Нестационарные эффекты в динамике броуновской частицы в стохастически неоднородной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24:519.633.6

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ БРОУНОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В СТОХАСТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Лешаков О.Э.1, Логинов В.М2 1 Тувинский государственный университет, ТувИКОПР СО РАН, Кызыл 2Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева, Красноярск

THE NONSTATIONARY EFFECTS IN THE DYNAMICS OF A BROWNIAN PARTICLE IN STOCHASTIC HETEROGENEOUS

ENVIRONMENTS

Leshakov O.E.1, Loginov V.M2 1Tuvan State University, Tuvan Institute for the Exploration of Natural

Resources SB RAS, Kyzyl 2Krasnoyarsk State Pedagogical University named after V.P.Astafev,

Krasnoyarsk

Построена модель броуновского движения частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде. Стохастические свойства среды заданы модуляцией коэффициента трения марковским дихотомическим процессом. Проанализирована динамика среднеквадратичных флуктуаций скорости и координаты броуновской частицы. Показано, что имеется область параметров, в которой динамика среднеквадратичных флуктуаций скорости имеет немонотонный характер.

Ключевые слова: статистическая физика, броуновское движение, марковский дихотомический процесс, немонотонность, флуктуации.

The model of Brownian motion in a stochastic layered inhomogeneous medium has built. Stochastic properties of the medium are defined by modulation of the friction coefficient by dichotomous Markov process. The dynamics of the rms velocity fluctuations and the coordinates of a Brownian particle were analyzed. It is shown that there is a range of parameters in which the dynamics of the rms velocity fluctuations is nonmonotonic.

Key words: statistical physics, Brownian motion, Markov dichotomous process nonmonotony, fluctuations.

Ланжевеновская модель броуновского движения в газе или жидкости является одной из классических моделей статистической физики [1]. Эта модель отвечает движению тяжелой частицы в стохастически однородной среде. Под однородной средой будем понимать среду, физические характеристики которой не зависят от координат и времени. С другой стороны, однородная среда является идеальной моделью, ее применение оправдано лишь при определенных условиях конкретной задачи. Реальные среды, как правило, стохастически неоднородны. Одна из причин неоднородности связана с неравновесными флуктуациями, которые возникают в среде и могут приводить к образованию

упорядоченных структур, к возникновению сильных флуктуаций параметров вблизи точки фазовых переходов и т.д. В этой связи представляется важным изучение в рамках нетривиальных физических моделей влияния случайных неоднородностей на поведение частицы в области сильных флуктуаций и когда характерные времена динамических процессов соизмеримы с корреляционными временами флуктуаций.

Рассмотрим для простоты случай одномерной стохастически неоднородной среды. Случайное чередование слоев с различными характеристиками будем моделировать случайными изменениями коэффициента трения броуновской частицы. Уравнение движения, описывающее поведение такой системы, имеет вид:

V + (Л + a((t))V = f (t) , (1)

где точка означает производную по времени, V - модуль скорости броуновской частицы, Л0 - коэффициент трения для броуновской частицы в однородной среде, f (t) - гауссовский белый шум с характеристиками: {/(0) = 0, (f (t) f (t + т)) = 2DS(t) , D - интенсивность аддитивной случайной силы (коэффициент диффузии), S(t) - дельта - функция Дирака. Далее символ (...) будет означать среднее по ансамблю реализаций как процесса a(t), так и f (t). Физически это означает, что масса частицы достаточно велика, а времена наблюдения не очень малы. Функция a(t) представляет из себя марковский дихотомический процесс с двумя состояниями a(t) = ±с, такой, что скачки от одного состояния к другому подчиняются статистике Пуассона. Средняя частота смены состояний равна V. Для краткости процесс a(t) будем называть Д-

шумом. Для него (a(t)) = 0, (a()a(t + т) = с2 exp (- v|t|) (см., например, [2]). В частных случаях, когда a(t) принимает значения + с или —с, модель (1) описывает броуновское движение в стохастически однородной среде с коэффициентом трения Л0 + с или Л0—с соответственно. Стохастическая

модуляция коэффициента трения Д-шумом приводит к стохастическому перемешиванию динамик броуновской частицы, так что модель (1) можно интерпретировать как модель стохастического перемешивания состояний некоторой двухуровневой динамической системы, где каждый уровень «заполнен» соответствующей броуновской динамикой.

