CC BY
15
Key words: square function, trigonometric series, Fourier series, Fourier coefficients, modeling, periodicity, interval.
Azimov Nabi Saidovich, senior lecturer, azimov-nabi@mail. ru, Tajikistan, Khujand, Khujand Polytechnic Institute of the Tajik Technical University named after academician M.S. Osimi
УДК 519.8
КОЭФФИЦИЕНТ И ОЦЕНИВАНИЕ СБАЛАНСИРОВАННОСТИ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ СИСТЕМЫ В ДИФФУЗНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССАХ
Е.П. Минаков, М.А. Александров, В.В. Кравцов
Рассматривается оценивание сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями системы, а также вводится коэффициент сбалансированности системы по интенсивностям вероятностей переходов. Приведены примеры оценивания коэффициентов сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
Ключевые слова: оценивание сбалансированности, коэффициент сбалансированности системы.
Для моделирования функционирования технических и организационно-технических систем широкое применение нашел математический аппарат теории диффузных (непрерывных) марковских процессов. Подход к прогнозированию и оцениванию вероятностей наступления случайных событий в нем базируется на способе, разработанном А.Н. Колмогоровым и состоит в применении графовых и дифференциальных моделей, одной из основных характеристик которых являются интенсивности изменения вероятностей переходов между состояниями процессов функционирования систем. При этом в работах отсутствуют указания на то, как задавать эти интенсивности, для чего, как правило, их значения определяются либо эмпирически, либо путем вербальных рассуждений.
Одновременно с этим оценивание прогнозных вероятностей нахождения процессов функционирования систем в возможных (случайных) состояниях при определении их с использованием непрерывных марковских моделей показывает на отсутствие взаимно однозначного соответствия в изменении указанных вероятностей и этих интенсивностей.
Совокупность указанных обстоятельств делает актуальным решение задачи поиска значений интенсивностей изменения вероятностей переходов между состояниями в диффузных марковских моделях и, в частности, поиска их оптимальных значений, обеспечивающих максимальные значения некоторых (определенных) вероятностей состояний процесса функционирования систем.
Л(/)-
1 {Г)
Ып2 0)
Постановка задачи. Пусть на графе процесса функционирования системы задана соответствующая ему матрица инциденций Л(?), в которой в любой момент времени ? каждый элемент либо равен интенсивности Ху(?) перехода процесса из ¿-го состояния в у-е, либо равен нулю, если связность между соответствующими вершинами графа отсутствует [2, 3].
Указанные интенсивности (плотности вероятностей) переходов -представляющие собой предел отношения вероятности перехода процесса за время А? из состояния I в состояние у, т.е. р^, ?+А?) к величине А?:
1у (?) = Ит
Ру (?, ? + А?) <ру (?) Ар у (?, ? + А?)
,(У * О-
А? ® 0 А? < А?
где Ар(, ?+А?) - изменение вероятности перехода между состояниями I и у за время А?, начиная с момента времени ?.
Если для каждой интенсивности Х(?) (или некоторых из них) задан
возможный диапазон изменения - А у (?) = [1}}т(?), 1}/ах(?)], т.е. ^¡,(0
должна удовлетворять критерию аддитивности:
1 у (?) е [1}'"(?); 1} ах(?)].
Определение величин Ху(?) является одной из ключевых в решении задачи. Уместно выделить два случая:
1) когда все интенсивности не зависят от времени Хгу(?)=сопБ1 и марковский процесс является однородным;
2) все или хотя бы часть интенсивностей Ху(?) зависят от времени и процесс является неоднородным.
А,25
А47
?-12
/-23 А,34
5 \ А,56 'А-67 \ А.78
Рис. 1. Пример процесса функционирования системы
Пусть процесс функционирования системы может быть смоделирован, например, с помощью оцифрованного графа, представленного на рис.1, каждой дуге которого сопоставлена интенсивность изменения вероятности перехода между парами состояний - Xj, zj=1,2,3,...8 непрерывной однородной марковской моделью. По правилу А.Н. Колмогорова для графа на рис.1 может быть получена соответствующая система дифференциальных уравнений:
'dpi! dt = —112 P1(t) + 141 P4(t) + 161 P6(t) + ^81 P8(t) dp2 ! dt = —123P2 (t) — 125P2(t) + I12P1 (t)
dp3 ! dt = —134P3 (t) + 123P2 (t)
dP4 ! dt = —145P4 (t) — 147P4 (t) — 141P4 (t) + ^4P3 (t)
. (1)
dP5 ! dt = —156P5(t) + 145P4(t) + 125P2(t) + ^85P8(t) dP6 ! dt = —167P6 (t) — 161P6 (t) + 156P6 (t) dP7 ! dt = —178P6 (t) +167P6 (t) + 147P4 (t)
[dP8 ! dt = —185P8 (t) — 181P8 (t) + 178P7 (t) Начальными условиями для ее интегрирования на момент времени to является вектор
Рну = (Wo), P(t0) P3(to), P4O0), P5(to), P6(to), P7O0), P8(to)) . (2) Требуется определить множество интенсивностей изменения вероятностей переходов между состояниями процесса - {Х/}, обеспечивающее наименьшую верхнюю грань множества вероятностей наступления заданного k-го события в заданный момент времени t3:
{1j} = arg sup Pk((t 3;L); A),
{1j}
где Л - матрица интенсивностей вероятностей перехода при ^(t) = const; A = U Aij - объединенное множество возможных диапазонов изменения
интенсивностей изменения вероятностей: A j = [1//1П; 1//ах ].
