CC BY
39
УДК 539.3
А.В. ПЛАЩИНСКАЯ
Институт механики им. С.П.Тимошенко HAH Украины, Киев, Украина
РОСТ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ
КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОДНООСНОМ АСИММЕТРИЧНОМ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
Рассматривается задача о росте усталостной трещины, выходящей из концентратора напряжений, в тонкой пластине конечных размеров при одноосном многоцикловом асимметричном нагружении. В качестве концентратора напряжений рассматривается эллиптическое отверстие. Численно-аналитическое решение задачи получено на основе феноменологической двустадийной модели роста усталостной трещины и критерия эквивалентных напряжений, сводящего асимметричный цикл нагружения к эквивалентному по времени разрушения симметричному циклу. Результаты расчета по модели для алюминиевых пластин удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: усталостная трещина, асимметричный цикл нагружения, пластины конечных размеров, эллиптическое отверстие, одноосное растяжение-сжатие, повреж-денность, пластическая зона.
Введение
Исследования в области прогнозирования долговечности конструкций, подверженных сложному комплексу статических и циклических нагрузок, связаны с определением кинетики усталостного разрушения. Многие элементы конструкций в турбомашиностроении, судостроении, авиации, например, обшивка несущих плоскостей, обшивка фюзеляжа, элементы горячей части турбодвигателей представляют собой тонкие пластины с различного вида отверстиями, выемками, надрезами, которые являются «инициаторами» усталостного разрушения. Таким образом решение задач усталостного разрушения пластин с концентраторами напряжений с учетом асимметрии цикла нагружения представляет практический и теоретический интерес.
Решение проблемы экспериментальным путем связано с проведением сложных, экспериментов, дорогостоящих натурных испытаний и получения на их основе эмпирических зависимостей.
Настоящая работа является развитием теоретического подхода [1,2], основанного на совместном рассмотрении концепций механики разрушения и механики непрерывной повреж-денности. На основе феноменологической двух-стадийной модели роста усталостной трещины получено численно-аналитическое решение задачи о распространении усталостной трещины в пластинах конечных размеров с центральным эллиптическим отверстием и как частным слу-
чаем - круговым отверстием, при асимметричном одноосном растяжении-сжатии. 1. Постановка задачи
Рассматривается тонкая пластина (рис.1)
V
тттттттт
Рис . 1 . Схема нагружения пластины
длиной Н, шириной W , ослабленная центральным эллиптическим отверстием с полуосями а , Ь и двумя симметрично расположенными трещинами начальной длины И 0 , выходящими из контура отверстия. Берега трещины и контур отверстия свободны от нагрузки . Пластина находится под действием одноосной циклической нагрузки, вызывающей номинальные циклические напряжения 5
(1)
© А.В. Плащинская, 2013
где ат и аа — среднее и амплитудное напряжения цикла;
д(-) — известная периодическая функция числа циклов нагружения п (п = й);
I — физическое время;
Г — частота нагружения .
Задача заключается в определении функциональной зависимости между переменными, характеризующими кинетику роста трещины, параметрами нагружения, набором коэффициентов и материальных констант С; (1 = 1,к) вида
, (2)
при одноосном асимметричном циклическом растяжении-сжатии.
Усталостную трещину рассматриваем как узкую щель, у вершины которой под действием циклического нагружения формируется тонкая концевая зона, где сосредоточены все неупругие эффекты, напряжения в которой ограничены пределом текучести материала [—сту,сту].При этом весь основной массив пластины деформируется линейно-упруго .
Решение задачи состоит в совместном решении краевой задачи теории упругости с подвижной границей при плоском напряженном состоянии и эволюционного уравнения накопления усталостных повреждений.
Напряженное состояние пластины в произвольный момент времени п, согласно принципу подобия, определяется из тех же соотношений, что и при статическом нагру-жении . Таким образом, система разрешающих уравнений включает:
1. Уравнения равновесия
дстхх(п) , дтху(п)^0
(3)
Эх ду
атху(п)| Эстуу(п)_0
дх ду
2. Уравнения совместности д2
( а2
ах2 ду2
^х (п)+Оу (п))=0
(4)
3. Граничные условия для пластины, представленной на (рис. 1), имеют вид
/ ч Н Н
ахх(п)соз(у,х)=0, х = ±у ~—<у< —
ауу(п)-со8(у,у)= ±5, О у = 0
, Н ^ \У
у = ±—;--<х< —
2 2 2
(5)
- ёд < X < ёд 0 < П < П* ■ <1(п)< X < <1(п) П >- П*
где V — нормаль к боковой поверхности,
ё0=а + £0, (1(п)=а + ^(п).
