CC BY
11Когерентный контроль ионизации атома последовательными лазерными импульсами
Н.П. Полуэктов (nickel@aha.ru) Институт общей физики РАН 117942 Москва, ул. Вавилова, 38
Проведенные численные расчеты показали, что эффект когерентного контроля степени ионизации ридберговского атома лазерным полем в режиме резонансной стабилизации (У-стабилизации) имеет место в случае гладкой формы лазерного импульса. Таким образом, показано, что степень ионизации ридберговского атома при облучении его двумя последовательными импульсами в режиме У-стабилизации существенно зависит от времени задержки между импульсами как в случае прямоугольных (с малым временем включения-выключения), так и гладких (синусоидальных и гауссовых) импульсов.
Введение
Интерференционная стабилизация ридберговских атомов - явление, изучаемое со второй половины 80-х годов [1-6]. Суть эффекта заключается в том, что, начиная с определенного значения напряженности лазерного поля, степень ионизации атома за импульс выходит на насыщение (на уровне, меньшем единицы) или даже начинает спадать, в противоположность поведению в слабых полях, удовлетворяющих критериям применимости теории возмущений. В основе явления лежит деструктивная интерференция переходов в континуум с соседних риберговских уровней, когерентно перезаселяемых в процессе фотоионизации за счет переходов рамановского типа.
Помимо рамановских переходов Л-типа (через континуум), причиной когерентного перезаселения ридберговских уровней может быть также их резонансное взаимодействие с каким-либо
1 370 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/122.pdf
дискретным уровнем меньшей энергии (переходы У-типа, см. Рис. 1), если такое взаимодействие имеет место. Соответственно, принято
различать интерференционную стабилизацию Л- и У-типа. Проще всего понять физический смысл эффекта можно на языке квазиэнергий и
квазиэнергетических состояний. Как известно [7, 8], квантовая система, находящаяся в периодическом по времени внешнем поле, может быть описана на языке собственных состояний и отвечающих им собственных чисел (квазиэнергий). При приближенном описании ионизации в рамках адиабатического исключения континуума, квазиэнергии комплексны, а квазиэнергетические уровни имеют ненулевую распадную ширину. В случае теории возмущений, ширина каждого квазиэнергетического уровня пропорциональна квадрату матричного элемента УпЕ свободно-связанного перехода, индуцированного полем. В случае же сильного поля, когда рамановское взаимодействие становится существенным, квазиэнергетический
Рис. 1. Схема индуцированных лазерным полем переходов между ридберговскими уровнями через континуум (Л-типа) и нижележащие резонансные состояния (У-типа).
спектр перестраивается таким образом, что образуется (в рамках модели, предполагающей количество уровней в спектре конечным) один уровень с большой распадной шириной. С другой стороны, нетрудно показать, что сумма всех квазиэнергий не зависит от характера взаимодействия между соседними уровнями - то есть, в "затравочном" спектре, не учитывающем перемешивания соседних ридберговских уровней, и в конечном, рассчитанном с учетом рамановского взаимодействия, эта сумма одинакова. Таким образом, с необходимостью приходим к тому, что оставшиеся квазиэнергетические уровни должны иметь меньшую ширину, чем та, что была вычислена по золотому правилу Ферми. Соответственно, процесс ионизации оказывается существенно подавленным.
Явления стабилизации Л- и У-типа, несмотря на то, что они обусловлены схожими физическими причинами, имеют качественные отличия. В случае Л-системы, спектр квазиэнергий (в приближении эквидистантных атомных уровней, достаточно хорошо описывающем высоковозбужденный (ридберговский) атом) инвариантен по отношению к сдвигу на к-А (А = Еп+1 - Еп « 1/п -расстояние между соседними уровнями энергии, к - произвольное целое). Поэтому ионизационное уширение всех квазиэнергетических
уровней оказывается одинаковым. В случае с У-системой ситуация совершенно иная: спектр не является инвариантным по отношению к сдвигу на к-А, поскольку в уравнениях появляется новый параметр
- отстройка п-го уровня от резонанса, Ъп = Ег + ю - Еп , явно зависящая от главного квантового числа ридберговского уровня. (Ег
- энергия нижележащего атомного уровня, находящегося в резонансе с ридберговскими уровнями, ю - частота лазерного поля; используется атомная система единиц й = е = те =1.) В частности, нетрудно показать [5, 6, 9-11], что при определенном выборе отстройки (в случае эквидистантного спектра - Ъп = А/2) в резонансной квантовой системе присутствует квазиэнергетический уровень с шириной, точно обращающейся в ноль, с которого выход электрона в континуум не происходит.
