CC BY
19
УДК 551.594.253
КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МИКРОКАПЕЛЬ КАПЕЛЬНОГО КЛАСТЕРА В ЛИНЕЙНО НЕОДНОРОДНОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
С.Н. Андреев1, Д. Н. Габышев2
Рассмотрены силы, действующие на свободно левитирующие микрокапли воды в структуре, обнаруженной 15 лет назад и получившей наименование капельного кластера (А. А. Федорец, 2004). Показано, что в нём могут, иметь место низкочастотные вертикальные затухающие колебания микрокапель около положения равновесия, присутствующие и при мгновенном включении внешнего электрического поля. Данные колебания рассмотрены с точки зрения анализа Фурье.
Ключевые слова: капельный кластер, двумерный аэрозоль, электрическое поле, поляризация, электрический заряд, КАРАТ, анализ Фурье.
1. Введение. В 1971 г. В. Шефер [1], рассматривая туман над нагретой поверхностью воды, указал на присутствие в нём микроскопических капелек, взвешенных из-за равновесия давления восходящего паровоздушного потока и силы тяжести. Если сузить слой воды до субмиллиметровой толщины, а область нагрева локализовать в круге порядка
1 мм в диаметре, то взвешенные микрокапли стянутся в преимущественно гексагонально упорядоченную монослойную структуру - капельный кластер [2]. Характерный радиус R левитирующих микрокапель в этом "двумерном аэрозоле" составляет десятки микрометров, как и их высота H над водным слоем. Кластер стал удобным средством для пролонгированного наблюдения за микрокаплями на масштабах минут. Заземление кюветы с водой в экспериментах не влияло на стабильность кластера, поэтому электростатический механизм некоалесценции микрокапель был отброшен [3].
Единственной экспериментальной работой по воздействию электростатического поля на капельный кластер пока является статья научной группы из ИКЗ СО РАН [4].
1 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38.
2 Тюменский государственный университет, 625003 Россия, Тюмень, ул. Володарского, 6; e-mail: gabyshev-dmitrij@rambler.ru, d.n.gabyshev@utmn.ru.
В ней поляризацией микрокапель кластера пренебрегали, а все эффекты объяснялись в рамках плазменно-пылевой гипотезы с предположением о наличии положительного заряда на микрокаплях. Погрешность определения величины напряженности E составляла ±50% [5], что огрубляет полученную в [4] оценку заряда (103 ед. эл. заряда). Трактовка кластера в плазменно-пылевой парадигме была встречена неоднозначно [6]. Кроме того, есть модели, не требующие наличия начального заряда капель [7]. Нами были проведены расчёты простейшей конфигурации электродов, похожей на использованную в [4]: вертикальный тонкий проводящий стержень над кластером служил первым электродом, а слой испаряющейся воды толщиной 300 мкм был налит на тонкую проводящую плёнку, служившую вторым электродом. Водяной кластер моделировался в виде трех круглых капель радиусом 50 мкм с диэлектрической проницаемостью воды при 93 °С, равной 57. Конструкция электродов такова, что потенциал 500 В подается на верхний электрод, а нижний заземляется (межэлектродное расстояние 1.5 мм). Как аналитические [8], так и численные расчеты с помощью программного кода KARAT (рис. 1) показали, что электрическое поле с напряженностью около E0 = -(2...5) • 105 В/м в области кластера обладает большой неоднородностью, следовательно, поляризация микрокапель не мала. Это важно потому, что заряд влияет на кинетику конденсационного роста [9], что, в свою очередь, надо учитывать при моделировании роста аэрозольных и облачных элементов в электрическом поле на базе технологии капельного кластера. В связи с вышеуказанной дискуссией рассмотрим механическое движение левитирующих микрокапель в капельном кластере с учетом как их заряда, так и поляризации.
water layer
0 1 мм 2 3
Рис. 1: Расчёт электростатического поля вблизи капельного кластера.
