CC BY
24
УДК 541.264: 537.2
doi: 10.18101/2306-2363-2017-1-31-36
КОЭФФИЦИЕНТ ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ И НЕЛИНЕЙНОСТЬ СИЛЫ МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
© Мантатов В. В.
доктор физико-математических наук, доцент, Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: manv999@bsu.ru
© Бадмаев С. С.
кандидат технических наук, доцент, Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: sayan75@mail.ru
© Сандитов Д. С.
доктор физико-математических наук, профессор Бурятский государственный университет Россия, 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а E-mail: sanditov@bsu.ru
Рассмотрена взаимосвязь параметра Грюнайзена и коэффициента Пуассона (коэффициента поперечной деформации) кристаллических и стеклообразных твердых тел. Показано, что коэффициент Пуассона ц однозначен функции параметра Грюнайзена yD. Сопоставление результатов расчетов показывает однозначную связь между гармоничной и ангармоничной yD величины, что не характерно для теории упругости.
Ключевые слова: ангармонизм колебаний решетки, коэффициент Пуассона, параметр Грюнайзена, теория упругости, поперечная деформация, стекла, межатомное взаимодействие
Коэффициент Пуассона /, который иногда называют коэффициентом поперечной деформации, по определению равен отношению относительной поперечной деформации тела sz = Ar/r к его относительному продольному удлинению sx = Al/l при одноосном растяжении
Согласно работе [1], у изотропных твердых тел диапазон разрешенных значений /л определяется по известной формуле теории упругости из условия положительности упругих модулей (В > 0, G > 0)
В соответствии с этим соотношением при равенстве нулю модуля объемного сжатия В = 0 коэффициент Пуассона равен нижнему пределу / = -1, а когда модуль сдвига равен нулю G = 0, получаем верхний предел / = '/г.
И =
Ar/г
Al/l
(1)
(2)
Таким образом, по Ландау и Лифшицу величина р может меняться в интервале
- 1 < ц <0.5 (3)
Разберем связь коэффициента поперечной деформации р с параметром Грюнайзена уп, который входит в уравнение состояния твердых тел и служит мерой ангармонизма колебаний решетки и нелинейности силы межатомного взаимодействия. Грюнайзен вывел формулу:
BBV
Уп =■
с
(4)
с помощью которой можно вычислять уп из экспериментальных данных о коэффициенте объемного теплового расширения в, изотермическом модуле объемного сжатия В, молярном объеме V и молярной теплоемкости Су.
Наряду с уравнением Грюнайзена (4) предложены другие способы расчета уп. Опираясь на теорию упругости, молекулярную акустику и термодинамику, Леонтьеву [2] удалось усреднить частоту колебаний решетки и непосредственно из определения параметра Грюнайзена вывести следующее соотношение для величины уп
Уп =
(
Бл
\
К Р»к )
(5)
где ВА — адиабатический модуль объемного сжатия, р — плотность, иК — средняя квадратичная скорость, квадрат которой является инвариантом суммы квадратов скоростей распространения продольных (ц,) и поперечных (%) упругих волн
2 ~ 2 ит + 2ис
ик =-
(6)
Рис. 1. Сравнение значений параметра Грюнайзена, рассчитанных по уравнению Грюнайзена уп (4) и по формуле Леонтьева уп (5). Номера точек соответствуют номерам твердых тел в табл. 1.
Рис. 2. Сравнение значений параметра Грюнайзена, рассчитанных по уравнению Грюнайзена уп (4) и по формуле Беломе-стных-Теслевой (7). Номера точек соответствуют номерам твердых тел в табл. 1.
