CC BY
14
2019. 15(6). 470-476 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS
Динамика конструкций и сооружений Dynamics of structures and buildings
DOI 10.22363/1815-5235-2019-15-6-470-476 научная статья
УДК 539.3
Свободные колебания анизотропной прямоугольной пластинки на неоднородно вязкоупругом основании
В.Дж. Гаджиев1, Г.Р. Мирзоева1*, М.Г. Агаяров2
1Национальная академия наук Азербайджана, Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вагабзаде, 9 2Сумгаитский государственный университет, Азербайджанская Республика, AZ 50008, Сумгаит, 43 квартал *[email protected]
Аннотация
В рамках поставленной цели рассмотрены свободные и поперечные колебания, неоднородные по трем пространственным координатам прямоугольных пластин, лежащих на неоднородно вязкоупругом основании. Предполагается, что краевые условия являются однородными. В исследовании разработано замкнутое решение для задачи о свободной вибрации неоднородной прямоугольной ортотропной пластины, опирающейся на неоднородный вязкоупру-гий фундамент. Модули Юнга и плотность ортотропной пластины непрерывно изменяются относительно трех пространственных координат, в то время как характеристики вязкоупругого основания изменяются в зависимости от координат в плоскости. Методы. Соответствующее уравнение движения получено с использованием классической теории пластин. В решении задачи применялись метод разделения переменных и метод Бубнова - Галеркина. Выводы. Определены явные формулы основного тона частоты поперечного колебания анизотропной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Детально изучено влияние неоднородности ортотропных материалов, неоднородности вязкости неупругих и упругих оснований на безразмерных частотах пластин.
Ключевые слова: пластинка; непрерывность; неоднородность; анизотропность; плотность; основания; частота; прогиб; уравнения движения
История статьи:
Поступила в редакцию: 17 сентября 2019 г. Доработана: 20 ноября 2019 г. Принята к публикации: 01 декабря 2019 г.
Благодарности
Соавторы благодарны научному руководителю Вагифу Гаджиеву за ценные советы при планировании исследования.
Для цитирования
Гаджиев В.Дж., Мирзоева Г.Р., АгаяровМ.Г. Свободные колебания анизотропной прямоугольной пластинки на неоднородно вязко-упругом основании // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 6. С. 470-476. http://dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2019-15-6-470-476
Введение
В настоящее время при строительстве крупных инженерных комплексов, мостов, эстакад, а также в машиностроении широко используются прямо-
Гаджиев Вагиф Джамал Оглы, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом теории упругости и пластичности Института математики и механики.
Мирзоева Гюлнар Ровшан Кызы, доктор философии по механике, старший научный сотрудник отдела теории упругости и пластичности Института математики и механики.
Агаяров Матлаб Гусейнгулу Оглы, доктор философии по математике и механике, доцент, директор Центра дополнительного образования.
© Гаджиев В.Дж., Мирзоева Г.Р., Агаяров М.Г., 2019
.-. This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0
International License
https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/
угольные пластинки, изготовленные из различных естественных и искусственных анизотропных материалов.
При расчете на устойчивость, определении частотно-амплитудных характеристик появляется необходимость учета влияния сопротивления окружающей среды при эксплуатации. Одновременный учет неоднородности, анизотропности и сопротивления внешней среды значительно осложняет математическое решение задачи. Неучет же этих факторов может привести к существенной ошибке (особенно в динамических задачах). Принимая во внимание, что в строительстве и в ряде других областей широко применяются непрерывно-неоднородные анизотропные прямоугольные пластинки, в данной
работе изучаются поперечные колебания этой же конструкции, но с учетом неоднородно вязкоупру-гого сопротивления.
Фундаментальная монография В.А. Ломакина посвящена теоретическим вопросам линейно неоднородных упругих тел. Здесь на основе построенной теории упругости непрерывно линейно-упругих тел решен ряд теоретических вопросов, связанных с изучением напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [1].
Монография Г.С. Лехницкого [2], посвящена теории однородных линейно-упругих анизотропных пластин и решению конкретных задач.
Исследование ряда теоретико-экспериментальных вопросов полимерных и композиционных материалов проведено в [3], где указано, что при изготовлении полосы-пластины после определенного технологического процесса модуль упругости и плотность являются периодической функцией координаты длины, коэффициент Пуассона остается постоянной величиной.