Г
ААААААААА
Рис. 2: Левитирующая микрокапля с начальным отклонением вниз.
2. Свободно левитирующая микрокапля в электрическом поле. Второй закон Ньютона для свободно левитирующей микрокапли (рис. 2):
где т£ - сила тяжести капли, Е^ - сила со стороны восходящего паровоздушного потока [8], Еек - электрокинетическая сила, равная сумме электрофоретической Еер и диэлектрофоретической Евр сил [11], Е - сила равнодействующая. Сила Архимеда Еа для тела, ускоренно движущегося в потоке паровоздушной смеси плотностью р.и [10]:
Выберем систему отсчета, в которой капля в среднем покоится в отсутствие электрического поля, ось х направим вверх. Скорость потока возьмём в линейном приближении V = ^о(1 + кх), к < 0. Электрическое поле вблизи нуля и микрокапли возьмём также линейным Е = Е0(1 + Ах), а включать его будем мгновенно. Для расчета силы Евр достаточно ограничиться нулевым мультипольным приближением. Дипольный момент сферических микрокапель рассчитывается посредством формулы Ланжевена-Дебая. Силу Еек для удобства направим вверх.
Е = mg + Ей + Еа + ЕЕК,
(1)
Выражение (1) в проекции на ось х после группировки слагаемых, введения безразмерных координаты и времени
X = X т = I 1Ка^о
Я V к
а также деления на коэффициент при старшей производной приводится к виду [8]:
0 = ¿2Х + ¿X V (1 + — (1+кЯХ)к (1 + + Р^£+
¿т2 Vо V к + ЯХ/ я{ к + ЯХ/ Ka1vоЯpw + ^
3к 1
ь о : р^ — ^з(1 + АЯХ) — во^ ■ АЕ2(1 + АЯХЛ , (2)
Ка^0Я рш + ^ I 4пЯ^ ' в + 2
где ^ = 2 ■ 10-5 кг^м-1^с-1 - динамическая вязкость восходящей паровоздушной смеси, рад - плотность воды, д = дег - собственный заряд микрокапли, кратный элементарному заряду де, и здесь для удобства обозначено
^ тт ту , т^ш ( I Р^-1
к = Я — Я + аз, К = (р„ +
2 2я2
Дт)
-1
/Д 1 1 ___^ г = -3-103
- //~ г = 0
г = З-Ю3
/-ч гдО^ Е0 = 0
г = -з-ю3
г = 3-103
1 1
£ >
оо
> 2 2 Т
о й
>
со
сч II
II ^ г ° ьл
О 10 20 30
Рис. 3: Зависимость X от т при начальном отклонении X = —0.25. Черная кривая -в отсутствие поля, серые - в присутствии [8].
Для численного решения (рис. 3) примем Я = 100 мкм, v0 = 0.1 м/с, р^ = 1.01 кг/м3. Равновесный радиус Я =32 мкм для высоты Я в отсутствие поля отыскивается из
(2) при X, равном нулю со своими 1-й и 2-й производными (равновесное положение). Из [12] берем среднее экспериментальное значение к = —6 • 103 м-1. Согласно [8] при температуре 92.8 °С имеют место числовые коэффициенты а2 = 1.061, а3 = 5.568 х 10-6 м, а также
2д(рт — ру) . а1 = —----, где А1 = 1.433 • 10
9 „ —2 м-
9р1ь0А1
с коэффициентом корреляции 0.9811. Плотность рт = 963.4 кг/м3 при 92.8 °С.
Рис. 4: Фазовый портрет функции X(т) при начальном отклонении X = —0.25 и г = 0 в отсутствие поля (1) и в присутствии (2).
