Кинетика заряженной частицы в случайно меняющихся электрических полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

doi 10.24411/2077-6896-2019-10015

КИНЕТИКА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СЛУЧАЙНО МЕНЯЮЩИХСЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

Логинов В.М.

Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева, г. Красноярск, Тувинский государственный университет, г. Кызыл

KINETICS OF CHARGED PARTICLE IN A RANDOMLY CHANGING

ELECTRIC FIELDS

Loginov V.M.

Krasnoyarsk State Pedagogical University named after VP.Astafev. Krasnoyarsk,

Tuvan State University, Kyzyl

Получены точные кинетические уравнения гиперболического типа для распределений вероятности скорости нерелятивистской заряженной частицы в осциллирующем электрическом поле со случайно прыгающей фазой и слоисто-неоднородном стохастическом ондуляторе. Флуктуации фазы и случайное поле в ондуляторе моделируются марковским дихотомическим процессом (случайным телеграфным сигналом или Д-шумом). Кинетические уравнения решены в пределе, когда характерные пространственно-временные масштабы динамики частицы много больше характерного времени спада корреляции и корреляционного радиуса. В этом случае распределения флуктуаций скорости заряженной частицы описываются уравнениями параболического типа, так, что статистика скорости частицы представляет собой гауссову статистику. Определены параметры распределений для рассматриваемых моделей. Показано, что прирост средней кинетической энергии заряженной частицы линейно растет со временем или проходимой дистанцией, т.е. имеет место стохастический нагрев частиц.

Ключевые слова: поле со случайно прыгающей фазой; стохастический ондулятор; кинетические уравнения; стохастический нагрев

Statistical description of nonrelativistic charged particle motion in randomly changing electric fields is conducted. Two models of random fields are considered. In the first case electric field changes periodically in time and has randomly jumping phase. In the second case electric field changes randomly over space variable (stochastic electric ondulator). Fields fluctuations are modeled by markovian dichotomous processes in the time or in the space. One dimensional motions of the particle are considered. The kinetic equations for probability distribution of particle velocity are derived. The equations are exact and closed. Particle kinetics is described by hyperbolic type equations.

Simplest approximation is considered in the paper. It corresponds to case when characteristic

time scale of particle motion is much large characteristic time decay of field correlations (the field with randomly jumping phase). For stochastic electric ondulator it means that correlation radius of space fluctuations is much smaller of characteristic space scale of the particle motion. The particle motions are random Gaussian processes. The parameters of probability distributions of particle velocity (or momentum) are calculated. Parameter of distributions demonstrates the stochastic heating charged particle when average kinetic energy increases linearly in the time or in the distance.

Key words: electric fields with randomly jumping phase; stochastic nonhomogeneous ondulator; master equations; stochastic heating

Введение

Изучение взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными полями, при наличии пространственно-временных флуктуаций представляет интерес для многих разделов науки и техники. Значительный интерес вызывает вопрос о генерации потоков ускоренных частиц в межпланетном пространстве. Выделяют регулярные механизмы ускорения, например, ускорение ударными волнами и статистические, например, механизм ускорения Ферми II рода, который возникает при взаимодействии частиц со случайными «магнитными облаками» (сгустками плазмы с вмороженными в них магнитными полями). Эффективным механизмом ускорения является плазменная турбулентность, при которой характеристики электрических и магнитных полей являются случайными функциями координат и времени (см., например, [1-5] и цитированную там литературу). В связи с прикладными задачами экспериментально и теоретически активно разрабатываются методы генерации интенсивного стохастического излучения с помощью плазменно-пучковых генераторов [6-9]. В частности, показывается, что микроволновое излучение со стохастически

прыгающей фазой обеспечивает эффективное ускорение электронов.

