Конкретная двойственность высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621

Г.В. Кондратьев КОНКРЕТНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Все известные конкретные двойственности (Понтрягина, Стоуна, Гельфанда-Наймарка и другие) являются, так называемыми, естественными двойственностями первого порядка. В статье изучается структура конкретной двойственности, дается критерий ее существования для строгих бесконечномерных категорий, приводятся новые примеры.

Ключевые слова: конкретная двойственность, бесконечномерные категории.

Введение

В настоящее время усилия многих математиков направлены на создание те-рии слабых категорий высшего порядка [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. Под слабыми понимаются категории со слабой ассоциативностью, которую очень нелегко выразить. Математики верят, что такая теория позволит объяснить многие эффекты от топологии до квантовой физики, вычислить гомотопические группы сфер, доказать некоторые гипотезы (например, гипотезу Гротендика, что категория топологических пространств, рассматриваемая со всеми гомото-пиями, эквивалентна категории бесконечномерных группоидов). В отличие от слабых строгие категории просты с принципиальной точки зрения и уже давно заслуживают быть рабочим аппаратом в разных разделах математики. Например, С AT, 2-Тор, 1-Group, ''-LieGroup являются строгими 9.-категориями.

Не имея возможности изложить в статье основные факты теории (строгих) бесконечномерных категорий (представимость, лемма Йонеды, пределы-копределы, сопряженность), автор рекомендует для чтения [9, 10] или просто принять на веру, что бесконечномерные категории такие же по существу, как одномерные, с небольшими уточнениями.

Двойственность часто связывает противоположные разделы математики, такие как алгебра и геометрия. Будучи эквивалентностью первого порядка, она позволяет переносить внутренние понятия и инварианты из одной категории в другую. Будучи эквивалентностью высшего порядка, она также позволяет переносить внутренне сформулированные инварианты высшего порядка (такие как теории гомотопий, не зависящие от выбора специфических объектов, как сфера или симплекс, К -теория и другие) из одной категории в другую.

Категорный анализ конкретной двойственности первого порядка был дан Порстом и Толеном в [11]. Реальным примером конкретной двойственности высшего порядка, который приводится в статье, является 2-двойственность Гельфанда-Наймарка, справедливость которой была установлена автором в [9, 10].

{0,1,2,...}-клетки обозначаются в тексте латинскими буквами с соответствующими верхними индексами. Через <\г> - С AT, L, L , В обозначаются соответственно строгая бесконечномерная категория всех малых строгих бесконечномерных категорий, две произвольные бесконечномерные категории и фиксированная базовая категория. /т 9™ обозначает композицию 777,-клеток, т — 71, таких что f ~ 0 9 з где dn и сп операции взятия начала и конца клетки, повторенные п, раз. М обозначает горизонтальную композицию

(которая может соответствовать разным °тг в зависимости от размерности клеток), е. операцию взятия единичной клетки.

Конкретная двойственность

Двойственность - это просто эквивалентность категорий L°p ~ U.

Определение 1. Конкретной двойственностью над категорией m -

© Кондратьев Г.В., 2011.

С АТ называется двойственность ные) забывающие функторы Г/

Л 1Р, В Ь®, для которых

, такая, что существуют (инъектив-

-4 В, V : V

объекты

Представляющие объекты А В ^ называются дуализирующими

объектами для данной конкретной двойственности [11]. Конкретная двойственная сопряженность определяется аналогично с той разницей, что функторы К и С необязательно эквивалентны.

Замечание. В определении 1 введен слабый вариант двойственности,

где X ~ У означает, что существуют клетки X У и <7 ■ У ^ X такие что еХ ~ ц О] í. еУ ~ / о, ц (х0 есть существуют /, Я и две подходяшие бесконечные последовательности клеток, принадлежащих Нот(Х,Х)и

Так же как в одномерном случае, двойственность получается из двойственной сопряженности ограничением на подкатегории, для объектов которых единица и коединица эквивалентны.