Примем, что процессы a(t) и f (t) статистически независимы между собой, т.е. усреднение стохастического уравнения (1) по процессам a(t) и f(t) проводится независимо. Будем интересоваться поведением моментных функций V(t) броуновской частицы. Из (1) уравнение для одноточечной моментной

функции [x^j = (v"^ имеет вид:

{К) = —"Ло{Х") — "{a(t) Х") + "(" — l)D(X"—2 ) • (2)

■

Уравнение (2) не замкнуто относительно (хп j , т.к. содержит неизвестную

корреляцию {'a(t)xn ^. Для преобразования цепочки (2) к замкнутой по

моментным функциям форме используем метод формул дифференцирования статистических средних (ФД) [2]. Применяя к (2) ФД для Д-шума, получаем следующий точный результат - цепочку зацепляющихся уравнений для

моментных функций (xn) , (y„), где (yn) = (a(t)xn) :

{*„) = ~пЛо(xn) - п1\Уп) + n(n - !)D(xn-2) (3)

{y n) = -(V + ПЛ X У J - n°2( Xn) + n(n - ЩУп-2\ Обсудим динамику средних движений броуновской частицы и флуктуаций относительно нее. При n = 1 средняя динамика описывается линейным уравнением 2-го порядка, решение которого есть суперпозиция двух экспонент с характеристическими показателями:

р± =-1 + v±ylv2 + 4а2)

Видно, что при Л0>а р+ < 0 и средняя скорость броуновской частицы монотонно убывает. Напомним, что в однородной среде для обычного броуновского движения, когда а = const, имеем: ^ (t) = x10exp (- X0t).

Отличие для случая слоисто-неоднородной стохастической среды состоит в появлении еще одной экспоненты и существенной перенормировке характеристических показателей. Возникает две характерные константы релаксации средней скорости частицы, причем одной из них ( р ) отвечает «долгоживущее» решение.

Полагая в (3) n = 2 для среднеквадратичных флуктуаций скорости броуновской частицы получаем:

{x2 (t )) = qePlt + С2 eP + Х2СТ, (4)

где

_ (xo - Хст )Pl - 2(D - Л x0 ) _ 2(D -Ло xo )-(xo - ХСТ )Pl . C1 = ; C2 = ; P2 - Pi P2 - Pi

л/v2 + 16а2-Vv + 4Я„) -V + 16а2-Vv + 4Я„)

P1 =---—; P2 =---— •

1 2 2

и начальные условия при t = 0 x (о)) = (= V2 ■ Выражение (V ) задает уровень стационарных среднеквадратичных флуктуаций:

\ / ст

Х2ст _ , ,

ст

W = f~ , (5)

где ^^ф - эффективное трение:

_2Лр +Л0у- 2а2 Лфф у + 2Л0 " Обсудим полученный результат. При I ^да (V^ . Для

броуновского движения в стохастически однородной среде, когда ± а = 0, ^■эфф = Л . Видно, что для стохастически слоисто-неоднородной среды Лэфф, во-первых, является функцией частоты V чередования слоев и, во-вторых, для любых V Лэфф < Л0 . Так что установившиеся среднеквадратичные флуктуации

броуновской частицы больше таковых для стохастически однородного случая. Если V ^ да, то «толщина» слоев настолько мала, что их чередование перестает влиять на характер блужданий броуновской частицы и среда становиться эффективно однородной, при этом Лэфф ^ Л0. При V ^ 0 частица с

вероятностью \/2 находится в одном из слоев бесконечной протяженности, т.е.

находится в однородной среде на протяжении всего времени наблюдения. В этом а2

случае Лэфф (0) = Л0--< Л0 . Следовательно, в этих двух предельных случаях

Л0

движение частицы не отличается от обычного броуновского движения в эффективно однородной стохастической среде. Особенности динамического поведения частицы проявляются в области конечных V .