3. Анализ решения. Фазовый портрет функции X(т) имеет характерный устойчивый фокус, который сдвигается при включении электрического поля (рис. 4). Если сила Рек преодолевает силу тяжести капли, то фокус, вообще говоря, устремляется в бесконечность. Если поле, напротив, приводит к коалесценции, то тогда внешний виток фазовой спирали должен пересечь точку с координатой поверхности воды. Быстрое преобразование Фурье - функции X (т) в одной из систем компьютерной алгебры приведено на рис. 5, 6. Размытые пики амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) показывают, что колебания затухают сильно и подчиняются далеко не одной резонансной гармонике, но велика роль ближайших к ней по частоте гармоник, обуславливающих размытие. Это приводит к тому, что фазочастотная характеристика (ФЧХ) вблизи резонанса меняется круто, а на резонансной частоте даёт отличную от нуля фазу, несмотря на то,
Рис. 5: АЧХ функции X(т) при начальном отклонении X = —0.25 и заряде г = 0 в отсутствие поля (1) и в присутствии (2).
Рис. 6: ФЧХ функции X(т) при начальном отклонении X = —0.25 и заряде г = 0 в отсутствие поля (1) и в присутствии (2).
что согласно рис. 3 фаза главного косинуса в нуле ожидалась равной нулю. При включении электрического поля спектральный пик смещается в сторону меньших частот, ФЧХ тоже сдвигается влево и немного деформируется.
4. Выводы. Вертикальное движение микрокапли капельного кластера, умеренно смещенной относительно положения равновесия, должно принимать характер нелинейных затухающих колебаний с периодом, близким к инфразвуку. Частота и декремент колебаний чувствительны к параметрам подстилающего каплю паровоздушного потока и величине внешнего электрического поля [8]. Знак и величина электрического заряда микрокапель до определенной величины слабо влияют на колебания в сильно неоднородном поле (рис. 3). Судя по всему, колебания в экспериментальных условиях могут быть вызваны искусственно с помощью электродинамического резонанса или интенсивной акустической волны, распространяющейся вдоль x. При отсутствии внешнего возбуждения колебания могли бы возникать при частичном коллапсе кластера по механизму капиллярных волн [13], однако до сих пор предметные поисковые наблюдения являлись затруднительными.
Д. Н. Габышев благодарит к.ф.-м.н. Н. Е. Актаева за обсуждение математического аппарата. Пункт 1 настоящего исследования был выполнен при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (Госзадание № 3.12801.2018/12.2). Пункты 2-4 настоящего исследования были выполнены при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-38-00232 мол-а.
ЛИТЕРАТУРА
[1] V. J. Schaefer, Am. Sci. 59, 534 (1971).
[2] А. А. Федорец, Письма в ЖЭТФ 79, 457 (2004).
[3] А. А. Федорец, Письма в ЖЭТФ 81, 551 (2005).
[4] A. V. Shavlov et al., Phys. Lett. A 376, 39 (2011), doi: 10.1016/j.physleta.2011.10.032
[5] В. А. Джуманджи, Диссертация на соискание степени к.ф.-м.н. (Главная геофизическая обсерватория им. А. И. Воейкова, СПб, 2013), стр. 8. http://www.voeikovmgo.ru/download/aspirantura/Djumanji.pdf.
[6] А. В. Филиппов и др., ЖЭТФ 148, 1039 (2015).
[7] В. А. Саранин, ЖТФ 68(2), 16 (1998).
[8] D. N. Gabyshev, Phys. Wave Phenom. 26(3), 221 (2018).
[9] М. А. Леонтович, Введение в термодинамику. Статистическая физика (М., Наука, 1983).
[10] С. Н. Манида, Физика. Решение задач повышенной сложности: по материалам городских олимпиад школьников (СПб., Изд-во СПбГУ, 2004), с. 10, 398.
[11] M. Esseling, Photorefractive Optoelectronic Tweezers and Their Applications (Springer, 2015), sec. 2, p. 13, doi: 10.1007/978-3-319-09318-5
[12] А. А. Федорец, Письма в ЖТФ 38(21), 63 (2012).
[13] А. А. Федорец и др., Письма в ЖЭТФ 99(5), 307 (2014).
Поступила в редакцию 26 июня 2018 г.
