CC BY
59
Куча Г.В., Мосалева И.И.
Оренбургский государственный университет E-mail: teorm@mail.osu.ru
КОЛЕБАНИЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ УСЛОЖНЯЮЩИХ ФАКТОРОВ
Предложена математическая модель, позволяющая определять частоты собственных колебаний тонкостенных стержней замкнутого профиля при различных значениях безразмерных параметров. Учет деформаций сдвига, эффекта Кармана и растяжения средней линии сечения при исследовании колебаний тонкостенного стержня позволил обнаружить дополнительную частоту и существенные различия в частотах, не учитывающих усложняющие факторы.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, замкнутый профиль, деформация сдвига, эффект Кармана, растяжение срединной линии, сечение.
Тонкостенные криволинейные стержни рассматривались в работах разных авторов, в частности, в работах Е.А. Бейлина и его учеников. В них изучались задачи определения напряженно-деформированного состояния с учетом эффекта Кармана для стержней замкнутого контура.
В [1, 2] была предложена динамическая теория тонкостенных криволинейных стержней с учетом сдвигов, инерции вращения сечений и эффекта Кармана.
В работе [3] рассматривались свободные колебания тонкостенного криволинейного шарнирно-опертого стержня, полученные на основании уравнений (1) динамической теории тонкостенных криволинейных стержней, представленные в [2].
В данной работе исследуется колебания прямолинейного тонкостенного стержня замкнутого контура. На основании следующих уравнений [3]:
, д 2Z aG "dt2 - ~КІ
* a ( Z і є'-Z-P' - cf" EF / Z
R V / R V K /
= о;
pF 0 - EF dt2
Z e'V aG Z R
+ -
RK
a
L V
- cf2
= о;
т д2 в EI
pi—2.-ax —
dt2 B
а,в" + -^- (f "2 + f) aL a ( , Z і є' + Z-P
RR -K R \
- cf2
= 0;
(1)
pF d f2 ^22E
1 n2. 2^2 pF22 - 2
pF, R'd + F2
d 21T-f, - 12V f2 ) + ^ dt2 I2R1 K,
R 2dq>2dt2
a ( Z і є' + Z-P' 1 -
R V /
IEI
P1
* d2 dt2
( ал R1
bRR1 EI
aiP'+l^ (/2 + gfi)
Rb
a
RR1
1
RR1
+ I
v * /2 = 0;
P
1 I E
ів' + — ((2 + gf,) +jW- (2WF1 +12V f2 )= 0.
12 R4
+
+
Обозначения соответствуют принятым в [3].
В данной работе рассмотрим частный случай уравнений для прямолинейного стержня. Примем радиус кривизны Я срединной линии сечения стержня равным «> и приходим к следующим уравнениям (2):
pF Щ. -^L [('-£')- cf"] = о;
dt2 K, ' 2
■d!l dt2
pF^f - EFS" = 0;
Р/
д2 в «]Е1 aG г ¡г, „\ ,л
тт —т~ав’--;г[( — в)—/ ]=0;
ді Ь К
(2)
Рр2 ^ ^ ((/і - І2Г/2 ) + К [(.§'-в')-/] + /2 Р / = 0;
ді2 /2 К/ К р
_* УУ Р/
Л
Л,
+ (/жР + /2У/2 ) = 0.
/ 2 Л
Выбираем решения данной системы, удовлетворяющие условиям шарнирного закрепления. Разделив переменные по методу Фурье, принимаем решение в виде
Я*
Я
Я
(3)
/1 = А4/ш sin-; /2 = А5/ш sin-; Я =—,
Я*
Я
_/_
пп
где I - длина стержня, п - число полуволн.
Подставим (2) в (1), получим систему алгебраических уравнений относительно амплитуд А1
^ 2 л аО
— sFю А2----------
2 К
( / і > / "
а —А2--+А3- , 2 Я2 3 Я ) + СА5 —
5 Я2 _
= 0;
2 аі2 ЕО аО
— sFю А3--------------^т- А3---------
3 ьіЯ2 к
\
—А2 Я2 ~ Аз
—са5 -5 Я
= 0;
— s/*± А4Ю2 + ^ (А — /уА, ) = 0; Кі 12 Кі
(4)
•^2^ А5--------(1 ( А4 — 12уА5 )+ ——
К1
12
а
/ \
л 1 л 1 — А0 —+ Агу —
2 Я2 3 Я
+ ЄАг- + 12 — А-5 Я у р* 5
= 0
Предположим, что деформации срединной линии контура сечения равны нулю. Тогда, используя условия нетривиальности решения, придем к частному определителю (5) четвертого порядка относительно со*2, где со* - безразмерная частота.
^ // Ьу // = 0(, ] = 1,2.),
где
Ь23 = 0; Ь24 =
аОе
КіЯЕ/
ьзі = —
сОГ F КЯЩ
Ь32 = —
сОа/ 4 Р КЯЩ
, = /2а>/2у/4Р ;
°33 = "
/ 2 К/ /Р2
(5)
, а2 О/4 *2 а2Ое/
ьіі =ТТ^7 — ю ; ьі2 ='
ЬіЯ2 Е/
КіЯЕ/
2 4 2 4
, *2 /2>/4Р с2 О/4 Р
Ь34 = ю + - 2К
/Кі2/Р2 к1яе/р2
Ь13 = 0; Ь14 _
аОе/ 4 КіЯ2 Е/
/ 2 / 4 Р
Ь41 = 0; Ь42 =0; Ь43 = ^2 Ю
42 /2/2
Ь21 =
а2 О/ 4 Р
=
а2 / 4 Р
КіЯЕ// ’ 22
Ь1Я2 /
*2 а:2 О/ 4 Р — — ю +■
КіЯЕП
Ь = /2ю/2ГР
Ь44 =
/2/2
; ю =
ю
*2
/ 4рР
ЕЇ
Раскрывая частный определитель, приходим к частному уравнению (6) 4-й степени относительно ю = ю .