Колебание анизотропных пластин, лежащих на основании типа Винклера - Пастернака, описано в работе [4].
В [5] исследована приближенная методика расчета на устойчивость непрерывно-неоднородных прямоугольных пластин. Обстоятельно были изучены вопросы определения критических параметров оболочек с учетом сопротивления двухконстант-ного основания типа Пастернака [6].
В. А. Баженов [7] изложил теорию расчета прямоугольных пластин и круговых цилиндрических оболочек на изгиб и устойчивость, находящихся в упругой среде. Исследование вопросов колебания ортотропных неоднородных пластин с учетом сопротивления различного ряда упругой и вязкоупругой сред проведено в [8-11]. В качестве примера рассмотрены конкретные случаи характерных параметров, выполнены численные расчеты, результаты представлены в зависимости от параметра основания в виде таблиц и графиков.
В [12] проведены анализы колебаний прямоугольных пластин с учетом сопротивления неоднородной внешней среды.
В работе [13] - рассматривается задача свободного колебания упругой оболочки, лежащей на однородно вязкоупругом основании.
1. Постановка задачи
Как известно, при проектировании крупных инженерных сооружений, таких как мост, эстакада и других, широко используются прямоугольные пластинки, изготовленные из естественных и искусственных непрерывно-неоднородных анизотропных материалов.
Во многих случаях причинами появления неоднородности материалов являются технология изготовления (композитных, стеклопластиковых, армированных материалов), механическая и термическая обработка, сварка, неоднородность составов. В результате чего возможен случай, когда характеристики материала и его плотность одновременно могут быть функцией трех пространственных координат [1; 3].
Учет вышеуказанных свойств и сопротивление вязкоупругой среды осложняют математическое решение задачи. Анализ полученных результатов, а не учет, может привести к существенным погрешностям [8; 13].
В данной работе исследуется задача свободного колебания непрерывно-неоднородной анизотропной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Реакция основания Я с прогибом связаны следующим образом [8; 13]:
(
Я =
2 Л
КДх,у) + К2(X,у) —- w(х,у,) дt
(1)
где w - прогиб; t - время, К1(X, у) и К2(X, у) -непрерывные функции, которые характеризуют свойство основания.
Координатная система выбрана так, что оси X и У находятся в срединной плоскости, Z -перпендикулярно к ней.
Характеристики материала и плотность являются функциями трех пространственных координат:
а„ = а1М. х у Ш ^);
Р = Ро¥1( х, у)^2( 2 X
(2)
где а у и р0 - соответствует однородному анизотропному материалу; /Дх, у) со своими производными до второго порядка /2 (г), у/1 (х, у), у/2 (г) сами являются непрерывными функциями.
Связь между компонентами тензора напряжений о у и деформаций е у записывается в следующем виде [1; 2]:
°12 =
х у Ш2) (апеи + а М.х> у)/2(2) (а01е
х у Ш2) (а301еи + а
12е22 + а13е12 ,
а202е22
о
■ а23е12
е 22 + а33е12 ^ • (3)
0
'32 е 22
Полагая, что и для непрерывно-анизотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остается в силе, имеет место
е11 = е11 ~ 2Хп, е22 = е22 _ 2Х22, е12 = ^12 _ 2Х12> (4)
где е11, е22, е12 - малые деформации и х„, X22, Х12 -кривизны и кручения срединной поверхности с компонентами вектора перемещений (и, V, w) связаны следующим образом:
eii =
du dx
du dy
e22 ~ ; ei2
^ du du ^ +
V
dx dy
У
X11
d2 w
X22
S2 w
X12
d2 w
Oii = MX y)f2(z)
O22 = fi( X y)fl(.Z)
Oi2 = fi(X y)fiiz)
дх ду дхду
Учитывая (4) в (2) получим
(а^1е11 1 а12е22 1 а13е12 )-
(11 + а12Х22 + а03^12 ) "(а° е + а° е + а° е )-
21 21 22 22 23 12
( 0 1 0 1 0 \
—^а21Х11 + а22%22 + а23Х12 ^ "(а° е + а° е + а° е ) —
31 11 32 22 33 12 '(а31Х11 1 а32Х22 1 а:33Х12 )
(5)
- z
(6)
Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, естественно предположить, что результирующие силы Т11, Т22, Т12 всюду равны нулю -%. -%. -%.
