CC BY
38
2.. я,. Phi ( Qv ¿)v
--+
ydXj OX, ;
йх( дг йх,
сЛЦЧ. (12)
/=11 - V, /=1 1 -V/ /=11 + V,
Из (12) следует выражение для скорости волны расширения но двумерной теории
2 _ 1 ^ ЕА
'—г-1-!-!
РЛ + Р2Л2/ = ll - v/
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Kaplunov Yu D, Kossovich L Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London Academic Press, 1998. 226 p
2. Каплунов Ю.Д., Кириллова ИВ, Коссович J1Ю Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ 1993 Т. 57, вып 1 С 83-91
УДК 531 383
JI.И. Могилевич, B.C. Попов, A.M. Чернов
КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ, ОКРУЖЁННОГО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Имеется абсолютно твёрдое тело - корпус, содержащий цилиндрическую камеру радиусом . Корпус подвергается воздействию гармонического виброускорения Внутри камеры находится упругий цилиндр - цилиндрическая оболочка длиной (, толщиной И0 и внешнего радиуса R2 Радиус срединной поверхности оболочки R» h0. Внутренняя поверхность камеры и оболочка образуют цилиндр в цилиндре. Оболочка окружена слоем вязкой несжимаемой жидкости, полностью заполняющей цилиндрическую щель между оболочкой и стенками камеры и соединена с корпусом жесткой заделкой на торцах. Торцевые уплотнения не допускают истечения жидкости на торцах. Толщина слоя жидкости 8 <</?2, а амплитуда прогибов упругой оболочки значительно меньше 8.
Свяжем систему координат Oxxxy^zx с корпусом и положим, что перемещения вдоль оси Oiy] отсутствуют. Обозначим перемещения корпуса через jc0 = Ьх sin(coi + ф^), z0 = Ez sin(co? + срг0). Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат г, 0, у, полюс которой совпадает с на-
чалом координат Охххухгх, направления осей Оу, Охух обоих систем координат совпадают.
Введем безразмерные переменные и малые параметры задачи $ = (г-Л2)/Ь,$ = 2у/(, 0 = 9, т = соГ, ч* = 8/Л2 «1, X = м>т/5 «1,
и - ит11, и = итК, V/ = К.е = 52ю/у , Уг = ¥>я(аЩ, Ув
У, = (*та/у)е/(2Н2)(1^, р = р0+ руЯл)/ч>2 Р~ рЯ 2[*0 бш 9 + ¿0 собЭ], (1)
с = ^/(РоО-Цо2)). «о =Л0г/02Л2),
здесь ^ относительная толщина слоя жидкое™, X. - относительный прогиб оболочки; ит, ит, >% - амплитуды упругих продольного и окружного перемещений оболочки и прогиба соответственно; (У,V,- безразмерные упругие продольное, окружное перемещение оболочки и ее прогиб соответственно; с - скорость звука в оболочке, Е - модуль Юнга, ц0- коэффициент Пуассона, р0- плотность материала оболочки, (Л, (Уд, и^- безразмерные составляющие вектора скорости жидкости; Р - редуцированное безразмерное давление жидкости, р0 - уровень отсчета давления; р -плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости, со - частота колебаний, I - время.