В случае произвольной отстройки от резонанса спектр квазиэнергий ридберговского атома наряду с относительно "широкими" уровнями имеет ряд уровней, обладающих аномально малой шириной (много меньшей ионизационной ширины Г, вычисленной по золотому правилу Ферми). Из этого свойства ридберговского атома в режиме У-стабилизации вытекает следующее немаловажное следствие: в зависимости от того, в каком начальном состоянии находится атом, степень его ионизации по окончании взаимодействия с лазерным
импульсом может быть близка к единице (если в момент включения взаимодействия атом пребывал в состоянии, отвечающем большой распадной ширине), либо, напротив, быть сколь угодно малой величиной (если начальное состояние отвечает "узкой" квазиэнергии). Таким образом, появляется механизм, позволяющий управлять степенью ионизации атома, находящемся в ридберговском состоянии - суперпозиции собственных состояний атома.
В работах [12-14] была предложена схема приготовления такого атомного состояния. Атом, в котором изначально заселен единственный ридберговский уровень Еп0 , взаимодействует с
лазерным полем, настроенным в резонанс с каким-либо другим атомным уровнем Е0 (Еп^ - Е0 « ю), что обеспечивает резонансное
перемешивание ридберговских уровней. При этом длительность лазерного импульса такова, что к моменту своего окончания он "выжигает" состояния, обладающие большей распадной шириной (на практике длительность импульса т должна быть больше кеплерова периода движения электрона по классической орбите, ТК = 2п-А-1 [11]). В результате в момент выключения поля атом оказывается в "сверхстабильной" суперпозиции состояний.
Что произойдет с этим состоянием по выключении лазерного поля? Если не учитывать спонтанное излучение, то {ап}, амплитуды вероятности обнаружить электрон на п-ом ридберговском уровне, будут сохраняться по модулю, изменятся лишь их фазы (функции ап эволюционируют во времени как
exp{-/ Еп Нетрудно показать, что через кеплеров период состояние, с точностью до несущественного фазового множителя (общего для всех амплитуд ап), перейдет само в себя. Важно отметить, что за половину кеплерова периода "абсолютно стабильное" состояние переходит в быстро распадающееся. Таким образом, если спустя время ^ по окончании первого лазерного импульса атом начинает взаимодействовать с новым импульсом, по своим характеристикам идентичным первому, то в результате взаимодействия с эти импульсом атом либо полностью распадется в континуум (^ = ТК/2), либо, напротив, останется в связанном состоянии (^ = ТК).
Ионизация атома лазерными импульсами с гладкой огибающей
Везде выше неявно подразумевалось, что лазерные импульсы имеют прямоугольный временной профиль - то есть, иными словами, время включения-выключения взаимодействия атома с лазерным полем равно нулю. В то же время, реальные лазерные поля,
достижимые в эксперименте, имеют гладкую огибающую. В этой связи самостоятельный интерес представляет задача о степени ионизации ридберговского атома двумя последовательными лазерными импульсами с гладким временным профилем. Такую задачу не представляется возможным решить аналитически, поэтому для ее решения использовался численный счет.
По своей постановке задача мало отличается от той, что решалась в случае идеализированных, "прямоугольных" лазерных импульсов. Изначально атом находится в ридберговском состоянии-собственном состоянии свободного атома с главным квантовым числом п0. Первый лазерный импульс переводит атом в суперпозицию состояний, на которую, в свою очередь, действует второй импульс, следующий за первым через определенное время. В зависимости от времени задержки между импульсами вычисляется степень ионизации атома по окончании его взаимодействия с лазерным полем.
В рамках известных приближений (адиабатического исключения континуума, приближении вращающейся волны [15]) уравнения, описывающие эволюцию во времени амплитуд вероятностей ридберговских уровней в лазерном поле, имеют вид:
а =5„0 аг ап'
1а =П(") а + (Е - Е )а - - УГ ,а,. (1)
п К г V п п0 / п ^ / ' п, п п V
*п К "г 1 Ч^п п0)"п ' п п'
2 п
Здесь аг, ап - амплитуды разложения волновой функции атома в поле по состояниям, отвечающим резонансному уровню Ег и уровням Еп, соответственно; ОКп) - частота Раби, связывающая п-й уровень с резонансным уровнем, а Гпп, - тензор ионизационных ширин. За начало отсчета энергии взят уровень Ещ .
Функции ОКп) и Гпп, в случае ридберговского атома могут быть факторизованы [16]:
ОКп) а (п • пг)-ъ/2У Гп,п^ (п • п')-3/2Г2
(2)
где пг - главное квантовое число нижележащего резонансного
уровня Ег, V = V) = 8/ 5/3, £0 (0 - зависящая от времени
/ ю
амплитуда поля.
