Клеточно-автоматное моделирование пространственных процессов на триангуляционных сетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

АПВПМ-2019

КЛЕТОЧНО-АВТОМАТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ТРИАНГУЛЯЦИОННЫХ СЕТКАХ

А, В, Павлова, С, Е, Рубцов, П, Р, Родионов

Кубанский государственный университет, 350040, Краснодар

УДК 510.67:554

Б01: 10.24411/9999-016А-2019-10058

Работа посвящена реализации пространственных КА-моделей диффузии для различных природных процессов на триангуляционных сетках. Полученные результаты могут быть использованы для построения более сложных композиционных КА, одним из правил перехода в которых является диффузия. Реализована КА-модель распространения фронта (поверхности, до которой дошел процесс распространения частиц). Для этого применен так называемый композиционный клеточный автомат, обычно используемый при моделировании явлений, включающих несколько различных процессов. Для случаев, когда при моделировании процесса требуется учитывать рельеф, применение триангуляционных сеток, позволяющих строить системы непересекающихся треугольников с вершинами в опорных точках поверхности, имеет преимущества, так как алгоритмы разбиения на треугольники имеют меньшую вычислительную сложность, нежели при использовании других полигонов. Ключевые слова: клеточно-автоматное моделирование, трехмерная модель триангуляционная сетка, диффузия, распространения фронта.

Введение

В настоящее время развитием клеточио-автоматных моделей (КА-моделей) в плане возможности имитации различных физико-химических процессов на основе применения КА занимаются многие исследователи. Среди таких моделей можно выделить так называемые диффузионные, агрегационные и реакционные [1-6, и ДР-1-

Область применения таких моделей постоянно расширяется. В частности, клеточные автоматы используются при создании моделей распространения фронта пожара и распределения концентрации продуктов горения с течением времени. Среди всего многообразия антропогенных и природных факторов, негативно воздействующих на состояние экосистемы, пожары можно выделить как один из самых разрушительных, наносящих огромный экологический и материальный ущерб. И использование КА-моделей служит расширению и развитию подходов к моделированию этого чрезвычайно сложного процесса, разработке эффективных в эксплуатации моделей.

При создании клеточно-автоматных моделей прямоугольные сетки получили наибольшее распространение. Но зачастую при моделировании того или иного процесса требуется учет формы поверхности, например, рельефа местности. В таких случаях применение триангуляционных сеток, позволяющих строить системы непересекающихся треугольников с вершинами в опорных точках поверхности, является более предпочтительным. Альтернатива в виде триангуляционных сеток имеет преимущества, так как алгоритмы разбиения на треугольники имеют меньшую вычислительную сложность, нежели при использовании других полигонов [5]. Рассмотрение КА-моделей на различных триангуляционных сетках позволяет имитировать сложные процессы различной природы, моделируемые совместной работой множества простых вычислителей, на криволинейных поверхностях в трехмерном пространстве. При этом треугольники в триангуляции не обязательно должны быть правильными и одинаковыми по площади. Эту особенность стоит принимать во

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края (код проекта 19-41-230005).

!ЯВ.\ 978-5-901548-42-4

внимание при реализации клеточных автоматов, требующих уточнения имитации процесса па определенных участках поверхности.

1 Построение клеточных-автоматов, имитирующих различные процессы, на триангуляционных сетках

В настоящей работе реализованы КА-алгоритмы диффузии и распространения фронта с использованием триангуляционных сеток. Рассматриваемая область пространства представляется клеточным массивом О с множеством имен M = {mj : i = 1, . . . , N}. При этом задан алфавит состояний А = {0,1} — булев алфавит. Каждой клетке ставится в соответствие пара (а, т), где a G A, m G M, именуемая в дальнейшем состоянием клетки и обозначаемая также а(т). В клеточном пространстве конечных размеров О = {а(т), m : m G M} определены подмножества, называемые шаблоном соседства для клетки (а,т), включающие близлежащие клетки. Каждый треугольник сетки может иметь не более трех соседей, при этом число соседей может быть меньше трех (для граничных клеток). При использовании триангуляционных сеток клетки считаются соседями (а, т0) в случае, если соответствующие им треугольники имеют с нею общую сторону [5].

На множестве M клеточных имен определены так называемые именующие функции f (m) : M ^ M. Их значения описывают местоположения клеток, взаимодействующих с заданной клеткой (а, то), т.е. для любой (а, то) именующие функции определяют ее ближайших соседей: mj = fj(то), j = 1, 3. Множество именующих функций определяет шаблон соседства: Т = {m0, fi(m0), f2(m0), /3(т0)}. Нумерация клеток в определенном таким образом шаблоне может быть любой. При этом принято считать, что f0(m0) = т0.

При моделировании наивной диффузии режим функционирования КА асинхронный, т.е. за глобальную итерацию К A 0(t) ^ 0(t + 1) правило перехода будет последовательно применено в случайном порядке для каждого элемента клеточного массива. Правило перехода формулируется следующим образом: клетка меняется своим значением с одной из соседствующих ячеек, при этом вероятность обмена обратно пропорциональна площади соседа.

