Коэффициент поверхностного натяжения простых жидкостей в кластерной модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2. PACS: 61.20 Gy

КОЭФФИЦИЕНТ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ В КЛАСТЕРНОЙ МОДЕЛИ

© 2012 Г. А. Мельников1, В. Н. Вервейко2, В. Г. Мельников3,

А. Ю. Верисокин4, Д. В. Вервейко5

e-mail: [email protected] 1-2канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей физики 3аспирант каф. теоретической и экспериментальной физики ЮЗГУ 45аспирант каф. общей физики

Курский государственный университет

В рамках кластерной модели вещества, предложенной авторами ранее, и теории эффективного поля получено соотношение для расчета коэффициента поверхностного натяжения для простых и органических жидкостей. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей представлен универсальной функцией наиболее вероятного числа частиц в кластере на поверхности жидкости.

Предложенная методика прогнозирования коэффициента поверхностного натяжения в зависимости от термодинамических параметров состояния жидкости позволяет оценить опорные постоянные (глубину потенциальной ямы и диаметр частицы) степенного потенциала Ми и установить корреляции между структурными и поверхностными свойствами жидкостей.

Проведена проверка предложенной кластерной модели и теоретической формулы для коэффициента поверхностного натяжения для сжиженных благородных газов, некоторых линейных и циклических углеводородов и их галогенозамещенных, которая показала хорошее согласие теоретических расчетов и экспериментальных данных, исключая критическую область вещества.

Ключевые слова: кластерная модель, поверхностное натяжение, потенциал взаимодействия, жидкости, благородные газы, углеводороды.

ВВЕДЕНИЕ

Поверхностные явления на границе раздела двух фаз вещества играют фундаментальную роль при исследовании особенностей межмолекулярного взаимодействия в конденсированных средах. Физические свойства поверхностного слоя на границе раздела фаз между жидкостью и ее паром характеризуются коэффициентом поверхностного натяжения (КПН), который определяется как отношение свободной энергии поверхностного слоя к площади поверхности.

Экспериментальные исследования различных авторов коэффициента поверхностного натяжения выявили ряд особенностей в зависимости этого коэффициента от параметров состояния вещества: КПН очень чувствителен к изменению температуры жидкости и наличию примесей в структуре жидкости, вдоль линии равновесия жидкость-пар КПН монотонно уменьшается с ростом температуры, обращаясь в ноль в критической точке, и другие особенности [Рид, Праусниц, Шервуд 1982; Бретшнайдер 1966]. Измерения КПН в широкой области изменения параметров состояния связаны с большими техническими сложностями, особенно в области низких температур и в критической области жидкости.

Разработка теоретических методов расчета КПН проводится в рамках различных теорий и моделей вещества, обзор которых можно найти в работах [Рид, Праусниц, Шервуд 1982; Бретшнайдер 1966; Корепанов 2006].

Наиболее известным и теоретически обоснованным соотношением для расчета КПН является уравнение Ван дер Ваальса, полученное на основе принципа соответственных состояний [Бретшнайдер 1966]:

а ■

■ kTcmPc213

/ j, \п 1 т

(1)

где к, п- универсальные постоянные, Тс иРс- критические температура и давление.

Простую корреляцию, связывающую КПН с плотностью жидкости и ее пара, предложили Маклеод и Сагден [Корепанов 2006]:

а'!'=[Р](Рж-Р„)", (2)

где [Р] - парахор, который является аддитивной функцией атомов и групп атомов в молекулах.

Исследователями конденсированного состояния вещества предложено более десятка различных уравнений для расчета КПН на основе данных по теплоте испарения и структурным характеристикам жидкости.

В работе [Русанов 1981] получено уравнение для КПН в случае плоской свободной поверхности жидкости:

<7 =

АЯ,

конд

■RT Az

v

(3)

где V - число недостающих соседей в поверхностном слое, г - координационное число в структуре жидкости, АЪ - толщина поверхностного слоя жидкости.

Формула (3) справедлива для расчета КПН вдали от критической точки, при температурах близких к критической свободная энергия становится отрицательной.

Простое соотношение для расчета КПН предлагается в работе [Матюхин, Фроленков, Антонов, Игошин 2001], которое имеет вид

а =

АН

конд

2 71

jlp

1/3

(4)

где Нконд - теплота конденсации, р - плотность жидкости, /и - молярная масса, NA -число Авогадро.

