CC BY
2
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ И ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРАКТИКЕ INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN PRODUCTION AND INDUSTRIAL PRACTICE
05.14.01 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И КОМПЛЕКСЫ
COMPLEX POWER SYSTEMS
DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-4-28-33
Vibrations
of an Infinite Piece-homogeneous Two-layer Plate under the Influence of Normal Load
M.L. Djalilov1' a ©, R.Kh. Rakhimov2' b ©
1 Fergana branch of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad Al-Khorazmiy,
Fergana, Republic of Uzbekistan
2 Institute of Materials Science of the SPA "Physics-Sun" of the Academy of Science of Uzbekistan, Tashkent, Republic of Uzbekistan
а E-mail: mamatiso2015@yandex.ru b E-mail: rustam-shsul@yandex.com
Abstract. This article examines the effect of normal load on an infinite piecewise homogeneous two-layer plate when the materials of the upper and lower layers of the plate are elastic. The transverse displacement of the points of the contact plane of a two-layer plate is determined, satisfying the approximate equation obtained in [1], in the case of replacing viscoelastic operators with elastic Lyame coefficients, respectively. For a rectangular infinite two-layer piecewise homogeneous plate under non-zero initial conditions, the frequencies of natural oscillations are calculated and an analytical solution to this problem is constructed. The obtained theoretical results for solving dynamic problems of transverse oscillation of piecewise homogeneous two-layer plates of constant thickness, taking into account the elastic properties of their material, allow us to more accurately calculate the transverse displacement of the points of the contact plane of the plates under normal external loads.
Key words: fluctuation equations, two-layer plate, displacement, elastic, viscoelastic, edge conditions, initial conditions, operator, factors of Ljame, differential equation, integral of Fure, complex frequency
FOR CITATION: Djalilov M.L., Rakhimov R.Kh. Vibrations of an Infinite Piece-homogeneous Two-layer Plate under the Influence of Normal Load. Computational Nanotechnology. 2021. Vol. 8. No. 4. Pp. 28-33. DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-4-28-33
In real structures, the destruction of their elements is usually accompanied by impact loads.
In this work, a solution is constructed on the vibrations of an infinite two-layer plate under the action of a normal load applied to the surface of a two-layer plate.
The problem is reduced to solving an approximate equation for the transverse displacement W of points of the contact plane of a two-layer plate of constant thickness, obtained in [1] and [2].
dt4 д4 W
dt4
Ql f d^W 1 + Q2 U^-W 1 + Qs (AW ) + Q4 [d^W ,+
dte
+Q5 +Q [A2ddW | + Q7 (A3 W) = F(x, y, t),
(1)
Assuming the load F(x, y, t) to be even in (x, y), the transverse displacement W will be sought in the form of the Fourier integrals
W = J J W0 cos (kx)cos (qy )dkdq.
(2)
Substituting (2) into equations (1), for W0 we obtain the ordinary differential equation
W0VI+ AW™ + AWO + A3W0 = F0 (k, q, t ), (3)
where the coefficients A and F0(k, q, t) are equal:
* - q'-Y2q5 . * y2(q2-Y2q6). *
1 Q ' 2 Q4 ' 3 Q
where the coefficients Q. are determined by the formula obtained in [2].
F0 (k, q, t ) = JJ F (x, y, t )cos (kx) cos (qy )dx dy,
VIBRATIONS OF AN INFINITE PIECE-HOMOGENEOUS TWO-LAYER PLATE
UNDER THE INFLUENCE OF NORMAL LOAD
Djalilov M.L., Rakhimov R.Kh.