4. Критерий эквивалентных напряжений сводит асимметричное циклическое нагруже-ние к эквивалентному по числу циклов разрушения п = пк симметричному циклическому нагружению [2]
Стя =<Уц
2 ов
-Л
(6)
где ста — амплитудное напряжение эквивалентного симметричного цикла;
Т1 — коэффициент чувствительности асимметрии цикла.
5. Соотношение для определения длины циклической пластической зоны по модифицированной модели Дагдейла при циклическом нагружении [3]
'лКе^А^"2
Х(<1(п) =
^ а
2сту
(7)
где ДК^ = Ктах — эффективный коэффициент интенсивности напряжений при симметричном цикле нагружения.
6. Эволюционное уравнение накопления усталостных повреждений, описывающее процесс распространения усталостной трещины
0ю(х, п)
дп
АоечУ(х,п) 1 — со
с начальными условиями ю(х,0)= 0 |а>(х,пк)=Г
(8)
(9)
где ш(х,п) — скалярная функция поврежден-ности, определяющая уровень повреждений в произвольной точке х в момент времени п;
АстеЧу(х,п) — размах эквивалентного напряжения;
Б и д — коэффициенты, определяющие сопротивление материала усталостному разрушению.
2. Распределение напряжений по фронту трещины
Напряженное состояние в окрестности вершины трещины вдоль оси ОХ определяется из решения системы уравнений (3)-(5). В качестве эквивалентного напряжения, согласно критерию максимальных напряжений, рассматриваем напряжение Стуу(х,п). В общем виде распределение напряжений вдоль фронта рас-
пространения трещины по оси ОХ (у = о) при п >- п„ можно записать следующим образом Астуу(х,и) =
[-ау,сту]
d(n)
i¡2 \х-d(n)
Н b d(n)
[W'a' W ,
|x| < d(n)
, (10)
|x|>d(n)+^(d)
а в течение инкубационного периода 0 < п < п*
имеет вид (10) при а(п) = а0. Здесь Х(с10) и
А.(с1(п)) — начальная и текущая длина тонкой циклической пластической зоны, которая формируется в вершине усталостной трещины за инкубационный период и на стадии роста трещины соответственно;
/HL b d(n)4 W' а' W ,
— корректирующая функция,
l-(l + q)D
n,
xj
= (l + q)D
V2.
do 1 2 .f 'H a d04
d(n) + Md(n) -d0 1 4W'b' W,
dT =
n.
r~ \q
V2J '
d(x)
(11)
d(n) + X(d(n) -d(x)
W b w J
M dn
1 + -
[2^(d(n) ] 2"1
r SaVd-f Гн ъ 4_)y
V [wV w JJ
1 " 1 " q ~2X(d0)" q 2 •f 'H b do' -q
(l + q)D .5a. L do J
(12)
где первое уравнение описывает стадию роста трещины, а второе — длительность инкубационного периода.
Длина циклической пластической зоны с учетом конечности размеров пластины и асимметрией цикла нагружения определяется из соотношения
н ъ d(n)V2
та5я ■ f
W a W
2ст\
d(n) (13)
учитывающая влияние граничных условии и построенная аппроксимацией множества численных решении для трещин дискретной длины
3. Определяющие уравнения модели роста усталостной трещины
Интегрируя уравнение (8) с учетом начальных условии (9), распределения напряжении у вершины трещины (10) и двухстадиИности процесса усталостного разрушения получаем уравнение движения фронта разрушения в
точке с координатоИ х„ = d(n) + А,^(п))в момент времени
4. Определение коэффициентов уравнений и материальных констант
Для решения задачи по соотношениям (12) необходимо определить crY, ^в , а также коэффициенты D , q и ri •
Величины aY, сгв определяются по результатам стандартных испытаний гладких цилиндрических образцов на кратковременную прочность, непосредственно по диаграмме растяжения « о - е ».
Коэффициенты D, q определяются из базовых экспериментов по усталостному разрушению гладких цилиндрических образцов в условиях симметричного растяжения-сжатия аппроксимацией экспериментальных данных уравнением
nR=[(l + q)D(aa)q]-l, (14)
где nR — число циклов до разрушения гладкого цилиндрического образца.
