Топологическая свобода для классических и квантовых нормированных модулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.986.22

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СВОБОДА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ НОРМИРОВАННЫХ МОДУЛЕЙ

© 2013 С.М. Штейнер1

В работе рассматриваются вопросы, связанные с понятием топологической проективности. Показано, что такой тип проективности является частным случаем некоторой общекатегорной схемы, основанной на понятии оснащенной категории. Кроме того, описаны топологически свободные "классические" и квантовые нормированные модули. Аналогичные результаты получены для топологической инъективности.

Ключевые слова: топологическая свобода, топологическая косвобода, полулинейное нормированное пространство, квантовое нормированное пространство.

1. Классический случай

1.1. Категория полулинейных нормированных пространств

Определение 1.1.1. Полулинейное пространство V над полем К — это упорядоченная тройка (V, К, ■), где

V — непустое множество, элементы которого называются векторами,

К — поле, элементы которого называются скалярами,

■ : К х V ^ V — операция умножения векторов на скаляры, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) а ■ (в ■ х) = (ав) ■ х У а, в € К, х € V;

2) 1 ■ х = х Ух € V;

3) существует нулевой элемент в € V такой, что 0 ■ х = в Ух € V.

Пример 1.1.2. Рассмотрим букет пространств \/{К\ : А € Л}, где К\ представляют собой экземпляры поля К, пересекающиеся друг с другом по нулю, Л — непустое множество, а умножение наследуется из поля. Аксиомы 1-3 легко проверяются. Такое полулинейное пространство будем обозначать КЛ. Под К® будем понимать полулинейное пространство, состоящее из единственного элемента в.

Определение 1.1.3. Отображение ф : V ^ Ш между полулинейными пространствами V и Ш называется полулинейным оператором, если ф(а ■ х) = а ■ ф(х) Уа € К, х € V.

Рассмотрим категорию Ыик, объектами которой являются полулинейные пространства над полем К, а морфизмами — полулинейные операторы. Нетрудно получить полную классификацию объектов этой категории.

хШтейнер Сергей Михайлович ([email protected]), кафедра теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета, 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1.

Предложение 1.1.4. Всякое полулинейное пространство изоморфно в LinK пространству KЛ для некоторого Л.

Доказательство. Разобьем все ненулевые векторы полулинейного пространства на классы эквивалентности по отношению x ~ y ^^ За £ K, x = а ■ y, а = 0. Дальнейшее очевидно.

Определение 1.1.5. Полулинейным нормированным пространством называется пара (V, || ■ || ), где

V — полулинейное пространство на полем C комплексных чисел,

|| ■ || : V ^ R+ — отображение, которое мы будем называть нормой, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) ||x|| = 0 x = 0;

2) ||а ■ xH = |a|||x||.

Пример 1.1.6. Введем норму на полулинейном пространстве СЛ, унаследовав стандартную норму пространства C.

Определение 1.1.7. Пусть C £ R+. Полулинейный оператор ф : V ^ W между полулинейными нормированными пространствами V и W называется C-ограниченным, если ||y>(x)|| ^ C||x|| "ix £ V.

Определение 1.1.8. Полулинейный оператор ф : V ^ W между полулинейными нормированными пространствами V и W называется ограниченным, если он C-ограничен для некоторого C ^ 0.

Рассмотрим теперь категорию Noro, объектами которой являются полулинейные нормированные пространства, а морфизмами — ограниченные полулинейные операторы. Нетрудно получить полную классификацию объектов и этой категории.

Предложение 1.1.9. Всякое полулинейное нормированное пространство в Noro изоморфно пространству СЛ для некоторого Л.

1.2. Топологически свободные модули

Все необходимые определения, связанные с общекатегорным подходом к проективности, можно найти в работе [1].