Подставим (1) в уравнения Навье-Стокса и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости и уравнения динамики упругой цилиндрической оболочки [1, 2] и опустим в них члены порядка В результате получим нелинейные уравнения гидроупруг ости, записанные в безразмерном виде, включающие в себя: уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости и уравнения динамики цилиндрической оболочки. А также краевые условия на непроницаемых поверхностях камеры и оболочки, жёсткой заделки оболочки и условие равенства нулю производной безразмерного давления по продольной координате на торцах, соответствующее отсутствию торцевого истечения жидкости
Решение задачи гидроупруг ости искали методом возмущений в виде асимптотического разложения по степеням малого параметра Л Р = Р0 + ХРх +■••,£/)= = + Ъи^ н—,ив = Удо + \и01 ■+—, (2)
=(УС0 +--,и = и0+ки, + -,У = У0 + ХУх + = % +Щ +••■
Подставляя (2) в безразмерные уравнения гидроупругости в нулевом приближении по X, линеаризуем их. Учтем наличие в колебательной системе демпфирования, за счет слоя жидкости, то есть быстрое затухание собственных колебаний и возникновение установившихся вынужденных колебаний одной формы. Поэтому рассмотрим далее вынужденные колебания Решение полученной линейной задачи гидроупругости ищем в виде гармонических функций времени с коэффициентами, зависящими от коор-
динат. Зависимость I!, V и ¡V от С, представлена многочленами второй, третей и четвертой степени соответственно, а по 9 в виде гармонических функций. Проводя решение уравнений динамики оболочки методом Буб-нова-Галёркина в первом приближении по £ и 9 получим следующее выражение для прог иба оболочки:
" = -р0Я2( 1-С2)2
р0И0с'
16
21 147
4 Л2ш2 4/5</е1(рЛ2/р0Л0 -1 )+с1е
32 -> , 1x5 + 24 а]
(т.
—[Ь'2 соз9Бт(а>/ +фг0 + Ф*(ш)) +
3 с2 Щ
+ Ехбш8яп(ео/ + + ф'(со))] (1 -с,7)7, (3)
где Ц1*(а)) = arctg(-b■iidei/de^), ¿е1=аиа22-а2]1, с1е2 - а,2а13-аиа23, с1еъ =а13а22 — а!20123» = а33с/е, -а23с/е2 +а13с/е3, (1е% =б/е2 + А33^в2,
¿зз =-12хЯ0. аи =
16 Л2©2
105
8Г2ЛУ 8 , 4 2/?., .
Ю5 2 15 €
64 2Я 16й2со2 4('2/Л2,, , 2.,, . 16., 2л
а13 =--Но, а22=--;---— С + 4ао)(1 - До)--(1+ао),
13 105 ( ^о, 22 15 с2 ^ £ ^ V ^ 15
а23 = -32/15(2Я/г)2а2(2 - ц0) - (1 + а2)32/35,
йп =
315 с2
ря2
У?2со2
315
2 Л,
128/ '2Л
т1 . ? .
105 ^ /
с Ф РсЛ)
У 128 256
* ; Ю5 ( е ) 5 315 12х = 2е3 (бЬе - бш е)/[е2 (сЬе + соб е) - 2е(бЬе + бш е) + 2(сЬе - собе)], 2е3(е(сЬЕ + СОБЕ) - (бЬе + бше)) /Яе
е'1(сЬе + собе)- 2е(бЬе + Б1Пе) + 2(сЬе- СОБЕ) V 2
2е а =
Найдем амплитудную частотную характеристику (АЧХ) из полученного выражения (3) для прогиба
Л(со) = ' ,(4)
^8(о,8<*е10(рД2/рЛ -1) + Г/1^8 [0,8^!(рй2/роЛо -1)+^2]2)
здесь (¡в\ ^¿е^^, = (1е2\а^0 = ■
АЧХ (4) определяет три возможные резонансные частоты Согласно (3) амплитуда колебаний на определенных частотах обращается в нуль Данные частоты определяются из условия 4/5с/е1(рЛ2/р0Л0 -1)+ с1е2 = 0.