Используя (5) и теорему вириала, получаем выражение, обобщающее известное соотношение Эйнштейна

П = -Тт V, (6)

Лэфф И

т

где к - постоянная Больцмана, т - масса броуновской частицы, Гэфф (V)

- эффективная температура стохастически слоисто-неоднородной среды при заданном значении параметра V. Выражение (6) иллюстрирует зависимость эффективной температуры среды от ее статистических характеристик. По величине Гэфф(V) > Т0 = тП/кЛ0 , т.е. больше установившейся температуры Т0

стохастически однородной среды.

Обсуждаемый результат (4) обладает еще одной интересной особенностью, связанной с поведением среднеквадратичной флуктуации скорости во времени. Результаты исследования суммированы на фазовой диаграмме (А, е) (в

безразмерных величинах А = П/(Л0х0 ), е = 'у/Л0 ), где указаны области монотонного и немонотонного поведения среднеквадратичных флуктуаций во времени (Рис.1). Существенной особенностью нестационарной динамики броуновской частицы в стохастически слоисто-неоднородной среде является немонотонное (с экстремумом) временное поведение этих флуктуаций. Существенно, что при е Ф 0 появляется область параметров на фазовой плоскости:

1 --

4к2

<А< 1 :

4е2 +16к2 + е

где среднеквадратичные флуктуации скорости достигают минимума. Здесь к = А0 . Указанная полоса дополнительно структурируется в зависимости от

того превышает или нет величина (V2(? )) квадрата начальной скорости.

Кривая, которая отделяет эти случаи, задается уравнением: А = (е + 2)/(е + 2 — 2к2). Подчеркнем, что в однородной среде (х2 (/)) является монотонной функцией времени во всей области.

Рис. 1

Приведем явные выражения для (х2 (г)) и положения точки минимума т» в частном случае х20 = х2ст. Из (4) имеем:

(х2(г)) = 1--4к,2 „ , е_(е+4)г *ЬГе2 + 16К )

(е + 2)л/ е2 + 16к2 (е + 4 + ^1е2 + 16к)

. 1п ~-т- I ' = -Ш|--

л/е2 + 16к2 8(е + 2 — 2к ) р1 - р2 \ с1 р1

1п| —

с2 р2

где г = Я0 2.

Рисунки 2, 3 иллюстрируют временную динамику среднеквадратичных флуктуаций скорости и положение точки минимума т» в зависимости от параметров задачи. Параметры А ,к и е имеют простой физический смысл. Первый из них описывает термодинамическое состояние среды и начальную кинетику частицы, т.е. показывает, как соотносятся начальная скорость и характерная скорость, приобретаемая за счет диффузии на временах однородной релаксации. Параметр к, очевидно, характеризует «контрастность» диссипативных свойств слоев. При к = 1 достигается максимальная

1

1

контрастность по диссипации, так как одна из двух групп слоев является недиссипативной. Наоборот, при к << 1 имеем слоевую структуру, состоящую из двух групп с близкими по величине параметрами диссипации. Параметр £ физически характеризует степень слоистости на масштабах динамических процессов. Случаю £ < 1 отвечает крупномасштабная слоевая структура, поскольку на динамических временах ~ 1/Л0 частица находится лишь в одном

слое. При £ > 1 имеем мелкомасштабную слоевую структуру, в которой динамика броуновской частицы формируется в результате ее движения в нескольких слоях.

х2 (г)

£= 5 £= 2 £= 1 £= 0.5

Г»

Рис. 1

Рис. 2.