Определение 1.2.1. Пусть A — произвольная нормированная алгебра. Нормированный A-модуль P называется топологически проективным, если для всякой пары нормированных A-модулей X, Y, ограниченного морфизма A-модулей ф : P ^ X и открытого ограниченного морфизма A-модулей т : Y ^ X существует ограниченный морфизм A-модулей ф : P ^ Y такой, что ф = тф. В частности, мы вправе говорить о топологически проективных нормированных пространствах (как модулях над C).

Определение 1.2.2. Пусть C £ R+. Ограниченный оператор ф между нормированными пространствами X и Y называется C-открытым, если iy £ Y 3x £ X : ф^)= y и x < C||y||.

Рассмотрим забывающий функтор Do : Nor ^ Noro, действующий очевидным образом (то есть забывающий про аддитивную структуру). Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее

Предложение 1.2.3. Ограниченный оператор ф является C-открытым тогда и только тогда, когда □оф) обладает C-ограниченным правым обратным.

Доказательство. Пусть □оф) обладает C-ограниченным правым обратным, то есть существует ограниченный полулинейный оператор ф : ^(Y) ^ По(Х), такой что По(ф)ф = 1y. Покажем, что ф C-открыт. Действительно, ||ф(у)|| ^ CУуУ У у € Y. Осталось положить х = ф(у).

Пусть теперь ф C-открыт. Из каждого класса эквивалентности по отношению ~ из предложения 1.1.4 выберем по вектору у единичной нормы, для каждого такого у построим x из определения 1.2.2, положим ф(у) = x и продолжим ф по линейности; дальнейшее очевидно.

Пользуясь результатом [2, теорема 1.4.3], мгновенно получаем

Следствие 1.2.4. Допустимыми морфизмами для функтора По являются в точности открытые отображения.

Предложение 1.2.5. Нормированное пространство является □о-свободным с базой СЛ тогда и только тогда, когда оно топологически изоморфно пространству /°(Л) (то есть соо(Л) с нормой, индуцированной из ^(Л)). Таким образом, оснащенная категория (Nor, По) является свободолюбивой.

Доказательство. Пусть {ел : Л € Л} — канонический базис в ^(Л). Положим j(1Л) = в\ (где 1л — единица в Сл) и продолжим на все СЛ по линейности. Ясно, что указанный морфизм является ограниченным. Возьмем произвольный ограниченный морфизм ф : СЛ ^ По(Х), ф(1л) = хЛ, Цф(вл)|| < C. Нетрудно проверить, что существует единственный линейный оператор ф : 1о(Л) ^ X такой, что ф(ел) = хл. Теперь заметим, что этот оператор ограничен: || Y1 «Лхл|| ^ ^ Y1 М||хл|| ^ |ал| = C|| ^«лел|, что и требовалось доказать.

Доказанное выше легко переносится и на модули. Сначала докажем следующее

Предложение 1.2.6. Пусть □ 1 2 : K1 ^ K2, П2з : K2 ^ K3 — верные функторы. Обозначим □ iз = П23Пi2. Пусть объект F1 □ i2-свободен с базой F2 и универсальной стрелкой ji 2 в оснащенной категории (K i, □ i 2). Пусть в свою очередь объект F2 П2з-свободен с базой F3 и универсальной стрелкой j'23 в оснащенной категории (K2, П2з). Тогда Fi является П1з-сво6одным объектом с базой F3 и универсальной стрелкой □23(j12)j23 в оснащенной категории (Ki, П13). Как следствие, если категории (Ki, ^12) и (K2, П23) свободолюбивы, то такова и категория (Ki, П13)