В настоящей работе акцент делается на кинетическом описании с использованием точных уравнений для распределений вероятности скорости нерелятивистской заряженной частицы. Рассмотрена модель одномерного движения частицы в осциллирующем электрическом поле со случайно прыгающей фазой и модель движения частицы в слоисто-неоднородном стохастическом ондуляторе. Случайные скачки фазы и стохастический ондулятор моделируются марковским дихотомическим процессом (Д-шум, в отечественной литературе - случайный телеграфный сигнал). Для вывода кинетических уравнений для распределений вероятности скорости используется аппарат формул дифференцирования статистических средних [10].

Модель электрического поля со случайно прыгающей фазой

Как и в [8] рассмотрим модель, описывающую одномерное движение нерелятивистской заряженной частицы в осциллирующем с частотой о электрическом поле E(t) = (E0cos[at + a(t)],0,0) со случайно

меняющейся фазой ): du q г ,. -1

— = — E0 cos [at + a(t)l, (1) dt m

где u - скорость частицы в направлении х, q, m - ее заряд и масса соответственно.

В качестве a(t ) используем марковский дихотомический процесс (случайный телеграфный сигнал) (см., например, [10]), т.е. a(t ) - ступенчатая случайная функция, принимающая с одинаковой вероятностью постоянные значения ±а , имеет {&(t}) - 0 и экспоненциально спадающую корреляционную функцию: K(| tj -12 |) -a2e -t2.

Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций процесса a(t ). Характерное время спада корреляций рассматриваемого процесса равно т0 = 1/2А, величина Я также определяет среднее число скачков в единицу времени. В работе [8] задача стохастического нагрева решалась

ция P(V,т) подчиняется стохастическому уравнению Лиувилля (см., например, [10]) dP ^ ^Г Л о, (4)

дт + дГ

dT

или с учетом уравнения движения (3)

dP дР --h cosacosr--

дт dV

(5)

sina дР --amsmr— = 0.

a dV

Произведение Р(т^)dV - есть вероятность того, что в момент времени т значения скорости частицы попадают в интервал (V, V + dV). Усредняя обе части уравнения (5) по ансамблю реализаций процесса а(т)

, получаем

дР дР --h cosacosr

дт dV

дР sina . дР Л (6)

---sinr—1 = 0. v 7

a дV

Здесь обозначено . р - (а(т)р(У,т)).. Из численно и использовалась другая модель (5) следует, что функция Р(V,т), подчиняющееся уравнению Лиувилля зависит явно от переменных V и т , а также зависит от множества значений случайной функции а(0 с 0<т'<т, т.е. представляет собой также и запаздывающий функционал процесса а . Среднее Р ={Ф) Р) расцепим, используя метод формул дифференцирования статистических средних [10]. Для Д-шума формула дифференцирования име-

флуктуаций фазы.

Для дихотомического шума (далее Д-шума) справедливо равенство

F (a (t)) =1 [( j) + F (-а)] + ^ [( j) - F(-j)]

2 2j

, (2)

где F (a(t )) некоторая функция. Учитывая (2) уравнение (1) можно представить в

виде dV

sina ...

— = cosacosr--a(r)sinT,

dT a

(3)

здесь использованы безразмерные пере-

u qE0

менные: T=mt, V = —, u0 = .

u

mœ

Параметр и0 задает характерную скорость заряда в осциллирующем поле. Уравнение (3) представляет собой исходное стохастическое дифференциальное уравнение.

Для статистического описания используем кинетическое уравнение для плотности вероятности Р(¥ ,т) = ( Р (V ,т)) , где функ-

ет вид

^{а(т)Ф,[а]) = ~у(а(т)ФЛа]} + (а(т) (7)

где фЛа]= фДа(0] с 0<т'<т- запаздывающий функционал процесса а и явная функция т . Здесь V = 2А / < При применении (7) к анализу распределенных стохастических систем нужно трактовать производную по т в ней как частную производную. С учетом сказанного полагаем ФДа] -Р и для преобразования среднего

dP

а(т)—) производную дрр выражаем с

дт

дт

помощью уравнения (5). В результате, по-

лучаем

дт ' (8)

-vR - cos о cos т

др 1 dV о

smosmT—(а2

д

dV

(т)Р) - 0.