В теоретическом плане наиболее общее соотношение для расчета КПН получено в рамках теории корреляционных функций и кинетической теории жидкостей [Fowler, 1937; Bom, Green, 1947; Есин, Гельчинский, Ватолин,Ухов, 1975]:

ОО2 |Э^(г)

п

<7 = — 8

-g{r)rAdr.

(5)

v V ) i д г

Практическое использование соотношения (5) затруднительно из-за неопределенностей в расчетах радиальной функции распределения g(f) и сложностей

в подборе потенциала межмолекулярного взаимодействия (pij ), однако это уравнение позволяет установить взаимосвязь с другими важными термодинамическими величинами, например с коэффициентом динамической вязкости rjs [Bom, Green 1947]:

<7 =

15

16

kT

\l/2

Km У

Vs-

(6)

Особенности в поведении коэффициента поверхностного натяжения для квантовых жидкостей исследуются в работах [Lino, Suzuki, Ikushima, Okuda 1985; Grigoriev, Grigoriev, Dyugaev 2011; Пешков, Зиновьева 1959].

Мельников Г. А., Вервейко В. Н., Мельников В. Г., Верисокин А. Ю., Вервейко Д. В. Коэффициент

поверхностного натяжения простых жидкостей в кластерной модели

ЧИСЛО ЧАСТИЦ В КЛАСТЕРНЫХ СИСТЕМАХ

В неупорядоченных конденсированных средах в результате флуктуаций плотности формируются комплексные образования молекул - кластеры, обладающие определенным составом, характерной структурой и временем жизни. Кластеры формируются случайным образом и могут содержать в своем составе от нескольких до бесконечно большого числа частиц. В равновесном состоянии среды устанавливается распределение кластеров по числу частиц, содержащихся в них.

Авторами предлагается функция распределения, по форме совпадающая с гамма-распределением, плотность вероятностей для которого определяется формулой [Мельников, Вервейко, Мельников, Вервейко, Верисокин 2011]

л а

Г(а)

где Л - параметр масштаба (Л > 0), а - параметр формы, или порядок распределения (а > 0), Г(ог) - гамма-функция (эйлеров интеграл второго рода). В общем случае

параметры Лит являются функциями параметров состояния вещества.

Образование кластеров в конденсированных средах является отражением существования ближнего порядка в неупорядоченных системах и связано с процессами структурной перестройки в первой координационной сфере. Частицы первой координационной сферы являются основой формирования кластеров в жидкостях, поэтому число частиц в кластерах и зависимость их от параметров состояния должны коррелировать с первым координационным числом в веществе.

Выбор параметра Л определяется характерными свойствами ближнего порядка и особенностями формирования кластеров в жидкостях. В результате исследования кластерных систем авторы пришли к выводу, что параметр масштаба распределения (7) можно представить как функцию приведенной плотности жидкости:

-р# = ^л(л +1), (8)

где Д = Р/ - приведенная плотность, р и рс - плотность и критическая плотность

/ • с

вещества.

Соотношение (8) при целочисленных значениях величины рх представляется бесконечным рядом натуральных чисел:

1 + 2 + 3 + ... + п = [п + 1). (9)

Последовательная сумма натуральных чисел отражает закон формирования кластеров из мономеров, димеров, тримеров и т.д. в конденсированных средах. В жидкостях вблизи точки плавления д ~ 3, поэтому параметр ¿9 = 6; в критической точке д, = 1, в = 1.

Границы изменения параметра а определяются свойствами гамма-

распределения (7), и авторами принято соотношение

(а-1) = уг, (10)

где Тс - критическая температура перехода жидкость-пар, Т - температура

исследования.

Соотношение (10) воспроизводит предельные случаи гамма-распределения: при температурах, много больших критической Т»Тс (Г^оо)з параметр а —> 0 и соответствует абсолютно хаотичному движению частиц в среде; при температурах,

много меньших критической Т «Тс (Г—» 0), параметр что соответствует

абсолютно упорядоченному расположению частиц.

Предложенный метод выбора параметров в и а распределения (7) позволяет вычислить наиболее вероятное число частиц в кластере:

Среднее число частиц в кластере:

2=ав = }-^ + 1^у^рЛ\)

(П)

(12)

Среднее квадратичное число частиц в кластере:

1 + -

Т

_с_

Т

2 + -

Т

_с_

Т

■в.

(13)

При исследовании кластерных систем можно использовать любое соотношение для расчета числа частиц в кластере - наиболее вероятное, среднее или среднее квадратичное.