and the coefficients Q'. are determined by the formulas
Q' = p2 (1 + ftp)2;
Q2=-2P22 (2 ( + hDi )(1 + hp) + + (p -1)((1 + h)-(Do + hDip)));
Q3= 4( -i)(P2Do + h2Di + 2hPD); Q4 = -6 P22 ((3h2p2 + (1 + 4hp)) (2 - Do ) + +h2p (3 + hp(hp + 4 ))(2 - D1 )) ;
Q5 = P2 ((2P2 (4Do (1 - Do ) +1) + ( -1) (4 - DO )) --ph2p2 (2 ( - 4D1 -1)) -1) D1 (2 - D1 )) +
+ 6h2 (p (4 (P22Do + D1 ) + (P2 -1) (2P2 (1 - Do ) - P2D1 (2 - Do ) + + D1 (1 + Do ))) + P2 (1 + p2 )) + 2h (2P2 p(2 + 4 Do - Do2 )-- h2 (2P2 - P2D1 + 5D1 - D12 )) + (P2 -1) (4 - 3Do ) + +2D1 (4 - Do )) + 2P2hp2Do (4 - D1 ));
Q6 = J P2 (2Do (3P2 - 4Do -1) + (P2 -1) (2 + 9Do - )) +
+h4P2P(4D1 (1 -2D1 ) -4D1 + (P2 - 1)D1 (3- D1 )) + +3h2 (4P2DO (P2 (1 - D1 ) - D1 ) - (P2 -1) (2 (P2 -1) D1 (1 - Do ) -
-P2 (2 - Do - 4 Do D1 )) + pp( 4D1 (1 + Do + p Do )-
- (P2 -1) (6Do D1 (P2 -1) - 6P2 Do + D1 ))) + +2hp (2 (2D1 (1 + 2Do ) + (P2 -1) (1 + 2Do - Do2 )) +
+h2 (2 ( -1)+D1 (P2+3))--4P2 pDo (1 + ho2 (2 ( -1) (1 - D1 ) + P2 D1 + (1 + D1 )))));
Q7 = 3 (P2DO (4DO - 5 (P2 -1) + h4D1 (4D1 - (P2 -1)) -
-3h2 (8P2 Do D1 + (P2 -1) (3P2 Do - (2P2 +1) Do D1 - D1 (1 - D1 ))) ■ -4hP2 Do (2D1 + (P2 -1)) + h12 (2 (P2 -1) + (P2 +1) D1 ))) and y is determined by the formula
V = №2 + d, and immeasurable parameters were introduced:
A.
h
Pi.
Pù'
h = P = i^., b = P2
bù
bi '
Hi'
D =-
0 2(1 - v0) 1 2 (1 -Vl)
For i; from equation (3) we obtain the frequency equation
e + Ag + + A3 = 0. (5)
frequency equation (5) has purely imaginary roots, i.e., frequencies of own fluctuations.
Then, the common decision of the homogeneous differential equation (4) is equal
Applying a method of a variation of any constants, for C
we will receive:
C' =
(i ((2-(2 )((2-(3 )
C'=-
(1 ((2 -(2 )((2-(3 )
Fosin ((it );
F0cos ((it );
C3 = -
C4 =
(2 ((2-(2 )((1 -(3 )
Fosin((2t );
(7)
C ' =
C6=-
(2 ((2-(2 )((1 -(3 ) 1
(3 ((2-(2 )((2-(3 )
1
(3 ((2-(2 )((2-(33 )
Focos ((2t ); Fosin ((3t ); Focos ((3t ).
(4)
private decision of the differential equation (3) we will write down in a kind
W =
1
((2 -(2 )((2 -(3 )((3 -(2 )
xj^L-äJF0(k, q, Z)sin[(1 (t-0]dZ +
(i 0
JFo (k, q, Z)sin[(2 (t-Z)]dÇ +
(2 0
(8)
(2 -(
2Jfo(k, q, Z)sin[(3(t-Z)]dçl.
0
Satisfying with a zero initial condition, i.e.,
d5Wn
W _ dWa_ d2Wa
dt dt2
dt5
= 0,
(9)
We find that C[ = C2'
C6 = 0. Then, the decision
of a problem for displacement W looks like cos(kx)cos(qy)
0 0
((2 -(2 )((2 -(3 )((3 -(2 )
(2h( (1 0
2 r_2 t
3Jp(k, q, Z)sin[(1 (t-Q]dÇ-
(10)
J Fo (k, q, Z)sin [(2 (t-Z)] dZ-
(2
j>o (k, q, Z)sin [(3 (t-Z)] dzldk dq,
20
£2 t2 t
30
Let, if
F(x, y, t) = a05M5(y)6(z),
where a0 - constant of dimension of pressure; 5(Z) - Dirac delta function.
Then, problem decisions will register in a kind
cos(kx)cos(qy)
52 -52.
Wog = C cos (^t) + C2 sin(2|1t) + C3 cos (ht) + +C4sm(^t ) + C5cos (h3t ) + C6sin(hst ).
(6)
W=CTo i i (52-52 )(53-53 )(53-52 )
+ 53z5[sin(i;2i +sin(53i )
i5it ) +
(11)
dk dq.