Здесь удобно перейти к другому масштабу времени - измерять его в единицах А-1 = п3. (Кеплеров период в таком масштабе равен 2п). В
этом случае уравнения (1) принимают совсем простую форму (для простоты представления выпишем уравнения для эквидистантного атомного спектра, хотя они могут быть легко обобщены на случай спектра более сложного):
п
iar =5„0 ar +aVZ an ,
iän = aVar + (n -no)a„ —V2Zan . (3)
2 n'
3/2
Параметр а в уравнениях (3) равен (п0/пг) и заведомо больше единицы. (Интерференционной стабилизации отвечает область аУ > 1 [9-11].)
В расчетах использовались гладкие импульсы следующих профилей: синусоидальные с плато (амплитуда напряженности поля в течение времени 0 < ? < возрастает до своего максимального значения по
Гп ' 1 ,
— , после чего в течение времени остается
V 2 ^У
2
закону sin2
постоянной (функция V при этом достигает максимального значения V0), а затем спадает за время t1, также по синусоидальному закону); синусоидальные без плато (t2 = 0); и, наконец, гауссовы импульсы, для которых V = V0 exp{-(t/t1) }. Предполагалось, что временной профиль второго импульса в точности повторяет профиль первого импульса с задержкой Td. Таким образом, для синусоидальных импульсов s0 (t) = s0 (t - (2t1 +12) — тd). Везде, где это не оговорено особо, отстройка 8 n0 = А /2.
Как следует из анализа уравнений (1), (3) в случае "прямоугольных" лазерных импульсов, самым "быстрым" временем в задаче о когерентном контроле ионизации ридберговского атома является ТК
n
- амплитуды вероятностей ридберговских уровней существенно изменяются на временах порядка ТК и больших [9-11]. Логично предположить, что лазерные импульсы с временем включения-выключения, меньшим ТК, будут восприниматься атомом как " прямоугольные".
0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 2. Зависимость остаточной вероятности (вероятности "неионизации" атома после взаимодействия с двумя лазерными импульсами) wres от времени задержки Td в случае синусоидальных импульсов с плато, "почти" прямоугольных. Параметры импульса t1 и t2 связаны соотношением: t1 + 4/3 t2 = 9, сплошная кривая отвечает прямоугольным импульсам (tj = 0); для кривой, отображенной крупным пунктиром, t1 = 0.5, для кривой, отображенной
мелким пунктиром, t1 = 1.0. V0 = 1, 8n = 1/ 2 , а = 3, эквидистантный спектр.
Данное предположение подтверждается численными расчетами, результаты которых представлены на Рис. 2. На графике приведены кривые зависимости остаточной вероятности wres (с вероятностью ионизации она связана простым соотношением wres + wion = 1) от времени задержки Td для синусоидальных импульсов с плато,
параметр t1 у которых принимает значения 0, 0.5 и 1. (Энергия электромагнитного поля в каждом случае одинакова, таким образом, параметры t1 и t2 оказываются связанными соотношением t1 + 4/3 t2 = const; здесь const = 9.) Как видим, кривые очень точно повторяют друг друга, за исключением того, что график кривой, отвечающей большему значению t1, оказывается сдвинут влево.
Wres
\ \ ' \ \ \ \ / \ / Л --Л7 / 4 - \ i А / \ ' \ t * /
л \ / / / ; V / W \ * \ f 1 г
' \ \ ' / v Л / у л-.Л / У А \
■; w ^ > , —■— т »\Л / 7 / \\ / 7 \ ' f
; n j / v / - - / V / \ / \
\ /
VTk
0JS
06
03
0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 3. Зависимость остаточной вероятности wres от времени задержки Td в случае синусоидальных импульсов с плато (t1 + 4/3 t2 = 9). Сплошная кривая отвечает чисто синусоидальному (без плато) импульсу (t2 = 0); кривая, отображенная крупным пунктиром, отвечает прямоугольному импульсу (t1 = 0); кривые, отображенные мелким пунктиром и штрих-пунктиром, отвечают промежуточным случаям, t2 = 2 и t2 = 4 соответственно. V0 = 1,
8 n = 1/2, а = 3, эквидистантный спектр.