0.35

0.3

0.25

„ 0.2 N.

0 15 0.1 0.05

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

г

Рис. 1. Функция распределения кластеров по числу частиц, содержащихся в них для жидкого криптона при различных температурах

На рисунке 1 представлены графики функций для плотности вероятностей распределения кластеров по числу частиц для жидкого криптона на линии равновесия жидкость-пар при различных температурах, включая критическую область. Наиболее вероятное число частиц в кластере криптона уменьшается от 9 частиц вблизи точки плавления до 2-3 вблизи критической области, что согласуется с экспериментальными нейтроно-графическими определениями значений первых координационных чисел [Скрышевский 1980].

Вдоль линии равновесия жидкость-пар для всех исследованных жидкостей число частиц с ростом температуры уменьшается, при этом последовательно разрушаются внешние оболочки кластера и в критической точке происходит развал ядра.

Мельников Г. А., Вервейко В. Н., Мельников В. Г., Верисокин А. Ю., Вервейко Д. В. Коэффициент

поверхностного натяжения простых жидкостей в кластерной модели

СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ В РАМКАХ ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ

отражает учет трех- и

Эффективный потенциал взаимодействия (р ( г )

многочастичных взаимодействий в конденсированной среде и связан с парным потенциалом взаимодействия.

Глубина потенциальной ямы в эффективном потенциале взаимодействия в общем случае определяется формулой:

%=^о+А^, (14)

где s - глубина потенциальной ямы парного потенциала взаимодействия, As -эффективная добавка к нему. Вычисление величины As является основной задачей при описании взаимодействия частиц [Bom, Green 1947].

Рассмотрим взаимодействие свободной частицы массой т0, летящей с наиболее вероятной скоростью о0 и испытывающей упругое соударение с кластером, состоящим из таких же Z частиц массой М = Zm0.

Применяя классические законы сохранения энергии и импульса, получим систему уравнений

■v2=—V2,

тп

Mjr и0+и = —V тп

(15)

где V - скорость кластера после взаимодействия.

Решив систему уравнений (15), получим выражение

As = s.......=

/л V

Zт0 -т0

Zm„ +

v и и у

^Qkuh

Z + 1

v

kT

(16)

где £0шн и £кин - кинетическая энергия частицы до и после столкновения

соответственно, к - постоянная Больцмана.

Полная энергия частицы в теории эффективного поля является суммой ее потенциальной энергии, равной глубине потенциальной ямы потенциала Леннард-Джонса £■, и кинетической энергии, определяемой формулой (16).

Глубина потенциальной ямы эффективного потенциала взаимодействия, согласно формуле (14), определится выражением

£eff-£ +

/ /V \2 \2

Z-1 Z-1 кТ

кТ = £ 1 +

Z + 1 Z + 1 £

V / _ V _

(17)

Глубина потенциальной ямы парного потенциала взаимодействия б определяется критической температурой вещества и зависит от вида выбранного потенциала. Для инертных газов и простых жидкостей с потенциалом Леннарда-Джонса £ = 0.169ТС, с потенциалом (6-ехр) - Букингейма £ = 0.82Тс и т.д. [Гиршфельдер, Кертисс, Берд 1961].

Соотношение (17) определяет свободную энергию частицы, находящуюся в кластере с числом частиц Ъ. В приближении парного взаимодействия между

частицами свободная энергия кластера с наиболее вероятным числом частиц Ъ определится по формуле

(г-1) _ (¿-1)

■ С #■ -------------- '

ел

1 +

/ /V \2

кТ_

£

(18)

Площадь поверхности кластера для простых жидкостей определяется расстоянием между ближайшими соседями - радиусом первой координационной сферы, величина которого находится из условия наиболее плотной упаковки частиц в кластере: Л1 = цсг0, где // = 1.051- структурный фактор [Та1апс]иег, Ох1:оЬу 1993].

Площадь сферической поверхности с радиусом будет Я = Акр2 о2. Для кластера на поверхности жидкости:

£ = 2 ж[^су\. (19)

Коэффициент поверхностного натяжения определяется отношением свободной энергии к площади этой поверхности. С учетом формул (18) и (19) получаем

кТ_

£

СУ =

Аж ¡л а'

-(7-1)

1 +

/ /V \2

' х-\4

г+1

(20)

где £ и сг0 — параметры парного степенного потенциала взаимодействия, Ъ - наиболее

вероятное число частиц в кластере, определяется формулой (11).