Коэффициент сбалансированности системы по интенсивностям вероятностей переходов. Отсутствие взаимно однозначного соответствия в изменении вероятностей Pk(t) и интенсивностей Xj может быть продемонстрировано интегрированием (1) методом Рунге-Кутта четвертого порядка по исходным данным, представленным в табл.1, на интервале времени в 6 мин варьированием значениями величины интенсивности Х23 от o,1 до 1,o с шагом o,1.
Таблица 1
Исходные данные
Х12 Х23 Х34 Х45 Х56 Хб7 X78 X25 X47 X41 Хб1 ^81 ^85
o,6 o,1 o,8 o,7 o,8 o,9 o,9 o,8 o,5 o,7 o,8 o,8
В качестве начальных условий (2) принимались
Рну = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). (4)
Для двух значений Х34, равных 0,1 и 0,9 были получены вероятности наступления события «8» (табл.2).
Таблица 2
Значения вероятности наступления события__
Х23 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Х34 0,1 0,0603 0,0572 0,0545 0,0521 0,0501 0,0483 0,0468 0,0454 0,0442 0,0431
Х34 0,9 0,0656 0,0668 0,0678 0,0687 0,0694 0,0700 0,0706 0,0710 0,0714 0,0718
Соответствующие графики приведены на рис.2.
0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -Ряд1----Ряд2
Рис. 2. Зависимости вероятности наступления события от Хз4
Из приведенных данных видно, что для Х34 = 0,1 график Р8(^) является убывающей, а для Х34 = 0,9 - возрастающей функцией от Х23. Причиной этого является «наложение» входящих и выходящих в события потоков. Указанное обстоятельство существенным образом затрудняет оценивание влияния этих интенсивностей и предъявление требований к ним для обеспечения соответствующих величин вероятностей. Это, в свою очередь, делает актуальным поиск такого сочетания интенсивностей переходов между состояниями системы, которое обеспечивает максимум вероятности наступления какого-либо заданного события. Решением задачи Коши (1) и (2) варьированием значений Хц на любой требуемый момент времени 11з может быть получена верхняя грань (3) вероятности вероятности наступления заданного состояния - I и соответствующее множество интенсивностей переходов - {X/} и сформирована матрица инциденций
1
2
Л* =
от
Л * Лц 1п Л Ал/ А1 г?г
Ь* /-22* А2.!)г"
Ал" А-а* Л * м 1 ж
А.»¡241
Пусть каким-либо образом заданы (известны) интенсивности вероятностей переходов между состояниями Лг/ и может быть сформирована соответствующая матрица разностей интенсивностей
Элементы этой матрицы могут быть как положительными, так и отрицательными. Решением задачи Коши (1), (2) на требуемый момент времени ¿з может быть получено значение вероятности наступления требуемого п-го состояния -рп((гз; Лз);А).
Для оценивания сбалансированности (соответствия) интенсивно-стей вероятностей переходов между состояниями процесса функционирования систем может быть введен коэффициент (показатель) сбалансированности системы по интенсивностям вероятностей выполнения работ по заданной вероятности попадания процесса в п-е состояние в момент времени ¿з:
кп (* з; А) = Рп ((¿з; А*); А) / Рп ((¿з; Лз); А) (4)
Очевидно, что всегда (¿з; А) > 1, а при Кп (¿з; А) = 1 все элементы матрицы 5Л равны нулю. Если заданы (известны) некоторые интенсивности - множество {Л5/}: М((Х59з}) < М({Лу}), где М() - мощность множества тех или других интенсивностей, то решением задачи Коши (1), (2) при варьировании значений интенсивностей множества {Лу}!^/}, где «|» - символ операции вычета из множества множества, на любой заданный времени ¿з на множестве А может быть получено максимальное значение вероятности наступления требуемого состояния п и соответствующее множество интенсивностей переходов - {Лу }:
{А** } = а^ Бир Рп ({1у }/{1 sq з};A),
{1у }1{1 sq з }
В этом случае может быть получен коэффициент локальной сбалансированности системы по интенсивностям {Лу}!^/} по вероятности попадания процесса в 1-е состояние в момент времени ¿з:
кп (¿з;А) = Рп((¿з;л );А)/Рп((¿з;Лз);А), где Л** - матрица, часть элементов которой - {Л^} заданы, а часть -{Лу}|{Л,5/} может быть проварьирована на множестве А.
