CC BY
131
С. Б. Филиппов, Н. В. Наумова, Д. Н. Иванов
КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК*
Трехслойные оболочки давно нашли широкое применение в различных областях промышленности, авиации и судостроении. Выбор материалов, составляющих трехслойную оболочку, зависит, прежде всего, от того, где она будет использоваться. Например, некоторые трехслойные покрышки автомобильных шин не оправдывают надежды их изобретателей. И это зависит не только от качества материалов, но и от точности проведенных расчетов для выяснения сопротивления трехслойной конструкции внешним воздействиям. Неоднородность структуры такой оболочки по толщине требует учета работы слоя заполнителя при поперечном сдвиге и поперечном сжатии, а также приводит к необходимости проводить сопряжение слоев.
В работе [1] достаточно подробно излагается теория пологих трехслойных оболочек конечного прогиба. Ниже будут приведены основные разрешающие уравнения этой теории. Для расчета частот колебаний трехслойной цилиндрической оболочки мы сохранили все обозначения, принятые в вышеупомянутой работе. Для успешного применения на практике таких оболочечных конструкций необходимо заранее получить значения частот и форм свободных колебаний. Этим исследованиям и посвящена статья. Иллюстрации, представленные в данной работе, позволяют не только увидеть, но и проанализировать реальные деформационные процессы, происходящие на поверхностях трехслойных оболочек.
1. Общая теория тонких упругих оболочек при конечных прогибах. Рассмотрим круговую цилиндрическую трехслойную оболочку радиуса Я и длины 1 (рис. 1). Принимая за исходную срединную поверхность заполнителя, наряду с декартовыми координатами (х, у, г) введем координаты (х, з), измеренные, соответственно, по образующей и дуге круга нормального поперечного сечения. Внешний и внутренний несущие слои предполагаются изотропными материалами, а заполнитель — трансверсально изотропным.
Рис. 1. Фрагмент трехслойной оболочки: 1 — первый слой; 2 — второй слой; 3 — третий слой (заполнитель).
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257) © С. Б. Филиппов, Н. В. Наумова, Д. Н. Иванов, 2007
Далее используются следующие обозначения:
Н. —толщина слоя с номером к (к = 1, 2, 3);
Н — толщина стенки оболочки;
Е. и V. —модуль Юнга и коэффициент Пуассона к-го слоя;
О — модуль поперечного сдвига заполнителя;
т — нормальное перемещение точек исходной поверхности (прогиб);
оц ■ (§£) —закон распределения поперечных сдвигов по толщине заполнителя в направлении х или в.
Как уже отмечалось выше, в работе [1] вариационным методом получены основные дифференциальные уравнения конечного прогиба тонких упругих пологих трехслойных оболочек. При построении уравнений для несущих слоев используются гипотезы Кирхгоффа—Лява о прямой нормали. Для заполнителя используется гипотеза о несжимаемости материала в поперечном направлении, а также предполагается, что деформация поперечного сдвига по толщине заполнителя распределена согласно некоторому заданному закону. В расчетных задачах в качестве заполнителя была выбрана резина, так называемый легкий заполнитель. В этом случае функция распределения сдвигов — /(г) = г. Несущие слои были сделаны либо из никеля, либо из стали.