принимает вид:

dP 8P --h cosacosz--

dz dV

sm a .

--smz

a dV

^ = 0, (9)

/•ro

Í Pt(V,r)dV - 0.

J —ro

(12)

обе части уравнений (9),(10) на V и V2, а затем проведем интегрирование по V от -да до да. В результате, с учетом (12), для средних

го

(ук(т)) =| ¥кР(¥,т^¥, к = 1,2 ,

Vl(z) = J VP1(V,T)dV,

Принимая во внимание свойство дихотомического шума, а2(т) = ст2 - const \/t среднее (a2(r)P) = °1(р) = °2p. Окончательно, система кинетических уравнений для определения распределения P(V,т),

получим следующую систему уравнений d(V)

= cosacosr,

dr

dJñ

dx 'a

dV

—1 = -vVj + asmasmr. (13) dr

= 2cosacosx(V) + 2Sina slnxVj,

ор ар . bp Л

—1 +vP + cos a cost—1 -ctsinasinr — - 0.

дт 1 BV BV

(10)

Система (9),(10) относится к системам уравнений гиперболического типа. К уравнениям следует добавить начальные условия:

P(0,V) = Po(V), P(0,V) = (a(0))P(0,V)-0. (11) Здесь считается, что Po(V)- заданная неслучайная функция скорости заряженной частицы. Проинтегрируем уравнения (9),(10) по скорости V от -да до да. Предположим также, что выполнено условие нормировки распределения P(V,т), т.е. Г p(y,r)dV = 1, тогда учитывая (11), мож-

J —го

но показать, что

p(v ,*)i V:> о, ^ ^ v :>о,

Выведем из кинетических уравнений (9), (10) уравнения для одноточечных моментов скорости первого и второго порядка. Для этого умножим последовательно

В работе [11], система уравнений для средних (13), нами была получена методом формул дифференцирования непосредственно из стохастического уравнения (3). Был проведен подробный анализ влияния случайных скачков фазы на усредненные характеристики движения заряженной частицы (поведение первых и вторых одноточечных моментов). В [11] без обсуждения также отмечалось, что в приближении ||р >>|др/ д\\, |др /(14) система уравнений (9),(10) может быть сведена к уравнению диффузионного типа в пространстве скоростей. В настоящей работе исследуем этот вопрос подробнее. С учетом требований (14), из уравнения (10) выразим функцию р через искомое распределение Р, в результате, получаем

п ° • • дР (15) Р —— втствтт —. 4 '

1 V дГ

Подстановка (15) в уравнение (9) приводит к искомому кинетическому уравнению для распределения р(т,У):

8P 8P sin2 а . 2 ô2P

--h cosacosr — =-sin г-г.

ôr ôV v ôV (16)

Уравнение (16) является уравнением параболического типа, у которого коэффициенты сноса и диффузии периодически меняются во времени. Упростим уравнение (16), произведя замену переменной V ^ z, где ^ - V - cosa sin г,

т.е. считаем, что распределение P(r,V) = Q(r,z) = Q(r,V - cosasinr) . в

результате, вместо (16), получаем

dQ sin2 a . 2 д Q П1Л ~ - Sin г—т1, (17)

дг v

dz

новое

2

T =

sin a

- í sin2 tdr = — sin2 a J 2v

«время»

t — sin 2t

v 2 y

Q(T, z) -

4T

или в исходных переменных

P(V,т) =

1

флЛ

exp

(V -Vт)> ) 2Л 2

2 Л

V

(19)

где средние V (г)} = cosasinr (20) и

a¡; =д2(т)=((v - (v) )) цип

Л 1 . 2 f v л

а

vx— sin 2т 2

У

(21)

стохастическом электрическом поле со случайно прыгающей фазой в приближении больших V. Выражение (20) совпадает с результатом интегрирования уравнения для средней скорости (см.(13)) и справедливо для любых значений V и а. Для дисперсии скорости, выражение (21) является приближенным. Точное решение системы (13), как показано в [11], имеет вид

2

(22)

где

которое допускает еще одно очевидное упрощение, если вместо времени т ввести

p(v,r) -vr + — (cos2r -vsin2r -1), (23)

q(v,r) - ^ ^ [l -(vsinr + cosr) .