Оценивание сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями системы. Сбалансированность интенсив-ностей вероятностей переходов между состояниями процесса может быть оценена по коэффициенту сбалансированности по критерию пригодности.
Если Кп (¿з; А) = 1, то множество заданных интенсивностей переходов {Хуз} пригодно для обеспечения значения верхней грани п-й вероятно*
сти в момент времени ¿з = Бир рп ((¿з; Л ); А) (матрица 5Л становится нулевой) и не требует корректировки.
Если КП(t3; A) > 1, то все или часть входящих в {^г/(0} интенсив-
ностей не пригодны для обеспечения suppn((t3;Л ); A) и могут быть изменены таким образом, чтобы обеспечить
Pn ((t з; Л ); A) pn ((tз; Л ); A) ® min •
l ij 3 (t)
С другой стороны, может быть сформулировано необходимое условие возможности оптимизации множества {Хг/}: если для любых i, j
\ * ^ з ^ г imin imax-i
xj , 1ij е L^ij , xJ L и, если Xy* Ф Хг/, то sup рп((^;Л);А) обеспечивается присвоением ^/(t) величин Xy*(t): Xif := Xj*.
Из приведенных рассуждений видно, что особую значимость приобретает задание предельных значений величин интенсивностей - Xymin, Xjmax. В частном случае в качестве их предельных оценок могут быть приняты:
1) 1 jmax = Dpij / Dtj = 1/Dtj,
где bpij = 1 - предельно возможная разность в вероятностях наступления событий ей при переходе системы из i-го состояния в j-е; Atj - время перехода системы из i-го состояния в j-е;
2) Хуmax = 0 .
Пусть Очевидно, что
ij
Пусть любое A j ХГ^ = [0,1/DtXJ ](M (Aj) < (M (Bj)).
Рп((Xз;Л );А) £ Рп((Xз;Л );В),
где В = и Ву .
Существует три случая соотношения рассматриваемых интенсивностей на множестве Ху (рис.3):
1) V > Хутах;
ол 1 птт лтах-1.
2) Ьу е 1Лу , Ьу
3) Ху* < Хут1п.
Если случай «2» имеет место для всех интенсивностей, то Ху* обеспечивает глобальный экстремумом рп((Хз;Л*);В).
Очевидно, что для случае «1» и «3», когда указанные неравенства имеют место для некоторых Ху просто расширение границ множества А до множества В может не обеспечить максимума рп((Хз;Л*);В). В этом случае необходимо варьирование другими интенсивностями таким образом, что обеспечивался критерий оптимальности на множестве В:
198
} = arg sup pn (^;L ); B).
ih}
Xy
«l»
Xy
Л max
Aäj
V
«2»
V
Рис. 3. Соотношения интенсивностей
Примеры оценивания коэффициентов сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
В качестве метода поиска максимума функции рп((4;Л*);Л) может быть использован метод случайного поиска с моделированием изменений величин Xij по равномерному закону на заданных множествах Ау, используемый в примерах 1-3 при выборке в 200 испытаний.
Пример 1. Сравнительное оценивание критериев сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
Решение этой задачи осуществлялось по исходным данным табл.2 по начальным условиям (4) на момент времени ?з=6 мин. Соответствующие результаты: множества {Xj}, вероятности р8((1;з;Л);Л) и коэффициенты сбалансированности КС8(4;А) для Ay=[0;0,7] представлены в табл. 3.
Пример 2. Оценивание коэффициентов сбалансированности для заданных интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
Решение этой задачи осуществлялось по исходным данным табл. 2, 4 по начальным условиям (4) на момент времени t3=6 мин для ^2зз= 0,1(0,1)1.
Величины интенсивностей {Хг/} сведены в гистограммы на рис.4.
На рис.5 для каждого варианта {Ху} с соответствующим значением Х23з приведены гистограмы КС8(4;А).
Значения интенсивностей обеспечивающие min Kc8(ij;A) приведены в табл. 5.