| = 0; | о22ёг = 0; | <з12ёг = 0. (7)
Уг У. У2
Подставляя (6) в (7), получим
0 I о . о = а11е11 + а12е22 + а13е12 =
= 4 4 (аиХи 1 а12 Х22 1 а13 Х12 ),
0 , 0 . 0 = а21 е11 1 а22е22 1 а23е12 =
= 4 4 ((1X11 1 а22Х22 1 а23Х12 ),
a3iei1 + a32e22 + a33ei2
(8.1)
A2 Ai (a3lXl1 + a32X22 + a33Xl2 )•
Через
-Уг -Уг
Ai = J f2(z)dz; A2 = J zf2(z)dz
нетрудно установить, что с учетом (7) выражение моментов
Ыц =| I,] = 1,2. (8.2)
У.
Здесь Х11, Х22 и Х12 выражаются в следующем виде:
Mii = y) M22 = y) Mi2 = y)
^ d2W 0 d2W
0 ^ 0 - " 0 d2WЛ
^i—Y + a°2-TT + 43—
V
dx
dy dxdy у
f d2W 0 d2W
a
-+a
- +a
0 d2W ^
2i 2 22 ^ 2 23 ^ ^
dx dy dxdy
, (9)
^ d2W 0 d2W
a
•+a.
-+a
0 d2W ^
'3i ~ 2 32 ~ 2 23 - ~
dx 5у dxdy У
где приняты обозначения ц(х, у) = / (х, у);
- %
^0 = А2А- - 4; 4 =| /(г)г2Ж.
Уравнение движения свободного колебания пластинки с учетом (1) - (2) записывается в следующем виде:
d2 M,
■ + 2
d 2Mi2 d M
+
dx2
f Ki( x, y ) + K2 ( x, y) V ( x, y) +
dxdy dy2
_d
df
+P¥i( x, y )
d2W dt2
= 0,
(i0)
_ '2 где p = p0h J y2(z)dz.
Отметим, что если пластина неоднородна только по толщине, уравнение (10) принимает следующий вид:
д V
0 О W / 0 _ 0 0\
a^^-dxr+(a°2+2a2 + a32)
+a
d 4W dx2dy2 d4W ( 0 0 ^ d4W
-W+((°+ ''W+
d4W
/_ 0 ^ с W
+ ((2 + ai03 ))xdy3 +
+H0
^ d2 ^ Ki(x, y) + K2(x, y)— + dt
— d2 +P¥i(x, y) ^rj
W(x,y) = 0. (ii)
В случае, когда характеристики материала и плотность являются непрерывными функциями пространственных координат, уравнение движения записывается в следующем виде:
Ь(Ж) + КД х, у)Ж +
+(((х, у) + х, у))—) = О' (121)
В случае, когда пластинка неоднородна только по толщине, Ь(Ж) записывается так:
ных, а на втором этапе - метод ортогонализации Бубнова - Галеркина.
2. Метод решения
Решение (12.1) будем искать в следующем виде:
Ж (х, у, 0 = V (х, у)вш, (14)
где V (х, у) - должна удовлетворять краевым условиям; с - частота.
Подставляя (14) в (12.1) получим
ттъ о д4Ж / о о 0 о \ д4Ж
«(Ж) = < —^ + ( + 2^0 + а02 )—^ +
+ а
дх4 д 4Ж
дх ду
22
ду4
- (а103 + 2а°)
д 4Ж дх3ду
-(2а102
+а
о \
д 4Ж
дхду
3 •
(13)
В общем случае
ЦТ) =§
дх
д2Ж 0 д2Ж
а
+2
дц
дх
а
дх2
1 дх
+а
ду2
•+а3
д 2Ж дхду
-+а2
д3Ж йхду2
-+а
+ Ц
д4Ж
д4Ж
01 —++
д3Ж 13 дх2ду
дЖ
дх4
дх ду дх ду
+2'
д2ц
дхду
0 д2Ж 0 д2Ж 0 д2Ж а--+ а--+ а -
"31 -,..2 ^"32 ^,2 ^"33
дх2
ду
+4 ^
ду
+2ц
д 2ц
а,
д3Ж 0 д3Ж 0 + ао2—-— + а
дхду
д 3Ж
32 2
ду дх
33 2
а
+ о + о
I О л I
+2
ду2
дц
ду
дх3
д 4Ж 31 дх2ду2
" 0 д2Ж 0 д2Ж 0 дЖ
а--+ а--+ а -
21 ^ 2 ^"22 - 2 ^"23
ду4
дх ду
д4Ж 33 дх2ду2
2
дх2 д3Ж
а21 - 2 л. + а22
дх ду
ду2 д3Ж
ду
3 + а23
дхду
, д3Ж
дхду
+Ц
а.