Доказательство. Рассмотрим произвольный объект X € K1 и морфизм ф : F3 ^ П13(Х). Так как F2 П23-свободен, существует морфизм ф : F2 ^ П12 (X) такой, что ф = П23(ф)'23. Далее, так как F1 П12-свободен, то существует морфизм х : F1 ^ X такой, что ф = □ 12(x)j12. Таким образом, ф = П23(ф)'23 = = П23(П12(х))П23('12)'23 = П13(х)'13, где ji3 = n23(ji2)j23 — универсальная стрелка. Теперь докажем единственность морфизма х. Предположим противное. Пусть найдутся два различных морфизма xi и х2 таких, что ф = □13(х1 )j13 = = □ i3(x2)ji3. Тогда ф = ^(□^(xij)j23 = ^23(^12(X2)ji2)j23. Ясно, что мор-физмы ф1 = ^12(xi)ji2 и ф2 = □i2(x2)ji2 различны. Получаем ф = □23(ф1).723 = = □23(ф2)'23. Противоречие. Так как X и ф произвольны, то Fi является □ 13-свободным объектом с базой F3.

Классической (так называемой относительной) проективности для модулей соответствует забывающий функтор □а : A-mod ^ Nor, действущий естественным

образом. Легко понять, что топологической проективности для нормированных А-модулей соответствует композиция двух забывающих функторов ПоПа.

Теорема 1.2.7. Нормированный А-модуль является ПоПА-свободным с базой Сл тогда и только тогда, когда он топологически изоморфен А-модулю А+ ®р 10°(Л) (с естественной операцией внешнего умножения). Таким образом, оснащенная категория (А-той, По Па) является свободолюбивой.

Доказательство. Утверждение мгновенно следует из предложения 1.2.6.

Композицию ПоПа будем также обозначать По, что не вызовет путаницы. Условимся П0-свободные модули называть топологически свободными.

Следствие 1.2.8. А-модуль Р топологически проективен тогда и только тогда, когда он является ретрактом топологически свободного А-модуля (в категории А-той).

1.3. Топологически косвободные модули

Определение 1.3.1. Пусть снова A — нормированная алгебра. Нормированный A-модуль J называется топологически инъективным, если для всякой пары нормированных A-модулей X, Y, ограниченного морфизма ф : Y ^ J и топологически инъективного морфизма i : Y ^ X левых A-модулей существует морфизм ф : X ^ J такой, что ф = фi.

Рассмотрим забывающий функтор D0 : A-mod ^ NorO из категории A-модулей в категорию, дуальную категории полулинейных нормированных пространств, переводящий всякий модуль в его сопряженный. Допустимыми морфизмами при таком забвении будут в точности топологически инъективные морфизмы. Действительно, морфизм является топологически инъективным тогда и только тогда, когда его сопряженный сюръективен, а значит и топологически сюръективен [2, глава 2.5]. Но мы уже знаем, что при забывании в Noro топологически сюръ-ективные морфизмы, и только они, переходят в ретракции в Noro, а значит и в коретракции в NorO, откуда все следует. Опишем косвободные объекты в оснащенной категории (Nor, Dg). Для этого рассмотрим коммутативную диаграмму:

A-modO —^ Noro

той-А > Мото

Верхняя стрелка соответствует функтору, описанному выше, но рассмотренному как функтор между дуальными категориями. Описание свободных объектов для такого функтора, очевидно, соответствует описанию косвободных для исходного. Так как функтор * (и, разумеется, 1) самосопряжен, применяя теорему 1.2.7 и [1, предложение 4.5], немедленно получаем:

Теорема 1.3.2. Л-модуль является Пд-косвободным с базой СЛ тогда и только тогда, когда он топологически изоморфен модулю Б(А+,1^(Л)) (с естественной операцией внешнего умножения).

Условимся П0-косвободные модули называть топологически косвободными.

Следствие 1.3.3. Л-модуль . топологически инъективен тогда и только тогда, когда он является ретрактом топологически косвободного А-модуля (в категории А-той).

1

=*=

2. Квантовый случай

2.1. Топологически свободные квантовые нормированные пространства

Мы переходим к изучению квантовых версий рассматриваемых понятий. В квантовом функциональном анализе приняты два равноправных подхода: матричный (см. [3]) и бескоординатный (см. [4]). Каждый раз мы будем использовать тот из них, который окажется более удобным в конкретной ситуации. Эквивалентность двух подходов показана в [5]. Итак, начнем с определения открытых морфизмов.