X
1
1
2
3
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ И ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРАКТИКЕ
INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN PRODUCTION AND INDUSTRIAL PRACTICE
CONCLUSIONS
From the analytical decision of a problem on influence of normal loading on a surface of a two-layer plate follows that the deflection depends on geometrical and mechanical characteristics of a material of a plate, and also allows to describe precisely enough tensely - the deformed status of a plate in its any point eventually.
References
1. Rakhimov R.H., Umaraliev N., Jalilov M.L. Vibrations of two-layer plates of constant thickness. Computational Nanotechnology. 2018. No. 2. ISSN 2313-223X. (In Rus.)
2. Jalilov M.L., Rakhimov R.Kh. Analysis of the general equations of the transverse vibration of a piecewise uniform viscoelastic plate. Computational Nanotechnology. 2020. Vol. 7. No. 3. Pp. 52-56.
3. Filippov I.G., Egorychev O.A. Wave processes in linear viscoelastic media. Moscow: Mashinostroenie, 1983. 272 p.
4. Chetaev N.G. Stability of motion. Moscow: Nauka, 1990. 176 р.
5. Achenbach J.D. An asymptotic method to analyze the vibrations of elastic layer. Trans. ASME. 1969. Vol. E 34. No. 1. Pp. 37-46.
6. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotropic Timoshenko beam. J. Compos. Mater. 1970. Vol. 4. Pp. 404-416.
7. Gallahan W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates. Quart. Appl. Math. 1956. Vol. 13. No. 4. Pp. 371-380.
8. Dong S. Analysis of laminated shells of revolution. J. Esg. Mech. Div. Proc. Amer. Sac. Civil Engrs. 1966. Vol. 92. No. 6.
Джалилов М.Л., Рахимов Р.Х.
Колебания бесконечной кусочно-однородной двухслойной пластинки под воздействием нормальной нагрузки
М.Л. Джалилов1 ©, Р.Х. Рахимов2, b ©
1 Ферганский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий,
г. Фергана, Республика Узбекистан
2 Институт материаловедения Научно-производственного объединения «Физика-Солнце» Академии наук Республики Узбекистан,
г. Ташкент, Республика Узбекистан
а E-mail: mamatiso2015@yandex.ru b E-mail: rustam-shsul@yandex.com
Аннотация. В данной статье рассматривается воздействие нормальной нагрузки на бесконечную кусочно-однородную двухслойную пластинку, когда материалы верхнего и нижнего слоев пластинки упругие. Определено поперечное смещение точек плоскости контакта двухслойной пластинки, удовлетворяющее приближенному уравнению, полученному в работе [1], в случае замены вязкоупругих операторов на упругие коэффициенты Ляме, ц0 соответственно. Для прямоугольной бесконечной двухслойной кусочно-однородной пластинки при ненулевых начальных условиях, вычисляются частоты собственных колебаний и строится аналитическое решение данной задачи. Полученные теоретические результаты для решения динамических задач поперечного колебания кусочно-однородных двухслойных пластин постоянной толщины, с учетом упругих свойств их материала, позволяют более точно рассчитывать поперечное смещение точек плоскости контакта пластин при нормальных внешних нагрузках.
Ключевые слова: уравнение колебаний, двухслойная пластинка, смещение, упругий, вязкоупругий, граничные условия, начальные условия, оператор, коэффициент Ляме ц0, дифференциальное уравнение, интеграл Фурье, комплексная частота
ССЫЛКА НА СТАТЬЮ: Джалилов М.Л., Рахимов Р.Х. Колебания бесконечной кусочно-однородной двухслойной пластинки под воздействие нормальной нагрузки // Computational nanotechnology. 2021. Т. 8. № 4. С. 28-33. DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-4-28-33
В данной работе строится решение о колебаниях бесконечной двухслойной пластинки под действием нормальной нагрузки, приложенной к поверхности двухслойной пластинки. В реальных конструкциях разрушение их элементов обычно сопровождается нагрузками ударного типа.
Задача сводится к решению приближенного уравнения для поперечного смещения W точек плоскости контакта двухслойной пластинки постоянной толщины, полученного в работах [1] и [2].
* № J+ * HW J+ * ^)+* (dW1+
+Q5 [Д^ | + * [Д2dW | + Q7 (Д3 w) = F(x, у, t)
dt4
, d2 W
dt
(1)
где коэффициенты й. определяются по формуле полученного в работе [2].