Таблица 3
Результаты расчетов___
№ ^12 ^23 Хз4 ^45 ^56 Хб7 ^78 ^25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0,690769 0,627271 0,081269 0,599144 0,566072 0,4200696 0,5215773 0,540665
2 0,524669 0,612495 0,414167 0,034075 0,183505 0,3274581 0,4403366 0,336442
3 0,390992 0,671235 0,001414 0,469777 0,473045 0,1751638 0,1493521 0,359853
4 0,206418 0,200682 0,683606 0,588140 0,101989 0,0662877 0,3718213 0,612989
5 0,304018 0,435087 0,016125 0,480394 0,355945 0,6068937 0,0970065 0,453121
6 0,232852 0,117486 0,137228 0,502094 0,093812 0,3635279 0,6071723 0,449436
7 0,645703 0,488466 0,683293 0,490503 0,684147 0,5832499 0,48551 0,191163
8 0,152221 0,281109 0,579521 0,455548 0,303891 0,1130758 0,6013286 0,4409459
9 0,369560 0,237978 0,2730683 0,3001513 0,6045657 0,2684776 0,3662861 0,5874256
200 0,585648 0,542558 0,030147 0,476492 0,025141 0,3525128 0,6135765 0,138667
^47 ^41 1б1 ^81 ^85 Р8((1з ;Л);А) р8((1з;Л*);А) Кси(й;А)
10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 0,191221 0,241978 0,371961 0,049486 0,05747 0,1003459 1,107598
2 0,504573 0,219627 0,011049 0,104856 0,276420 0,088428 1,256874
3 0,534406 0,516629 0,490101 0,069481 0,163429 0,0074725 14,87349
4 0,558597 0,248656 0,676408 0,197859 0,655474 0,0084649 13,12988
5 0,060870 0,375302 0,295898 0,383662 0,089166 0,0115642 9,610923
6 0,401968 0,016610 0,634234 0,271996 0,469388 0,0100582 11,04996
7 0,213669 0,068897 0,072430 0,105193 0,330630 0,1111429 0,1111429 1
8 0,294100 0,448800 0,558015 0,425363 0,197086 0,0126969 8,753548
9 0,195066 0,349085 0,634650 0,664773 0,229192 0,0234998 4,729535
200 0,44067 0,374283 0,025585 0,105319 0,150483 0,0027034 41,11283
Таблица 4
Оценки коэффициентов сбалансированности
1Х23 Ы3 Х453 Х563 Х673 Х783 Х253 Х473 Х413 Х613 Х813 Х853
0,5 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3 0,4 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4
1 2 3 4 5 б 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
■ А12. ВЛ23 ИА.34 ■ Л.45 ИЛ56 ■ АС7 ВЛ.78 1X25 1Л47 ■ Л41 1Л.61 «Л.81 »>,85
Рис. 4. Результаты расчетов {X,/} 200
Таблица 5
Значения интенсивностей
Ж_____■ ■ Il I И - I
Рис. 5. Результаты расчетов K%{t3\A)
Xl2 X23 X34 X45 ls6 ^67 X78 X25
{V} 0,5897662 0,6935467 0,0818048 0,2225889 0,6418936 0,4193232 0,4337072 0,5773569
{Iii3} 0,4348821 0,2 0,3258465 0,1546697 0,5726034 0,552961 0,3290806 0,6686048
X47 X41 1б1 ^81 ^85 P8№;A*);A) Kc8(t3;A)
{Iii*} 0,4786087 0,2611964 0,0461595 0,0889516 0,587125 0,0672141 1,3066327
{^ij3} 0,324402 0,5110023 0,0097476 0,4699094 0,1747079 0,0778608
Пример 3. Оценивание коэффициентов сбалансированности для различных множеств интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
Решение этой задачи осуществлялось по исходным данным табл.2, 4 по начальным условиям (4) на момент времени ?з=6 мин. для Х23з=0,2 при
А=[0;0,7] и Ву=[0;0,9].
Соответствующие результаты: множества {Хг/}, коэффициенты сбалансированности Кс8(?з;А) и их отношение 5 представлены в табл. 6.
Таблица 6
Результаты расчетов___
X12 X23 X34 X45 X56 ^67 ^78 X25
{V} 0,5716157 0,4172825 0,3440099 0,6376701 0,4540773 0,6400852 0,6247739 0,1986264
{V} 0,5 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3 0,4 0,6
{V} 0,6126553 0,0719049 0,6173165 0,5890139 0,7698121 0,3708495 0,8094659 0,8233423
{V} 0,5 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3 0,4 0,6
X47 X41 ^61 ^81 ^85 р8((1з;Л*);Л) Kc*8(t3;A) Ô
{V} 0,1488094 0,5839621 0,5068551 0,3245631 0,0949487 0,0791334 2,0088943 1,8614849
{V} 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,0393915
{V} 0,6695828 0,4678717 0,5026729 0,236301 0,2239679 0,0425109 1,0791891
{V} 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,0393915
Сравнительный анализ данных табл.6 показывает, что увеличение мощности множества В по сравнению с мощностью множества А приводит к увеличению вероятности рг((Хг/(/)};В) и уменьшению Кс8(?з;А).