Последнее обстоятельство легко объяснимо: атом слабо чувствует "хвосты" лазерных импульсов, то есть, эффективно первый импульс перестает влиять на атом раньше, чем лазерное поле точно обратится в ноль, а второй импульс, соответственно, начинает эффективно взаимодействовать с атомом позже, чем поле станет
отлично от нуля. Таким образом, эффективное время задержки в случае импульсов с конечным временем включения-выключения оказывается большим, чем в случае "прямоугольных" импульсов. Интересно понять, как изменится характер зависимости от времени задержки при дальнейшем увеличении t1. На Рис. 3 приведены кривые ^Г68, отвечающие значениям ^ = 0, 3.67, 6.33 и 9 (последнему значению отвечает ¿2 = 0, то есть плато в данном случае отсутствует). Из рисунка видно, что с увеличением времени включения-выключения импульса зависимость остаточной вероятности от времени задержки становится все более хаотичной. Однако важно отметить, что в случае синусоидальных импульсов без плато (¿2 = 0) картина вновь становится упорядоченной, и во многом повторяет ту, что отвечает мгновенному включению и выключению лазерного поля. Количественное соответствие между двумя кривыми является, по-видимому, не более, чем случайностью. Тем не менее, численные расчеты показывают, что в случае гладких лазерных импульсов когерентный контроль степени ионизации атома также возможен.
Отметим, что, строго говоря, остаточная вероятность оказывается не ТК-, а 2ТК-периодичной функцией. Это связано с тем, что в полях конечной напряженности помимо ридберговских состояний, взаимодействующих по рамановскому механизму, заселяется также
нижележащее резонансное состояние, отвечающая которому амплитуда вероятности в отсутствие лазерного поля
{- А/
эволюционирует по закону ехр{-'8По^ = ехр{-'^0 (см. (1), (3)).
Степень влияния нижнего состояния на вероятность ионизации можно понизить, увеличив напряженность лазерного поля. Но можно пойти и по другому пути, а именно, изменить значение отстройки. В частности, если выполняется условие 8 = 0, то
зависимость ^Дт^) оказывается строго ТК-периодичной, вне зависимости от напряженности лазерного поля. На Рис. 4 приведен график wres(тd) в случае нулевой отстройки, иллюстрирующий это утверждение.
0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 4. Зависимость остаточной вероятности wres от времени задержки Td в случае синусоидальных импульсов при нулевом значении отстройки 8n . Параметры импульсов: V0 = 1, t1 = TK, а = 3; эквидистантный спектр.
\__/ л
(а) (б) (в)
Рис. 5. Зависимость остаточной вероятности wres от времени задержки Td в случае синусоидальных импульсов для следующих параметров: V0 = 1, t1 = TK (а); V0 = 1, t1 = 2-TK (б);
V0 = 2, t1 = 2-TK (в). Прочие условия: 8 n = 1/2, a = 3; эквидистантный спектр.
Отдельного исследования заслуживает вопрос о влиянии длительности гладкого импульса без плато (а фактически, степени его "сглаженности" - ведь, при прочих равных условиях, чем больше длительность импульса, тем медленнее изменяется амплитуда напряженности поля) на зависимость wres от времени задержки. На Рис. 5(а) приведен график wres(x) для синусоидального импульса с параметрами V0 = 1, a = 3 и t1 = ТК. В зависимости от времени задержки, вероятность "неионизации" изменяется в широких пределах - от практически нуля до 0.8. Однако при увеличении t1 до 2 ТК зависимость оказывается значительно менее существенной (см. Рис. 5(б)). По-видимому, это вызвано тем, что для выбранных параметров поля ионизация в основном происходит в продолжительной "достабилизационной" зоне (во время включения-выключения импульсов, когда поле относительно слабое и фазовые эффекты отсутствуют - атом ионизуется в соответствии с теорией возмущений). Для того, чтобы "укоротить" достабилизационную
зону, можно изменить другие параметры импульса - например, увеличить амплитуду напряженности поля. Как видно из Рис. 5(в), двукратное увеличение ¥0 (от 1 до 2) приводит к тому, что зависимость ^ге8(т) практически повторяет ту, что приведена на Рис. 5(а).
2.5 3.0 3.5 4.0
Рис. 6. Зависимость остаточной вероятности wres от времени задержки Td в случае гауссовых импульсов. V0 = 1, t1 = TK/2, 8 n = 1/2, a = 3, эквидистантный спектр.