Для проведения вычислительных экспериментов создано приложение с использованием средств программирования 3D графики OpenGL, реализующее КА модель наивной диффузии и композиционные КА на различных триангуляционных сетках. Предлагаемый алгоритм программной реализации КА-диффузии позволяет легко иллюстрировать процесс на любой замкнутой или незамкнутой поверхности (рис. 1). Рис. 1 соответствует 1000 итераций работы автомата, реализующего наивную диффузию.

Рис. 1: Реализация наивной диффузии на произвольной незамкнутой поверхности

Созданное приложение предусматривает возможность перехода от булевых значений к непрерывным функциям распределения концентрации частиц, осуществляемого посредством осреднения значений состояний клеток автомата по задаваемой пользователем окрестности, например, осреднение по ближайшим соседствующим ячейкам. В таком случае подсчет клеток с состоянием «1» производится среди заданного числа соседей по формуле = 1; где € {0,1, 2, 3}. Вычислительная сложность этого алгоритма составляет О(п) [5], однако результат такого осреднения не очень нагляден, так как концентрация принимает лишь одно из семи значений ф € {0,1, 3, ^, |, |, 1}. Осредненная концентрация будет отображаться более наглядно, если распространить алгоритм с первого па ^й уровень соседства, ] > 2.

Полученные результаты могут быть применены для построения более сложных композиционных КА, в которых одним из правил перехода будет диффузия. Так, реализована КА-модель распространения фрон-

364

А. В. Павлова. С. Е. Рубцов. П. Р. Родионов

та (поверхности, до которой дошел процесс распространения частиц). Для этого применен так называемый композиционный клеточный автомат, обычно используемый при моделировании явлений, включающих несколько различных процессов [7]. При построении такого К А к клеткам массива на каждом такте применяется несколько правил, в данном случае следующих: после итерации диффузии для всего введенного клеточного пространства П = {а(т),т : т € М} производится осреднение, т.е. определяются значения затем эти значения заменяются в каждой клетке на ф = 0, 5^(1 — у>), тем самым моделируется поток; далее производится операция, обратная осреднению, называемая дискретизацией, т.е. каждой клетке, содержащей значение ф € [0,1], ставится в соответствие булево значение по формуле

т <ф; т > ф,

где т — случайное число из [0,1]. Описанный клеточный автомат при учете реальных особенностей процесса может, в частности, имитировать распространение пожара. На рис. 2 представлены результаты работы КА-моделп распространения фронта на триангуляции (а 0 итераций, б 75 итераций, в 200 итераций).

шш

щфр

а) б) в)

Рис. 2: Результаты моделирования процесса диффузионного распространения фронта

Из рис. 2 видно, что фронт распространился равномерно во все стороны, охватывая со временем всю поверхность, что качественно соответствует физической природе процесса.

а =

Заключение

В работе рассмотрены клеточные автоматы пространственных процессов, реализованные с использованием триангуляционных сеток. Созданное приложение позволило также осуществлять переход от булевых значений к непрерывным функциям путем осреднения по ближайшим соседствующим клеткам задаваемого уровня.

Для построения уникальных клеточных автоматов в рамках конкретных моделей для заданных условий н расчетных областей в дальнейшем будут реализованы механизмы генерации триангуляционных сеток с использованием карт высот. Предполагается также реализация построенных моделей, имитирующих эволюцию клеточных автоматов больших размеров, на многопроцессорных вычислителях, что позволит обеспечить их высокую производительность. Представленные результаты применимы для построения более сложных композиционных КА. включающих интерпретацию нескольких явлений.

Список литературы

[1] Воссага N. Reaction-Diffusion complex systems. Berlin: Springer. 2004.

[2] Bandman OX. A method for construction of cellular automata simulating pattern formation processes // Theoretical background of applied discrete mathematics. 2010. Iss. 4. P. 91 99.

[3] Бандман О.Л. Отображение физических процессов на их клеточно-автоматные модели // Вестник томского государственного университета. 2008. № 2(3). С. 5 17.

[4] Бандман О.Л. Клеточно-автоматное моделирование пространственной динамики. Новосибирск: СО РАН. 2000.

[5] Евсеев A.A., Нечаева О.И. Клеточно-автоматное моделирование диффузионных процессов на триангуляционных сетках // Прикладная дискретная математика. 2009. № 4. С. 72-83.

[6] Павлова A.B., Рубцов С.Е. К клеточно-автоматным моделям конвекционно-диффузионных процессов / / Марчуковские научные чтения - 2017: труды международной конференции по вычислительной и прикладной математике (ВПМ 2017). Новосибирск: НВМиМГ СО РАН, 2017. С. 677-679.

[7] Рубцов С.Е., Павлова A.B., Родионов П.Р. К клеточно-автоматным моделям на триангуляционных сетках // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2018. № 2. С. 5-11.

Павлова Алла Владимировна — д.ф.-м.н., профессор кафедры математического моделирования

Кубанского государственного университета;

e-mail: pavlova@math.kubsu.ru;

Рубцов Сергей Евгеньевич — к.ф.-м.н., доцент кафедры математического моделирования

Кубанского государственного университета;

e-mail: ub_serg@mail.ru;

Родионов Павел Рольданович — студент Кубанского государственного университета;

e-mail: kmm@fpm.kubsu.ru.

Дата поступления — 30 апреля 2019 г.