а*4 + т1а*3 +т2ю*2-т3ю* + т4 = 0 (6)
Уравнение (6) дает четыре спектра частот, что соответствует четырем формам собственных колебаний стержня и описывает изгибно-про-дольные сдвиговые колебания.
Пронумеруем частоты полученного спектра. Первая полученная частота ю* соответствует преимущественно искажениям контура сечения от его изгиба. Две последующие частоты ю\ *
и ю3 связаны с преимущественно продольными движениями оси стержня и растяжением серединной линии контура сечения.
На основании уравнения (6) были вычислены частоты собственных колебаний шарнирно-опертого тонкостенного стержня кольцевого сечения при
С* I
— = 0.02, — = 20, — = 2Я. (рис. 1)
Сплошными линиями на графике обозначены зависимости, учитывающие все усложняющие факторы (искажения контура от изгиба,
Рисунок 1. Частоты собственных колебаний шарнирно-опертого тонкостенного стержня кольцевого сечения
растяжения серединной линии, а также деформации сдвига поперечного сечения); штриховые линии отвечают частотам колебаний, подсчитанным без учета искажения контура, и, наконец, штрихпунктирные линии относятся к частотам, вычисленным по классической теории (без учета деформаций сдвига и искажения контура).
Кратко охарактеризуем полученные результаты. На графике приведены зависимости безразмерной частоты ю * для замкнутого профиля от числа полуволн п.
Кривая I соответствует низшей частоте и относится к колебаниям с преимущественно из-гибными деформациями стержня. Из графиков следует, что пренебрежение искажением контуров и деформации сдвига существенно сказывается на значениях частот; отмеченное особенно отчетливо проявляется при увеличении числа полуволн п (I, I', I' ).
Кривая II относится к обнаруженному нами типу колебаний, в которое основной вклад вносит искажение контура сечения. Снижение градиента изменения а * с увеличением числа п объясняется тем, что с увеличением числа полуволн количество переменных формы искажения сечения увеличивается и относительный вклад
^5 _ _
в величину частоты ю и при переходе от п -ой к п + 1-ой форме уменьшается.
Кривая III соответствует колебаниям, в которые основной вклад вносят деформации удлинения оси контура. Кривая VI соответствует спектру колебаний с преимущественно продольными деформациями сдвигов весьма незначительно.
На основании полученного решения можно сделать следующие выводы:
1. Учет эффекта Кармана и растяжения срединной линии сечения оказывает существенные изменения частот свободных колебаний тонкостенного стержня замкнутого контура.
2. Построенная теория дает возможность получить дополнительную частоту колебаний стержня, в которую основной вклад вносит эффект Кармана (кривая II на рисунке 1).
10.07.2012
Список литературы:
1. Корбут Б.А., Лазарева Г.В. (Куча Г.В.) О динамической теории тонкостенных криволинейных стержней // Прикл. механика. - 1982. - Т. XXIII. - №5. - С. 98-104.
2. Куча Г.В., Рухлина А.Н. Динамическая теория тонкостенных криволинейных стержней замкнутого профиля / ОГУ. -Оренбург.
3. Бейлин Е.А., Лазарева Г.В. (Куча Г.В.) Определение частот свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных криволинейных стержней с учетом деформации вращения сечений /Ленингр. инж.-строит. ин-т. - Л., 1985. - 13 с. Деп. ВИНИТИ, 20.08.85 № 6143-85 ДЕП.
Сведения об авторах:
Куча Галина Васильевна, доцент кафедры теоретической механики Оренбургского государственного
университета, кандидат технических наук, доцент Мосалева Ирина Ивановна, старший преподаватель кафедры теоретической механики Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 4505, тел. (3532) 372563, e-mail: teorm@mail.osu.ru
UDC 519.86:534.114 Kucha G.V., Mosaleva I.I.
Orenburg state university, e-mail: teorm @mail.osu.ru
FLUCTUATIONS OF THE THIN-WALLED CORE IN VIEW OF COMPLICATING FACTORS
The account of deformations of shift, effect of the Karman and stretching of an average line of section at research of fluctuations of a thin-walled core will allow to detect additional frequency and essential distinctions in the frequencies which are not considering complicating factors. The mathematical model, allowing to define frequency of own fluctuations of thin-walled cores of the closed structure is offered at various values of dimensionless parameters.
Key words: the thin-walled core, the closed structure, deformation of shift, effect of the Karman, a stretching of a median line, section.
Bibliography:
1. Korbut B.A., Lazareva G.V. (Kucha G.V.) About the dynamic theory of thin-walled curvilinear cores // Prikl. mechanics. -1982. - Vol. XXIII. - №5. - P. 98-104.
2. Kucha G.V., Ruhlina A.N. Dynamic theory of thin-walled curved rods closed profile / OSU. - Orenburg.
3. Beilin E.A., Lazarev G.V. (Kucha G.V.) Definition of free frequencies of flexural-torsional vibrations of thin-walled curved rods with consideration of deformation rotation sections / Leningr. ing.-builds. ying-t. - L., 1985. - 13 p. Chairman. TECHNICAL INFORMATION, 20.08.85 No. 6143-85 STA