3
Таблица 1
Сопоставление результатов расчета параметра Грюнайзена уг по уравнениям (4), (5) и (7) [3, 4]
№ Элементы и соединения И Параметр уг по уравнению
Грюнайзена (4) Леонтьева (5) Беломестных-Теслевой (7)
1 LiF 0.214 1.34 1.35 1.34
2 №С1 0.243 1.46 1.53 1.47
3 Lia 0.245 1.52 1.47 1.48
4 КС1 0.259 1.60 1.60 1.54
5 N8? 0.234 1.57 1.44 1.43
6 NaBr 0.270 1.56 1.65 1.60
7 LiBr 0.256 1.70 1.53 1.53
8 КВг 0.283 1.68 1.67 1.67
9 0.292 1.68 1.68 1.72
10 К1 0.265 1.63 1.60 1.57
11 Со 0.357 2.10 1.85 2.19
12 А1 0.340 2.11 2.16 2.05
13 Ag 0.379 2.40 2.24 2.40
14 Ве 0.034 0.83 0.83 0.82
15 Y 0.245 1.25 1.40 1.48
16 NaNOз 0.257 1.31 1.27 1.53
17 N8003 0.270 1.37 1.61 1.60
18 Th 0.254 1.40 1.61 1.52
19 Mg 0.270 1.41 1.64 1.60
20 RbBr 0.267 1.50 1.76 1.59
21 Та 0.337 1.73 2.05 2.03
22 AgBr 0.396 2.33 2.65 2.58
23 Pd 0.374 2.40 2.44 2.35
24 Аи 0.420 2.80 2.90 2.88
На рис. 1 сопоставляются результаты расчета уг по уравнениям Грюнайзена (4) и Леонтьева (5) для ряда твердых тел (табл. 1) [3]. Как видно, наблюдается удовлетворительное согласие между этими соотношениями. Отклонения от данной корреляции для некоторых твердых тел обусловлены, по-видимому, главным образом разбросом значений уг, полученных разными исследователями.
Используя выражение для модуля сдвига G = pvS2 и формулу (6) для vK2, преобразуем уравнение Леонтьева (5)
Г г =
(
В<
^„2
р»
V
К
Ва
G
3
»ь »! )2 + 2
Далее, с помощью известных выражений теории упругости [1]
В = 2 ( 1 + У л
О 3 ^ 1 -
Л
2 - 2у 1 - 2у
В — В
в приближении А ~ приходим к формуле Беломестных-Теслевой [10]
2
Таблица 2
Упругие свойства и параметр Грюнайзена натриевоалюмосиликатных стекол (использованы данные [6])
№ Состав по синтезу, мол. % Р, 10-3 кг/м3 VL, м/с Vs, м/с В, 10-8 Па Ц То
№20 А12О3 Si02
1 15 0 85 2.339 5430 3340 342 0.196 1.28
2 15 5 80 2.358 5570 3390 370 0.206 1.31
3 15 10 75 2.410 5697 3510 386 0.194 1.26
4 15 15 70 2.465 5737 3469 416 0.212 1.34
5 15 20 65 2.428 5850 3540 425 0.211 1.34
6 15 25 60 2.472 6000 3568 470 0.226 1.40
7 25 0 75 2439 5280 3140 359 0.226 1.40
8 25 5 70 2.455 5480 3240 394 0.231 1.41
9 25 10 65 2.461 5610 3330 411 0.228 1.40
10 25 15 60 2.480 5640 3350 418 0.227 1.39
11 25 20 55 2.470 5680 3450 405 0.208 1.32
12 25 25 50 2.499 5790 3490 432 0.215 1.35
13 25 30 45 2.519 6026 3556 490 0.233 1.43
14 35 0 65 2.497 5340 3070 398 0.253 1.52
15 30 5 65 2.486 5500 3200 413 0.244 1.47
16 20 15 65 2.450 5670 3490 390 0.195 1.28
17 17.5 17.5 65 2.447 5746 3458 418 0.216 1.35
Рис. 3. Сравнение значений параметра Грюнайзена, рассчитанных по уравнению Леонтьева (5) и по формуле Беломестных-Теслевой (7), для натриевоалюмосиликатных стекол. Номера точек соответствуют номерам
стекол в табл. 2.
