CC BY
37
УДК 539.214.4:548.4
КИНЕТИКА ДИСЛОКАЦИЙ И МЕХАНИЗМЫ ДЕФОРМАЦИИ НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
© A.K. EMa.ieT/umoB, P.JI. HypyjuiaeB
Emalctdinov A.K., Nurullacv R.L. Ihc dislocation kinetics and micromechanisms deformation of nanocrystal materials. The fields of displacement and stresses of lattice and grain-boundary dislocations arc calculatcd on the basis of a modify Frenkel - Kontorova model. The processes of absorption and dissociation of lattice dislocation into grain boundary arc investigated and the some specific characteristics of plasticity of nanocrustal materials arc discussed.
1. Границы зерен и их дефекты определяют во многом уникальные физико-химические свойства нано- и микрокристаллических материалов [1-4]. Большой вклад поверхностной энергии границ в свободную энергию приводит к существенному возрастанию ангармоничности решетки в таких материалах. Очевидно, что упругие свойства дислокаций наноструктурных материалов при этом должны измениться и повлиять на закономерности их микро- и макропластической деформации, определяемой кинетикой взаимодействия и размножения дислокаций. Характерным для деформации нанокристаллических материалов является большой вклад зернограничного проскальзывания и маленький коэффициент упрочнения. Взаимодействие дислокаций решетки с границами зерен - один из основных микроскопических механизмов деформации таких материалов в условиях сверхпластичности [1-3]. Исследования структуры границ зерен и их дефектов велись в геометрических моделях и атомным моделированием [5-8]. Причем зернограничным дислокациям приписывались поля напряжений решеточных дислокаций, поскольку из геометрических моделей невозможно определить поля деформаций таких дислокаций и доказать их существование. Оценки условий выхода решеточной дислокации в тело зерна [5-7] для зернограничных дислокаций с дальноденствующнми напряжениями показали, что в этой модели существует большой силовой и энергетический барьеры.
В настоящей работе на основании физической модели Френкеля - Конторовой [8] исследованы упругие поля дислокаций в ангармонической решетке, соли-тонные решения (дислокации) уравнений динамики и упругие свойства дефектов для произвольной границы. Рассчитаны силовые и энергетические условия зарождения решеточной дислокации в границе, проанализированы условия и время диссоциации решеточных дислокаций, вошедших в границу, а также механические свойства нанокристаллических материалов.
2. Рассмотрим модель ангармонической решетки, описываемой следующим уравнением динамики ангармонической решетки - модифицированным уравнением Буссинеска - синус - Гордона в виде [9] для вектора смещения (и,0,0)
ии-с2"Х.Х = ьс2ихи„ +ес282ихххх +у;(и), (1)
где Ь - модуль вектора Бюргерса, с - скорость звука, а„, Р0 - коэффициенты ангармоничности второго и
третьего порядка, У(и) = У0(\ + сон4(2пи/Ь)) - межатомный потенциал, е = 2а()Л , б2=/г/12е, с граничными условиями н(±оо ) = +/>/2 . В пределе, когда ангармонические члены отсутствуют, а0 = [5Ц =0 гамильтониан (I) переходит в гамильтониан уравнения типа Гордона [8]. Величина 6 «1, поэтому будет рассматриваться в качестве малого параметра. Необходимо исследовать асимптотику при больших х>г~]Ь. Решение уравнения (1), полученное методом операторов Хироты, в первом приближении имеет вид
и = — ага§[-^^-(1 + £2л-ехр(-2лл76)/ЛС0)], (2) л Ь
где С0 < 4 . Как видно из (2), характер затухания смещений вокруг дислокации в ангармоническом кристалле изменяется. Вблизи дислокации при дг < £~'Ь решение (2) совпадает с выражением и = Ь ■ агс^(хп/1)/2п - классическим решением для гармонической решетки. На больших расстояниях Л'> е'1/; смещения уменьшаются по экспоненциальному закону в отличие от дислокаций в гармонической решетке.
Вычисление компонент тензора напряжений, сделанное с помощью функции напряжений V)/ Эйри [8],
показало, что на расстояниях от дислокации дг «е"1 Ь поправки к решению в гармонической решетке [8] незначительны, и поля напряжений с достаточной точностью описываются классическими выражениями. В асимптотической зоне л:» е"1 Л вычисления приводят к более резкому экспоненциальному спаду напряжений, которые имеют асимптотический вид, например:
о t,,(.r,0) = цсхр( -2л.г/6)/2л(1 - v),
(дг>> е'1 />).
