CC BY
47
2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА № 85
серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники. Безопасность полетов
УДК 51.31.375.02
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ С ВЫРЕЗАМИ И ТРЕЩИНОЙ
Л.В. МОСКАЛЕНКО
Статья представлена доктором технических наук, профессором Умушкиным Б.П.
Расчет колебаний прямоугольной пластины с отверстием или трещиной, края которых параллельны краям пластины, производится методом функций влияния с помощью суммирования основного и компенсационного напряженных состояний. Компенсационные напряжения определяются из условия обнуления силовых факторов на контуре отверстия или трещины. В статье приведены описание экспериментальной установки, методика и результаты экспериментальных исследований, хорошо согласующиеся с расчетными данными.
Амплитудные перемещения основного напряженного состояния прямоугольной пластины с размерами сторон а и b от гармонической нагрузки q sin ût равны
Здесь q - амплитудное значение внешней распределенной нагрузки, Атп - коэффициенты ряда для функции динамической податливости (функции Грина дифференциального оператора уравнений колебания пластины).
Основное напряженное состояние характеризуется наличием напряжений в пластине
mpx . npy
— sin —:
a b
cm ----------cm
mpx . npy
xq
mpx . npy
— sin--------,
a b
s
yq
m ,n=1
sin------------sin —:
a b
mpx . npy
Здесь индексы х и у указывают на направления действия напряжений, а д - соответствует обозначению нагрузки
3 2
m mn
D(~ + ~bT) qNx ______ a ab
22 r/^m n \2 ^ i 2n mn[(—— + ту) D - phv ]
a2 b2
32
^,n m n,
D(U+ _^T)
GNy ___________b a b_________
mn 2 2 ’
r/^m n \2 ^ i 2n mn[(—— + —^) D - phv ] a2 b2 22 m2 m2
D(— + ¿—) z^Mx a a
mn 2 2 !
г/^m n x 2 „ 2
mn[(—— + —) D -phv ]
a2 b2
22
mm D(12 + ^_T)
GMy ________b_____a_______
mn 2 2 !
r/^m n \2 ^ i 2n mn[(—— + —^) D - phv ] a2 b2
GH =-----
h d(1+m)
22 i г/ n 4 2 _ , 2
rnb[(-^- + —)2 D - phm2 ]
a2 b2
Напряженно-деформированное состояние пластины с вырезом может быть получено суммированием этих напряжений с напряжениями от компенсационной нагрузки, обнуляющей силовые факторы по контуру отверстия.
Частоты собственных колебаний пластины с прямоугольным отверстием определяются из
условия разрыва функции динамической податливости пластины с вырезом Г (x, y, X, h, W )
по параметру т. Частотное уравнение получается, полагая amn _ 0 .
Опуская промежуточные выкладки, можно записать частотное уравнение такой пластины в виде
2 2
T^,m n ч2 1 2гг1 1 ^ . mm, . /ИЩ
D(— + -Т)2 -phar{{1 -- £ ^m-{(sin-----------------Lsin^—L +
a b 2 mv=1 a a
. mma2 . mma2 4rT b . n-v r n-v r ,
+ sin------2sin--------)|bn +-----------(sinm-b2 -sinm-------------b) +
a a m(n-v) b b
b n + v n + v r 4n . . nmh . vm
+-----------(sinm-----b2 - sinm---------b.) I - (sin---1sin------L +
m(n + v) b 2 b 1 b b
. плЪ2 . vmb9.r a . . m -m
+ sin--------sin---2)[am +----------------(sinm------a. -
b b m(m -m) a
т — и 1 , . т + и т + и ,ЛЛЛ
- Бтт-------— а2) +-----------------------------(Бтт-— -бшр-— а1)}}} = 0
а р(т + и) а2 а
Анализ этого уравнения позволяет утверждать, что левая часть уравнения обращается в бесконечность при тех значениях а, которые соответствуют точкам разрыва • Эти точки
совпадают по а со значениями частот собственных колебаний пластины без отверстия. При увеличении и уменьшении значения а левая уравнения имеет разные знаки, при этом между точками разрыва изменяется монотонно, обращаясь в ноль по крайней мере один раз. Можно также утверждать, что первое нулевое значение левой части уравнения лежит по значению а выше первого значения частоты собственных колебаний пластины без выреза .
Отсюда следует вывод о том, что пластина с вырезом имеет дискретный спектр частот собственных колебаний. При этом плотность спектра частот пластины с отверстием не ниже плотности спектра частот соответствующей пластины без выреза.
Частотное уравнение для пластины с трещиной, параллельной оси у, с началом в точке у = Ь1 и концом в точке у = Ь2 на расстоянии от х = 0, равном а1, имеет вид 2 2
т^,т п Ч2 1 2{П 1 ^ Л г/о • тт . ит\ Г1
Д— + Т2)2 — ^2{{1—- X ^Ьп +
а Ь 2 ип=1 а а
Ь , . п—у7 п—У7.