(24)

Эта замена приводит уравнение (17) к стандартному уравнению диффузии вида:

80 = (18)

8Т 8z2 '

Фундаментальное решение уравнения (17) характеризует одноточечное распределение для гауссова процесса 1 2

В приближении vz >> 1 и v >> 1 из (21) и (22)-(24) получаем для коэффициента

результаты:-

диффузии

а2(т) = Г1

совпадающие

л

— sin a

Vv j

. Дисперсия скорости

- имеют смысл средней скорости и дисперсии скорости заряженной частицы в

есть линейно растущая функция времени. По этому же закону будет расти и средняя кинетическая энергия заряженной частицы (стохастический нагрев).

Модель слоисто-неоднородного стохастического ондулятора

Рассмотрим движение нерелятивистской заряженной частицы заряда Ч и массы т в неоднородном электрическом поле вида Е ( г) = (Еа (г), 0,0) (электрический ондулятор). Будем считать, что начальная скорость частицы на входе в ондулятор при г = 0 равна V(0) = (0,0, V,) . Функция а(г) , зависящая от координаты г , принимается случайной с заданными статистическими характеристиками. Система стохастических уравнений, определяющих динамику частицы в ондуляторе, принимает вид:

mx — qEa(z),

У - 0, (24)

z - 0.

Учитывая, что ^ / ^ = ^о первое уравнение системы (24), можно переписать в

виде dV„

dz

= sa( z),

где £ =

qE mV

(25)

Установим вид кинетиче-

0

вид

дР (V ,z)

д

dz dV

dV ~

x v

dz

P V ,z)

dP(Vx,z) ^dPp,z) n ■ x -+sa(z) ]x J = 0.

dz

dV

(26)

ского уравнения для распределения вероятностей скорости частицы где усреднение проводится по ансамблю реализаций поля а(2) . Здесь

Р(ГХ, z>1Ух -

представляет собой вероятность того, что в точке г внутри ондулятора значения скорости частицы попадают в интервал (К, К + ). Далее используем стохастическое уравнение Лиувилля для функции р(К,г), которое с учетом (25), принимает

частица движется в слоисто-неоднородной стохастической среде, где электрическое поле принимает значения + Е и —Е, а длина слоев является случайной. Поле а( 2) имеет нулевое среднее значение (а(2)) _ 0 и экспоненциально спадающую корреляционную функцию 5(|2"г2\) = (а(гх)а(2)) = 2", где угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций поля а . Корреляционный радиус поля равен = И-

Для вывода кинетического уравнения для распределения Р(¥х, z) = ( Р (Гх, г) используем формулу дифференцирования (7), в которой нужно сделать замену т ^ у ^ И и интерпретировать производную как частную д / &, а в качестве функционала Ф рассматриваем функционал р(К,г), подчиняющийся стохастическому уравнению Лиувилля (26). В результате, приходим к следующей системе уравнений гиперболического типа:

(27)

Из уравнения (25) вытекает, что скорость заряженной частицы представляет собой функционал а( 2) «запаздывающего» типа ( Ух(z) - Ух(0) + £| а(^^^ ), в том смысле, что значения скорости частицы в точке г ондулятора зависят от значений поля на всей дистанции пройденной частицей от входа в ондулятор (точка 2 = 0) до точки 2 внутри ондулятора.