Утверждение 1 (представимые забывающие функторы ==:» конкретную двойственную сопряженность) Пусть (Ь,П), (Ь\\'г) слабо двойственно сопряженные т-

категории с представимыми забывающими функтора-

ми V ~ Ь(А0,-) : Ь V ~ Ь'(В0, -):!/-> В (где 1 ^ ^ . с АТ - некоторая

подкатегория). Тогда эта двойственность конкретна над Ш> с дуализирующим объектом (А-В), где А := & '■— то есть . и{А) ~ У{В)

. V ох С ~ Ь(~, А) и о1 ~ В)

Доказательство:

. и {А) = иГ{Ва) ~Ь{Аи, ГВ0) ~ Ь'(В0, ~ = ГВ

(аналогично - !/(-.#)) □

Замечания

• Конкретная двойственная сопряженность задается двумя //оттг-функ-торами, которые допускают подъем вдоль забывающих функторов (чтобы принять значения в нужной категории). Представляющие объекты этих функторов имеют эквивалентные (или изоморфные) несущие объекты в базовой категории

и

• Для обычных одномерных категорий Ш = Set ^ га - CAT (га -1-под-категория). Для размерности п., как правило, М = п- Cat V га - CAT ( га -

«.-подкатегория малых (п— 1 ¡-категорий). Определение 2. Для Нот-множества L(A.A) и элемента (х : Aq —> А) <Е L (j4o,j4) функтор взятия значения в точке т есть

evA,T := L{x, Л) : Л) -5> L(A0, Л) ( g В1 <—> оо .CAT1).

Аналогично, (ti — 1)-модификация взятия значения ег?Л,гт1, п = 1, 2, .. .

ддя G L"(A0,A) есть L(xn,A) е Ъп(Ь(А, Л), L(A0, Л))

клетка ес-

ес-

Определение 3.

• Для забывающего функтора V : L' —¥ В г : V{Y) V(Y') е V{Y),V{Y')) назыВается ¿'-клеткой,

ли 3 Ф" : Y Y' Е Г), такая что У(Фп) = Г.

• Поднятие íf от-функтора Ко—. Л1 называется начальным [12], ли 4AeL° VYeL'v \ffn : У(У) -> L(A,Á) е В-(V(Y):L(A,Á)) является

клеткой если и только если ^С1 ■ Aq —■> -А) £ L

°n+i fn ■■ V(Y) L{AQiÁ) E Л)) является L' -клеткой.

• Если поднятия обоих Нот -функторов

V о G ™ L(—, Л), U о F ™ L'f —, В) — начальные, тогда конкретная двойственная сопряженность , если она существует, называется естественной [11].

Даже если UÁ ~ VB и ЧАеЬ*,Ве b'° E-объекты L(A.Á). L'(B. В) поднимаются в L'. L, Нот -функторы U—.Á). L'i—. В) необязательно имеют поднятие

(для этого поднятия функций А н-> LÍA. Л4). В Н* L'(B.B) должны быть продолжаемы функториально над всеми клетками). Мы вводим следующую концепцию.

Определение 4. Условие начального поднятия для конусов взятия значений

{evAtXn €

состоит из следуюгцих требований

• Нот -категории вида

L(A.Á). L'(B.B) G ОЬ(Ш) поднимаются соответ-

ственно в L'. L,

• Конусы взятия значений

е ЩЦА, Л),L{An,Á))}^Ln(AaíA)

{evBtljn

П^вМПВъМГХьнв^в)

поднимаются соответсвенно в

• Е ¿(Л, Л)) /п есть и -клетка если только

Ухп е Ьп(Аа, А) /") Е Шп(УХ, ¿(Лп, Л)) есть .клетка (симметрич-

но ^ ¿ (В* В)) д71 есть ¿-клетка если только

есть ¿-клетка).