Заключение. Предлагаемые коэффициент и подход к оцениванию сбалансированности системы по интенсивностям выполнения работ при моделировании функционирования систем как непрерывных марковских процессов могут рассматриваться как индикаторы пригодности значений этих интенсивностей. Они же закладывают фундамент создания математического аппарата оптимального выбора значений интенсивностей переходов процесса функционирования по максимуму вероятности наступления требуемого состояния на заданный момент времени, в свою очередь, обеспечивающего оптимальное распределение операционных ресурсов.
Список литературы
1. Минаков Е.П., Шафигуллин И.Ш., Зубачев А.М. Методы исследования эффективности применения организационно-технических систем космического назначения: учебник. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2016. 244 с.
2. Волков В.Ф., Минаков Е.П. Основы теории графов: учебное пособие. СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2006. 69 с.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. 208 с.
Минаков Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, maks. aleksandrov. vka@mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Александров Максим Андреевич, канд. техн. наук, преподаватель, maks. aleksandrov. vka@mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Кравцов Владимир Владимирович, адъюнкт, vovik0 7260@gmail. com, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского
COEFFICIENT AND ESTIMATION OF THE BALANCE OF THE INTENSITIES OFTRANSITIONS BETWEEN THE STATES OF THE SYSTEM IN DIFFUSE MARKOV
PROCESSES
E.P. Minakov, M.A. Aleksandrov, V.V. Kravtsov
The article considers the assessment of the balance of transition probability intensities between the states of the system, as well as the introduction of the system balance factor by transition probability intensities. Examples of estimation of balance factors of probability intensities of transitions between process states are given.
Key words: balance rating, system balance factor.
Minakov Evgenii Petrovich, doctor of technical sciences, professor, maks. aleksandrov. vka@mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky,
Aleksandrov Maksim Andreevich, candidate sciences, lecturer, maks. aleksandrov. vka@mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky,
Kravtsov Vladimir Vladimirovich, postgraduate, vovikü 7260@gmail. com, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
УДК 004.94
РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ ПОДВИЖНЫХ СРЕДСТВ В УСЛОВИЯХ ВОЗМОЖНОГО СОПРИКОСНОВЕНИЯ С ПРОТИВНИКОМ С УЧЕТОМ ТАКТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
МЕСТНОСТИ
А.В. Галанкин, Д.В. Негодин
Проанализирован опыт локальных конфликтов, особенно последних лет, анализ характера ведения современных военных действий, а также перспектив развития средств вооружения и военной техники позволяют сделать вывод о постоянном возрастании роли автоматизации управления организационно-техническими системами повседневной деятельности Вооруженных Сил Российской Федерации в различных условиях обстановки. Высокая значимость автоматизированных систем управления в обеспечении применения всех видов и родов войск вызывает естественное стремление вероятного противника максимально снизить их эффективность уже в начальный период войны. Это обстоятельство обуславливает необходимость обеспечения живучести сил управления космическими аппаратами, которое претворяется в жизнь, в том числе, реализацией принципа мобильности войск и проявляется в создании и принятии на вооружение соответствующих подвижных средств и перспективных систем, обеспечивающих их эффективное применение.
Ключевые слова: моделирование передвижения подвижных средств, тактические свойства местности, семантические сети.
Одной из ключевых задач, определяющих степень использования возможностей подвижных средств по решению целевых задач в условиях возможного воздействия противника, является задача планирования передвижения подвижных средств в районе применения.
В настоящее время при организации маневров подвижных средств их перемещение планируется с целью осуществления смены полевых рабочих позиций, заранее выбранных в полевом районе применения и оборудованных в инженерном и геодезическом отношении. Однако, создание космической глобальной навигационной системы, позволяющей осуществлять привязку в любое время и в любой точке земной поверхности, и наличие в составе подвижных средств соответствующего оборудования позволяют организовать применение подвижных средств с заранее необорудованных позиций.
Выше перечисленные обстоятельства требуют рационального учета тактических свойств местности в условиях возможного воздействии противника по подвижным средствам. Только в этом случае возможно оперативно реагировать на изменение обстановки в районе применения.
203
