которой, в частности, принадлежат сами матрицы A1; A2; ...; Am и нулевая матрица 0. Поэтому

Щ; A2; •••; A3\ ^ m + 1.

Пусть матрица A є (A1; A2; ...; Am> имеет разложения:

A = C. + .+ C, и A = D, +. + D

1 к 1 V

где C1, ., Ck, , также как и D1, ., D t - попарно различные матрицы из множества {A1; A2; ...; A }, , где 1 < к < m и 1 < I < m. Разложения ма-

m

трицы A через матрицы C1, ., Ск и D1, ., D е назовем различными, если множества {C1, ..., Ck} и {D1; .; D } не совпадают.

Пример. Пусть A A2, A3 - матрицы из группы RC2, имеющие вид:

f 1 1' , A = f1 1' , A = f 0 0'

v 0 0, 2 v1 1, v 1 1,

Линейная оболочка этих матриц состоит из четырех матриц:

f0 0' f 1 1' f1 1' f0 0'

v0 0, ? v 0 0, ? v1 1, ? v1 1,

(A1 ; A2; Ді)

Справедливы равенства:

A1 = Aj и A1 = A2 + A3,

т. е. матрица A1 имеет два различных разложения в линейной оболочке (A1; A2; A3>. При этом для первого разложения матрицы A 1 носитель имеет вид supp(A1) = {A1}, для второго -supp(A1) = {A2; A3}. Нулевая матрица 0 также имеет два разложения:

0 = 0 и 0 = A1 + A2 + A3.

В первом случае supp(0) = 0, во втором -. supp(0) ={A1; A2; A3}.

Так как в линейной оболочке {A ; A ; .; A } матрицы могут выражаться через матрицы {A1; A2; .; Am} не единственным образом, то порядок линейной оболочки (A1; A2; .; AJ не превышает числа 2m. Тогда

m

+1 <\( A; A2;...; Am)\< 2m

117

ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА

Количество разложений матрицы из линейной оболочки группы RC. Пусть n > 2. Введем обозначение:

U = {E1;E2En;E1;E2;...En} .

Пусть F1; F2; ...; Fk - попарно различные непустые подмножества множества U. Тогда 1 < к< < п. Для каждого і є {1; 2; .; к} символом Fi+ обозначим сумму всех матриц из множества F. Тогда Fi = supp(Fi+). Пусть F = (^+; ;...; F^).

Теорема. Если матрица 0 имеет m различных разложений в группе F, то и каждая матрица этой группы имеет ровно m различных разложений.

Доказательство. Заметим, из того, что нулевая матрица в группе F имеет разложение 0 = 0, следует, что m - натуральное число.

Пусть ненулевая матрица B из группы F имеет больше m различных разложений: B = С ....,B = C , B = C + ,, ... .

Пусть B = CS - одно из разложений матрицы B, где 1 < s < m. Так как разложения B = CS и B =

= Cm+1 Pа3личны, то SUPP(CS + Cm+1) * 0.

Пусть B = Cp и B = Cq - различные разложения матрицы B из числа выше указанных, причем p * m + 1 и q * m + 1. Очевидно, что 0 = C + C и 0 = C + С Так как supp(C ) *

p m+1 q m+1 ґґ v p/

* supp(Cq), то найдется такая матрица A, что A є supp(Cp) и A * supp(Cq). Если A є supp(Cm+1), то

A * SUPP(Cp + Cm+1) и A Є SUPP(Cq + Cm+1), если же A * supp(Cm+1), то

A є suPP(Cp + d) и A * suPP(Cq+ Cm+1).

В любом случае разложения 0 = Cp + Cm+1 и 0 = С + Cm+1 являются различными. Тогда

0 = 0 0 = Ci + Cm+p ., 0 = Cm + Cm+1 - попарно

различные разложения нулевой матрицы, что противоречит условию. Значит, каждая матрица из группы F имеет не более m разложений.

Пусть теперь 0 = 0+, 0 = 0+,..., 0 = 01 -различные разложения нулевой матрицы в группе F. Пусть B - ненулевая матрица из группы F.

Тогда B = B + 0 = B + 0+, B = B + 0 = B + 0+ ... , B = B + 0 = B + 0+m - разложения матрицы B.