Следующая теорема показывает, что при выполнении условия начального поднятия для конусов взятия значений существует начальное поднятие Нот -функторов. Эта теорема, сформулированная для категорий первого порядка Порстом и Толеном [11], является критерием существования строгой конкретной естественно й двойственной сопряженности. В доказательстве поднятые отображения взятия значений обозначаются ег,А.х (или как-

нибудь похоже), а базовые отображения в с 'модулем' \

Утверждение 2. Если две строгие со-категории ¿. ¿' конкретные над ТВ > ОО -С АТ с представимыми (строго инъективными) забывающими функторами

II = ¿(Л0, —), V = ¿ (В0, —) имеют объекты А Е ¿°, В Е Ь 0 такие что

. и А ~ У В,

• Нот -функторы — ч^) ■ ^ ' ~7 " ■ и - —г удовлетво

ряют условию начального поднятия для конусов взятия значений

тогда существует естественная строгая конкретная двойственная сопряженность

с дуализируюгцим объектом

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . ¿(Л, Л), Ь'(В, В)

поднимаются в ^ •> ^ по условию.

• Пусть / ^ ^ (А^), тогда ^^ ' ^ ' -М*^-' ~~^ ^(А^) есть £'_клетка так как

оп+1 Ь(/"3 А) := ¿(я", Л) о„+1 ¿(/", А) = ¿(/" оп41 а", Л) =:

которая поднимаема ^ ■¿"(^-о? Л) Следовательно, ^(/"з Л) есть ¿' -аналогично,

есть ¿-клетка, то есть существуют отображе

клетка,

и

ния f , которые очевидно функториальны.

Почему они задают сопряженность?

(единица и коединица) 1 -стрелка (единица) Ля : S —^ GFB задается

\FB\= L'{B,B) \А\ = ¿(Лп, Л) — ¿'(Во, В). Почему |1в| могут быть подняты в ¿'? Возьмем композицию с отображениями взятия значе-

му, Коединица

ний \evFB.c\ = \evFB,c= |еивДс) =

где ce \FB\a = L'°(B,ë) = L°(A0,FB)^ Ъе\В\~. Поэто-

evFB.c| °1 \*1в\ |c| есть ¿'-клетка. Следовательно, \ve\ есть ¿'-клетка.

дана симметрично

^ FGA, Ы : \А\ \FGA\ : я ^ : G А В]г

\Ê\ ~ ^С-^О;-®) . По той же причине есть ¿-клетка.

• (треугольные тождества) Ge.a О] ппа = 1(74, Ft]R От ïfr = 1рл. Достаточно доказать их для базовых несущих отображений. Поскольку забывающие функторы инъективны, они будут следовать

|Сед| ûl \f}GA\ = |1gaI,

Возьмем (f* ■. A \GA\ = ¿"(Л, Л) am E \A\ = ¿т(Л0,А) Два случая в03.

можны:

Второе треугольное тождество выполняется аналогично.

(естественность Чв 1 '-,4) Опять достаточно доказать естественность для проекций

отображений в

Возможные случаи:

(напомним, \Г№ = l/W = ^"Л*1))

(a) evB.bn on+1 en(Ff°) = еидд/пк^

Почему I evB.c»v> (F/") = evB'.\f"\(iP) ?

Берем проекции отображений:

{

Где £Ь'°(В',В)

(типы клеток следующие: : FВ' FB^

сив.ь : FS -> А (¿-клет-ка), е1,Б>.\№) ■ А (/,-КЛетка),

\еив>,\№)\ ■ Х{В\В) -> \В\ = Ь'{В^В)

|*у|: п{в',ё) и [в,в) |-РЛ = ьу,в)у Сдедоватедьно?

VII - естественна. Аналогично, - естественна.

0л,в

ЦА^В) Ь'(В,СА)

(функторные изоморфизмы

в* AlE

)

Г вА>в(П := С(Г) оп+1 е-{пв), Г е Ln{A, FB)

1 0*АИ(ЯП).=

Определим I ■= F(gn) оп+1 еп(ЕЛ), Яп £ L'n(B,GA)

Пусть 9n£L'"(B,GA)

тогда вл,в(BU(gn)): = G{F<T о„+1 е"(еА)) оп+1 e-{rjB) =

но, = fn £ Ln(A:FB) 0А.В, ^А.в очевидно функторы и, сле-

довательно, функторные изоморфизмы.