(3)
- напряжения экспоненциально убывают, что совпадает с результатом, полученным в калибровочной теории дислокаций [II]. Оценка размера асимптотической области дала *«£”,6«(103 + 104)6=:1(Г5-И(Г4СМ. Таким образом, появляется физически естественный радиус экранирования напряжений и энергии дислокаций.
3. Рассмотрим модель зернограничной структуры, состоящей из двух взаимодействующих, несоизмеримых подрешеток, при этом подрешетка одного зерна (с периодом а) испытывает действие внешнего периодического (квазииериодического) потенциала У(и) [8, 10], создаваемого подрешеткой второго зерна (с периодом Ь), где и (н,0,0) - вектор смещения атомов от положений равновесия (краевая дислокация). Динамика атомного слоя границы будет описываться нелинейным уравнением сннус-Гордона с потенциалом V(и) , который будем аппроксимировать рядом Фурье
П
К(м) = К0( 1 + £ «, со5( 2л/:,м)) , где к1 - целые
/ = |
или иррациональные числа, У0 = рЬ2 /4л2. Потенциал отражает основные свойства границ зерен: периодичность (квазипериодичность) структуры [5-7], (при п = I потенциал описывает модель Френкель - Конто-ровой [8]). С помощью гамильтониана решетки получим уравнение динамики атомов зернограничного слоя с новой переменной и = 2 ли / Ь :
Ми „ - Me 2и„ = V,, (и),
(4)
где приняты стандартные обозначения. Зернограничные дислокации соответствуют УУ-солитонным решениям стационарного уравнения (4) с граничными условиями н(±оо ) = Тб 12 .
В малоугловых границах потенциал содержит только один член (я = 1). Величины периодов связаны выражением: а = 6(1 + 0), 0 « 1. В первом приближении получим модифицированное уравнение синус* Гордона, солитонное решение которого правильно описывает малоугловую стенку бесконечных прямолинейных решеточных дислокаций с плотностью р/,оо1 /X » Э/6 [8].
В общем случае рациональных А-, решения также
выражаются через функции дислокационного вида. Таким образом, в специальных границах зерен могут существовать стационарные зернограничные дислокации (солитоны). Это означает, что деформация - зернограничное проскальзывание - осуществляется движущимися зернограничными дислокациями с вектором Бюргерса bg и скоростью V Ф 0. Поэтому все геометрические модели зернограничных дислокаций в специальных границах связаны с физически возможными солитонными состояниями структуры границы [5].
В обычных границах зерен коэффициенты к: будут иррациональными числами (квазипериодн-
ческий потенциал). В общем случае решение уравнения (4) с граничными условиями (кинк - солитона) и таким потенциалом не существует. Возможны следующие виды решений: I) квазигармоничесие колебания с малыми амплитудами, 2) нелинейные периодические волны - кноидальные волны, 3) солитонные решения - квазизернограничные дислокации. Приближенное решение уравнения (4) выражается кноидаль-ной волной
(5)
где 0 < s < 1,5 — модуль эллиптической функции, sn(z) -эллиптическая функция. При s -» 1 решение описывает квазидислокацию и = А0 ■ ill [(.v - Vl) I Д 0 ], где
/[, =6 ехр( i(kx - (к2 -со2)/) - осциллирующая
амплитуда /с,со - const, определяемые из начальных условий, Д, » Nk0 - ширина пакета, Х.0 - расстояние между квазндислокацнями, Д0« 3 Ь К - ширина квазидислокации. Во втором случае кноидальная волна выражается в виде периодической последовательности квазистационарных пакетов из N солитонов (зернограничных квазидислокацнй - дислокаций Сомилианы), что объясняет периодичность проскальзывания в эксперименте [5].
Аналогично получим выражения для собственных напряжений квазидислокацнй с помощью (5), и функции напряжений >|/ [8]. Компоненты тензора напряжений дислокации, вычисляемые с помощью выражения (5) приводят к более резкому экспоненциальному спаду напряжений. Можно оценить в асимптотической
зоне (х»Ь ) поля напряжений квазидислокацин в границе зерен, например:
Обычно используемое в геометрических моделях приближение дальнодействующих напряжений квазидислокаций, подобных решеточным, приводит к завышенным оценкам.
Собственная упругая энергия зернограничной дислокации на единицу длины определяется выражением [8] в цилиндрической системе координат
W,IL. \rdr ~jdQ[~—a^,y + ь, о ^
+ + а»’ -2v(T )] • <7)
где Е - модуль Юнга. Численное вычисление выражений (7) показало, что энергия квазидислокации опреде-
ляется выражением W
(АТ )
/ L s C0\ibl , где с„ =
= 0,1253. Аналогичное выражение для далыюдейст-вующих напряжений приводит к значению
KD) = ^bl
4. Для теории пластической и особенно сверхпла-стической деформации нанокристаплических материалов необходимо исследовать процессы взаимодействия решеточных дислокаций и зернограничных квазидислокаций.