Определение 2.1.1. Пусть С £ М+. Вполне ограниченный оператор ф : X ^ У между квантовыми нормированными пространствами X и У называется вполне С -открытым, если все его размножения фп С -открыты.

Определение 2.1.2. Вполне ограниченный оператор ф : X ^ У между квантовыми нормированными пространствами X и У называется вполне открытым, если он является вполне С-открытым для некоторого С ^ 0.

Определение 2.1.3. Квантовое нормированное пространство Р называется топологически проективным, если для всякой пары квантовых нормированных пространств X, У, вполне ограниченного оператора ф : Р ^ X и вполне открытого оператора т : У ^ X существует вполне ограниченный оператор ф : Р ^ У такой, что ф = тф.

Рассмотрим верный функтор

□Р : QNoт ^ Мото : X Мп(X) : п £ М} ф со{фп : п £ М},

то есть квантовое нормированное пространство X отображается в ф то-сумму своих размножений с забыванием аддитивной структуры.

Предложение 2.1.4. Пр-допустимыми эпиморфизмами являются в точности вполне открытые операторы.

Доказательство. Пусть ф : X ^ У вполне открыт, то есть все его размножения фп С -открыты для некоторого С ^ 0. Тогда ясно, что каждый мор-физм По(фп) обладает правым С -ограниченным полулинейным обратным фп. Легко понять, что морфизм ф : Пр(У) ^ П^^), определяемый равенством ф(у1 ,...,уп,...) = (ф1(у1), ...,фп (уп),...), является С-ограниченным правым обратным к Пр(ф).

Пусть теперь ф : X ^ У таков, что Пр(ф) обладает правым обратным, а значит С-ограниченным правым обратным для некоторого С ^ 0. Зададим мор-физмы фп : По(Мп(У)) ^ ПоМп^)) равенством фп(х) = По(рп)ф(По('п)(х)), где рп : фооМ^^) ^ Мп(X) — естественная проекция на п-ю координату, а гп : Мп(X) ^ ф М(X) — естественное вложение. Нетрудно проверить, что всякое фп является С-ограниченным правым обратным для фп. Дальше ясно.

Итак, рассмотренная выше оснащенная категория соответствует квантовой топологической проективности, поэтому Пр-свободные квантовые нормированные пространства будем называть топологически свободными. Напомним, что метрической проективности для квантовых нормированных пространств [1, определение 5.1] соответствует оснащенная категория с забывающим функтором Пр :

QNori ^ Set, сопоставляющим всякому квантовому нормированному пространству декартово произведение единичных шаров всех его этажей [1, определение 5.2]. В работе [1] -свободные квантовые нормированные пространства называют метрически свободными. Сформулируем и докажем основное утверждение раздела.

Предложение 2.1.5. Пусть F — метрически свободное квантовое нормированное пространство с базой Л. Тогда F является топологически свободным квантовым нормированным пространством с базой СЛ.

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму для метрической свободы:

□Q (F)

Л

□ ?«>)

-□?(X)

Определим полулинейный оператор У : СЛ ^ Пр(Р) соотношением у'(1л) = = У(А). Покажем, что морфизм является универсальной стрелкой для топологической свободы. Возьмем произвольный полулинейный оператор ф : СЛ ^ Пр(Х), где X — произвольное квантовое нормированное пространство. Ясно, что для ф/1|ф||сЬ существует морфизм ф , делающий диаграмму коммутативной.

□q(f )

Л

□ )

□

ф/\\ф\\

-□?(Y)

Осталось рассмотреть морфизм ||ф||сЪф .