Различны ли они попарно? Пусть B = B + 0+ и B = B + 0+ - два разложения матрицы B. Так как 0. * 0, то найдется матрица A такая, что A є 0., но A * 0J. Если A є supp(B), то A * supp(B + 0+) и A є supp(B + 0+), если же A * supp(B), то

A є supp(B + 0+) и A * supp(B + 0+).

Поэтому разложения B = B + 0+ и B = B + 0+ являются различными. Значит, каждая матрица из группы F имеет не менее m различных разложений.

Итак, каждая матрица из группы F имеет ровно m разложений.

Получили, что в группе F = ^ F1+; F2+;...; F+) каждая матрица может быть представлена в виде суммы £1 F+ + є2F2+ + . + £kFk ровно m раз при изменении значений коэффициентов єр є2, ... , єк, если нулевая матрица раскладывается в группе F m раз через ее образующие.

Из теоремы следует, что если нулевая матрица из группы F = ^F1+;F2+;...;Fk^j имеет в ней ровно m разложений, то

m | F |= 2к,

2к 2к

значит, порядок группы F равен —, т. е. | F |=—.

m m

Теорема. Количество разложений нулевой матрицы через образующие F+,F2+,•••,Fk линейной оболочки F равно степени числа 2.

Доказательство. Учитывая, что группа F есть подгруппа группы RCn, порядок которой

равен степени числа 2, то из равенства | F |= — получаем, что m - степень числа 2, т. е. m = 2і для

некоторого неотрицательного целого числа I. Из теоремы получаем, что | F |= 2к-<.

Пример. Пусть F - подгруппа группы RC3, состоящая из следующих матриц:

1 0 0' '1 0 0'

1 0 0 , 1 0 0

0 1 0

1 1 0' ' 0 1 0'

1 1 0 , 0 1 0

0 1 1, 11 0 д

118

Попов И.Н. Количество разложений матриц в подгруппе группы RC

' 0 10''0 0 0' '110' '0 0 0'

010, 000, 110, 00°. ч0 і 0J L0 0 0J [1 1 0J 11 1 1

Тогда | F | = 8. Можно показать, что

/ ' 0 1 0' ' 0 1 0' ' 0 0 0' '1 0 0' ' 1 о о

F=\ 0 1 0 ; 0 1 0 ; 0 0 0 1 0 0 1 О О

\ V1 0 1 V0 1 0, V1 1 1, V1 0 V0 1 и

Из матриц, являющихся образующими линейной оболочки F, можно получить нулевую матрицу тремя способами, без повторения и учета следования матриц:

' 0 1 0' ' 0 0 0' ' 0 1 0'

0 1 0 + 0 0 0 + 0 1 0

V 1 0 1, V 1 1 1, V 0 1 0,

' 0 0 0' ' 1 0 0' '1 0 0'

0 0 0 + 1 0 0 + 1 0 0 = 0,

V 1 1 1, V 0 1 1, V1 0 0,

' 0 1 0' ' 0 1 0' ' 1 0 0' '1 0 0'

0 1 0 + 0 1 0 + 1 0 0 + 1 0 0

V 1 0 и V 0 1 0 V 0 1 1, V1 0 0,

И, конечно же, справедливо разложение 0 = 0. Всего получаем 4 различных разложений нулевой матрицы, значит, m = 4.

Для этой же группы F справедливо также следующее равенство:

/ ' 0 1 0' ' 0 1 0' '1 1 0' ' 1 0 0'

F=\ 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0

\ V 1 0 1, V 0 1 0, V1 1 0, V 0 1 1,

При таком задании группы F справедливы только два разложения нулевой матрицы:

0 1 0' ' 1 0 0' '1 1 0'

0 1 0 + 1 0 0 + 1 1 0 = 0 и 0 = 0.

1 0 1, V 0 1 1, V1 1 0,

Поэтому m = 2.

Из примера видим, что при фиксированном числе n само число m, равное количеству разложений нулевой матрицы через матрицы F1+,F2+,...,Fk+, являющиеся образующими линейной оболочки F, с учетом разложения 0 = 0 зависит от числа к. Поэтому число m бу-

дем обозначать символом m(k). Тогда из примера при n = 3 получаем, что m(5) = 4 и m(4) = 2.