На Рис. 6 приведен график wres(x) в случае гауссовых импульсов. Отметим, что поскольку у гауссова импульса нельзя выделить момент включения или выключения, было несколько переопределено понятие времени задержки - в данном случае это есть расстояние между пиками лазерных импульсов (то есть, выражение, описывающее амплитуду поля второго импульса, меняется при таком переопределении Td на s0 (t) = s0(t -тd)). Как
следует из графика, и в случае гауссовых импульсов также возможно наблюдать существенную зависимость степени ионизации атома от фазовых свойств когерентного ридберговского состояния. Наконец, важно понять, как на процесс фотоионизации в режиме интерференционной стабилизации У-типа влияет
неэквидистантность реального атомного спектра. На Рис. 7 приведен график ^ге8(т), рассчитанной для водородного спектра. В расчетах принималось, что изначально атом находится в чистом ридберговском состоянии с п0 = 50. Видно, что учет неэквидистантности ридберговского спектра делает картину более хаотичной, но при это не "убивает" эффект когерентного контроля степени ионизации.
0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 7. Зависимость остаточной вероятности от времени задержки т^ в случае синусоидальных импульсов и реального (ридберговского) спектра атома. п0 = 50, У0 = 1,
(1 = Тк/2, 8 п = 1/2, а = 3.
п0
Заключение
Резюмируя результаты настоящей работы, отметим, что установлено, что в режиме интерференционной стабилизации V-типа фазовые эффекты (влияние фазовых свойств когерентного ридберговского состояния) проявляются и в случае реальных, неидеализированных систем - лазерных импульсов с гладкой огибающей и неэквидистантных атомных спектров. Важно отметить, что, помимо ограничения на длительность лазерного импульса снизу (р^е > Тк), имевшего место и в случае прямоугольных импульсов, появляется дополнительное ограничение на ¿рт^ сверху. Обусловлено это тем, что в случае гладких импульсов большой длительности эффект когерентного контроля "замывается", а сама вероятность ионизации оказывается меньшей. Объясняется это, по-видимому, тем, что в слабом поле перемешивание уровней за счет V-переходов осуществляется гораздо эффективнее, чем ионизационный распад: ведь если рабиевская частота спадает с уменьшением поля по линейному закону, то ионизационная ширина Г - по квадратичному. Перераспределение населенности в импульсах большей длительности успевает наступить в меньших полях, чем в коротких импульсах. Из этого вытекает, что и выход электрона в таких импульсах меньше, и фазовые эффекты проявляются гораздо менее
внятно. Таким образом, диапазон длительностей импульсов, в котором оказывается возможным когерентный контроль степени ионизации в режиме У-стабилизации, можно определить как ТК < ? < дТК, где параметр д, в зависимости от максимальной напряженности поля, принимает значения 2^3.
Численные расчеты позволяют подобрать для различных конфигураций квантовой системы (спектра атома, формы лазерного импульса) такие параметры поля (частота, амплитуда напряженности и длительность, время задержки между импульсами), что степень ионизации атома будет либо крайне низка, либо, напротив, приблизится к единице. Дальнейшие исследования предполагается посвятить подбору формы импульса, позволяющего наиболее эффективно (то есть, в максимально широких пределах) управлять степенью ионизации атома за счет изменения времени задержки между импульсами.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ, грант #99-02-18034) и Фонда гражданских исследований и развития (СКОБ, грант # КР1-2259).
Литература
1. M.V. Fedorov and A.M. Movsesian, J. Phys. B 21, L155 (1988).
2. L.D. Noordam, H. Stapelfeldt, and D.I. Duncan, Phys. Rev. Lett. 68, 1496 (1992).
3. J.H. Hoogenraad, R.B. Vrijen, and L.D. Noordam, Phys. Rev. A 50, 4133 (1994).
4. M.Yu. Ivanov, Phys.Rev.A, 49, #2, 1165 (1994).
5. A.Wojcik and R.Parzinski, Phys. Rev. A, 50, 2475 (1994).
6. A.Wojcik and R.Parzinski, J.Opt.Soc.Am.B, 12, #3, 369 (1995).
7. Я.Б.Зельдович, ЖЭТФ, 51, 1492 (1966).
8. В.И.Ритус, ЖЭТФ, 51, 1544 (1966).
9. M.V. Fedorov and N.P. Poluektov, Laser Physics, 7, 299 (1997).
10.M.V. Fedorov and N.P. Poluektov, Optics Express, 2, 51 (1998).
11.Н.П. Полуэктов, М.В. Федоров, ЖЭТФ 114, 821 (1998).
12.M.V. Fedorov and N.P. Poluektov, Optics Express, 6, 117 (2000).
13.Н.П. Полуэктов, М.В. Федоров, ЖЭТФ 117, 913 (2000).
14.M.V. Fedorov and N.P. Poluektov, Laser Physics, 11, 255-260 (2001).
15.М.В. Федоров, Электрон в сильном световом поле, Наука, Москва (1991).
16.N.B. Delone, S.P. Goreslavsky, and V.P. Krainov, J. Phys. B 22, 2941 (1989).