• (естественность ^а.в) Докажем,

А Б

что

диаграмма

L{A,FB)^^L'{B,GA)

J

В'

"в

L(A, FS') -^L'fS', G4')

коммутативна.

on+1 e"6U)3 = en0A,tB, on+1 L(V% Fyn)

Два случая:

{

(a) Е L(A,FB)) к с®-

(b) (fn Е L(A,FB),n> a) L

е

Jn+1

Gz" о„+1 (e"G(/°) сп+1 еп{т]В)) оп+1 у"

Fyn on+1e"/u ^

Jj, 7 =y>JH иат.)

- G(Fyn оп+1 cnf° on+l хп) оп+1 еГ(т)В,) |

t

Г

on+1 enG/° о„+1 GFy™ оп+1

Следовательно, £ и -конкретно двойственно сопряженные категории. Это соответствие естественное (по построению) и строгое (@А.П и й-изоморфизмы). П

Следствие. Конкретная естественная двойственность есть строгая сопряженность. П

Примеры конкретной двойственности

Двойственность обычно определяет рабочее пространство для разных алгебро-геометрических теорий. Существует много разных двойственностей, которые зачастую не выделяются явно. Классические двойсвенности обсуждаются, например, в работах [11, 12, 13, 14].

Хорошо известные двойственности

Все двойственности, приведенные далее, первого порядка, естественные [11] и получены путем ограничения подходящих двойственных сопряженностей.

V«: J-.fr)

, где

кате-

Vec^.

• Vect двойственно сопряжена самой себе Vac*f-.fr) гория векторных пространств над полем к. Двойственность получается ограничением на конечномерные пространства.

• SetDp ^ Complete Atomic Boolean Algebras (категория множеств двойственно эквивалентна категории полных атомарных булевых алгебр).

• Boolap ~ Boolean Spaces (двойственность Стоуна), где Ronl категория булевых колец (каждый элемент -- идемпотент). Она получается из двойственной сопряженно-

сти

, где 2-двухэлементное кольцо и дискретное топологи-_ - ! (подпространство в топологии Тихо-

ческое пространство. СК1г^(А,2)с нова).

Нот{-,Ж/%) : СотрАЬ°р - АЬ (двойственность

Понтрягина), где

СотиАЪ, АЬ — категории компактных абелевых групп и абелевых групп соответственно.

Нот{—, С) :С*А^ор ~ СНТор (двойственность Гельфанда-Наймарка),

где С*А^, СНТор категории коммутативных (П* -алгебр и компактных хаусдорфо-

вых пространств. Новые примеры

"-■ " (подпространство в топологии Тихонова).

Как только механизм получения новых двойственностей известен, можно пытаться получить новые примеры. Однако, если часто двойственную сопряженность получить легко, то ассоциированная двойственность может оказаться пустой. В следующих примерах двойственность получена в результате разных процессов. Для двойственности Гельфанда-Наймарка это расширение на новое гомотопическое измерение, для двойственности Виноградова ограничение на подходящие подкатегории, для двойственности Понрягина-Лукаша, наоборот, расширение на большие одномерные категории, для дифференциальных уравнений это только двойственная сопряженность, требующая дополнительного исследования.

• (2-двойственность Гельфанда-Наймарка)

Утверждение 3. Существует 2-расширение двойственности Гельфанда-Наймарка с 2-клетками, гомотопическими классами гомотопий.