Заметим, что символ m(k) определен для чисел к таких, что 1 < к < | F |.

Теорема. Пусть 0+,0 +,...,0m(k) - различные разложения нулевой матрицы через образующие линейной оболочки F = {F1+;F2+F^, включая и разложение 0 = 0. Тогда

({01 ;0 2;.;0 m( к)} ,а) - абелева группа, где А -операция вычисления симметрической разности двух множеств.

Доказательство. Так как учитывается разложение 0 = 0, для которого supp(0) = 0, то 0є{01; 02;...; 0т(к}}.

Для любых i и j из множества {1; 2; ...; m(k)} справедливы равенства:

(0,А0j)+ = 0+ +0+ и 0iА0і =0 .

Так как 0+ +0+ = 0, то 0, Л0,є {01; 02; ... ; 0m(k)} Симметрическая разность множеств обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых множеств M1, M2, M3 справедливо равенство:

(M1AM2)AM3 = M1A(M2AM3).

Поэтому ({01; 02;...; 0m(k)}; а) - абелева группа. ■

Теорема. Пусть F = (F+;F2+;...;F^. Тогда справедлива формула:

m(| F |) = m(k)2|F|-к-1.

Доказательство. Пусть A1, A2, ... , A|F| _ 1 -все ненулевые матрицы из группы F. Тогда

F = <Ap A2, ... , A! p! _ 1> = {A1, A2, ... , A! f| _ 1; 0}.

При этом справедливы равенства: m(| F |)x | F |= 2|F|- и m(k)x | F |= 2;.

2|f|-1 2k

Тогда 1F |= л ^ |Ч и | F |=-, значит, m(| F |) =

m(| F |) 1 m(k)

= m(k) -2^-k _1.^

Из формулы m(| F |) = m(k) x 2|F|-k-, зная числа | F | и m(k), можно найти количество всех способов получения нулевой матрицы, как

119

ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА

суммы матриц из группы F, без повторения слагаемых и учета их расположения в сумме, включая разложение 0 = 0.

Пример. Для группы

/ " 0 1 0' F 0 1 0' ' 0 0 0' '1 0 0' Г 1 о о

F=\ 0 1 0 0 1 0 ; 0 0 0 ; 1 0 0 ; 1 0 0

\ V 1 0 1 , V 0 1 V 1 1 1 , v1 0 0, V 0 1 1 ,

справедливо: | F | = 8, к = 5 и т(5) = 4. Тогда m(| F |) = m(8) = 4 х 28 - 5 4 = 16.

Так как группа F может быть задана и следующим образом:

/ ' 0 1 0' ' 0 1 0' '1 1 0' Г1 0 0'

F=\ 0 1 0 ; 0 1 0 ; 1 1 0 ; 1 0 0

\ 1 1 0 1 , V 0 1 0, v1 1 0, V 0 1

то, учитывая, что | F | = 8, к = 4 и m(4) = 2 получаем:

m(| F |) = m(8) = 2 х 28 - 4 -1 = 16.

Итак, в группе F нулевую матрицу можно представить в виде суммы матриц из группы F 16 способами, с учетом разложения 0 = 0.

Среди разложений, например, есть следую-

'1 0 0' Г 0 1 0' '1 1 0'

1 0 0 + 0 1 0 + 1 1 0

v1 0 0, V 0 1 0, v1 1 0,

Г 0 0 0' Г 0 1 0' Г 1 0 0' Г 1 1 0'

0 0 0 + 0 1 0 + 1 0 0 + 1 1 0

V 1 1 1, V 1 0 1, V 0 1 1, V 0 1 1,

Если сложить все ненулевые матрицы из группы F, то также получаем нулевую матрицу. В этом случае носитель нулевой матрицы содержит 7 матриц. ■

Теорема. Пусть F - линейная оболочка, для которой существуют два набора матриц, ее порождающих, в количествах к и I соответственно. Тогда справедливо: т(к) = m(l) тогда и только тогда, когда к = I.

Доказательство. Пусть т(к) = m(l). Так как m(| F |) = т(к) • 2|f|-к-1 и m(| F |) = m(l) • 2|f|-<-1,

то 2|f|-к-1 = 2|f|- 1-1, значит, к = I.