Примем, что поле а( 2) в ондуляторе моделируется марковским дихотомическим процессом со значениями +1 и -1. Физически это означает, что заряженная

dP dP л

-+ £-L = 0,

dz dV

дРх дР л

-1 + иР +£-= 0.

dz 1 dv

Систему (27) нетрудно переписать в виде одного уравнения для искомого распределения вероятностей Р(УХ, Z):

d2P SP + ß-

■ = £'

S2P .(28)

Эг2 Эг дVx

Полученное уравнение относится к классу хорошо известных уравнений телеграфного типа. К уравнению (28) следует добавить начальные условия для заряженной частицы на входе в ондулятор. Будем считать, что распределение по скоростям на входе р( z = ) = Ро(^х) является неслучайной функцией. Начальное условие

- дР для производной

дz

определяем из пер-

вого уравнения системы (27). Имеем

= 0,

дР

так

как

'-0

дК

Рх(г = 0,УХ) = =(а(0»р0(Ух) = 0. Можно выписать решение задачи Коши для уравнения (28) (см., например, [12 с. 263, 265]). В настоящей работе ограничимся рассмотрением случая, когда Н»\др / , т.е. корреляционный радиус поля много меньше характерного пространственного масштаба изменения распределения вероятностей Р . Это означает, что в уравнении (28) второй производной по переменной г можно пренебречь. В уравнении (28) заменим также скорость частицы, на ее импульс. В результате, для распределения р( Р ) получаем уравнение диффузионного типа, где процесс диффузии, протекает в фазовом пространстве (рх) системы: 8Р _ в ддР (29) 8z др2х '

при этом, коэффициент диффузии равен п = q2 Е2 Rc (30)

V*2 '

Решением уравнения (29) является гауссово распределение со средним импульсом равным нулю и дисперсией равной {рЦг)) = 2Dz. (31)

Приведем окончательное выражение для средней кинетической энергии частицы, которую она набирает, двигаясь в слоисто-неоднородном стохастическом ондуляторе

=

(32)

(р2( - )>

Р^

2т 2т

qE

V

V уо

Я

+ -

mV¡2

т

2

Этот результат был нами получен в ра-

боте [13], исходя из других соображений.

„ г г >> R

Таким образом, на дистанциях с,

ондулятор работает как линейный стохастический ускоритель, при этом скорость нагрева, коэффициент при г, квадратично растет с ростом силы со стороны поля на заряженную частицу. Благоприятствует нагреву также рост радиуса корреляций ^с поля и наличие небольшой постоянной скорости К = К0 = соп^ дрейфа частицы в направлении г . Видно также, что тяжелые частицы разгоняются медленнее.

Заключение

Для случайных электрических полей, моделируемых марковским дихотомическим шумом, выведены точные кинетические уравнения для распределений вероятности скорости нерелятивистской заряженной частицы в осциллирующем электрическом поле со случайно прыгающей фазой и в слоисто-неоднородном стохастическом ондуляторе.

Полученные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа. Проведен их анализ для случаев, когда характерные времена и характерные пространственные масштабы движения заряженной частицы много больше времени спада корреляций и корреляционного радиуса полей соответственно. Кинетические уравнения при этом, сводятся к уравнениям диффузионного типа, из которых следует, что флуктуации скорости заряженной частицы представляет собой гауссовы случайные процессы. Определены характеристики этих процессов, из выражений для которых следует, что средняя кинетическая энергия частицы растет линейно со временем (осциллирующее поле со случайно прыга-

г-0

ющей фазой) или растет линейно с прохо- полей, реализует бесстолкновительный ме-димой дистанцией (слоисто-неоднородный ханизм стохастического нагрева заряжен-стохастический ондулятор). Таким обра- ных частиц. зом, действие рассматриваемых случайных

Библиографический список

1. Лонгейр М. Астрофизика высоких энергий. - Москва : Мир, 1984. - 400 с. - Текст : непосредственный.

2. Мирошниченко Л. И. Физика Солнца и солнечно-земных связей. - Москва : Университетская книга, 2011. - 174 с. - Текст : непосредственный.