Единственность ф доказывается следующим образом. Пусть для морфизма ф есть два различных подходящих морфизма ф\ и ф2. Ясно, что морфизмы фх/шах{||ф||сЬ, ЦфхЦсЪ, ЦФъЦеЬ} и ф2/шах{||ф||съ, ЦфхЦсЪ, ||Ф2|сь} подходят для следующей диаграммы, соответствующей квантовой метрической свободе:

□? (Р)

Л

-□?(X)

Здесь ф = ф/ шах{|ф|съ, 11ф 11сЪ, ||ф2||съ}. Приходим к противоречию.

Оснащенная категория ^Ыот, Пр) свободолюбива. Метрически свободным квантовым пространством с базой Л является, с точностью до вполне изометрического изоморфизма, ф 1-сумма квантовых нормированных пространств заиндексированных элементами Л [1, теорема 5.9]. Используя результат предыдущего предложения, мгновенно получаем:

Предложение 2.1.6. Оснащенная категория ^Ыот, Пр) свободолюбива. Квантовое нормированное пространство Р является топологически свободным тогда и только тогда, когда оно вполне топологически изоморфно ф 0-сумме

j

ф

j

j

ф

пространств Ж», заиндексированных элементами некоторого множества Л; базой такого свободного пространства будет нормированное полулинейное пространство СЛ.

Следствие 2.1.7. Квантовое нормированное пространство Р топологически проективно тогда и только тогда, когда оно является ретрактом топологически свободного квантового нормированного пространства в категории QNoт.

2.2. Топологически косвободные квантовые нормированные пространства

Определение 2.2.1. Вполне ограниченный оператор ф : X ^ У между квантовыми нормированными пространствами называется вполне топологически инъ-ективным, если ЗС > 0 Уп £ N Ух £ М^^^) ||фп(х)|| ^ С||х||.

В бескоординатной форме условие полной топологической инъективности допускает более простую формулировку: размножение оператора ф» топологически инъективно. Ясно, что вполне ограниченный оператор вполне топологически инъ-ективен тогда и только когда, когда он является композицией полного топологического изоморфизма и квантового вложения. Похожее утверждение справедливо и для вполне открытых операторов. Для его доказательства нам понадобится

Предложение 2.2.2. Пусть вполне открытый оператор ф представлен в виде композиции вполне коизометрического оператора и топологического изоморфизма. Тогда этот топологический изоморфизм является полным.

Доказательство. Итак, пусть ф = ф орт : X ^ Z. Здесь оператор рт : X ^ У является вполне коизометрическим, а ф : У ^ Z — топологическим изоморфизмом. Воспользуемся бескоординатным подходом. Проверим сначала, что ф вполне ограничен. Действительно, Уе > 0 Уу £ ТУ Зх £ FX: рт»х = у и ||у|| > ||х|| — е. Но тогда Цф»(у)Ц = ||ф»(х)|| < ||ф||»||х|| < ||ф||»(||у|| + е), откуда все следует. Теперь убедимся, что вполне ограничен и оператор ф-1. Выберем произвольный х £ ТZ. Мы знаем о существовании такой константы С > 0, что всегда найдется х £ FX: ф»(х) = х и ЦхЦ < С||х||. Но |ф»1(х)| = Црт»(х)Ц < ЦхЦ < С||х|. Утверждение доказано.

Будучи открытым оператором между подлежащими пространствами, всякий вполне открытый оператор может быть представлен в виде композиции канонической проекции и топологического изоморфизма [2, предложение 1.5.4]. Поэтому справедливо

Предложение 2.2.3. Оператор вполне открыт тогда и только тогда, когда он является композицией естественной квантовой проекции и полного топологического изоморфизма.

Предложение 2.2.4. Сопряженный оператор ф* вполне открыт тогда и только тогда, когда ф вполне топологически инъективен.

Доказательство. В одну сторону утверждение очевидно: оператор, сопряженный к полной изометрии, — полная коизометрия [4, замечание 7.2.9], сопряженный к полному топологическому изоморфизму — полный топологический изоморфизм [4, предложение 7.2.7], и дальше работает предложение 2.2.3.