• Эта двойственность конкретна с дуализирующим объектом (П над 9,- Оя^ (2-категорией малых категорий, функторов и натуральных трансформаций), то есть существуют инъективные забывающие функторы и : С*А1я -> 2. С^ и V : СНТор 2. СяЬ такие

С*А^ор

СНТор

что

сгА1е[-,с1

и

и и V - композиции функторов включения и взятия фундаментального группоида ( & '■ С* А1|£ 1 ^ 2-

Эта двойственность естественна, то есть поднятия Нот -функторов

С СНТор(—, С) Вдоль V и II являются начальными. □

Доказательство может быть найдено в [9, 10]. (двойственность Виноградова)

Пусть К-, А, А- МоН Ч А-ПИТ ^ йГ-Мг>Н обозначают соответсвенно коммутативное кольцо, К -алгебру, и вложение категории А -модулей в категорию дифференциальных операторов и затем в категорию К -модулей (все вложения тождественны на объектах).

А- ГШТ обогащается в тензорной категории (К- Мос1, а хакже обогащается

двумя различными способами в Мос1, за исключением того что композиция не является А -линейной. Модульное умножение для первого обогащения А-

ГНЯ в (А- Мос1> ®к) задается А X А. БИТ(Р, Я) А.

Diff(P, Q) : (я, А) ^ 1а о Д ддя второго Ах Л- Di ff(P, Q) Diff(P, Q) : (а, A) ^ Д o обозначим A-Difí с левым модульным умножением ln. ° — в Нот -множествах тем же именем j4-T)iff, а с правым умножением — и с плюсом

Следующее предложение суммирует основные факты формальной теории линейных дифференциальных операторов А.М. Виноградова [15].

Утверждение 4

Для всех РОеОЬ (A- Mod) A-Diff(P, Q) = ur=n Diff (Р, Q)

являются Л-модулями, фильтрован-ными подмодулями дифференциальных операторов порядка s = 0, 1,...

Для любого F Е ОЪ (A Mad) j4_ DifTf Р, Р) является ассоциатив-ной К-алгеброй.

Diffs(P, -), Diff+(-,P) : A_Moá Л-Mod являются Л-линейными функторами.

Для каждого

Р € ОЪ(А- Mod)

функтор JJ11A б ^ ' ) представим объектом DiflCCP) := Diff+(А,Р) Те VQ Е Об (A. Mod)

ModCQ,Díff^CP))

Для каждого том Jet£(P) := А®* Р mod где

жденный

элементами

Ре оь(A.Mod) функтор представим объек-

есть подмодуль A Р поро-6°° о ■ ■ ■ о 6а"+1(а ®р)

[ Sb(a ® р) := аб &р — а <§> Ър^ т е

Mod(Jets(P), Q) ^ DiffS(P,Q) ддя Q Е Об (A Mod). Включение

Л-Mod ^ 4-DiflF+ есть (обогащенный) левый сопряженный с кое-

диницей ^ : Diñ+(P) ^ Р : Д ^ Д(1), УД Е Diff+(Q,P) 3!/д Е А_ Mod(Q, Diff+(P))

т.е.

такой что

и это соответствие А -линейно, ■ Я ^ А (ад))

Включение А- Мг^ <—^ А-ПИТ есть (обогащенный) правый сопряженный с единицей

УД Е ПЩРД) 3!/д Е J4.Mod(Jetж([p))Q)

такой что

и это соответствие Л -линейно, • Подкатегория A- IVTnH рефлективна и корефлективна в A-nîff (обогащенной в К- Mod). □

Для s Е N введем две полные подкатегории категории A- Mori : j4-Mori-DifF*, состоящую из всех А -модулей вида DifFs(Р, j4), Р Е ОЬ ( j4_ Mod)

и A- Mori-Jets, состоящую из всех .А-модулей вида C^s ^ ^ ОЬ(А_

Mod)

Утверждение 5 (двойственность Виноградова) Для коммутативной алгебры А существует конкретная естественная двойственная сопряжен-

A-Mod-Diff?

ностъ

A-Mod-Jet'

полученная пу-тем ограниче-

ния из л-дющ-.л; А является ее дуализирующим объек-

том. □ Замечания

Утверждение 5 устанавливает формальный аналог известной двойственности между дифференциальными операторами и струями на некотором фиксированном многообразии X. Геометрические модули сечений векторных расслоений над X соответ-

свуют модулям Р над C^fjY) со свойством *еХ , где — ма-

ксимальный идеал в точке % € X функторы ) и DifiFs( —сохраня-

ют свойство модуля быть геометрическим [15].

