CC BY
33
КЛАСС СЛУЧАЙНЫХ БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ЕГО ОСОБЕННОСТИ, КРИТЕРИЙ «СИММЕТРИЧНОГО ЭНТРОПИЙНОГО (ХАОТИЧНОГО) РЕЗОНАНСА» Филатов О.В. Email: [email protected]
Филатов Олег Владимирович - инженер-программист, ЗАО «Научно технический центр «Модуль», г. Москва
Аннотация: учёные считают, что ключ к пониманию мира случайностей лежит в простейшей из возможных случайных последовательностей - бинарной последовательности. Открыв её тайны и экстраполировав найденные законы на более сложные задачи, учёные рассчитывают понять все возможные другие случайные последовательности. За несколько прошедших лет инженерные школы России и США (С. Голомб) разработали практическую прикладную теорию и инструментальную базу для создания, а также оценки качества случайных бинарных последовательностей (СБП). Созданная теория обслуживает информационные разработки и закрывает все фундаментальные вопросы по случайным бинарным последовательностям, которые давно изучает, без всяких ощутимых успехов, российское академическое сообщество. В этой статье дан ещё один, улучшенный критерий (инструмент) определения принадлежности исследуемой последовательности к классу СБП на основе теории: «Комбинаторика длинных последовательностей» (КДП). Ключевые слова: КДП, СБП, цуга, цуг.
THE CLASS OF RANDOM BINARY SEQUENCES AND ITS FEATURES, THE CRITERION OF "SYMMETRIC ENTROPY (CHAOTIC)
RESONANCE" Filatov O.V.
Filatov Oleg Vladimirovich - Software Engineer, SCIENTIFIC AND TECHNICAL CENTER «МОДУЛЬ», MOSCOW
Abstract: scientists believe that the key to understanding the world of accidents lies in the simplest possible random sequence - the binary sequence. Having discovered its secrets and extrapolating the found laws to more complex problems, scientists expect to understand all possible other random sequences. Over the past few years, engineering schools in Russia and the United States (S. Golomb) have developed practical applied theory and instrumental base for creating, as well as, assessing the quality of random binary sequences (SBPs). The created theory serves information development and closes all fundamental questions on random binary sequences that have long been studied, without any tangible success, by the Russian academic community. This article provides another, improved criterion (tool) for determining whether a sequence under study is classified as an SBP based on the theory: "Combinatorics of long sequences" (CDR). Keywords: KDP, SBP, Zug.
УДК: «51»
DOI: 10.20861/2304-2338-2018-132-006
Введение
Академик А.Н. Ширяев, в работе [1] пишет: «В настоящее время известны следующие четыре основных подхода к определению понятия 'бесконечная случайная последовательность', основанные на выполнении одного из четырёх требований, интуитивно предъявляемых к тому, что мы называем 'случайностью'»: «Частотоустойчивость = стохостичность», «Типичность» (принадлежность к множеству эффективной меры единица), «Сложноустроенность = хаотичность», «Непредсказуемость».
У этих определений Случайной Бинарной Последовательности (СБП) отсутствуют компактные формульные описания, по которым можно оценить степень случайности исследуемой пос-ти, и все они не применимы на практике. Все эти определения старые, принадлежат прошлому веку, современная отечественная инженерная школа выработала в рамках «Комбинаторики Длинных Последовательностей» (КДП) собственное определение СБП. Случайная бинарная пос-ть (СБП) -это множество цуг nCw, число которых считается по ф. 1 [2, 3, 4, 5, 6], на любом достаточно длинном участке СБП число цуг так же считается по ф. 1:
,гс =
(2" - I)2
N
Ф. 1
2?г(и/+2)+1
Где: N - число элементарных событий в случайной бинарной пос-ти (длина случайной пос-ти N или её участка); п - число элементарных событий образующих данные составные события (длина моды) [2, 3, 4]; м - число составных событий в цуге (число колен цуги, число полуволн) [2, 3, 4].
При значительном росте отклонений Д обнаруженных цуг пС^м: Д= | пС^м — пСкЫ | в исследуемой пос-ти, от значений пСтМ (рассчитанных по ф. 1), падает вероятность того, что эта пос-ть случайна.