Кроме того, для более компактной записи формул введем, так называемый приведенный коэффициент Пуассона:
2. Свободные поперечные колебания трехслойной цилиндрической оболочки. В случае отсутствия внешних сил линеаризованные уравнения малых поперечных колебаний трехслойной цилиндрической оболочки, согласно [1] и [2], примут вид
осредненный модуль упругости:
безразмерные жесткостные характеристики и безразмерные толщины слоев:
Тогда, очевидно, для 'ун и іи выполняются равенства
(1)
Третье слагаемое уравнения (2) представляет собой инерционную силу, приходящуюся на единицу поверхности. Здесь в записи pH подразумевается суммирование
рЬ = ^2 Рк Ьк
к=1
_2
оператор Лапласа V = а связь между функциями х и м осуществляется по
формуле
и’=(1-^2)*
Выражение для коэффициента в, связанного с модулем поперечного сдвига заполнителя О, можно найти в работах [1] и [2]. Цилиндрическая жесткость Б составной трехслойной цилиндрической оболочки и коэффицинт в вычисляются по формулам
Б =
ЕЬ3
12(1 - V2) ’
0, в =
0103 — 02
070
(3)
01 = із2
1 + 2 (71 + 72) - 3 (71 - 72)"
02 = 3£з7з (7141 + 7242) + 67172^3 (41 + ¿2),
©з = 4 (71^12 + 72^22) - 3 (7141 + 7242)2 ,
0 = 4з2 + 471 (4з2 + 3414з + 2412) .
Для свободно опертой замкнутой цилиндрической оболочки граничные условия имеют вид
Е = У2Е = х = У2х = У2У2х = 0 при х = 0 и х = 1. (4)
Систему уравнений (1)—(2) с помощью введения разрешающей функции хі,
Х^2У2хь Р=^-—[1-—Уг)х ъ
ЕЬ д2
Ь2
К дх2 \ в можно свести к одному дифференциальному уравнению ( вЪ? 2\ 2 2 2 2 ЕЬ д4 ( Ь2 2\
° Iі “ Т* ) ^ + Ж а? (11 - Т7 ) *■ =
(5)
Тогда граничные условия (4) относительно функции хі примут вид
(6)
х1 = У2х1 = У2У2х1 = У2У2У2х1 = У2У2У2У2х1 = о при х = 0 и х = 1. (7)
Решение уравнения (6) в случае свободно опертой цилиндрической оболочки ищется в виде
XI = Хое 81П -
/ 008 я
(8)
где т — число волн по образующей цилиндра, п — число волн по окружности, ш — круговая частота поперечных колебаний, хо —постоянная. Подставляя (8) в (6), получим формулу для определения круговой частоты колебаний рассматриваемой оболочки:
ББ4 1
дЬ? \ ЕЬ /Ш7г\4
Гз~в) + к2 V і )
1 -*В
/3
1
(9)
где
*=-((х)2+©>
Здесь важно отметить, что в работе [1] приводится другая формула для определения круговой частоты колебаний, которая не может быть использована для практических расчетов, поскольку содержит несколько опечаток. Минимум выражения (9) достигается при значении т =1, что соответствует наличию одной полуволны вдоль образующей цилиндрической оболочки.
В качестве примеров были рассмотрены цилиндрические оболочки [3], имеющие длину 2 м и радиус основания 1 м. В первом случае первый и второй слои оболочки имеют одинаковую толщину Н = 0.01 ми сделаны из никеля с коэффициентом Пуассона
V = 0.31, модулем Юнга Е = 1.8 • 1011 Н/ м2, плотностью р = 8490 кг/м3. Третий слой — заполнитель толщиной Н = 0.02 м изготовлен из резины с коэффициентом Пуассона
V = 0.499, модулем Юнга Е = 3.1 • 109 Н/ м2, плотностью материала р = 1150 кг/м3. Известно, что резина является легким заполнителем, т. е. деформации поперечного сдвига распределяются равномерно по толщине заполнителя.
Во втором и третьем случаях были рассмотрены аналогичные типы оболочек, но толщиной в четыре раза и в восемь раз меньше предыдущей.
Таблица 1
Толщины слоев, м Кол-во волн, п Частота колебаний, Гц, формула (9) Частота колебаний, Гц, МКЭ (АЖУЭ) Отн. погр., %
/11=0.01 /13=0.02 /12=0.01 3 195.6 177.3 9.4
/11=0.0025 /13=0.0050 /12=0.0025 5 98.2 94.0 4.2
/11=0.00125 /13=0.00250 /12=0.00125 6 69.3 67.3 2.8
Были получены результаты расчетов первой частоты колебаний трехслойных цилиндрических оболочек с условиями шарнирного опирания на торцах по аналитической формуле (9) и методом конечных элементов (МКЭ) с помощью пакета А^УБ [4, 5]. Они представлены в табл. 1.
