Классификация пространств непрерывных s 1-значных функций на полиэдрах Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 4(36)

УДК 515.127

DOI 10.17223/19988621/36/2

С.П. Гулько, А.В. Титова

КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ^-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПОЛИЭДРАХ

Исследуются пространства непрерывных ^'-значных функций на конечномерных полиэдрах. Доказывается, что если X есть и-мерный полиэдр и S1 есть обычная окружность со стандартной топологией, то топологическая группа Cp(X, S1) изоморфна топологической группе Cp(A„, S1), где Ди -и-мерный симплекс, и > 1.

Ключевые слова: пространство непрерывных функций, топология

поточечной сходимости, полиэдр, топологическая группа, изоморфизм.

Все неопределенные в статье понятия можно найти в [1].

Пусть S1 - обычная окружность, которую будем рассматривать как факторгруппу Rl/Z с естественной топологией. Иначе говоря, это есть множество всех точек в R1 c периодом 1. Множество всех представителей можно отождествить с множеством точек полуинтервала [0,1). Это множество тогда будет топологической группой относительно операции сложения. В этой статье нас интересует пространство Cp(X, S1) всех напрерывных S1-значных функций, наделенное топологией поточечной сходимости.

Как обычно, символом Cp (Y, R1) будем обозначать топологическое векторное

пространство всех непрерывных вещественных функций со стандартными операциями сложения и умножения на вещественные числа. Оператор T : Cp (F, R1) ^ Cp (X, R1) называется оператором продолжения, если F является

замкнутым подпространством в X и T (f) |F = f для каждого f е Cp (Y, R1). Если F есть замкнутое подмножество пространства X, то обозначим

Теорема 1. Пусть X является метрическим пространством и F - его замкнутое подпространство, которое является окрестностным ретрактом. Тогда существует T : Cp (F, R1) ^ Cp (X, R1) - непрерывный линейный оператор продолжения, причем 0 < Tf < 1 как только 0 < f < 1.

Доказательство. Пусть O - окрестность множества F и r : O ^ F - непрерывная ретракция. Для каждой функции f е Cp (F, R1) положим

CР (X |f , F1) = {f : X ^ R1; f F =0}.

16

С.П. Гулько, А.В. Титова

Нетрудно проверить, что T - линейный непрерывный оператор и T(f) |F = f ,

т.е. это отображение является оператором продолжения. ■

Заметим, что линейный непрерывный оператор продолжения может существовать не только благодаря ретракциям (см. ниже доказательство следствия 5). Кроме того, для существования оператора продолжения метризуемость пространства X вовсе не является необходимым условием.

Из теоремы 1 следует, что для каждого замкнутого подмножества F в X пространство Cp (F, R1) вкладывается как замкнутое векторное подпространство

в Cp (X, R1).

Кроме оператора продолжения T, нам понадобится еще один оператор. Для каждого замкнутого подмножества F в X определим оператор U : Cp (F, R1) ^ Cp (F, S1) формулой U(f)(x) = e2nif (x), x e F. Ясно, что

U(f + g) = U(f) -U(g), т.е. этот оператор является непрерывным групповым гомоморфизмом. Из теоремы 1 следует, что оператор U переводит подмножество Cp (F, [0,1)) в точности на Cp (F, S1). Более того, нетрудно понять, что последний

оператор имеет непрерывный правый обратный U-1: Cp (F, S1) ^ Cp (F, [0,1)).

Использование этих операторов приводит к следующей теореме.

Теорема 2. Пусть X является метрическим пространством и F - его замкнутое подпространство. Композиция UTUявляется непрерывным изоморфным вложением группы Cp (F, S1) в Cp (X, S1). Более того, группа Cp (X, S1) топологически изоморфна произведению Cp (F, S1) х Cp (X |f , S1).

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна из определения оператора U и теоремы 1. Далее искомый изоморфизм можно задать формулой f ^ (f |F, f - UTU(f |F)), где T - оператор продолжения, построенный в предыдущей теореме. ■

Хорошо известно [1], что любой полиэдр является абсолютным окрестност-ным ретрактом в классе метрических пространств, т. е. он является ретрактом некоторой его окрестности в любом содержащем его метрическом пространстве, следовательно, для любого полиэдра X верны обе предыдущие теоремы.

Поскольку одноточечное подпространство всегда является ретрактом, то верно следующее утверждение.