д4Ж 0 д4Ж 0 д4Ж --+ а--+ а -
21 Я. 2 Я, 2 22 - 4 23 ^ - 3
дх2ду
ду4
дхду
. (12.2)
Как видно, (12.1) является сложным дифференциальным уравнением и определение точного решения затруднительно. Поэтому при решении уравнения (12.1) будем применять комбинированный способ: на первом этапе - метод разделения перемен-
Щ) + КД х, у V -
-ю
К2 (х, у) + (х, у — V = 0,
(15)
где
«V)=0
+2 ^
дх
а
а
д^К
дх2 д3V
о дУ о
+ а12 - 2 + а13
ду2
дх3
• + а.,
+ Ц
а
д 4V
д3V дхду2
д V
• + а.
д V
дхду д3V
дх 4
+ а° + а0 12 Я 2 я 2 ^"13
дх2 ду2
+2
д2ц
дхду
а
одЕ. + аод^ + ао
31 Я 2 32 Д 2 33
13 дх2 ду
д4У ' дх3ду
д 2V
дх2
ду2
+4 ^
ду
+2ц
д 2ц
а
31
а
ду 2
д ду
а
д3V дх3
д V
дх2 ду:
д 2V 21 дх2
+ О д V + о + а„ —---+ а.
дхду д3V
32 ду2дх
- + а,.
дУ ду4
- + а
33 дх2ду
д 4V 33 дх2ду2
+ о ¿Г + о дУ
+ а22 - 2 + а23
ду2
+2 ¿Ц
о + о + О
а21 - 2 л + а22 л. 3 + а23
дхду д 3V
дх ду ду
дхду
+Ц
а,,
дТ 0 д4V
• + а,,.
• + а2
д 4V
. (16)
дх2ду2 ^ ду4 ^ дхду3 Решение (15) будем искать в виде
V = 1 14(х)0; (у), (17)
¿=1 ]=1
где Ду - неизвестные постоянные и каждый фi (х) и у у (х) должны удовлетворять соответствующим
краевым условиям.
Функция ошибки п(х, у) в данном случае с учетом (15) и (17) записывается как
П( x, У) =
=XX A
К(фг ( x)e J ( y)) + k<( x, у)фг (x)e J ( y) -
ш
K2(x У) + PV(x, У) фг (x)e i (У)
¿=1 j=1
* 0. (18) Условия ортогонализации (17) и (18) имеют
вид
с b
JJn( x, у)ф k ( x) e , (y)dxdy = 0. (19)
0 0
Произвольное приближение ю2 - определяется из системы алгебраических линейных однородных уравнений (19):
ш2 = 0.
(20)
Относительно ю (20) является нелинейным
алгебраическим уравнением. Определение и нахож-
2
дение значения ю с помощью компьютерной программы не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике обычно ограничиваются определением основного тона частоты, что и приведет к следующему уравнению:
с b
J J
0 0
Дфг (x)9 j (y)) + *i( x, у)ф (x)0 j (y) -ю2 [K 2(x, y) + p^(x, y)] фк (x)6 p (y)
Отсюда находим:
dxdy = 0.
ш2 =
с b
Щдф (x)ej (y))+k<(x, у)фг (x)ej (y)]] dxdy
. 0 0_
с b
JJ[[K 2(x. У) + W(x, У)] фг (x)e j (y) dxdy
(21)
Из формулы (21) при условии К 2 = 0 получим
решение задачи для Винклеровского неоднородного основания.