Эта двойственность является альтернативным алгебраическим способом введения расслоения струй в геометрии (вместо классического способа Гротендика и Эресмана как классов эквивалентности отображений, касающихся порядка .ч в точке). Когда

А = C^ÎX) и Р геометрический модуль, реализуемый как векторное расслоение V(P) над X, тогда Jets (Р) реализуется как Jet S(V(P)) над X в классическом смысле [15]. (двойственность Понтрягина-Лукаша)

Следующая теорема устанавливает расширение двойственности Понрягина на абеле-вы локально прекомпактные группы, что было доказано Г. Лукашем [16]. Расширение

естественное с тем же самым дуализирующим объектом шС/лй, точнее, с 1. Напомним, что топологическая группа прекомпактна, если для всякой окрестности единицы существует конечное множество элементов, такое что вся группа содержится в произведении этих множеств. И группа локально прекомпактна, если указанное свойство выполняется только в некоторой окрестности единицы.

Утверждение 6 (Понтрягин-Лукаш). Имеются следующие естественные

двойственности

CompAb

locCompAb

ар

lo cComp Ab

1осРгеСотрAbDp _ locCompAb^

где locCompAb^ есть категория плотных вложений локально компактных абе-левых групп в компактные абелевы группы (с коммутативными квадратами в locCompAb кхц- стрелками). □

Замечание. Главная идея этого расширения в том, что каждая локально прекомпакт-ная группа G может быть представлена как плотный инъективный locCompAb-

морфизм Gd -> ctmvpl{G) где Ga есть та же самая группа с дискретной топологией, а compl(G) __ее пополнение по отношению к двусторонней равномерной структуре на G. После этого обычная двойственность Понтрягина используется [16].

• (двойственность для дифференциальных уравнений)

Утверждение 7. Пусть UAlg обозначает категорию универсальных алгебр с пред-ставимым забываюгцим функтором. Тогда каждая топологическая алгебра А. является дуализируюгцим объектом и определяет некоторую естественную двойственную сопряженность между UAlg и Тор. □ Доказательство см. в [9, 10].

Следствие. Возьмем UAlg = к - Л - А1к категорию внешних дифференциальных алгебр над полем к (М или (П), объекты которой, подразумевается, представляют обобщенные дифференциальные уравнения. Возьмем

А. Л (С (IR )) иди А(С^(С )) (которые играют роль пространства параметров) с jetx -топологией (или более сильной, согласованной с операциями). Тогда

£>А-Ale0*3 Г ' Tod

существует естественная двойственная сопряженность е---»* ^ (ме-

жду дифференциальными уравнениями и их пространствами решений). D Замечания

• В качестве категории, представляющей гладкие дифференциальные уравнения, можно брать сразу полную рефлективную подкатегорию гладко-полных внешних дифференциальных алгебр (у которых коэффициенты замкнуты относительно гладких операций).

• Если рассматривать категорию к-А- А1к у которой забывающий функтор представим, то будем иметь много лишних точек, не имеющих геометрического смысла (только однородные градуированные отображения степени Ов Л имеют смысл, представляя интегральные многообразия размерности не больше п). В этом случае представление внешней дифференциальной алгебры будет через пространство большее, чем пространство решений. Если оставить в к- А- Alg только градуированные морфизмы степени 0, тогда забывающий функтор не представим, но дуализирующий объект А- и сопряженность, определенная им, все еще имеют смысл.

Обозначим конкретные подкатегории Тор двойственные категориям к-(коммутативные алгебры над к) и к- А-А1К (внешние дифференциальные алгебры над к с градуированными степени 0 морфизмами), через &lR-Sol и H"iff-Sol соот-

ветственно, т.е. k- Alf?