3. Костюков И. Ю. Плазменные методы ускорения электронов : современное состояние и перспективы / Ю. И. Костюков, А. М. Пухов. - Текст : непосредственный // Успехи физических наук. - 2015. - Т.185, №1. - С.89-96.

4. Птицина К. В. Физические условия в потенциальных ускорителях космических лучей сверхвысоких энергий : обновленная диаграмма Хилласа и ограничения из потерь на излучение / К. В. Птицина, С. В.Троицкий. - Текст : непосредственный // Успехи физических наук. - 2010. - Т.180, №7. - С.723-734.

5. Файнберг Я.Б. Квазилинейная теория слаботурбулентной плазмы с учетом корреляции электрических полей / Я. Б. Файнберг, Ф. Г. Басс, В. Д. Шапиро. - Текст : непосредственный // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49. № 1(7). - С.329-334.

6. Карась В. И. Взаимодействие с плазмой или газами микроволнового излучения со стохастически прыгающей фазой / В. И. Карась, Я. Б. Файнберг, А. Ф. Алисов [и др]. - Текст : непосредственный // Физика

плазмы. - 2005. - Т. 31, № 9. - С. 810-822.

7. Карась В. И. Пробой и поддержание разряда в газе низкого давления СВЧ-излу-чением со стохастически прыгающей фазой / В. И. Карась, А. Ф. Алисов, А. М. Артамошкин [и др]. - Текст : непосредственный // Вопросы атомной науки и техники, сер. Плазменная электроника и новые методы ускорения. - 2006. - № 5.

- С. 54-58.

8. Андреев Д. Г. Взаимодействие заряженных частиц с электрическим полем, имеющим прыгающую фазу /Д. Г. Андреев, Ерохин Н. С. - Текст : непосредственный // Прикладная физика. - 2012. - № 2. - С. 5-8.

9. Буц В.А. Стохастический нагрев заряженных частиц / В.А. Буц, В.В. Кузьмин, А. П. Толстолужский. - Текст : непосредственный // Вопросы атомной науки и техники. Физика плазмы. - 2013.

- №1(83). - С. 137-139.

10. Шапиро В. Е. Динамические системы при случайных воздействиях / В. Е. Шапиро, В. М. Логинов. - Новосибирск : Наука, 1983. - 160 с. - Текст : непосредственный.

11. Логинов В. М. Ускорение и диффузия заряженной частицы в осциллирующем электрическом поле со случайно прыгающей фазой / В. М. Логинов. - Текст : непосредственный //Прикладная физика.

- 2017. - №1. - С.9-13.

12. Полянин А. Д. Справочник Линейные

уравнения математической физики - Москва : Физматлит, 2001. - 576 с. - Текст : непосредственный.

13. Логинов В. М. Характеристическая функция скорости нерелятивистской заряженной частицы в электрическом стохастическом ондуляторе / В. М. Логинов.

- Текст : непосредственный // Моделирование неравновесных систем : материалы девятнадцатого всероссийского семинара. - Красноярск. - 7-9 октября 2016. -С.70-74.

References

1. Longejr M. Astrofizika vysokih energij.

- Moskva : Mir, 1984. - 400 c. - Tekst : neposredstvennyj.

2. Miroshnichenko L. I. Fizika Solnca i solnechno-zemnyh svyazej. - Moskva : Universitetskaya kniga, 2011. - 174 s. - Tekst : neposredstvennyj.

3. Kostyukov I. Yu. Plazmennye metody uskoreniya elektronov : sovremennoe sostoyanie i perspektivy / Yu. I. Kostyukov, A. M. Puhov. - Tekst : neposredstvennyj // Uspekhi fizicheskih nauk. - 2015. - T.185, №1. - S.89-96.

4. Pticina K. V Fizicheskie usloviya v potencial'nyh uskoritelyah kosmicheskih luchej sverhvysokih energij : obnovlennaya diagramma Hillasa i ogranicheniya iz poter' na izluchenie / K. V. Pticina, S. VTroickij.