При уменьшении общей толщины оболочки частоты колебаний также уменьшаются, при этом относительная погрешность между асимптотическими и численными результатами изменяется в пределах от 9.4% до 2.8%. При расчете частот колебаний методом конечных элементов в пакете А^УБ рассматриваемые оболочки разбивались на 50 элементов вдоль образующей цилиндрической поверхности и 50 элементов в окружном направлении. Расчет частот и соответсвующих им форм колебаний в пакете АМБУБ занимает не более пяти минут.
Ниже приведены формы колебаний рассматриваемых цилиндрических оболочек в предположении, что на края оболочек надеты шпангоуты, препятствующие поперечному смещению. На рис. 2-6 слева изображен вид сбоку на деформированную поверхность оболочки, а справа — поперечное сечение данной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси вращения оболочки.
Надо отметить, что частоты колебаний трехслойной цилиндрической оболочки близки к частотам колебаний однослойной, толщина которой равна суммарной толщине
Рис. 2. Первая форма колебаний трвхслойной цилиндрической оболочки толщиной Н = 0.04 м и длиной I = 2 м,
Рис. 3. Первая форма колебаний трвхслойной цилиндрической оболочки толщиной Н = 0.01 м и длиной I = 2 м,
Рис. 4. Первая форма колебаний трeхслойной цилиндрической оболочки толщиной Н = 0.005 м, длиной 1 = 2 ми условием шарнирного опирания.
Рис. 5. Первая форма колебаний тргхслойной цилиндрической оболочки толщиной Н = 0.005 м, длиной I = 4 ми условиями жесткого закрепления краев.
Рис. 6. Первая форма колебаний тргхслойной цилиндрической оболочки толщиной Н = 0.01 м и длиной I = 10 м.
стенки трехслойной оболочки с модулем упругости Е = 1.8 • 1011 Н/м2. Что касается форм колебаний трехслойных и однослойных цилиндрических оболочек, то можно заметить, что по общему деформационному виду они полностью совпадают. Если сравнить первые формы колебаний трехслойных цилиндрических оболочек с условиями шарнирного опирания (рис. 4) и с условями жесткой заделки на краях (рис. 5), то можно заметить безусловное влияние граничных условий во втором случае на форму колебаний. В этом случае частота колебаний увеличивается в 1.5 раза, а количество волн по параллели становится равным 7.
При увеличении длины трехслойной оболочки до 10 м первая частота колебаний уменьшается и становится равной 25.9 Гц и 33.8 Гц при расчете по формуле (9) и МКЭ, соответственно. В этом примере толщина оболочки и все свойства материалов были взяты такими же, как в задаче 1, а относительная погрешность между асимп-
тотическими и численными результатами уже значительная 23%. Количество волн в окружном направлении для достаточно длинных оболочек не превышает 2 (см. рис. 6).
Summary
S. B. Filippov, N. V. Naumova, D. N. Ivanov. Vibration of three-layered cylindrical shells.
Free vibrations of a thin three-layered cylindrical shell are analyzed. The analytical and finite element methods are used to obtain the vibration frequencies and vibrations modes. Comparison of numerical and analytical results is presented.
Литература
1. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973. 170 с.
2. Григолюк Э. И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М., 1997. 272 с.
3. Наумова Н. В. Расчет стержневых и оболочечных конструкций методом конечных элементов в пакетах ADINA и ANSYS: Учеб. пособие. СПб., 2004. 51 с.
4. Чигарев А. В., Кравчук А. С., Смалюк А. Ф. ANSYS для инженеров. М., 2004. 511 с.
5. Конюхов А. В. Основы анализа конструкций в ANSYS. Казань, 2001. 105 с.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