Процесс диссоциации вошедшей в границу решеточной дислокации опишем нестационарным уравнением динамики границы зерна с начальным возмущением вида: м(л\0) = Ь ■ ага§(-2л7с 1Ь)12п, которое описывает поле смещений решеточной дислокации, вошедшей в границу. Время диссоциации 10 должно определяться из самосогласованной задачи расплывания начального возмущения до размеров пакета /,«10~5см из N квазидислокацнй. Скорость квазидислокаций будет контролироваться диффузионными процессами и в первом приближении может описываться иолуфеноменологнческим выражением вида
[8,10] V = -0^0(0-ст0я )(Т-Т?)/Тд<1к или
V = У{)а , где С0 , Т/ - феноменологические постоянные, й х - коэффициент зернограничной диффузии, 0=Л3, а - эффективные напряжения, действующие на квазидислокацию, ст^ - напряжение старта. Запишем основные уравнения непрерывности и динамики квазидислокацнй [8, 10]:
=0,
дI дх
(В)
и
У0 |р(.г\/)[стч.(.г'-.г)-
-I
- |рк(2,/)ст^,(г-лО^:/6я]</л'/6 = К(.г,/), (9)
где р(л"',/) - плотность квазидислокацнй, второй интеграл в квадратных скобках вычисляет напряжения от уже имеющихся в границе квазидислокацнй плотностью рк,(г,/). Начальное условие р(л\0) = ЬЪ(х) и
условие нормировки |р(х',1)сЫ = Ь. Время днссо--Л
циации 10 определяется из условия равномерного распределения квазидислокацнй на интервале [ —Д/.]: р(.\;/0) = Л/2/-. Численное решение системы уравнений (8), (9) для двух случаев взаимодействия квазидислокаций: I) близкодействующего, определяемого выражениями (9), и 2) дальнодействующего решеточного показало, что время диссоциации в случае 1) почти на два порядка больше по сравнению со случаем 2) и соответствует экспериментальным значениям [2, 6]
/0 = 10 —102 с. Как видно из (9), существует макси-
Н
Р™ * % (*-)/ ху{г-Ц^/Ьы
мальная плотность
решеточной дислокации не происходит 1В—»со, что
является причиной выхода из режима сверхпластичности при высокой скорости деформирования.
Энергетическое условие для зарождения петли решеточной дислокации (полной) радиусом Я определяется изменением величины термодинамического потенциала [8] Д/7 , которое описывается выражением:
АР(И) = 2пИ(1УГ) / Ь) +
+ /£.)+№, - пЛ2Ьа.
(Ю)
где РУр I рЛ21п(/?/б)/4л - упругая энергия решеточной дислокации, второй член описывает энергию дислокации «несоответствия», третий - энергию взаимодействия решеточной дислокации и дислокации «несоответствия», четвертый - работу внешних сил при зарождении дислокации. Функция АТ имеет также компоненту, учитывающую действие сил зеркального изображения от всех граней зерна. Размер критической петли /^- (расстояние от границы в случае зарождения прямолинейной дислокации) и критическое напряжение ас зарождения дислокации находятся из системы уравнений:
дА^(ЯС)/ЭЛ = 0 , сгс = ст^).
(П)
зернограничных квазидислокацнй, когда выражение в квадратных скобках обращается в 0, т. е. диссоциации
где а1/(Яс ) - напряжения самодействня петли (притяжения к границе для прямолинейной дислокации). Подставив (7), (10) в (11), получим систему уравнений для определения критических значений. Численный расчет системы уравнений проводился для двух предельных случаев: а) Т < 0,5 Тт - холодной деформации, б) Т > 0,57],, - горячей, сверхпластиче-ской деформации [11]. В случае а) условия зарождения будут определяться далыюдействующими напряжениями и справедливы оценки [5]: сгСл. < 0,1р ,
Есх < р/>2 /4я . В случае б), например, при сверхпластической деформации ультрамелкозернистых материалов, дислокация «несоответствия» может ре-лаксировать в ансамбль п квазидислокацнй с близкодействующими напряжениями (6). Силовой барьер имеет величину ст^, = 0,00421 р, т. е. требуются
напряжения порядка приложенных, а энергетический -более чем в два раза ниже Е(-К < Есх / 2 .