которая была получена авторами [3] из иных исходных посылок.
Эта формула привлекательна тем, что позволяет рассчитывать уг по данным только о коэффициенте Пуассона /. Оценка уг с ее помощью для многих металлов, ионных и молекулярных кристаллов удовлетворительно согласуется с расчетом по уравнению Грюнайзена (4) (табл. 1) [4, 5]. Рис. 2 подтверждает согласие между уравнениями Беломестных-Теслевой и Грю-найзена.
На рис. 3 приводится зависимость параметра Грюнайзена уг, рассчитанного по формуле Леонтьева (5), от функции коэффициента Пуассона по Беломе-стных-Теслевой (3/2)(1+/)/(2-3/) для натриевоалюмосиликатных стекол с различным содержанием окислов (табл. 2 [5]). Видно, что уравнения Леонтьева (5) и Беломестных-Теслевой (7) хорошо согласованы с экспериментальными данными. Такие же результаты получаются для других стекол.
Таким образом, коэффициент Пуассона л оказывается однозначной функцией параметра Грюнайзена уг.
Отмечая согласие формулы Беломестных-Тесловой (7) с уравнением Грю-найзена (4), необходимо обратить внимание на тот факт, что эта формула однозначно связывает между собой гармоническую (линейную) л и ангармоническую (нелинейную) уг величины, что не характерно для теории упругости.
Известны попытки качественного объяснения наличия взаимосвязи между линейными и нелинейными величинами [6].
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (грант № 1932).
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука. — 1965. —
2. Леонтьев К. Л. О взаимосвязи между упругими и тепловыми свойствами твердых тел // Акустический журнал. — 1981. — Т. 47, Вып. 4. — С. 554-561.
3. Беломестных В. Н., Теслева Е. П. Взаимосвязь ангармонизма и поперечной деформации квазиизотропных поликристаллических тел // ЖТФ. — 2004. — Т. 74, Вып. 8. — С. 140-142.
4. Сандитов Д. С., Беломестных В. Н. Взаимосвязь параметра теории упругости и усредненный модуль упругости твердых тел // ЖТФ. — 2011. — Т. 81, Вып. 11. —
5. Лившиц В. Я., Теннисон Д. Г., Гукасян С. Б., Костанян А. К. Акустические и упругие свойства стекол системы Na2O-Al2O3-SiO2 // Физика и химия стекла. — 1982. — Т. 8, № 6. — С. 688-693.
6. Сандитов Д. С. Коэффициент поперечной деформации стеклообразных твердых тел. Германия: международный издательский дом LAP Lambert Academic Publishing. — 2016. — 72 р.
(7)
204 с.
С. 77-81.
THE COEFFICIENT OF TRANSVERSE DEFORMATION AND NONLINEAR FORCES OF INTERATOMIC INTERACTION
Mantatov V. V.
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate Professor,
Buryat State University
24a Smolina Str., Ulan-Ude, 670000, Russia
E-mail: manv999@bsu.ru
Badmaev S. S.
Candidate of Engineering Sciences, associate Professor, Buryat State University 24a Smolina Str., Ulan-Ude, 670000, Russia E-mail: sayan75@mail.ru
Sanditov D. S.
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor,
Buryat State University
24a Smolina Str., Ulan-Ude, 670000, Russia
E-mail: sanditov@bsu.ru
The interrelation between the Gruneisen parameter and the Poisson ratio (the coefficient of transverse deformation) of crystalline and glassy solids is considered. It is shown that the Poisson's ratio ^ is single-valued for the function of the Gruneisen parameter yD. Comparison of the results of calculations shows an unambiguous relationship between the harmonious and anharmonic yD values, which is not typical for the theory of elasticity
Keywords: anharmonicity of lattice vibrations, Poisson's ratio, Gruneisen parameter, elasticity theory, transverse deformation, glasses, interatomic interaction.