Обратно, если к = I, то из равенства т(к) х 2|f|-к-1 = ш(€) х 2|F|-к-1 получаем, что т(к) = = m(l) . ■

Фундаментальная система образующих подгруппы группы RC. Матрицу A из множества {F+; F2+;...; Fk+} назовем независимой от других матриц этого множества, если матрица A не выражается через матрицы множества {F+;F2+ ;...;Fk+}\{A} . Если это справедливо для каждой матрицы из множества {F+; F2+ ;...; F^ }, то это множество назовем независимым множеством матриц.

Теорема. Пусть F = (f^; F2+; ...; F^, где к > > 2. Тогда справедливо: т(к) = 1 тогда и только тогда, когда множество {F+;F2+;...;Fk+} является независимым множеством матриц.

Доказательство. Пусть т(к) = 1. Предположим, что некоторая матрица F+ из множества { F +; F2+;...; Fk+} выражается через матрицы множества {F +; F2+;.; Fk+} \ {F +} . Тогда F = (f+ ;...;F+;F+;...;Fk+) и число образующих равно к - 1. Из равенств т(к) = 1, m(| F |) = т(к) х 2|F|-k- и т(| F |) = т(к -1) • 2|f|-(к-1)-1 следует, что 2т(к -1) = 1, что не так. Пришли к противоречию. Значит, {f +;F2+;...;F+} - независимое множество матриц.

Пусть теперь {F +;F2+;.;Ft} - независимое множество матриц. Предположим, что т(к) > 2. Тогда любая ненулевая матрица из группы F выражается хотя бы двумя способами через матрицы из множества {Fi+;f2;---;Fk }. Это относится к матрице F (одно из разложений этой матрицы имеет вид F1 + = F1 +), что противоречит условию. Пришли к противоречию, значит, т(к) = 1.

Пусть F = F +; F2+;...; Fk+) - подгруппа

группы RCn. Если множество {F ;F2+;...;F+} является независимым множеством матриц (то же самое, что т(к) = 1), то будем говорить, что матрицы F +,F,+,...,Fк образуют фундаментальную систему образующих группы F (ФСО).

120

Попов И.Н. Количество разложений матриц в подгруппе группы RC

Теорема. Любые две фундаментальные системы образующих группы F содержат одно и то же количество матриц.

Доказательство. Пусть в одной ФСО группы F содержится к матриц, а в другой ФСО группы F -1 матриц. При этом справедливы равенства: m(k) = 1 и mC0 = 1. Тогда т(к) = m(k), откуда к = I . ■

Итак, фундаментальные системы образующих группы могут отличаться наборами матриц, но не их количеством. Число в некоторой ФСО (значит, в любой) группы F назовем рангом этой группы и обозначим символом rank(F). Заметим, что ранг определяется для любой ненулевой подгруппы F группы RCn, т. е. F ф {©}, т. к. группу F можно считать линейной оболочкой всех своих ненулевых матриц. Тогда справедливо: 1 < rank(F) <| F | -1 и m(rank(F)) = 1.

Теорема. Пусть F = (F^;F2+F/y, где F+,F2+,...,Fk+ - ФСО группы F. Тогда любая матрица из группы F единственным образом выражается через матрицы F , F2 v. Fk с точностью до перестановки слагаемых и без учета повторения матриц из этого набора образующих группы F.

Доказательство. Так как F +,F2+,...,F+ -ФСО группы F, то m(k) = 1. Предположим, что некоторая ненулевая матрица A из группы F выражается через матрицы F +,F2+,...,F/ хотя бы двумя способами. Тогда отсюда следует, что и нулевая матрица будет иметь неединственное разложение, что не так, т. к. m(k) = 1. Пришли к противоречию. Следовательно, все матрицы, включая и нулевую матрицу, из группы F единственным образом выражаются через матрицы F + F + F + ■

М !г2 к . ■

Теорема. Пусть F = (fx +;F2+;...;F+), где F +,F2+,...,F+ - ФСО группы F. Тогда |F|= 2к и m(| F |) = 22к-к-1.