Любую бинарную пос-ть достаточной длины можно проанализировать на выполнение условий ф.1. Если любой достаточно длинный фрагмент пос-ти соответствует условиям ф.1 и вся пос-ть в целом соответствует условиям ф.1 (с оговоренными уровнями погрешностей Д), то частоты встреч цуг в пос-ти постоянны [7], пос-ть частотоустойчива и принадлежит классу СБП.
На практике, при анализе различных СБП был выработан более простой критерий определения принадлежности пос-ти СБП классу, чем анализ частот цуг по ф. 1. Упрощение заключается в том, что отпадает необходимость разбивать исследуемую пос-ть на подпоследовательности, с последующим анализом числа вхождений цуг в каждую из подлостей. Принадлежность исследуемой пос-ти к классу СБП по предлагаемому критерию определяется за один её просмотр программой.
В работе [2], в разделе «Приложение А», введены формулы расчёта среднего расстояния между цугами СБП. Очевидно, что цуги СБП не могут быть собраны в каком-то одном небольшом месте СБП, что они равномерно рассеяны по всей длине СБП (что не исключает их локальных случайных флуктуаций по плотности). Это свойство СБП (равномерное распределение цуг по всей длине) предлагается взять в качестве программного критерия определения принадлежности пос-ти к классу СБП. То есть, программа должна анализировать цуги в пос-ти на предмет их равномерного распределения по всей длине пос-ти.
Предлагаемый критерий, которому дадим название «Критерий энтропийного (хаотичного) резонанса» - кЭР, то же базируется на ф. 1. В нём применено скользящее окно и свойство равновероятной встречи цуг слева и справа от расчётных узлов (позиций) цуг. Расстояние между виртуальными узлами цуг есть среднее расстояние между цугами (свойство равномерной плотности цуг в пос-ти), т.е. используем свойство усреднённой частоты встреч цуг в пос-ти.
Для описания работы кЭР критерия создадим с помощью компьютера случайную бинарную пос-ть из N = 2 ■ 107 событий, и проанализируем её для пояснения работы кЭР критерия.
Основная часть
Описание работы «Критерия энтропийного (хаотичного) резонанса» (кЭР).
Рассмотрим работу программы1 кЭР на примере поиска цуг [2, 3, 4, 5, 6]: п=2Ск=2. Программа кЭР просматривает все элементарные события («0», «1») бинарной пос-ти2, распознавая образуемые ими цуги, рис. 1. При обнаружении очередной цуги 2С2 определяется номер I (позиция) элементарного (эл-го) события от начала бинарной пос-ти с которого начинается эта цуга. На рис.1 изображены две цуги 2С2. Первая цуга начинается с эл-го события «1». Номер этой «1» от начала бинарной пос-ти равен двум
Рис. 1. От начала цуг определяют расстояния до узлов
1 Graph2 \ TabSheet9 (ГЕНЕРАЦИЯ ПП) \Button69.
(| =2). Вторая цуга начинается с нулевого события «0», его номер от начала пос-ти: I =150. Программа обнаружила в пос-ти1: | С2=350933 цуг.
ТЕ lw=1—=,_ _ ф. 2
По ф. 1 число цуг в СБП состоящей из элементарных событий: = 3515623, оно хорошо совпадает с найденным числом цуг: JC2=350933 (разность 0,18%). Рассчитаем среднее расстояние ™Е1 между цугами nCwN случайной бинарной пос-ти (ф. 1), оно зависит от длины базового составного события цуги, и числа колен цуги, ф. 2:
N 2?2(W+2) + 1 (2" - l)2
-9 9 22(2+2)+1 29
Для цуги n~2Cw=2 среднее расстояние между цугами равно: ТЕ12 = 2——— = — = 56,888.. .
(.2 —1J з
Число найденных в пос-ти2 цуг отличается от рассчитанного по ф. 1. Рассчитаем по ф. 2, для найденного в пос-ти2 числа цуг JC 2 , среднее расстояние J,E 12 между цугами, разделив число
событий пос-ти N на J C2 - число обнаруженных в ней цуг: JE12 = = 2 10 = 56,991, число
j С 2 3 5 093 3
J отличается на 0,18% от теоретической рассчитанной величины Т .