Считая нагрузку Я(х, у, ■) четной по (х, у), поперечное смещение W будем искать в виде интегралов Фурье
W = J J W0 cos (kx) cos (qy )dk dq.
(2)
Подставляя (2) в уравнения (1), для W0 получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
< + АХ" + АХ0 + А3\М0 = F0 (к, q, t), (3)
где коэффициенты А. и Я0(к, q, ■) равны:
а=; а а, 14
Q4
Q4
04
F0 (k, q, t ) = JJ F (x, y, t )cos (kx) cos (qy )dx dy,
а коэффициенты Qj определяются по формулам
Q' = P22 (1 + hp)2;
Q2=-2P22 (2 ( + hDi )(1 + hp) + + (P2 -1)((1 + h)-(D0 + hDip)));
Q'= 4(P2 - 1)(P2Do + h2D1 + 2hPD);
Q4=—- P22 ((3h2p2 +(1 + 4hp))(2 - Do) + +h2p (3 + hp(hp + 4 ))(2 - D1));
(4)
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ И ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРАКТИКЕ INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN PRODUCTION AND INDUSTRIAL PRACTICE
= -6 р2 (( ( (1 - D0) +1) + (р -1) (4 - D02)) --рh2p2 (( - 4Dl -1) - (р -1) Dl ( - Dl)) + + (р (4 (( + Dl) + ( -1) )2Р2 (1 - Dо) - (2 - ^ ) + + Dl (1 + Dо))) + Р (1 + р2)) + 2h (2Р2 р(2 + 4Dо -Dо2 )--h2 (2Р2 - Р2^ + 5Dl - D¡)) + (Р2 -1) (4 - 3Dо) + + 2Dl (4 - Dо)) + 2P2hp2Dо (4 - ^));
06 = 3 Р (2Dо (3Р2 - 4Dо -1) + (Р2 -1) (2 + 9Dо - 3D¡)) + +^Рр(4Dl (1 -2^) -4Dl + (Р2 -1) (3- D1)) + +3^ (4P2Dо (Р2 (1 - Dl) - Dl) - (Р2 -1) (2 (Р2 -1)1 (1 - Dо) -(4) -Р2(2-Dо -4^Dl)) + Рр (4^(1 + Dо + Р2Dо)-- (Р2 -1) (о Dl (Р2 -1) - 6Р2 Dо + Dl))) +
+2hP2 (2 (2Dl (1 + 2Dо) + (Р2 -1) (1 + 2Dо - D¡)) +
+h¡ (2( -1) + Dl (Р2 + 3))--4Р2 pDо (1 + (2 (Р2 -1) (1 - ^) + Р2 Dl + (1 + Dl)))));
= 3 (P2Dо (4Dо - 5 (Р2 -1) + ^^ (4Dl - ( -1)) --3h2 (8Р2 ^^ ^^ + (Р2 -1) (ЗР2 ^о - (2Р2 +1) Dо ^ - Dl (1 - ^))) --4hP2 Dо ( + (Р2 -1)) + h¡ (2 (Р2 -1) + (Р2 +1))))
и у определяется по формуле
V = ^ (*2 + ЧЧ), и введены безразмерные параметры:
h = И, р = Р1; ь = ^ Р2 = h0 р0 Ь! ^
D = 1 = 1 0 = 2(1-ио); 1 = 2(1-^1)-
Для ^ из уравнения (3) получаем частотное уравнение
е + А^4 + Л2е + А3 = 0. (5)
Частотное уравнение (5) имеет чисто мнимые корни, т.е. частоты собственных колебаний.
Тогда, общее решение однородного дифференциального уравнения (4) равно
с; =
с5 =
сб=-
52 ((2-52)(51 -53)
1
53 (52 -52 )(52-53) 1
5з (52 -52)2-53)
Fo cos (52^); Fosin fef); Focos fef).
Частное решение дифференциального уравнения (3) запишем в виде
W =
1
(52-52 )(2 -53 )(53 -52)
Ь(, q, Z)sin[5i(t-Z)]dZ +
I 51 0
+5f52JF0 (k, q, Z)sin[52 (t-Z)]dZ +
52 0
+ 5f52 jFo (k, q, Z)sin [5з (t-Z)] dz"[.