к= 0.9 к= 0.5 к= 0.1

Положение минимума т„, как видно из рис. 3, характеризуется монотонно убывающей функцией £ . В узкой области малых £ функция т„ резко растет, причем в асимптотике £ ^ 0 функция т„ логарифмически расходится. Рис. 2 показывает, как глубина и положение минимума среднеквадратичных флуктуаций скорости зависит от параметра £ (здесь к = 0.9). Видно, что наибольший эффект проявляется в области, где V = Л0 и к ~ 1 (Л0 ~ <г), т.е. в области, где соизмеримы характерные частоты задачи. В этой области параметров различие между стационарным значением х2 = = 1 и {х2 (г*)

достигает 12% и динамика перехода на стационар затягивается до г < 3 (Рис. 2). При к «1 модель (1) описывает стохастическую слоисто-неоднородную среду,

г

О о

О 5

О

1 5

2 О

2 5

3 О

в

где слои с = а ~ Л являются слабо диссипативными и броуновское

движение в них описывается известным процессом Винера (V = /(^)). Для стохастических слоев, характеризуемых линейной диссипацией, параметр к < 1. С ростом приведенной частоты £ среднеквадратичные флуктуации скорости броуновской частицы быстро достигают своего стационарного значения.

V=0.5

4

Рис. 4.

Представляет интерес сравнить поведение среднеквадратичных флуктуаций координаты для однородной и неоднородной сред. Уравнение для

(х2 (,, где X - координата броуновской частицы, после усреднения по гауссовскому шуму / (,) принимает вид:

- Чх 2) , 2) , -У+(ло +<*)) -V=^ "1 (г %

Расцепляя возникшую корреляцию между Д-шумом сс(,) и динамической переменной ^(х2^!& с помощью ФД, получаем уравнение 2-го порядка:

+ 2Ло)z' + (ЛоV+Л2 -а2)г = ^'(/)+^ + ЛоЩ (7)

где введены обозначения г = -^хI— и g(t) = ^V2(г^. Решая его, находим

2(, )) =1

2с1 (Р1 +V + Ло )

Р1 (Р1 + V + Л0 )(Р1 + Ло)-(

гехр

(Р1,)+

1 2С2 (Р2 +^Л0 )

2V2 (v + Ло)

Л2 +ЛоV-CT2

+ С ехр

-1 {У + 2Л + + 4ст2

Р2 (Р2 +^Ло )(Р2 + Ло )-С

ехр

(Р1г)+

+ С2 ехр

-1 (г + 2Л0-^2 + 4ст2

+ С,

где

С

постоянные, определяемые из начальных условий. Поведение (х2 (,

иллюстрирует рис. 4.

Обсудим асимптотическое поведение среднеквадратичных флуктуаций координаты на больших временах. Из уравнения (7) имеем

(8)

где

(*2 (, )) = в(К х2 (,)) о>н,

1х2(,)) = Щ,, е£.к)=. (£+ДХ£+2) г..

\ у;/одн Л2 4 ; (£ +1 -к2)£ + 2-2к )

ж

Видно, что асимптотическое поведение среднеквадратичных флуктуаций координаты частицы на больших временах в стохастической слоисто-неоднородной среде не отличается от случая однородной среды. И в том и

другом случае (х2 ()) - линейная функция t. При этом, однако, меняется, и

существенным образом, тангенс угла наклона прямой к оси времени. Для

неоднородной среды угол наклона асимптоты (х2 () к оси t больше угла

наклона этой функции для стохастически однородной среды, поскольку функция д > 1 при любых значениях параметров е и к. Таким образом, среднеквадратичные флуктуации координаты броуновской частицы в стохастически слоисто-неоднородной среде растут быстрее. Эффект роста значителен, где к, е « 1. Например, = 5.17 . При е >> 1 функция д ^ 1

и (х2(х2() . На Рис. 4 представлено поведение среднеквадратичных

флуктуаций координаты для различных значений V в сравнении со случаем однородной среды.

Отметим, что если переписать выражение (8) в виде

(х2 ^ )) = 2Бэф^,

то коэффициент

Афф = рР д(е,к)

Л

имеет смысл эффективного (турбулентного) коэффициента диффузии

частицы, причем Рэфф > Родн = р , где Родн - коэффициент диффузии частицы

Ло

в однородной среде.