Для выявления равномерности распределения цуг J C2 в исследуемой пос-ти кЭР программа содержит две ветви: экспериментальную (Э) и теоретическую (Т). На рис. 1, ось с номерами эik, которые отображают эл-ые события Э ветки, изображена сверху, на ней показаны две цуги найденные в тестируемой пос-ти. На рис. 1 ось с номерами Тik, которые отображают эл-ые события Т ветки, изображена снизу, на ней даны два узла (в виде вертикальных линий пересекающих ось Т i), рассчитанные по ф.3.
Сравнение Э-распределения с Т-распределением выявит степень случайности исследуемой бинарной пос-ти. Программная Э ветка ищет в пос-ти очередную k - ю цугу JC 2 , а Т ветка считает по ф.3 координату k - го узла цуги ТC2, k -тые координаты (найденные JC 2 и рассчитанные ТC2) сравнивают, результат сравнения заносят в статистику.
Шаг 1 Э ветка, рис. 1). Программа1 ищет в тестируемой пос-ти2 цугу JC2. Найдя цугу J C 2 программа1 фиксирует номер J - первого эл-го события цуги от начала пос-ти: = 2.
Шаг 2 (Т ветка, рис. 1). Расчёт по ф.3 теоретического номера эл-го события Tik=1, с которого начинается k -й узел (шаг) решётки, от начала пос-ти:
(2?г(и/+2)+1\
k-(2n-l)2) Ф. 3
Где: k = 1, 2, 3, ... - порядковый номер искомой цуги; СЕlw - среднее расстояние между цугами рассчитывается по ф. 2; iпt - символ операции округления до ближайшего целого. Для первого узла цуговой решётки расчётный номер её первого эл-го события: ¡ik=1 = int ( 1 ■
Ce h) = 57.
Шаг 3 (Сравнение и учёт, рис. 1). Первая цуга J C 2 в анализируемой пос-ти имеет координату
31 1 = 2 (PoziciaCugi =2)3, а её мат-ое ожидание (узел) Ti 1 = 57 (iSteps_Sum=57)3, программа сравнивает между собой эi 1 и Ti^ Если эi 1 < Tij^, то растёт на один программный счётчик «Mas_Plus», таких ситуаций2: «if(iSteps_Sum > PoziciaCugi) Mas_Plus[iSteps_Sum - PoziciaCugi]++;», таблица 1. Далее переход на шаг 4 (возврат к «Э ветка»).
Шаг 4 Э ветка, рис. 1). Программа3 ищет в исследуемой пос-ти следующую цугу JC2, эта цуга имеет координату: = 150 (PoziciaCugi =150).
Шаг 5 (Тветка, рис. 1). Расчёт по ф.3 теоретического номера Tik=2, с которого начинается вторая цуга Т=2 C2, от начала пос-ти: Т ik=2 = int(k ■ CElw) = int(2 ■ 56,991) = 114, где: nElw -рассчитывается по ф.2.
Шаг 6 (Сравнение и учёт, рис. 1). Вторая цуга J C2 анализируемой пос-ти имеет координату
32 = 150 (PoziciaCugi =150), а её мат-ое ожидание ¡i2 = 114 (iSteps_Sum=114): Ti2 < Э2 ,
'Prg: Graph2_ Button69 D:\BUILDER ROGRAMS\Graph1\Dat\20_000_000\20mln1 .dat.
2 if(iSteps_Sum > PoziciaCugi) Mas_Plus[iSteps_Sum - PoziciaCugi]++;
if(iSteps_Sum < PoziciaCugi) Mas_Minus[PoziciaCugi - iSteps_Sum]++;
if(iSteps_Sum == PoziciaCugi) Mas_Plus[0]++.
поэтому растёт на один счётчик «Mas_ Minus», таблица 1, учитывающий такие ситуации3: «if(iSteps_Sum < PoziciaCugi) Mas_Minus[PoziciaCugi - iSteps_Sum]++;». Далее программа переходит на шаг 7 (возврат к функции «Э ветка») и т.д.
В сноске три3 есть строка: «if(iSteps_Sum == PoziciaCugi) Mas_Plus[0]++;», которая не описана в вышеприведённом алгоритме, в ней учитывают ситуации совпадения позиций тik = э i fe. Результат исследования программой1 файла2 по описанному выше алгоритму3 приведён в таблице 1.