6. Используя (3), оценим в материале со средней плотностью дислокаций р д дисперсию напряжений на
расстояниях х>е~]Ь : Лт2, «р0(р2б2/4л)ехр(-4ле) и средний уровень напряжений ст( - ^Ост2 я
»0,5рд2рА-ехр(-2ле), т.е. в нанокристаллнческом материале средний уровень напряжений меньше в ехр(-2ле) раз по сравнению с гармонической решеткой. Можно получить оценку максимальной плотности дислокаций до разрушения
р,„ < (2ас/рй)2 • ехр(4ле). В частности, величина максимальной плотности дислокаций в нанокристал-
лических материалах может достигать величин порядка 1013 см ", что хорошо коррелирует с данными [2, 3]. Кроме того, будут модифицироваться поля напряжений и энергетические характеристики дислокационных скоплений и условий их взаимодействий, например, при образовании микротрещин и других дефектов [8].
Деформационное упрочнение является следствием возрастания внутренних напряжений [15] вследствие дальнодействующего взаимодействия дислокаций или близкодействующего (дислокационные реакции, взаимодействие с точечными дефектами), связанного с собственными напряжениями дислокаций сг0 ос \\Ыг . В этих моделях средняя величина внутренних напряжений для постоянной случайной плотности дислокаций описывается известным выражением
а( «0,5\хЬ^рр , хорошо описывающим экспериментальные данные для моно- и поликристаллов [15] и вызывающим упрочнение порядка
0 = Ат/</еос Рр п ^(Ю"4-1СГ3)ц. В нанокристалличе-ских материалах деформация обеспечивается решеточными дислокациями с пониженными напряжениями (4) и зернограничными дислокациями с напряжениями (6). Причем дислокации в зернах практически не наблюдаются. Деформационное упрочнение
гсДг) = |р/,(Я')ст(рн,|/': - ?'\)(1г' от решеточных
дислокаций плотностью рд < 1СГ11 см 2 будет 0 = г/ст/</е < КГ5(.1 . Используя (6), вычислим среднюю дисперсию внутренних напряжений квазидислокаций плотностью ря :
£>2а, = ц2Л2 ||ря ехр(|г - г'|/Д0)гУгУ<р/4л2 «
* р?(|аА/2л)2ехр(-/./Д0) и средний уровень внутренних напряжений ст, * цй^р^Д0/2л/. < 10“6ц . От-
куда коэффициент упрочнения 0 = </ст/(/б—>0, что соответствует экспериментальным данным [1-5].
В пластическую деформацию нанокристаплических материалов большой вклад вносит зернограничное проскальзывание [1-5], но для зарождения квазиднело-каций с помощью гомогенного механизма требуются высокие напряжения, равные по порядку величины аг ~ц ехр(-2Д0/^,)* (10ч-1(Г2)ц. Эти значения хорошо коррелируют с пределом текучести нанокри-сталлических материалов су «2-1СГ2ц [1-5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Glciter Н. II Nanostruct. Mater. 1992. V. I. № I. P. I.
2. Kaibyshev O.A. Supcrplasticity of alloys, intcrmctallides and ccramics. Berlin: Springer - Verlag, 1992. P. 254.
3. Валиев P.3.. Алексаш)/юв И.В. Нанокристаллнчсскнс материалы полученные интенсивной пластической деформацией. М.: Логос, 2000. С. 272.
4. Гусев АН., Pe.4ne.ib А.А. Нанокристаллическне материалы. М.: Фиэмалит, 2001. С. 224.
5. Гляйтер Г., Чалмерс Б. Большеугловые границы зерен. М.: Мир. 1975. С. 376.
6. КайСшшсв О.A.. Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. М.: Металлургия, 1987. С. 214.
7. Орлов АН.. Пе/н’везенцев В.Н., Рыбин И.В. Гранины зерен в металлах. М.: Металлургия, 1980. С. 156.
8. ХиртДж.. Лотте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1975. С. 512.
9. Емалетдинов А.К. I/ Кристалография. 2000. Т. 45. № 2. С. 295.
10. Емалетдинов А.К. IIФТТ. 1999. Т. 41. № 10. С. 1772.
11. Emaletdinov А.К. П Script;» Materialia. I*>99. V. 40. S'i 8.
12. Кадич А., Эдс•лен Д. Калибровочная теория дислокаций. М.: Мир.
1987. С. 404.
13. Металлические стекла / Под ред. Дж.Дж. Гилмана, Х.Дж. Лнмн. М.: Металлургия. 1984. С. 264.
14. Деформационное упрочнение и разрушение поликристаллических металлов / Под ред. В.И. Трсфнлова. Киев: Паукова Думка, 1987. С. 248.
15. Лихачев В.А.. Панин В.Е.. Засим чук Е.Э.. Владимиров В.И.. Романов А.Е.. Горский В.В., Селицер С.И., Фирстов С.А.. Рябошапка К.П. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации. Киев: Наукова Думка, 1989. С. 320.