Простым случаем является цилиндрическая форма изгибного колебания которая возможна при условии а >> Ь .
В этом случае частоты определяется из (21):
ш2 = -0-
и
J[ А(ф< ) + Kl( x)Фl( x) ] dx
P J у< ( x)ф1 ( x) dx
(22)
Заключение
Определены явные формулы основного тона частоты поперечного колебания анизотропной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Влияние неоднородности ортотропных материалов, неоднородности вязкости, неупругие и упругие основания на безразмерных частотах пластин детально изучены.
Список литературы
1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. С. 376.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. 625 с.
3. Кравчук А.С., Майборода В.В., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. С. 303.
4. Tornabene F. Free vibrations of anisotropic doubly-curved shells and plates of revolution with a free from meridian resting on Winkler - Pasternak elastic foundations // Compos. struct. 2011. No. 94. Pp. 186-206.
5. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. On the free vibration of orthotropic and inhomogeneous with spatial coordinates plates resting on the inhomogeneous viscoelastic foundation // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2018. Vol. 26. No. 10. Pp. 1-12. DOI: 10.1080/ 15376494.2018.1430271
6. Sofiyev A.H., SchnackE., Haciyev V.C., Kuruoglu N. Effect of the two-parameter elastic, foundation on the critical parameters of non-homogeneous orthotropic shells // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2013. Vol. 12. No. 05. 24 p. DOI: 10.1142/S02194554125 00411
7. Баженов В А. Изгиб цилиндрических оболочек в упругой среде. Киев: Высшая школа, 1975. С. 168.
8. Sofiyev A.H., Hui D., Haciyev V.C., Erdem H., Yuan G.Q., Schnack E., Guldal V. The nonlinear vibration of orthotopic functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic foundation within first order shear deformation theory // Composites Part B: Engineering. 2017. Vol. 116. Pp. 170-185. https://doi.org/10.1016/j .compositesb. 2017.02.006
9. Haciyev V.C., Mirzeyeva G.R., Shiriyev A.I. Effect of Winkler foundation, inhomogenecity and orthotopic on the frequency of plates // Journal of Structural Engineering Applied Mechanics. 2018. Vol. I. Issue 1. Pp. 1-15.
10. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. Free bending vibration analysis of thin bidirectional exponentially graded orthotropic rectangular plates resting on two-parameter elastic foundations // Composite Structures. 2018. Vol. 184. Pp. 372-277.
11. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Mirzeyev R.D. Free vibration of non-homogeneous elastic rectangular plates // Proceedings of the Institute of Mathematics, Azerbaijan. 1996. Vol. 4. Pp. 103-108.
12. Huang M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C. Free-vibration analysis of stepped rectangular plates res-
ting on non-homogeneous elastic foundations // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2015. Vol. 50. Pp. 180-187.
13. Carnet H., Lielly A. Free vibrations of reinforced elastic shells // Journal of Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. No. 4. Pp. 835-844.
RESEARCH PAPER
Free vibrations of anisotropic rectangular plate laying on a heterogeneous viscouselastic basis
Vaqif C. Haciyev1, Gulnar R. Mirzoeva1*, Matlab G. Agayarov2
1National Academy of Sciences of Azerbaijan, 9 B. Wahabzadeh St., Baku, АZ1143, Republic of Azerbaijan 2Sumgait State University, 43 quarter, Sumgait, AZ50008, Republic of Azerbaijan *[email protected]
Article history:
Received: September 17, 2019 Revised: November 20, 2019 Accepted: December 01, 2019
Acknowledgements
The coauthors are grateful to the scientific supervisor Vaqif Haciyev for valuable advice in the planning of the study.
For citation
Haciyev V.C., Mirzoeva G.R., Agayarov M.G. (2019). Free vibrations of anisotropic rectangular plate laying on a heterogeneous viscouselastic basis. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 15(6), 470-476. http://dx.doi.org/10.22363/ 1815-5235-2019-15-6-470-476. (In Russ.)