Таблица 1. Влияние шага цуговой решётки на обнаружение цуг |С2
Шаг цуговой решётки: "Fl ^=56,88... П од б ор 2 = 56,86 N f- 256,85 эс2 Шаг = 52,88.
Mas_Plus = I CwK 281549 175310 144684 12
Mas_ Minus = 70244 176474 207085 351798
Posicia 0 5 14 29 0
A = [2999] 238633; 27531 116770; 112877 94273; 148695 0; 351395
Область Симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса Асимметрии
Button69; СБП: "20mln2.dat" ( N=2 ■ 1 0 7 ); число цуг = 351798.
В строке «Шаг цуговой решётки: £Е iw» в названии столбца «7—= 56,88...» дана
тс2
рассчитанная по ф.2 величина шага для 2 С2 цуг. Число 281549 (строка Mas_Plus) - количество найденных в пос-ти цуг |С2, их к - номера равны к - номерам решётки, а координаты э1к (найденные программой) больше координат Tik (рассчитанных по ф. 3): э ¿к > т1к. Число 70244 (строка Mas_Minus) - количество найденных в пос-ти цуг |С2, к - номера которых равны к - номерам решётки, а координаты э ¿к меньше координат т1к (рассчитанных по ф. 3): э 1к < т 1к. Видно четырёх кратное превышение Mas_Plus (281549) над Mas_Minus (70244), что объясняется недостаточной сбалансированностью исследуемой пос-ти, что привело к уменьшению её случайных качеств, смотри ф. 5. Ручной поиск шага |С2 (столбец: «Подбор Е '2 =56,86») выявил: шаг 56,86, при котором восстановилось равенство цуг до и после узлов решётки т1к: Mas_Plus (175310) = Mas_Minus (176474).
N 9
В столбце: «— =56,85» шаг цуг рассчитан из их фактического числа: §С2= 351798, в
исследуемой пос-ти2, но баланс цуг: Mas_Plus (144684); Mas_Minus (207085) оказался хуже, чем в столбце «П0дб0р Е i2 =56,86».
Продемонстрированная выше зависимость цугового баланса от незначительных изменений среднего шага решётки очень похожа на зависимость качества приёма радиосигнала от резонансной настройки радиоприёмника на частоту передачи сигнала. Любой произвольный шаг приводит к полной ликвидации баланса цуг до и после узлов решётки . В столбце «Шаг = 52,88...» показана полная разбалансировка пос-ти по цугам до и после узлов решётки: Mas_Plus (12) * Mas_Minus (351798).
В строке Posicia_0, таблицы 1, показаны численности случаев, в которых i - ые координаты расчётных к - ых положений (узлов) цуг |С2 и фактические координаты цуг |С2 совпали:
Т i к = э i fe.
Выше были рассмотрены счётчики, которые учитывали число следующих условий: Mas_Plus( (int) т iк > э i к); Mas_Plus[0]( (int) т iк = э i к); Mas_Minus( э i к > (i nt) Ti к). В строке «А = [2999]», таблицы 1, отражены значения пар счётчиков: Mas_Plus; Mas_Minus при учёте накопления «хвостов», то есть всех событий с координатой , которые были удалены на величину А от рассчитанной по ф.3 координаты : . В строке «А =
[2999]» А = 2999. Очевидно, в таблице 1 можно выделить три столбца: = 56,88.»,
тс2
«П0дб0р2Е (2 =56,86», «— =56,85», в которых небольшие изменения в значении шага цуги 2 С2
приводят к взаимным изменениям числа цуг обнаруженных справа и слева от координат т ¿к. В строке «Область», таблицы 1, эти три столбца объединены названием: «Симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса».
Область «Асимметрии» окружает «Область симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса» слева и справа, но в таблице 1 (из-за ограничения её размеров) дан только один пример из области «Асимметрии». В столбце «Шаг = 52,88...», таблица 1, приведён пример, из которого видно, что значения шага цуговой решётки, которые не принадлежат «Области симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса», характеризуются тем, что отношение
12
наименьших величин к большим стремятся к нулю во всём А - диапазоне: 3S1798 ( А = 0 ) —■ 0; 3S1°39S (А = 2999) = 0. Так при шаге 52,88 счётчик Mas_Plus = 12 (практически пуст), а счётчик Mas_ Minus = 351798 (содержит практически численность всех обнаруженных цуг). Но если взять шаг равным 60 (другая сторона области «Асимметрии»), то содержание счётчиков «перевернётся»: Mas_Plus = 351305 (содержит практически численность всех обнаруженных цуг), Mas_ Minus = 492 (практически пуст), Posicia_0 = 1.