Рассмотрим исследованную выше задачу в рамках одномассовой модели [3]. Для моделирования прогибов цилиндра введем упругую связь, с приведенным коэффициентом жесткости п, между корпусом и цилиндром. При этом считаем цилиндр абсолютно жестким с приведенной массой т2. /(ля определения т2 и п представим цилиндр упругой балкой с торцевым закреплением, допускающим упругое перемещение торцов:
д'^/ау'+Р(Л7)"1Н/=0, д7м/ду7 =0 при у = ±1/2, (5)
здесь р - коэффициент жёсткости относительно прогиба, .1 - 2тс/^2Л!о(/^2 + ^о А) ~ момент инерции балки-цилиндра относительно оси
Согласно методу приведённой массы [3], получим
1 т„(20160 +1050(3♦¿3+17Р»2 £й) Е/р*
т, =--—----г--,и = 4о-;-, (о)
35 (Р * ^ + 24) р * ^ +24
здесь Р* = ; т0 = 2л/?2/з0>'р0 - масса балки-цилиндра
В данном случае Х = Х]/5«1 - относительное смещение центра масс твёрдого цилиндра, а уравнение движения центра масс твёрдого цилиндра с приведенной массой и упругой связью вдоль оси Ох\ имеет вид
т2хх+пхх=-т2х0 +N жх, (7)
где Nжx = тх0 - Мх, - Кх] - реакция слоя жидкости, приложенная к центру масс цилиндра полученная из решения уравнений динамики слоя жидкости; т = пЯ\(р - масса жидкости в объеме цилиндра; М = 2ягс2а(1|Же)~1 - присоединенная масса жидкости; К = Пх^а^ц/Яе)'1 - коэффициент демпфирования; хх - перемещение центра масс цилиндра Для оси 01\ формулы аналогичны.
Закон перемещений центра масс жесткого цилиндра с упругой связью вдоль оси Ох\ имеет вид
х, = АтЕх(й2 + фго + НИ (со))/\1["-(т2 + М)ы2\2 + К2а>2 , (8)
здесь ¥(00) = arctg(K(й/[(m2 + М)со2 - и]), Дт = т-т2. Выражение (8) определяет АЧХ
Л,(и) = \/^-(т2+МУо2/п)2+К2(й2/п2 . (9)
АЧХ (9) определяет резонансные частоты колебаний цилиндра. Согласно (9) данные частоты зависят от значений т2 и п . Следовательно, соответствующим выбором Р* можно обеспечить совпадение резонансных частот колебаний одномассовой системы и системы оболочка-слой жидкости Значение коэффициента р *, обеспечивающее точное совпадение ре-
зонансных частот, найдем из решения, относительно [}*, уравнения с/Л,(со)/£Ло|т_т =0, здесь сор - резонансная частота, определенная по (4)
В следующей таблице приведены результаты моделирования первой резонансной частоты цилиндра с параметрами
Л2=6,810"2 м, ¿=2,5-10-' м, 8И0'2 м, /то=8-10"3 м, £=10п Па, р0=6,5 103 кг/м3, р=103 кг/м3, у = 10^м2/с.
Вид модели Значение резонансной частоты со, рад/с Значение АЧХ
1. Одномассовая модель 10210,68 (р "=3961,12 м3) 79,02
2 Оболочка-слой жидкости 10210,68 90,17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ЛойцянскииЛ.Г Механика жидкости и газа М : Наука, 1978
2. Бидерман В Л Механика тонкостенных конструкций. М Машиностроение,
1977.
3. Курс сопротивления материалов / Под ред. М М Филоненко-Бородич М Гос. изд-во техн -теорет лит , 1956.
УДК 232.5; 232.135 Л. И. Могилевич, А. И. Сафрончик, М. И. Сафроичнк
ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ С УЧЁТОМ ПРИСТЕННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ
В настоящей статье рассматривается задача о развитии и затухании течения вязкопластичной среды в круглой трубе. Постановка задачи проводится на базе пятипараметрической реологической модели, позволяющей учесть не только различие в поведении материала при нагружении и разгрузке, но и учесть возможное проскальзывание вдоль твердой стенки Гистерезис деформаций учитывается с помощью модели Слибара-Паслая [1]. Наблюдаемое на практике "пристенное" скольжение обычно приписывают возникновению у стенки слоя вязкой жидкости (дисперсионная среда) с более низкой вязкостью, чем остальная среда
Теоретические исследования совместного неустановившегося течения вязкой и вязкопластичной жидкостей для простейшего случая плоской трубы выполнено в работах [2,3].
Ниже реализуется другой подход, идея которого принадлежит основоположнику гидродинамической теории смазки Н.П. Петрову [4]. Применительно к вязкопластичной среде гипотезу о проскальзывании можно