Пример. Пусть F - подгруппа группы RC3 такая, что

/ ' 0 1 0" ' 0 1 0" ' 1 0 0"

F=\ 0 1 0 0 1 0 1 0 0

\ ,0 1 г , 1 0 £ ,0 1 1,

из трех пред-

' 1 0 0"

Так как только в матрице 1 о о

I0 1 Ъ

ложенных матриц элемент в первой строке и первом столбце равен 1, то равенство

= 0

' 0 1 0" ' 0 1 0" ' 1 0 0"

£1 0 1 0 + £2 0 1 0 + £3 1 0 0

,0 1 ,1 0 1. ,0 1 1.

справедливо лишь при £ = £2 = £3= 0. Значит, 0 = 0 - единственное разложение нулевой матрицы через предложенные матрицы. Тогда ранг данной группы равен 3, то есть rank(F) = = 3. Заметим, что | F | = 8. ■

Теорема. Для любого натурального числа n справедлива формула: | RCn | = 22n - '.

Доказательство. Для группы RCn справедливо равенство:

RCn = (Е{;Е2;...;En;E1;E2;...;En) ■

Матрицы E,E2,...,En,E1,E2,...,En выражаются друг через друга, точнее, каждая матрица есть сумма всех остальных. В частности,

E = E2 + ... + E + E1 + E2 + ... + En.

12 n

RCn =( E2;...; En; E1; E2;...; En).

Суммируя любое количество различных матриц из множества {E2; ... ; En; E1; E2; ... En} нулевую матрицу не получаем. Значит, m(2n - 1) = = 1, поэтому {E2; ... ; En; E1; E2; ... E"} - фСо группы RCn. Отсюда следует, что порядок группы RC вычисляется по формуле 22n - 1

Заметим, что формула справедлива и в случае n = 1, т к. тогда RC1 = {(0); (1)}.

Итак, | RCn | = 22n - 1 для любого натурального числа n. ■

Из теоремы следует, что количество всех различных разложений нулевой матрицы в группе RCn вычисляется по формуле:

m(| RCn |) = 222n-1 -2n.

В частности, в группе RC3, состоящей из 32 матриц, нулевая матрица имеет 226 = 67108864 разложений.

121

ФИЗИКА. МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА

Список литературы

1. Каргополов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М., 1982.

2. Попов И.Н. Группы RC и RCD: моногр. Архангельск, 2014.

References

1. Kargopolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Osnovy teorii grupp [Fundamentals of the Group Theory]. Moscow, 1982.

2. Popov I.N. Gruppy RC i RCD: monogr. [Group RC and RCD: monograph.]. Arkhangelsk, 2014.

Popov Ivan Nikolaevich

Institute of Mathematics, Information and Space Technologies, Northern (Arctic) Federal University named after M.V. Lomonosov (Arkhangelsk, Russia)

THE NUMBER DECOMPOSITIONS OF MATRICES IN THE SUBGROUP OF RC

The results of the researches on the group RCn are outlined in the paper. The elements of the group RC are dimension n square matrices over the field Z2, the group operation is the addition of matrices. Any matrix in the finite additive group RC has order 2 and it can be represented as a sum of the so-called row-matrices or column-matrices. The range of the row-matrices and the column-matrices generates a carrier of the group element. Every matrix from RC has exactly two different carriers.

Every subgroup in RC can be considered as a linear span of matrices, which is called a “generator span’. The span can have several sets of generators. Among all forming linear span there are the so-called fundamental systems, through each any span element is expressed in a unique way.

This paper examines the question of the number decompositions of matrices in the subgroup of RC defined as a linear span with a certain number of generators. A relation between a number of decompositions of arbitrary matrices with a number of expansions of zero matrix in terms of the generators of the linear span. A theorem which asserts that the number decompositions of the matrix in the subgroup of RC is equal to the number of expansions of zero matrix in this subgroup is formulated and proved. A formula to determine the number of all decompositions of zero matrix in an arbitrary subgroup of the RC is proposed. The article deals with the issue of a fundamental system of subgroup generators of RC and its role in determining the order of the linear span as a subgroup of RC and the group RC.

Keywords: the order of the group, linear span, fundamental system of generators.

Контактная информация: адрес: 163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, д. 17;

e-mail: [email protected]

Рецензент - Попов В.Н., доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики института математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

122