Очевидно, что вышеприведённые рассуждения о «Области симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса» с охватывающей её областью «Асимметрии» относятся к любым цугам пCwN случайной бинарной пос-ти (СБП), которые описываются по ф.1, а не только взятым для пояснительного примера цугам .
Критерий принадлежности пос-ти к СБП классу.
Если число экспериментально найденных цуг g Cwjv исследуемой пос-ти с заданной степенью точности равно рассчитанному по ф.1 числу , а сумма левых и правых
цуг, равна числу всех узлов (ф.3), с точностью до случайной флуктуации, то такая бинарная пос-ть является членом СБП класса.
п п N
L ^wN + П ^wN — пр, ф. 4
Следствие 1. Численности цуг в СБП, как в левой L( CwN, так и в правой R( igh t" CwN области «Симметричного энтропийного резонанса» равны и рассчитываются по ф.5:
пг
пГ ^ пГ ~ UwN Ф 5
L wiV = RlwN =2
Следствие 2. Если частные от делений N - числа элементарных событий пос-ти на среднее экспериментальные значения расстояний , с допустимой степенью точности, равны частным от деления N на теоретически рассчитанное по ф.2 среднее значение iw, для всех комбинаций и , то исследуемая пос-ть с большой долей вероятности принадлежит классу СБП, ф.6:
э C(wNyN N N
у-э^ОvN)(np, у эт^'и
Ф. 6
Действительно: £ \_ 1эС(и"4 ( 'и) к ^ ¿V, а отношение: эС(и"") = , где: Э^ 'и
к-1 N ЭЕ1Ш
экспериментально найденное среднее расстояние между цугами.
В таблице 2 даны результаты тестирования десяти компьютерных СБП. Как видно в столбцах 3 и 4 число цуг сильно различаются, что говорит о больших локальных флуктуациях. То есть, псевдослучайные бинарные пос-ти выдаваемые компьютером плохо соответствуют ф.5, но, при хорошем соответствии численности столбцов 2 и 7 значениям получаемой по базовой цуговой формуле ф.1. Наибольшей разбалансировке подвержена пос-ть «A2general.dat», расстояния между цугами |С2 которой имеют наиболее выраженную аномалию из имеющихся в таблице 2. Эта аномалия говорит о том, что малых расстояний между цугами меньше, чем больших расстояний, что можно использовать в предсказаниях при их выпадениях.
2Г Э с 2 п=1г п=1г Posicia 0 А = [2999] 7л-
1 2 3 4 5 6 7
A1general.dat 351572 327718 23848 6 306883: 9695 6665837
A2general.dat 351226 5456 (1,55 %) 345767 (98,45 %) 3 0: 325142 6666378
A3general.dat 351515 179077 172414 24 139698: 115607 6666719
A4general.dat 351204 10372 340829 3 845: 323080 6661930
A5general.dat 351734 50842 300886 6 25172: 283711 6668830
A6general.dat 351634 309167 42455 12 263241: 23926 6664713
A7general.dat 351239 67380 283845 14 47095: 262698 6666721
A8general.dat 352162 343376 8782 4 335196: 2905 6666973
A9general.dat 351367 40315 311051 1 19735: 305257 6667126
A10general.dat 351375 142567 208799 9 82450: 176881 6667013
Би«оп69; п = 2; и' = 2; ТЕ 1„ = 56,88. ; № 2-1 О7
На рис. 2 даны графики наиболее разбалансированной пос-ти «A2general.dat», которая претендует на членство в классе СБП. Вместо ожидаемых примерно одинакового вида двух распределений, на рис.2 мы видим, что 98,45% цуг имеют средний шаг больше теоретически ожидаемого шага 56,888.., который рассчитывается по ф. 2. То есть, данная пос-ть не обладает областью симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса, так как два графика не симметричны относительно горизонтальной оси, и по этому критерию «A2general.dat» не является членом класса СБП.