Обратно, ф : X ^ Z топологически инъективен как оператор между подлежащими пространствами [2, глава 2.5]. Но это значит, что он может быть представлен в виде композиции топологического изоморфизма ф : X ^ У и изометриче-

ского вложения г : У ^ Z. Квантуем У так, чтобы это вложение стало вполне изометрическим (то есть рассматриваем У как квантовое подпространство Z). Тогда ф* = ф*г*, причем г* является вполне коизометрическим [4, замечанме 7.2.9], а ф* — топологическим изоморфизмом. Применив предложение 2.2.2, получим, что последний топологический изоморфизм является полным. Но, значит, и ф является полным топологическим изоморфизмом (так как ф** вполне ограничен [4, предложение 7.2.7] и ||ф||то ^ ||ф**||то, аналогично для ф-1). Утверждение полностью доказано.

о

Рассмотрим верный функтор По : QNoт ^ МотО, X ^ ф Мп(Х*). Из ска-

П=1

занного выше следует

Предложение 2.2.5. Допустимые морфизмы в оснащенной категории ^Мот, П0*) — это в точности вполне топологически инъективные операторы.

Далее, коммутативная диаграмма

QNoтo ——5- Мот0

QNoт—^ Мот0,

где верхняя строчка отвечает за тип квантовой инъективности, который мы будем называть топологическим, а нижняя — за квантовую топологическую проективность, вместе с предложением [1, предложение 4.5] дает большой запас ко-свободных объектов (назовем их топологически косвободными) — это /то-суммы квантовых нормированных пространств Вто, сопряженных к

Теорема 2.2.6. Квантовое нормированное пространство является топологически косвободным тогда и только тогда, когда оно вполне топологически изоморфно /то-сумме пространств Вто, заиндексированных элементами некоторого множества Л.

Следствие 2.2.7. Квантовое нормированное пространство топологически инъ-ективно тогда и только тогда, когда оно является ретрактом топологически ко-свободного квантового нормированного пространства в категории QNoт.

Используя предложение 1.2.6, все полученные выше результаты можно легко обобщить с квантовых нормированных пространств на квантовые нормированные модули (см. [6]). Так, роль топологически свободных слабых (сильных) нормированных модулей над квантовой алгеброй А будут играть модули вида А+ ®ор Р (соответственно, А+ Р), где Р — топологически свободное квантовое нормированное пространство. Аналогично роль топологически косвободных слабых нормированных модулей над квантовой алгеброй А исполняют модули вида СВ(А+,Р), где Р — квантовое топологически косвободное нормированное пространство.

1

4=

Литература

[1] Хелемский А.Я. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сб. 2013. Т. 204. № 7. С. 127-158.

[2] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М.:МЦНМО, 2004.

[3] Blecher D.P., Le Merdy C. Operator algebras and their modules. Oxford: Clarendon Press, 2004.

[4] Хелемский А.Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2009.

[5] Pisier J. Introduction to operator space theory. Cambridge: Cam. Univ. Press, 2003.

[6] Хелемский А.Я. Проективные модули в классическом и квантовом функциональном анализе // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 7. С. 7-84.

Поступила в редакцию 18/XI/2013;

в окончательном варианте — 19/XII/2013.

TOPOLOGICAL FREEDOM FOR CLASSICAL AND QUANTUM NORMED MODULES

© 2013 S.M. Shteiner2

In the article questions, connected with the notion of topological projectiv-ity are viewed. It is shown that this type of projectivity can be represented as a partial case of certain general-categorical scheme, based on a notion of framed category. Apart from that topologically free 'classical', as well as quantum normed modules are described. Analogous results were obtained for topological injectivity.

Key words: topological freedom, topological cofreedom, semilinear normed space,

quantum normed space.

Paper received 18/XI/2013. Paper accepted 19/XII/2013.

2Shteiner Sergey Mikhailovich ([email protected]), the Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russian Federation.