CC BY
31
W'
ATOM PDM 1.0 beta [Вход выполнил пользователь: Лихачев A.A.]
Документы Шаблоны
Согласование | Все документы | Черновики |
Документы, требующие согласования И < 1 из1 | ► И © Сохранить @Загрузить ^КТП У)Документ ч/ Согласен Д Вернуть
Статус № документа Тип Документ/Краткое описание Добавил Дата создания Согласование
1229 n'cj' Документна согласование 1/Описание Лихачеа А А 27.D32D1515:22 Лихэчеа АА
Hüä
Шаг Статус Описание Поступление Исполнение Исполнитель Примечания исполнителя
А Документ зарегистрирован. 27.03.201516:22 27.03.2015 16:22 Лихачев A.A. Д окумент зарегистрирован
2 В Шаг согласования 27.03.2015 16:22 Лихачев A.A.
3 ■ Шаг согласования Петров
1 ■ Шаг согласования Комаров
5 Документ находится на утверждении. Лихачев A.A.
Рис. 3 - Документы, требующие согласования пользователя.
Согласование | Все документы | Черновики
Все документы
И ^ |1 для 2 k kB S Загрузить
Статус М- документа Тип Документ/Краткое описание
Дата создания Согласование Утвердил
Дата утверждения
Документ на согласование/Описание Лихачев A.A.
Документна согласование 1ЛЗписание Лихачев A.A. 27.03.201516:22 Лихачев А А.
Шаг Статус Описание Поступление Исполнение Исполнитель Примечания исполнителя
А Д окумент зарегистрирован 27.03.201516:22 Лихачев A.A. Документ зарегистрирован
2 ■ 1-й шаг согласования (документ согласуется) Петров
3 ■ 2-й шаг согласования (документ согласуется) Комаров
4 ■ 3-й шаг согласования (документ согласуется) Комаров
5 © 4-й шаг согласования (документ утверждается) Лихачев A.A.
Рис. 4 - Вкладка «Все документы».
Пользователь в любой момент может просмотреть все документы, которые он когда-либо согласовывал или создавал, для этого нужно перейти на вкладку «Все документы».
КОЭФФИЦИЕНТЫ ВАРИАЦИИ ЧИСЛА ЗАЯВОК НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ОБСЛУЖИВАНИЕМ Кирпичников Александр Петрович, Титовцев Антон Сергеевич, Фадхкал Зайнаб
Казанский национальный исследовательский технологический
университет
В работе рассмотрено поведение коэффициента вариации, связывающего первые и вторые моменты числа заявок, находящихся в очереди на обслуживание для систем массового обслуживания различных типов. Показано, что изучение этой характеристики позволяет сделать ряд нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем.
Ключевые слова: система массового обслуживания, коэффициент вариации, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
В работе [1] на основе формул, полученных ранее в цикле работ [2-4] введено в рассмотрение понятие коэффициентов вариации первого и
V
V
второго рода и , составленных из первых и вторых моментов основных числовых характеристик установившихся режимов систем массового обслуживания (СМО) для ряда величин, характеризующих поведение такого рода систем в процессе их эксплуатации. При этом было изучены коэффициенты вариации (вариационные отношения) числа заявок, одновременно находящихся под обслуживанием. В настоящей работе впервые получены формулы коэффициентов вариации другой важнейшей величины, характеризующей системы массового обслуживания - числа заявок, находящихся в очереди на обслуживание (ожидающих в накопителе начала обслуживания).
Для классической СМО (модель М/М/1) очевидно имеем
ст2 _ 1+ Р 7 72 =Р2 (1+ Р-Р2 )
/ =
Р
.2
1 -р
1 -р
(1 -р)
откуда
V
(1) =
1
1 + Р
(1 -Р)
1 =У1 + р-р2 ■ ~(1) = 1+£-/- =1+ Р-Р1
Р ' 1 1 -р 1 -
Р
Для многоканального устройства (модель М/М/т) [2, 3]
/ =
р Рожид
т - р
т + р 7 -2 = Р Рожид (т + Р - р рожид )
-/ - / = _
т - р
(т -р)2
так что
V
(2 ) =
1
т + р 1 = (т-р)) \
т + Р-Р Рожид
р рожид
~ (2 )= т + Р 7 = т + Р - Р Рожид Vl =--1 =-
т - р
т - р
Для модели с очередью конечной длины (модель М/М/т/Е) [1-3]
/ =£(Р
ожид-ЕРотк) ^2 = (т + Р) /- РЕ (Е + 1)ротк - /2
т - р
т - р
и тогда
V
(4 ) =
1
т
+£ Р Е (Е +1) р
отк
(т- р)) (т- р)/:
/
1
~ (4)_ т + р р Е (Е +1) ротк _ Т
1 — / \ _ т _ р (т _ р))
В вырожденном случае р _ т имеем [2-4]
_ Е (Е+1) , _ Е+1
1
р_т 2 ротк |р_ т 2 рожид
2 _ Е (Е+1)(2Е+1) - 2
_ 1
р_ т
р_ т
а/ р_т 6 Ротк
р_т
(Е+1)(2 Е+1) . _ -
г Рожид\ р_т 1
6 - и^ии |р_т
в результате чего
2
р_ т
VI4)
_ 2Е±!_1 ~(4)
р_т 3/ . 1
2 Е +1
1
р_т 3 . (1)
Перейдём к исследованию этих величин. Для коэффициентов вариации первого рода имеем следующий результат:
Как легко видеть, критическое значение приведённой интенсивности р„ (v(4>_ 1 )
^ \ I / в данном случае существует только для модели системы с ограничениями. Обратимся теперь к коэффициентам вариации второго рода.
Здесь для систем с неограниченной очередью мы имеем обратный результат
да>~/(1)>1 V((2)>1 да>~/(4 )> 0
откуда аналогично [1] для систем массового обслуживания с ожиданием следует
Как видим, в данном случае отношение среднеквадратического отклонения числа требований, находящихся в очереди к обслуживающему устройству, к их средней величине ограничено снизу, но не ограничено сверху, то есть при определённых условиях может значительно превысить среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание. Говоря другими словами, колебания числа заявок в очереди достаточно велики. Далее, для системы с ограничениями (по классификации Дж. Кендалла -модель М/М/ш/Б) также должно существовать некоторое критическое
-- б- ркр (~/4)_ 1 )
значение приведённой интенсивности потока требований .
Это критическое значение приведённой интенсивности можно назвать по
аналогии с введённой выше терминологией критическим значением второго рода.
Дальнейший анализ полученных результатов будет содержаться в следующих работах данного цикла публикаций. Пока же следует указать лишь то, что результаты расчётов, полученные в настоящей работе, могут быть весьма полезны при проектировании и эксплуатации достаточно широкого класса объектов и систем, работающих по принципу систем массового обслуживания.
Список литературы
1. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, З. Фадхкал, Вестник Казан. технол. ун-та, 18, 2, С. 362-367 (2015).
2. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.
3. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
4. А.П. Кирпичников, З. Фадхкал, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 19, С. 383-388 (2014).