5з 0 J
Удовлетворяя нулевым начальным условием, т.е.,
W =d2w=...=0,
(8)
dt dt2
dt5
(9)
находим, что С( = С!1 = ... = С6' = 0. Тогда, решение задачи для смещения W имеет вид
0 0
s(kx)cos(qy)
(52 -52 )(52 -53 )(53 -52)
xjV3 iF0 (k, q, Z)sin [5! (t-Z)] dZ +
l 51 0
JF0 (k, q, Z)sin [52 (t-Z)] dZ +
52 0
JF (k, q, Z)sin [5з (t-Z)] dZ ldk dq,
5з 0 J
(10)
Если
F(x, y, t) = o05(x)5(y)6(z),
где а0 - константа, размерности напряжения; 5(0 - дельта-функция Дирака.
Тогда, решения задачи запишется в виде
^ = Clcos ) + C2 sin(2|1t) + C3COS (^) + W = a0 JJ( ^(fOS) )
, г , /■ -,,,/f Л , г л (6) 0 0 Isi sj 1^2 S^1^3 SiJ
+С4^п(^ ) + C5cos (^ ) + С65т(^ ).
Применяя метод вариации произвольных постоянных, для С' получим:
52 -53 .,
Si
(5if)
+ k_Asin(52t ) + + Sin(53t)
52 53
(11)
dk dq.
C' =
1
5i (2-S3 )(52 -53)
C2=-
5i (52 -52 >(253 -53)
Fosin fof >;
F0cos (5it >; (7)
C3=-
52 (52 -52 >(552 - 53 >
ВЫВОДЫ
Из аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагрузки на поверхность двуслойной пластинки следует, что прогиб зависит от геометрических и механических характеристик материала пластинки, а также позволяет достаточно точно описать напряженно - деформированное состояние пластинки в любой ее точке с течением времени.
ю сс
Джалилов М.Л., Рахимов Р.Х.
Литература
1. Рахимов Р.Х., Умаралиев Н., Джалилов М.Л. Колебания двухслойных пластин постоянной толщины // Computational Nanotechnology. 2018. № 2. ISSN: 2313-223X.
2. Jalilov M.L., Rakhimov R.Kh. Analysis of the general equations of the transverse vibration of a piecewise uniform viscoelastic plate // Computational Nanotechnology. 2020. Vol. 7. No. 3. Pp. 52-56.
3. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. 272 с.
4. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176 с.
5. Achenbach J.D. An asymptotic method to analyze the vibrations of elastic layer // Trans. ASME. 1969. Vol. E 34. Nо. 1. Рр. 37-46.
6. Brunelle E.J. The elastics and dynamics of a transversely isotropic Timoshenko beam // J. Compos. Mater. 1970. Vol. 4. Рр. 404-416.
7. Gallahan W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates // Quart. Appl. Math. 1956. Vol. 13. Nо. 4. Рр. 371-380.
8. Dong S. Analysis of laminated shells of revolution // J. Esg. Mech. Div. Proc. Amer. Sac. Civil Engrs. 1966. Vol. 92. Nо. 6.
Статья проверена программой Антиплагиат
Рецензент: Раджапов С.А., доктор физико-математических наук; ведущий научный сотрудник Физико-технического института НПО «Физика-Солнце» АН РУз
Статья поступила в редакцию 25.01.2021, принята к публикации 01.03.2021 The article was received on 25.01.2021, accepted for publication 01.03.2021
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Джалилов Маматиса Латибджанович, кандидат технических наук; заведующий кафедрой «Компьютерные системы» Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий. Ташкент, Республика Узбекистан. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9471-4893; E-mail: mamatiso2015@yandex.ru Рахимов Рустам Хакимович, доктор технических наук, профессор; заведующий лабораторией № 1 Института материаловедения Научно-производственного объединения «Физика-Солнце» Академии наук Республики Узбекистан. Ташкент, Республика Узбекистан. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6964-9260. E-mail: rustam-shsul@yandex.com
ABOUT THE AUTHORS
Mamatisa L. Djalilov, Cand. Sci. (Eng.); Head at the Department "Computer Systems" of the Fergana branch of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad Al-Khorazmiy. Tashkent, Republic of Uzbekistan. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9471-4893; E-mail: mamatiso2015@yandex.ru Rustam Kh. Rakhimov, Dr. Sci. (Eng.); Head at the Laboratory No. 1 of the Institute of Materials Science "Physics-Sun" of the Republic of Uzbekistan. Tashkent, Republic of Uzbekistan. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6964-9260; E-mail: rustam-shsul@yandex.com