Моделирование броуновского движения в слоисто-неоднородных стохастических средах через модуляцию коэффициента трения ступенчатой случайной функцией не является, очевидно, единственным. Отметим в этой связи работы [3-5], где стохастически слоисто-неоднородная среда описывалась случайной модуляцией вынуждающей силы - модель диффузии в случайно-слоистой среде. Как было показано, процесс диффузии в таких средах описывается, в общем случае, процессами немарковского типа. Лишь в частном случае, когда V ^ да (слоисто-неоднородная среда в виде «частой гребенки») процесс диффузии описывается обычным параболическим уравнением, с меньшим, чем в однородном случае, коэффициентом диффузии. Применительно к модели (1) вопрос о виде кинетических уравнений рассматривался в работе [6]. Как и в цитированных выше работах, кинетическое уравнение для распределения Р(У, t) описывает процесс немарковского типа. Стационарное распределение скорости броуновской частицы, в общем случае, является решением дифференциального уравнения 3-го порядка. В частном случае слоисто-неоднородных сред в виде «частой гребенки» распределение имеет вид

Р(У) = N(р + 5У2 У , где Р = (Л+ д)!25, N - нормировочная постоянная и

5 = limv4>(причем 5 < Л0). Это хорошо известное в теории вероятности

бета-распределение Пирсона, т.е. равновесное распределение броуновской частицы принципиально отличается от максвелловского, соответствующего стохастически однородной среде. Библиографический список

1. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы / К.Хир - М.: Мир. 1976. 600 с.

2. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях / В.Е.Шапиро, В.М.Логинов - Новосибирск: Наука, 1983, 160 с.

3. Laskin N.V. Non-Gaussian diffusion / N.V.Laskin // J. Phys. A. Math. Gen., 1989. V.22 P.1565-1576.

4. Gitterman M. Brownian motion in fluctuating media / M. Gitterman // Phys. Rev. E., 1995. V.52. №1. P.303-306.

5. Ласкин Н.В. Диффузия в случайно--слоистых структурах / Н.В.Ласкин // Украинский физический журнал, 1988. Т.33. №9, с. 1429-1434.

6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы / В.И.Тихонов, М.А.Миронов - М., «Сов. радио», 1977. 488 с.

Bibliograficheskij spisok

1. Hir K. Statisticheskaja mehanika, kineticheskaja teorija I stohasticheskie processy / K.Hir - M., Mir, 1976, 600 s.

2. Shapiro V.E., Loginov V.M. Dinamicheskie sistemy pri sluchajnyh vozdejstvijah / V.E. Shapiro, V.M.Loginov - Novosibirsk: Nauka, 1983, 160 s.

3. Laskin N.V. Non-Gaussian diffusion / N.V.Laskin // J. Phys. A. Math. Gen., 1989. V.22 P.1565-1576.

4. Gitterman M. Brownian motion in fluctuating media / M. Gitterman // Phys. Rev. E., 1995. V.52. №1. P.303-306.

5. Laskin N.V. Diffusia v sluchajno-sloistyh strukturah / N.V.Laskin // Ukrainskiy fisicheskij jumal, 1988. T.33. №9, s. 1429-1434.

6. Tihonov V.I., Mironov M.A. Markovskie processy / V.I.Tihonov, M.A.Mironov - M.: «Sov. padio», 1977. 488 s.

Лешаков Олег Эдуардович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Тувинского государственного университета, старший научный сотрудник Тувинского института комплексного освоения природных ресурсов СО РАН, г. Кызыл, Email: o_leshakov@mail.ru

Логинов Валерий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики Красноярского государственного педагогического университета им. В.П.Астафьева, г. Красноярск, E-mail: valog_1949@mail.ru

Leshakov Oleg - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of physics, Tuvan State University, Kyzyl, Senior Researcher, Tuvinian Institute for the Exploration of Natural Resources SB RAS, Kyzyl, E-mail: o_leshakov@mail.ru

Loginov Valery - Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Physics, Krasnoyarsk State Pedagogical University named after V.P.Astafeva, Krasnoyarsk, Email: valog_1949@mail.ru