Коэффициент ^ — характеризует чувствительность материала к асимметрии цикла на-гружения и определяется из экспериментов на усталость гладких цилиндрических образцов в условиях растяжения-сжатия при различных степенях асимметрии цикла путем минимизации функционала
Ф
Длительность инкубационного периода
определим из (11) при условии п = п* в точке
с координатой х, = d(0) +
Решая уравнение (11) с использованием преобразования Лапласа, получаем систему уравнений (12)
V к
Z
1=1
СТВ
.л
i-l,k
(15)
V
X N [CTai 1
1°в J I CTn J
где ста1 и стт. — амплитудное и среднее напряжения г -того асимметричного цикла;
о„ - предел усталости симметричного цик- получим выражение для определения ц в виде
ла нагружения соответствующие одинаковой долговечности п . Представляя
К
2 СГВ
(16)
1-1 2
Я Ш;
2 ств
(17)
Полученные из экспериментальных данных [4] значения коэффициентов для алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6 сведены в табл.1.
Таблица 1 — Механические свойства и материальные константы алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6
Сплав CTY, МПа сгв, МПа D, (МПа9 • цикл)-1 q Л
2024-T3 353 489 7,45 •lO-26 8,28 2.37
7075-T6 523 571 3,33-10-29 9,23 3.57
5. Решение задач
Определим зависимость длины трещины
I от числа циклов нагружения п в пластинах из алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6 (рис.1) шириной Ж = 0,305 м, длиной Н = 0,891 м с центральным эллиптическим отверстием с полуосями а = 0,8-10"3 м, Ь = 8- а и двумя симметрично расположенными трещинами начальной полудлины £0 = 0,8-10"3 м при многоцикловом асимметричном одноосном растяжении-сжатии .
Решение задачи сводится к интегрированию уравнения для скорости усталостной трещины в системе (16) с учетом (17)
П =П»
a+i(n)
Х J '
a+i0
1-1 2
2а
в J
2Л
1 + 1
. Я)
1
(18)
.ffiL Ь а-к ' [wV W 1
4<Т\
(19)
a W W ) \а W Да W W 1 v
с учетом обозначений 8 = b/a, a = 2(a + ^(n))W, y = 2a/W
ф(5, а) = (7i^(tga0 +gsm2a0)/a0 • •(l + e2(2-s)(l-s) -Vl + 2g)/(rt-l)
v|/(8, у, a) = h(3p% - 2VhpP),
g(8) = 0,B[(2/Ti)arctg5]2 e(8,a) = a(2/7i)arctg(0,6^8),
(20)
(21) (22) (23)
, (24)
V /
h(8) = 1 + (2/ji)arctg(l,5V8),
(25)
(l + q)D
Выражение корректирующей функции, используемое при решении данной задачи, построенное на основе аппроксимации численного решения, представлено в работе [5] и имеет вид
а0=тх/2, р = (а-у)(1-у) (26) Результаты расчета зависимости длины трещины с концентратором 2d(n) = 2(а + ^(п)) по модели для пластин из алюминиевого сплава 2024-Т3 с эллиптическими отверстиями различного вида при а = const (8 = 3 (линия 1); 8 = 1 (линия 2); 8 = 0,5 (линия 3); 8 = 0,001 (линия 4)) при напряжении сттах = 138МПа и отнулевом цикле нагружения (R = 0) представлены на (рис.2) и сопоставлены с экспериментальными данными (о).
ю4 ю5 N, цикл
Рис. 2. Влияние формы отверстия на зависимость длины трещины от числа циклов нагружения при а - const (8 = 3
1), 8 = 1 (линия 2), 8 = 0,5 (линия 3), 8 = 0,001 (линия 4)), (—) — расчет; (о) — эксперимент для кругового отверстия
Результаты расчета зависимости длины трещины i от числа циклов нагружения для пластин с круговым отверстием (а = Ь) из алюминиевых
сплавов 2024-Т3 (стах=138 МПа (линия _ 1), 100 МПа (линия — 2), 69 МПа (линия — 3)) и
7075-Т6 (атах =207 МПа (линия — 1), 138 МПа
(линия — 2), 69 МПа (линия — 3)) представлены на (рис. 3а), (рис. 3б) соответственно и сопоставлены с экспериментальными данными (о, А, 0) [6].