Dp - alg-Sol

k-A- Alp; p ^ diff-Sol в частности, alg-Sol содержит все алгебраи-ческие и гладкие fc-многообразия ( k = 1R¡ или (П), Hiff-Sol содержит все пространства

вида , X) (с представляющим объектом ^ А (С (к

Приблизительная структура diff- Sol:

[х, ц т-)

ОЬ(diff-Sol) это пары ;=i , где

Х\= к-A- AJRf Д к) = к. Alg(D, к) Е Ob (alg. Sol),

; С alg- Soif А:1, А), 1 < i < п [ J\ не являются произвольными подпространствами

alg- Soifк\Х)], Ar ídiff- Sol) это пары

(/, Ц Sol(fc\ /)) : (X, Ц JFJ (X', Ц 7¡)

где f :Х ^Х'е Ar (alg- Sol), alg- : * 1 < ¿ < «

Утверждение 8. Имеются следующие сопряженности

, где At есть функтор взятия свободной внешней диффе-

ренциальной алгебры, РЬ проекция на подалгебру элементов степени О,

hom(íc".—)

alg-Sol т_ diff-Sol

, где h есть функтор взятия базового пространства, та-

кие что

Доказательство и дополнительные детали содержатся в [9, 10].

Существует больше заслуживающих внимания двойственностей, например, между группами преобразований и коммутативными алгебрами, или группами Ли-пребразований и дифференциально-алгебраическими тройками в духе А.М. Васильева [17]. Эти примеры могут быть найдены в [9, 10].

Библиографический список

1. Leinster, T. Higher operads, higher categories, Cambridge University Press, 2003.

2. Baez and J. Dolan, J. Higher-dimensional algebra and topological quantum field theory, Jour. Math. Phys. 36, 6073-6105, 1995.

3. Baez, J. An introduction to n-categories, 7th Conference on Category Theory and Computer Science, eds. E. Moggi and G. Rosolini, Springer Lecture Notes in Computer Science vol. 1290, Springer, Berlin, 1997.

4. Lurie, J. Higher topos theory, arXiv:math.CT/0608040, 2006.

5. Makkai, М. The multitopic iii-catcgon of all multitopic iii-catcgorics. McGill U, 1999.

6. Joyal, A. The theory of quasi-categories, I, II, UQAM, 2007.

7. Cheng, E., Lauda, A. Higher-dimensional categories: an illustrated guide book, U of Cambridge, 2004.

8. Simpson, C.T. Homotopy Theory of Higher Categories, Cambridge University Press, 2010.

9. Kondratiev, G.V. Strict infinity categories. Concrete duality, arXiv:math.CT/0608436, 2006.

10. Kondratiev, G.V. Concrete duality for strict infinity categories, arXiv:0807.4256v1 [math.CT], 2008 (a revised paper).

11. Porst, H.-E., Tholen, W. Concrete dualities, в книге Category Theory at Work (eds. H. Herrlich. H.-E. Porst), Heldermann Verlag, Berlin, 1991, pp. 111-136.

12. Adamek, J., Herrlich, H.G., Strecker, E. Abstract and concrete categories. The joy of cats, John Wiley, 1990.

13. Bell, J.L. Toposes and Local Set Theories: An Introduction, Clarendon Press, Oxford, 1988.

14. Johnstone, P.T. Stone spaces, Cambridge University Press, 1982.

15. Виноградов, А.М. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений / А.М. Виноградов, И.С. Красильщик, В.В. Лычагин. - М., 1986.

16. Lukacs, G. Duality theory of locally precompact groups, Category Theory Octoberfest, Ottawa University, 2006.

17. Васильев, А.М. Теория дифференциально-геометрических структур / А.М. Васильев. - М.: МГУ, 1987.

Дата поступления в редакцию 03.05.2011

G.V. Kondratiev

CONCRETE DUALITY OF HIGHER ORDER

All the known specific duality (Pontryagin, Stone, Gelfand-Naimark and others) are called natural duality-mi first order. In this article we study the structure of a specific duality, give a criterion of its existence for strict dimensional categories and new examples.

Key words: specific duality, infinite-dimensional category.