Соотношение (20) упрощается после преобразований квадратной скобки и принимает вид

<7 =

Ажц о‘с

-(2-1)

1 +

Ъ-2

кТ

(21)

Ъ + 2

V у

При наиболее вероятном числе частиц в кластере, равном двум, т.е. при наиболее вероятном кластере-димере в жидкости, коэффициент поверхностного натяжения, согласно формуле (21), определяется выражением

£„

СУ,

с1йп

Ажц2(720

(22)

Величина <7^ однозначно определяется параметрами потенциала взаимодействия (<?0,£0 ) и может быть вычислена независимыми методами, связанными с исследованием переносных свойств вещества или вириальных коэффициентов в уравнении состояний.

Поверхностные свойства жидкостей удобно характеризовать приведенным коэффициентом поверхностного натяжения и определить его соотношением

о- л . . (^~2) кТ

и,

=(М

сйт

1 +

(г+2)

(23)

Приведенный коэффициент поверхностного натяжения становится однозначной функцией наиболее вероятного числа частиц в кластере, зависимость которого от параметров состояния определяет свойства поверхностного слоя жидкости.

Соотношение (23) позволяет решить обратную задачу - на основе экспериментальных данных для коэффициента поверхностного натяжения рассчитать число частиц в кластере и исследовать зависимость этой величины от параметров состояния жидкости.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

На основе методики расчета наиболее вероятного числа частиц в кластере по формуле (11) и экспериментальных данных для плотности жидкости в зависимости от

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2012.

№ 1 (21)

Мельников Г. А., Вервейко В. Н., Мельников В. Г., Верисокин А. Ю., Вервейко Д. В. Коэффициент

поверхностного натяжения простых жидкостей в кластерной модели температуры авторы провели прямую проверку предложенной модели и формулы (21) вдоль линии равновесия жидкость-пар (см. табл.).

Поверхностное натяжение некоторых простых и органических жидкостей по результатам расчетов в рамках кластерной модели

т,к в Т / с/ /т Ъ а 103, Дж/м2

(8) (10) (П) Расчет (21) Эксп.[17] 5,%

Неъ рс =41.3кг/м3, ТС=3.35К, е0=0.63К, сг0 = 2.5&А [9,10]