Следствие 3. Для любой точки x e X выполнено

Cp (X, S1) = S1 х C0(X |{x}, S1). ■

Пусть дана дискретная последовательность компактных пространств Xn , тогда символом (Cp (Xj, S1) х Cp (X2, S1) х • • •) будем обозначать аналог обычного

c0 -произведения, т.е. совокупность точек вида (f1, f2,---) в декартовом произведении пространств вида Cp (Xn, S1), причем таких, что || fn ||^ 0, где || fn || обозначает максимальное отклонение точки fn (x) от двухточечного множества {0,1}

Классификация пространств непрерывных S'-значных функций на полиэдрах

17

в [0,1] (заметим, что если последовательность чисел сходится к 1, то она, как последовательность элементов S1, стремится к 0).

Теорема 4. Пусть X есть топологическое пространство, представляющее собой сходящуюся последовательность вместе с ее пределом. Тогда

Cp (X, S1) = (S1 X S1 X ...)С0.

Доказательство. Обозначим через F одноточечное множество, состоящее из предельной точки, и применим теорему 2 и следствие 3. ■

Из последних двух утверждений заключаем:

Следствие 5. Пусть X - топологическое пространство, содержащее сходящуюся последовательность (к точке x). Тогда Cp (X, S1) = C°p (X , S1).

Доказательство. Пусть xn - последовательность точек в X, которая сходится в х. Из следствия 3 вытекает, что

Cp (X, S1) = S1 X C0p (X {х}, S1). (1)

Пусть On - непересекающиеся окрестности точек xn и fn - последовательность непрерывных S1 -значных функций, которые равны 0 вне On и fn (xn) = 1 / 2 для всех n = 1,2,.... Обозначим: F = {xt,x2,...} и определим линейный непрерывный оператор продолжения T : C°p (F |{x}, S1) ^ C0p (X |{x}, S1) формулой

T(f)(x) = X ”=/ (xn) fn (x). Формула f ^ (f If , f - T (f |f )) вместе с формулой

(1) и теоремой 4 доказывают утверждение. ■

Пространство X |F является метрическим компактом, которое получается из X

в результате коллапсирования его замкнутого множества F в одну точку. Из теоремы 2 и следствия 5 вытекает,что справедливо следующее утверждение:

Следствие 6. Пусть X - метрический компакт. Тогда Cp (X, S1) изоморфно

Cp (F, S1) x Cp (X |F, S1) для каждого замкнутого подмножества F в X. ■

Для дальнешего понадобится следующий общий прием построения изоморфизмов между пространствами функций, который в функциональном анализе называется «схемой Пелчинского». Применим эту схему для рассматриваемых топологических групп, но это не меняет сути дела.

Теорема 7 (Схема Пелчинского). Пусть E и G - топологические группы, для которых выполняются следующие три условия:

1) E = G x H - для некоторой топологической группы H;

2) G = E x P - для некоторой топологической группы P;

3) E = (E x E-)С0.

Тогда E = G .

Доказательство. Имеем

G = Ex P = (Ex Ex •••) x P = (Eх Eх---) х Ex P = (Ex Ex---) x G =

((Gx H) x (Gx H)x---) x G = ((Gх H)х (Gх H)х •••) = (Eх Ex---)Cq = E. ■

18

С.П. Гулько, А.В. Титова

Теорема 8. Если G изоморфно (E х E х • • •) , то G изоморфно своей с0 -

степени (G х G х • • • )с .

с0

Доказательство.

G = (Eх Eх ■■■ )с = ((Eх Eх ■■■ )с х (Eх Eх ■■■ )с х ■■■ )с = (Gх Gх ■■■ )с . ■

с0 с0 с0 с0 с0

Теорема 9. Пусть n > 1. Для n -мерного симплекса Дп выполнено

Cp (Дп, S1) = (Ср (Дп, S1) х Cp (Д n, S1) х-)с0,

и, тем более, Ср (Дп, S1) изоморфно любой своей конечной степени.

Доказательство. Пусть х0 - вершина симплекса Дп и F0 - противоположная этой вершине грань. Пусть F1,F2,... - последовательность параллельных этой грани сечений симплекса, которая «сходится» к точке х0. Тогда множество F = {х0}u F0 u F1 u... является замкнутым подмножеством в Дп. По теореме 2 группа Ср (Дп, S1) топологически изоморфна Ср (F, S1) х Ср (Д |F, S1). Заметим далее, что фактор-пространство Д |F является одноточечной компактификацией счетной дискретной суммы попарно гомеоморфных между собой пространств (равно открытому множеству всех точек между параллельными сечениями Fn1 и

Fn), которую обозначим через (©fflT). Кроме того, множества Fn попарно между собой гомеоморфны. Суммируя эти факты, заключаем, что Ср (Дп, S1) топологически изоморфно счетному с0 -произведению попарно изоморфных между собой сомножителей вида Ср (Y ® Fn, S1). Остается применить теорему 8. ■

Если дан конечный набор X1, —, Хп топологических пространств, то символом Х1 v • • • v Хп обозначим букет этого семейства, который получается, если в каждом Хк, к = 1, • • •, п, фиксируется одна точка и все эти точки отождествляются между собой.