(Бтт-------Ь2 — Бтт-------------Ь1) +
m(n - v) b b
b , . n + v , n + v, Nn
(sinm--b2 - sinm----------b. )J +
£ =
m(n + v) b b
. nmb, . vmb, . nmb2 . vmb2. _ _
+ 2(sin-----Lsin----- + sin----2 sin---2)am}}} = 0
b b b b Если трещина начинается у края пластины b1 = 0, то уравнение несколько упрощается
2 2
т^.ш n ,2 1 2 ^ а V • mm1 . mm ,,
D(—^ + -у) -phw + У A [sin-------------------1sin-----1(bn +
a b mv=\ a a
b n -v 7 b n + vr4n^
+-----------sinm-------b2 +-------------sinm-----b2 )I = 0
m(n -v) b m(n + v) b
— = — = к = b b= h
Пусть = p, 7 =к, где рик- целые числа. Обозначив a = , Р=~Г
У a. b1 А F a b
ЕРР
12(1 -l)
2 , получим уравнение в оптимальных параметрах
со
G(Я2m2 + n2)2 - ppeo2 + X —-^-2—----------------------------—^[sin sin—(n +
m + n
mv
4a . mm . mm
=1 G(12m2 +v2)2 - ppo2 p p
1 n-v 1 n + v m . m . m_
+--------sinm-----1-------sinm-----) +— sin—sin—] = 0.
m(n -v) к m(n + v) к a к к
Для определения частот собственных колебаний пластины, параллельной оси у, имеющей начало координат в точке х = а, служит следующее частотное уравнение
. mm . mm sin----sin----
1 - У ------------2------2---------------[1 + _^sinn-v +
mv1 ^[mi'(i2m2 +v2)2-w2] m(n v) p
1 . n + V-, _
+----------sin------] = 0.
m(n - v) p
В этом уравнении использованы обозначения
2 ^t-jl4
a . b fí_b 2 o phb
2=— Я = - Р = — W2 =
a1 ’ a’ b2 ’ m D
В частном случае, когда начало трещины располагается на середине стороны а (у = 2), частотное уравнение приобретает вид
1 1 . n - v 1 . m(n + v)
1 +--------sin-------1---------sin----------
1 - y m(n - v) p m(n +v) p = 0
m d
m,v m^ [mv(i2m2 +v2)2 -w 2]
С погрешностью порядка до 14 - 16 процентов квадрат приведенной частоты колебаний 1-го тока может быть определен по формуле
/ 2 1Ч2 4b4 1 . 2m
W2 = (a2 +1)2 —— (1 +—sin—)
m D 2m p
Более высокую точность определения квадрата приведенной частоты дает выражение
W2 = (a2 +1)2 (a2 + 4)2(4a2 + 4)2 -
64b3 1 . m 1 . 3m4/1 1 . 2m4/1 1 . 4m
(1 +—sin— +—sin —)(1 +—sin —)(1 +—sin —).
m12 D3V m p 3m p v 2m p v 4m p
кг кг
Для пластины из алюминиевого сплава ( Е = 0,7 "10 2 и плотностью р = 2,8 3 )
см м
с относительной толщиной р = 2 -10 —3 получим кубическое уравнение относительно квадрата частоты Q = а2
10.97 10—24 О3 — 2.849 10—17 О2 + 2.949 10—8 О — 5.91 = 0
Решение его по формулам Кардано дает
о = 971Гц,
что в 3,09 раза превышает значение частоты собственных колебаний пластины без трещины.
Объектом экспериментального исследования являлись квадратные в плане алюминиевые пластины с тонкими прорезями, имитирующими трещины различной длины. Прорези
начинаются со средины одной из сторон и располагаются параллельно краю пластины. Экспериментальная установка (рис. 1) обеспечивает свободное опирание краев пластины.
Рис. 1. Схема лабораторной установки
Гармонические колебания пластины возбуждаются с помощью электромагнита 6, питание обмотки которого осуществляется переменным напряжением, подаваемым от звукового генератора 5 через усилитель. Частота колебаний устанавливается вращением ручки 4, расположенной в центре лимба звукового генератора. Система измерения включает пьезоэлектрический вибропреобразователь 1, электронно-лучевой осциллограф 2 и частотомер 3. Края пластины закреплены в специальных устройствах (рис. 3), смонтированных на массивных опорах. Верхняя и нижняя опорные рамы выполнены таким образом, чтобы обеспечивалось свободное безмо-ментное опирание края пластины профилированным кольцом 5. Сборка конструкции производится затяжкой болтов.
Эксперимент производился на четырёх квадратных пластинах размерами сторон 250 мм и толщиной 2 мм с разными длинами трещин: 0,25; 0,33; 0,5; 0,75 от длины пластины. На рис.2 показана зависимость частоты собственных колебаний от относительного размера трещины 1, равной отношению длины трещины к размеру стороны пластины.
Результаты экспериментальных исследований подтверждают расчёты по приведенной выше методике. Действительно, трещина с относительной длиной, равной 0,75, приводит к увеличению частоты свободных колебаний первого тона в 3,05.
Это хорошо согласуется с результатами расчёта -разница составляет 11%.
то
600
600
$00
* X
!~ло расчёту
0,2
0#
0,6
Л
Рис. 2. Зависимость собственной частоты от относительной длины трещины
Важным выводом из этих результатов является возможность использования методов вибродиагностики для обнаружения трещин, которые невозможно обнаружить визуально
Рис. 3. Опорное устройство
RIPPLING OF A REKTANGULAR PLATE WITH AN APERTURE OR CRACK
Moskalenko L.V.
The account of a rectangular plate with an aperture or crack, which sides are directed in parallel to sides of a plate, is made by a method of functions of influence with the help of summation of the basic and compensatory pressure. The compensatory pressure is determined from a condition of absence of the factors of force on contour of an aperture or crack.
Сведения об авторе
Москаленко Лада Вячеславовна, окончила МИИГА (1993), старший преподаватель кафедры двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, область научных интересов - динамика и прочность летательных аппаратов.