Рис. 3. Область симметричного энтропийного Рис. 2. Область Асимметрии (хаотичного) резонанса
Для сравнения, на рис. 3 приведены графики для сбалансированной по цугам |С2 СБП и которая обладает областью симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса. Это выражается в том, что при наложении двух графиков друг на друга относительно горизонтальной оси их значения имеют соизмеримые величины и практически одну область определения: 1 - 14. Поэтому, пос-ть, графики которой даны на рис.3, является членом класса СБП по критерию симметричного энтропийного резонанса. На рис. 2 и 3 горизонтальная ось сжата в 100 раз (1 деление оси Х содержит 100 позиций пос-ти, значения 100 позиций пос-ти суммировались в 1 значение по оси У).
Обсуждение
Года два назад в национальный стандарт США была включена формула из «Комбинаторики длинных пос-тей» - КДП [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Включённая в стандарт США формула служит для расчёта числа составных событий [2, 3, 7] в зависимости от числа N событий СБП. Факт включения формулы КДП в стандарт США служит бесспорным утверждением КДП как научной теории, которая закрыла вопрос: «Что такое случайная пос-ть?», который продолжают задавать российские математики (в частности в институте РАН им. Стеклова), не обращая
внимания на научные труды, ни отечественных исследователей, ни на американские инженерные стандарты (в которых расписано по полочкам, что такое СБП). Такая закрытость РАН и института им. Стеклова приводит к плохим результатам во многих вопросах.
За время существования РАН инженеры привыкли к тому, что РАН является руководящей и направляющей организацией для прикладных направлений. Но, к сожалению, приходится констатировать на примере российской и американской инженерных школ, РАН осталась в вопросах изучения СБП далеко в прошлом (где-то в середине прошлого века). Драматизм ситуации для РАН и института им. Стеклова заключается в том, что в отличие от учёных и исследователей США, отечественные математики не в состоянии воспринимать новые идеи, которые поступают в мир из независимых от них источников. Выводы
СБП полностью характеризуется формулой 1, которая справедлива как для всей последовательности в целом, так и для любой отдельной её достаточно длинной подпоследовательности.
Отдельное рассмотрение множества подпоследовательностей может быть заменено на тестирование по критерию «Симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса». И если в исследуемой последовательности существует область симметричного энтропийного (хаотичного) резонанса, то эта пос-ть является членом СБП класса.
Список литературы / References
1. Ширяев А.Н. Лекция «Вероятность и концепция случайности: к 75-летию выхода в свет монографии А.Н. Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей», 26 ноября 2009 г. 16:00, г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8). [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.mi-ras.ru/media/590_doc.pdf/ (дата обращения: 15.11.2018).
2. Филатов О.В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. Потоковая теория: из сайта в книгу. Москва. Век информации», 2014. С. 200.
3. Филатов О.В., Филатов И.О. «Закономерность в выпадении монет - закон потоковой последовательности». Германия. Издательский Дом: LAPLAMBERT Academic Publishing, 2015. С. 268.
4. Филатов О.В., Филатов И.О. Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение)». «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», 2014. № 6 (96), С. 236-245.
5. Филатов О.В. Статья «Доказательство теоремы: «Формула для цуг из составных событий, образующих случайную бинарную последовательность». Журнал «Проблемы современной науки и образования / Problems of modern science and education», 2017. № 20 (102). С. 6-12, DOI: 10.20861/2304-2338-2017-102-003.
6. Филатов О.В. Статья «Derivation of formulas for Golomb postulates. A method for creating pseudo-random sequence of frequencies Mises. Basics "Combinatorics of long sequences." / Вывод формул для постулатов Голомба. Способ создания псевдослучайной последовательности из частот Мизеса. Основы "Комбинаторики длинных последовательностей"». журнал «Проблемы современной науки и образования / Problems of modern science and education». № 17 (59), 2016. DOI: 10.20861/2304-2338-2016-59-003.
7. Филатов О.В. Статья «Описание распределения составных событий и их мизесовских частот через число возможных исходов. Механизм сжатия некоторых «не сжимаемых на один» последовательностей». Журнал «Проблемы современной науки и образования». № 9 (39), С. 27-36, 2015. DOI: 10.20861/2304-2338-2015-39-001.