Теорема 10. Если X = Дп v... vДn - букет симплексов, то Ср (X, S1) изоморфно Ср (Дп, S1).

Доказательство. Пусть х0 - центральная точка букета. По следствию 5

Ср (X, S1) = С0 (X |{х0}, S1). Ясно, что

Ср(X |{х0},S1) = С0(Дп |{х0},S1)х.хС0(Дп |{х0},S1).

Но по тому же следствию 5 С°р (Дп |{х0}, S1) = Ср (Дп, S1). Остается применить теорему 9. ■

Теорема 11. Если к < п , то Ср (Дп, S1) = Ср (Дп, S1) х Ср (Дк, S1). Доказательство. По теореме 9 пространство Ср (Дп, S1) топологически изоморфно своей счетной с0-степени. Кроме того, каждая из двух групп Ср (Дп, S1) и

Классификация пространств непрерывных S'-значных функций на полиэдрах

19

Cp (A n, S'1) х Cp (Ak, S'1) вкладывается в другое в качестве прямого сомножителя. Остается применить теорему 7. ■

Для полиэдра X через X(n) обозначим его n -мерный остов, т.е. объединение всех симплексов размерности < n. Множество X(n) является замкнутым подмножеством в X .

Теорема 12. Пусть X- n-мерный полиэдр, n > 1. Тогда

Cp (X, S'1) = Cp (An, S1).

Доказательство проведем по индукции. Если n = 1, то X(0) есть множество всех вершин полиэдра X. Ясно, что множество X(0) конечно. Имеем Cp (X, S1) = Cp (X(0), S1) х Cp (X (0), S1). Первый сомножитель есть конечная степень топологической группы S1, а второй - изоморфен пространству всех непрерывных S'-значных функций на букете окружностей, и тогда по теореме 10 последний изоморфен конечной степени группы Cp (A1, S1). Эти утверждения вместе со следствием 3 показывают, что Cp (X, S1) = Cp (Д1, S1).

Рассмотрим общий случай. Пусть X(n-1) - остов комплекса X. Тогда Cp(X,S1) = Cp(X(n-j),S1)х C°p(X |X(n_j),S1).

По предположению индукции Cp (X(n-1), S1) изоморфно Cp (A(n-1), S1), а второй сомножитель по теоремам 9, 10 и следствию 3 изоморфен Cp (An, S1). Осталось применить теорему 11. ■

В связи с теоремой 12 возникает теперь вопрос о ее обобщении, т.е. будут ли неизморфными топологические группы Cp (X, S1) и Cp (Y, S1), если размерности

полиэдров X и Y не совпадают? Заметим, что в статье [2] вторым автором настоящей статьи было доказано, что размерность компактов является инвариантом изоморфизма соответствующих пространств непрерывных S'-значных функций, если S1 кроме естественной операции наделено также некоторой дополнительной операцией, при которой S1 становится так называемым топологическим почти модулем.

Авторы выражают благодарность Л.В. Гензе и Т.Е. Хмылевой за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971. 291 с.

2. Титова А.В. Линейные гомеоморфизмы топологических почти модулей непрерывных функций и совпадение размерностей // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 4(30). С. 43-48.

Статья поступила 12.05.2015 г.

20

С.П. Гулько, А.В. Титова

Gulko S. P, Titova A. V. ON CLASSIFICATION OF SPACES OF CONTINUOUS S'-VALUED FUNCTIONS ON POLIHYDRONS

DOI 10.17223/19988621/36/2

In this paper, the spaces of continuous S1-valued functions Cp (X, S1) are considered. It is proved that if X is a и-dimensional polihydron and S1 is a circle which is considered as a topological group, then the topological group Cp (X,S1) is topologically isomorphic to

Cp (Аи, S1), where Аи is an и-dimensional simplex, и > 1.

Keywords: almost ring, topological almost module, continuous homomorphism, space of continuous functions, polihydron, isomorphism.

GULKO Sergey Porfiryevich (Doctor of Physics and Mathematics,

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: gulko@math.tsu.ru

TITOVA Anastasiya Viktorivna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: asya_mis@mail.ru

REFERENCES

1. Borsuk K. Teoriya retraktov. Moskow, Mir Publ., 1971. 291 p. (in Russian)

2. Titova A.V. Lineynye gomeomorfizmy topologicheskikh pochti moduley nepreryvnykh funktsiy i sovpadenie razmernostey. Vestnik Tomskogo gosudarstvemogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2014, no. 4(30), pp. 43-48. (in Russian)