1.30 1.966 2.916 2.577 7.51 0.1338 0.1217 +10

1.70 1.928 2.823 1.971 5.56 0.0970 0.9810 -1.1

2.00 1.889 2.729 1.675 4.57 0.0750 0.0785 -4.5

2.40 1.802 2.525 1.396 3.52 0.0483 0.0515 -6.2

2.70 1.705 2.306 1.241 2.86 0.0306 0.0317 -3.6

3.00 1.558 1.993 1.117 2.23 0.0144 0.0138 +4.5

3.20 1.375 1.633 1.047 1.71 0.0039 0.0042 -6.4

Бензол, рс = 304 кг/м3, Тс =562.6К, 8{) = 618А", сг0= 5.27А

283 2.926 5.744 1.988 11.42 30.47 30.24 +0.8

293 2.891 5.626 1.920 10.80 28.75 28.88 -0.5

333 2.748 5.153 1.689 8.71 22.82 23.66 -3.6

353 2.675 4.915 1.594 7.83 20.24 21.20 -4.5

н-Гептан, рс = 235 кг/м3, ТС=540.16К, е0 = 696К , сг0 = 6.38А

193 3.257 6.932 2.799 19.40 38.43 - -

233 3.121 6.431 2.318 14.91 29.76 - -

273 2.981 5.933 1.979 11.74 23.39 - -

293 2.909 5.686 1.844 10.48 20.78 20.80 -0.4

333 2.762 5.195 1.622 8.43 16.40 16.39 0.0

373 2.606 4.699 1.448 6.80 12.77 12.47 +2.4

Хлорбензол, рс= 365 кг/м3, Тс =632.35К, 8{) = 120К , сг0 =5.83/1

233 3.211 6.761 2.714 18.35 46.06 - -

273 3.090 6.320 2.316 14.64 37.02 36.0 +2.8

293 3.030 6.106 2.158 13.18 33.35 33.5 -0.4

333 2.915 5.706 1.899 10.84 27.33 28.7 -4.8

373 2.792 5.293 1.695 8.97 22.32 24.0 -7.0

393 2.740 5.123 1.609 8.24 20.33 21.8 -6.8

473 2.455 4.240 1.337 5.67 12.93 13.2 -2.0

513 2.290 3.768 1.233 4.64 9.84 9.20 +7.0

Этанол, рс = 280 кг/м3, ТС=516.25К, £0 = 346А", сг0 = 4.46/1

273 2.880 5.588 1.891 10.57 25.49 24.4 +4.5

293 2.820 5.386 1.762 9.49 22.82 22.8 0

313 2.758 5.182 1.649 8.55 20.42 21.0 -2.8

333 2.693 4.972 1.550 7.71 18.20 19.2 -5.2

353 2.625 4.757 1.482 6.96 16.15 17.3 -6.6

373 2.556 4.545 1.384 6.29 14.27 15.5 -7.9

413 2.488 4.338 1.250 5.42 11.90 11.2 +6.0

Для сжиженных благородных газов Ие, Аг, Кг, Хе соотношение (21) воспроизводит зависимость приведенного коэффициента поверхностного натяжения от приведенной температуры г = У / Тс (Тс — критическая температура жидкости) с

погрешностью 5 = 10% в интервале приведенных температур г = 0.4-0.8. Для жидкого Не , жидкости с явно выраженными квантовыми свойствами, предложенная методика качественно описывает температурную зависимость коэффициента поверхностного натяжения вдоль линии насыщения (см. табл.).

Коэффициент поверхностного натяжения для циклических, линейных углеводородов, их галогенозамещенных и некоторых н-спиртов исследовался в основном при атмосферном давлении в интервале температур от 0 °С до температуры кипения жидкости [Варгафтик 1972]. В указанном интервале температур погрешность расчета по формуле (21) не превышает 10% (см. табл.).

Молекулы линейных н-парафинов и н-олефинов моделировались цилиндрами вращения, т.к. именно такая модель позволяет получить наиболее плотную упаковку молекул в случае параллельного расположения цилиндров, что подтверждается рентгеноструктурными исследованиями [Скрышевский, 1980; Мельников, 2010].

Длину молекулы можно рассчитать по известным длинам связей между атомами и валентными углами

^ = К« -1 Ус-с + 2^с-я]«1п|, (24)

где 1С_С = 1,54 А, £с_н = 1,096 А - длины соответствующих связей, а = 120° -валентный угол между направлением связей.

Объем моделированного цилиндра вращения должен совпадать с объемом реально существующей молекулы. Объем молекулы оценивается по коэффициенту МОЛекуЛЯрНОЙ упаКОВКИ МОЛекуЛ В веществе Т]

^мол ~ Луп ' ^ • (2^)

Для ряда н-парафинов в критической точке значение коэффициента

молекулярной упаковки % = 0,1956, тогда имол = 0,1956ис, ис - критический объем

жидкости, приходящийся на одну молекулу.

Соотношение для оценки эффективного диаметра молекулы как цилиндра вращения [Мельников 2010] имеет вид

1 I V

-0=^ (26)

V мол

В таблице представлены результаты вычисление величины сг0 и коэффициента поверхностного натяжения для н-гептана вдоль линии насыщения, которые показывают применимость предложенной методики для жидкостей с линейными молекулами.

На рисунке 2 представлены результаты теоретического расчета приведенного коэффициента поверхностного натяжения по формуле (23) - пунктирные линии - и нанесены экспериментальные значения для соответствующих жидкостей вдоль линии равновесия жидкость-пар.

Предложенная методика расчета коэффициента поверхностного натяжения в рамках кластерной модели позволяет оценить глубину потенциальной ямы е0 и

эффективный диаметр <то молекулы степенного потенциала взаимодействия на основе

соотношения (23) и экспериментальных данных для плотности и КПН в зависимости от температуры.

Мельников Г. А., Вервейко В. Н, Мельников В. Г., Верисокин А. Ю., Вереейко Д. В. Коэффициент

поверхностного натяжения простых жидкостей в кластерной модели

35

30

25

20

Ь

15

10 5 0

Рис. 2. Зависимость приведенного коэффициента поверхностного натяжения от приведенной температуры для различных жидкостей

Исследования показали, что для сжиженных благородных газов силовые постоянные £а и <70, полученные нами по коэффициенту поверхностного натяжения, с погрешностью 5-6% совпадают с аналогичными постоянными потенциала Леннард-Джонса. Для аргона получены значения постоянных: £а = 124.0К, сго = 3.40А, силовые постоянные для потенциала Леннард-Джонса, определенные из данных о коэффициенте вязкости, имеют значения: £0 = 124.0К, <то=3.418А [Гиршфельдер, Кертисс, Берд 1961]. Исключением является Не , для которого нами получено значение £а =0.62К при эффективным диаметре <то =2.58А, постоянные потенциала Леннард-

Джонса имеют значения £а =10.2К и <то =2.58А соответственно [Там же].