Результаты расчета попадают в 90% доверительные интервалы . Таким образом, получено удовлетворительное согласование — как ка-
Рис. 3. Зависимость длины трещины от числа циклов нагружения в пластине с круговым отверстием (Я = 0):
а) - алюминиевый сплав 2024-ТЗ (атах= 138МПа(1,о); = 100 МПа; (2, А); 0^ = 69 МПа (3,0);
б) -алюминиевый сплав 7075-Т6. (от„ =207 МПа (1, о); а = 138 МПа; (2, Д); атях = 69 МПа (3,0).
чественное, так и количественное расчетных данных с экспериментальными .
Заключение
На основе теоретической двухстадийной модели роста усталостной трещины с использованием критерия эквивалентности напряжений, сводящего асимметричное циклическое нагружение к эквивалентному по числу циклов нагружения получено численно-аналитическое решение задачи о росте усталостных трещин в тонких пластинах конечных размеров с центральным эллиптическим отверстием при одноосном асимметричном нагружении . Показано влияние формы концентратора напряжений, в зависимости от соотношений полуосей эллиптического отверстия, на кинетику роста усталостной трещины. Результаты расчетов зависимости длины трещин от числа циклов нагружения для пластины с круговым отверстием при различных уровнях приложенного нагружения удовлетворительно согласуются - как качественно, так и количественно с экспериментальными данными.
Литература
1. Голуб В.П. Феноменологическая модель роста усталостной трещины в идеально-пластических бесконечных пластинках при одноосном симметричном знакопеременном нагружении [Текст] /В.П. Голуб, А.В. Плащинская //Прикл. механика. — 2005. - Том 41 (51), №12. - С. 116-127.
2. Плащинская А.В. Кинетика роста усталостных трещин в тонких пластинах конечных размеров при асимметричном нагру-жении [Текст] /А.В.Плащинская //Вюник НТУУ КП1 Машинобудування. - 2010. -С. 189-194.
3. Newman J. C., Jr. FASTRAN-II - A fatigue crack growth structural analysis program [Тех^ /J.C.,Jr.Newman. - NASA-TM-104159, 1992. - 103 р.
4. Grover H.J. Axial-Load Fatigue Properties of 24S-T and 75S-T Aluminum Alloy as Determined in Several Laboratories [Тех^ / H.J. Grover, W.S. Hyler, P. Kuhn, C.B. Landers and F.M. Howell. - NACA TN-2928, 1953. - 64 р.
5 . Саврук М.П . Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами [Текст] /М.П.Саврук //Механика разрушения и прочность материалов. — Т. 2 //Киев: Наукова думка. — 1988. — 618 с.
6. Illg W. The rate of fatigue-crack propagation for two aluminum alloys [Text] /W.Illg, A.J., Jr.McEvily // NACA TN 4394, 1958. - 47 p.
Поступила в редакцию 06.06.2013
A.B. Плащинська. Розповсюдження трщин втоми в тонких пластинах кшцевих po3Mipie з концентраторами напружень при одновгсному асимметричному розтягу-стиску
Розглядаеться задача про розповсюдження трщини втоми, що виходить з концентратора напружень, в тонкт пластиш ктцевих розм1р1в при одновсному багатоцикло-вому асиметричному навантаженш. В якост1 концентратора напружень розглядаеться елттичний отв1р. Чисельно-аналтичнершення задач1 отримано на основ1 феноменолог1чно! двустадийному модели розповсюдження трщини втоми i критерию екв1валентних напружень, що зводить асиметричний цикл навантаження до еквiвалентного за часом руйнування симетричного циклу. Результати розрахунку за моделлю для алюмшевих пластин задовыьно узгоджуються з експериментальними даними.
Ключов1 слова: трщина втоми, асиметричний цикл навантаження, пластина ктцевих розмiрiв, елттичний отвiр, одновсний розтяг-стиск, пошкодження, пластична зона
A.V. Plashchynska. Fatigue crack growth in a thin finite plate with a stress concentrator under uniaxial asymmetrical tension-compression
The problem of fatigue crack growth from a stress concentrator in thin finite plates under high-cyclic uniaxial asymmetrical loading is considered. As a stress concentrator is considered an elliptical hole. The numerical analytical solution is obtained on basis of fatigue crack growth two-stage theoretical model and equivalent stresses criterion reduced asymmetrical loading to equivalent symmetrical cyclic loading on rupture time . The calculation results using model agree well with those obtained by experiment.
Key words: fatigue crack, asymmetrical loading cycle, thin finite plates, the elliptical hole , uniaxial tension-compression, damage, the plastic zone.