Abstract
The aim of the work. Free, transverse vibrations are considered heterogeneous along the three spatial coordinates of rectangular plates lying on an inho-mogeneous viscoelastic base. It is assumed that the boundary conditions are homogeneous. A closed solution for the problem of free vibration of an inhomoge-neous rectangular orthotropic plate based on an inhomogeneous viscoelastic foundation is developed in the article. Young's moduli and the density of the orthotropic plate continuously change with respect to three spatial coordinates, while the characteristics of a viscoelastic base change depending on the coordinates in the plane. Methods. The corresponding equation of motion is obtained using the classical theory of plates. The solution to the problem was constructed using the method of separation of variables and the Bubnov - Galerkin method. Results. Explicit formulas of the fundamental tone of the frequency of the transverse vibration of an anisotropic plate lying on an inhomogeneous viscoelastic base are determined. The influence of heterogeneity of orthotropic materials, viscosity inhomogenei-ties, inelastic and elastic substrates at dimensionless plate frequencies have been studied in detail.
Keywords: plate; continuity; anisotropy; density; bases; frequency; deflection; equations of motion
References
1. Lomakin V.A. (1976). Teoriya uprugosti neodno-rodnyh tel [The theory of elasticity of inhomogeneous walked]. Moscow, Publishing House of Moscow State University. (In Russ.)
2. Lehnitsky S.G. (1957). Anizotropnye plastinki [Anisotropic plates]. Gostekhizdat Publ. (In Russ.)
3. Kravchuk A.S., Mayboroda V.V., Urzhumtsev Yu.S. (1985). Mekhanika polimernyh i kompozicionnyh materi-
Vaqif C. Haciyev, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics.
Gulnar R. Mirzoeva, Doctor of Philosophy in Mechanics, senior researcher of Department of Theory of Elasticity and Plasticity, Institute of Mathematics and Mechanics.
Matlab G. Agayarov, Doctor of Philosophy in Mathematics and Mechanics Sciences, Associate Professor, Head of Additional Education Center.
alov [Mechanics of polymer and composite materials]. Moscow, Nauka Publ. (In Russ.)
4. Tornabene F. (2011). Free vibrations of aniso-tropic doubly-curved shells and plates of revolution with a free from meridian resting on Winkler - Pasternak elastic foundations. Compos. struct., (94), 186-206.
5. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2018). On the free vibration of orthotropic and inhomogeneous with spatial coordinates plates resting on the inhomogeneous viscoelastic foundation. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 26(10), 1-12. DOI: 10.1080/15376494. 2018.1430271
6. Sofiyev A.H., Schnack E., Haciyev V.C., Kuru-oglu N. (2013). Effect of the two-parameter elastic, foundation on the critical parameters of non-homogeneous orthotropic shells. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 12(05), 24. DOI: 10.1142/S02194554125 00411
7. Bajenov V.A. (1975). Izgib cilindricheskih obolo-chek v uprugoj srede [The Benching of the Cylindrical Shells in Elastic Medium]. Kiev, Vysshaya shkola Publ. (In Russ.)
8. Sofiyev A.H., Hui D., Haciyev V.C., Erdem H., Yuan G.Q., Schnack E., Guldal V. (2017). The nonlinear vibration of orthotopic functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic foundation within first order shear deformation theory. Composites Part B: Engineering, 116, 170-185. https://doi.org/10.1016/jxompositesb. 2017.02.006
9. Haciyev V.C., Mirzeyeva G.R., Shiriyev A.I. (2018). Effect of Winkler foundation, inhomogenecity and ortho-tropic on the frequency of plates. Journal of Structural Engineering Applied Mechanics, I(1), 1-15.
10. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2018). Free bending vibration analysis of thin bidirectional exponentially graded orthotopic rectangular plates resting on two-parameter elastic foundations. Composite Structures, 184, 372-277.
11. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Mirzeyev R.D. (1996). Free vibration of non-homogeneous elastic rectangular plates. Proceedings of the Institute of Mathematics, (4), 103-108.
12. Huang M., Sakiyama T., Matsuda H., Morita C. (2015). Free-vibration analysis of stepped rectangular plates resting on non-homogeneous elastic foundations. Engineering Analysis with Boundary Elements, 50, 180-187.
13. Carnet H., Lielly A. (1969). Free vibrations of reinforced elastic shells. Journal of Applied Mechanics, 36(4), 835-844.