Для жидкостей, в основе строения молекул которых лежит бензольное кольцо, потенциал Леннард-Джонса используется как первое приближение при описании взаимодействия между молекулами, чаще используется более общий степенной потенциал Ми, для жидкостей с дипольными молекулами - потенциал Штокмайера [Та1апдиег, Ох1:оЬу 1993] или потенциал (6-12) с учетом диполь-квадрупольного взаимодействия. Расчеты, проведенные нами для бензола, дают значение

энергетической постоянной £о=6\8К при эффективном диаметре молекулы

<то = 5.27А. Оценки, полученные авторами ранее по энергии решетки

кристаллического бензола, дают приблизительно такие же значения силовых постоянных (£а =614К,<уо =5.46 А) [Мельников 2010]. Параметры потенциала

Леннард-Джонса для бензола имеют следующие значения: £о=440^ и <то = 5.27А [Гиршфельдер, Кертисс, Берд 1961].

Проведенный краткий анализ предложенного метода оценки силовых

постоянных потенциалов взаимодействия по коэффициенту поверхностного натяжения в рамках кластерной модели показывает, что полученные соотношения могут с успехом применяться для прогнозирования зависимости коэффициента поверхностного

♦----Вепго! ех -----Вепго!

* Не3 ех

►....То1ио1 ех .....Тоио1

> С„Н5С1 ех

6

------СсН5С1

Ь

• Н20 ех

натяжения жидкостей от параметров состояния и позволяют оценить силовые постоянные потенциалов взаимодействия для вещества.

Библиографический список

Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. М.: Химия, 1966. 628 с.

Варгафтик Н. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука. 1972. 720 с.

Гиршфельдер Дж., Кертисс С., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ., 1961. 929 с.

Есин О. А., Гельчинский В. Р., Ватолин Н. А., Ухов В. Ф. О связи между вязкостью и поверхностным натяжением в простых жидкостях // Журн. физ. химии. 1975. 49. № 11. С. 2955-2957.

Корепанов М. А. Расчет коэффициента поверхностного натяжения // Вестник ИжГТУ. 2006. №1. С. 6-9.

Матюхин С. И., Фроленков К. Ю., Антонов О. Н., Игошин В. М. Поверхностное натяжение и адгезионные свойства тонкопленочных покрытий // Пленки и покрытия: тр. VI междунар. конф. «Пленки и покрытия-2001». СПб: Изд-во СПбГТУ, 2001. С. 577-581.

Мельников Г. А. Кластерная теория и релаксационные процессы в жидкостях. Курск: Курск. гос. ун-т, 2010. 160 с.

Мельников Г. А., Вервейко В. Н., Мельников В. Г., Вервейко Д. В., Верисокин А. Ю. Кластерное строение конденсированных сред // Вестник московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. №5. С. 23-27.

Пешков В. Н., Зиновьева К. Н. Экспериментальные работы с He3 // УФН. Т. 67. Вып. 2. 1959. С. 193-244.

Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982. 592 с.

Русанов А. И. О связи между теплотой испарения и поверхностной энергией // Докл. АН СССР. 1981. Т. 261. № 3. С. 700-703.

Скрышевский А. Ф. Структурный анализ жидкостей и аморфных тел. М.: Высшая школа, 1980. 328 с.

Born M., Green H.S. A general kinetic theory of liquids // Proc. Roy. Soc. 1947. 90A. № 1023. P. 455-474.

Grigoriev A. D., Grigoriev P. D., Dyugaev A. M. Surface levels and their contribution to the surface tension of quantum liquids // J. Low Temp. Phys. 163. P. 131-147. (2011).

Fowler R. H. A Tentative Statistical Theory of Macleods Equation for Surfac. Tension and the Paracher // Proc. Roy. Soc. 1937. 159A. № 897. P. 228.

Lino M., Suzuki M., Ikushima A. J., Okuda Y. Surface tension of liquid He down to 0.3 K // J. Low Temp. Phys. Vol. 59. № 3/4. P. 291-304. (1985).

Talanquer V., Oxtoby D. W. Nucleation in dipolar fluids: Stockmayer fluids // J. Chem. Phys. 1993. 99(6). Р. 4670-4679.