- Tekst : neposredstvennyj // Uspekhi fizicheskih nauk. - 2010. - T.180, №7. -S.723-734.

5. Fajnberg Ya.B. Kvazilinejnaya teoriya slaboturbulentnoj plazmy s uchetom korrelyacii elektricheskih polej / Ya. B. Fajnberg, F. G. Bass, V. D. Shapiro. - Tekst : neposredstvennyj // ZhETF. - 1965. - T. 49.

№ 1(7). - S.329-334.

6. Karas' V I. Vzaimodejstvie s plazmoj ili gazami mikrovolnovogo izlucheniya so stohasticheski prygayushchej fazoj / V. I. Karas', Ya. B. Fajnberg, A. F. Alisov [i dr].

- Tekst : neposredstvennyj // Fizika plazmy.

- 2005. - T. 31, № 9. - S. 810-822.

7. Karas' V. I. Proboj i podderzhanie razryada v gaze nizkogo davleniya SVCh-izlucheniem so stohasticheski prygayushchej fazoj / V. I. Karas', A. F. Alisov, A. M. Artamoshkin [i dr]. - Tekst : neposredstvennyj // Voprosy atomnoj nauki i tekhniki, ser. Plazmennaya elektronika i novye metody uskoreniya. -2006. - № 5. - S. 54-58.

8. Andreev D. G. Vzaimodejstvie zaryazhennyh chastic s elektricheskim polem, imeyushchim prygayushchuyu fazu /D. G. Andreev, Erohin N. S. - Tekst : neposredstvennyj // Prikladnaya fizika. -2012. - № 2. - S. 5-8.

9. Buc V.A. Stohasticheskij nagrev zaryazhennyh chastic / V.A. Buc, V.V. Kuz'min, A. P. Tolstoluzhskij. - Tekst : neposredstvennyj // Voprosy atomnoj nauki i tekhniki. Fizika plazmy. - 2013. - №1(83).

- S. 137-139.

10. Shapiro V E. Dinamicheskie sistemy pri sluchajnyh vozdejstviyah / V E. Shapiro, V. M. Loginov. - Novosibirsk : Nauka, 1983. -160 s. - Tekst : neposredstvennyj.

11. Loginov V. M. Uskorenie i diffuziya zaryazhennoj chasticy v oscilliruyushchem elektricheskom pole so sluchajno prygayushchej fazoj / V. M. Loginov. - Tekst : neposredstvennyj //Prikladnaya fizika. -2017. - №1. - S.9-13.

12. Polyanin A. D. Spravochnik Linejnye uravneniya matematicheskoj fiziki -

Moskva : Fizmatlit, 2001. - 576 s. - Tekst : neposredstvennyj.

Loginov. - Tekst : neposredstvennyj // Modelirovanie neravnovesnyh sistem :

13. Loginov V. M. Harakteristicheskaya funkciya skorosti nerelyativistskoj zaryazhennoj chasticy v elektricheskom

materialy devyatnadcatogo vserossijskogo seminara. - Krasnoyarsk. - 7-9 oktyabrya

2016. - S.70-74.

stohasticheskom ondulyatore / V. M.

Логинов Валерий Михайлович, Доктор физико-математических наук, доцент, Красноярский государственный педагогический университет им. В.П.Астафьева. Институт математики, физики и информатики. Профессор кафедры физики и методики обучения физике Профессор кафедры физики Тувинского государственного университет, E-mail: valog_1949@mail.ru

Loginov Valery Mikhailovich, Doctor of Physics and Mathematics Sciences Professor Department of Physics and Physics Teaching Methodology V. P. Astafev Krasnoyarsk State Pedagogical University, Institute of Mathematics, Physics and Informatics Professor of the Department of Physics of Tuvan State University, Kyzyl, E-mail: valog_1949@mail.ru

Дата поступления статьи в редакцию 20.10.2019