CC BY
22
УДК 539.23
Кучеренко М.Г.
Оренбургский государственный университет Центр лазерной и информационной биофизики E-mail: rphys@mail.osu.ru
КИНЕТИКА ДИФФУЗИОННО-УСКОРЕННОЙ АННИГИЛЯЦИИ ЧАСТИЦ В КРУГОВОЙ ИЛИ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ НАНОМЕТРОВОГО РАДИУСА
Построена математическая модель кинетики дистанционно зависящей аннигиляции частиц двух сортов, ускоренной их диффузией в областях круговой и сферической формы нанометро-вого радиуса. Анализ ограничивался учетом лишь парных пространственных корреляций, в пренебрежении корреляциями более высокого порядка. Использовано приближенное представление двухчастичной функции Грина диффузионной задачи с отражающей границей в факторизо-ванном виде по координатам каждой из частиц, справедливое для случая малой скорости дистанционного реагирования. Получены одночастичные функции Грина для случаев наличия в круговой (шаровой) зоне слабого аксиально-симметричного силового поля, создаваемого точечным источником дипольного типа, расположенным в центре зоны, а также в отсутствие такого поля. Приведены результаты расчетов временных зависимостей средней скорости бимолекулярной аннигиляции для простейшего центрально-симметричного случая размещения частиц-реагентов. Предложенная модель может быть использована как для описания кинетики неселективной по спину аннигиляции частиц, так и для спин-селективных реакций, таких, например, как триплет-триплетная аннигиляция экситонов, или тушение триплет-возбужденных молекул дублетными ловушками в нанодисперсных системах с высокосимметричными полостями или включениями.
Ключевые слова: диффузионная кинетика, бимолекулярная аннигиляция, сферическая на-нополость, функция Грина задачи Неймана.
Пространственные ограничения диффузионной подвижности молекул, или квазичастиц-экситонов в областях нанометрового размера существенно изменяют кинетику реакций с их участием, по сравнению со случаем неограниченной среды [1]-[8]. Это представляется вполне очевидным, если учесть, что наличие границ нано-реактора увеличивает вероятность сближения частиц до расстояний, на которых их взаимодействие достигает величины, обеспечивающей «включение» механизма той или иной реакции с коротким радиусом действия. Системы такого рода встречаются на практике достаточно часто, особенно когда приходится иметь дело с дисперсными материалами и коллоидами [9]-[13]. Другим примером может служить рекомбинация электрона и дырки в полупроводниковой квантовой точке или аннигиляция в ней экситонов Ваннье-Мотта [14]-[15]. В этой связи, актуальным является детальное описание кинетики реакций в таких (неоднородных) средах, с учетом
размеров и форм полостей или нанотел с заключенными в них реагентами.
Модель реакции с двумерной диффузией в круговой области
Рассмотрим круговую область ак, нанометрового радиуса R, с двумя свободно мигрирующими в ней частицами разного сорта, с различными коэффициентами диффузии Д и Д2. Для аннигиляционных реакций электронно-возбужденных молекул, или экситонов Френкеля, типичен механизм дистанционного реагирования с изотропной скоростью и(р), зависящей от расстояния р =1 г1 - г21 между частицами 1 и 2. Дистанционные зависимости скорости и (р) обычно аппроксимируются степенными или экспоненциальными функциями [16]-[17].
Кинетическое уравнение для зависящей от времени t двухчастичной функции Грина 02 (г, г2,х) ( г1, г2 е ак ) в этом случае может быть записано в виде [7]-[8], [18]-[22]
д С2 (r,, г2, t) = DVj2G2 (г, , r2, t) + D2V22G2 (r,, r2, t) - U (I r, - r2 i)G2 (r,, r2, t), dt
(1)
где У?(2) - двумерный оператор Лапласа по ко- ности) области ак частица имеет большую веро-ординатам г1 (г2). Находясь у границы Ся (окруж- ятность избежать аннигиляции с другой части-
цей из-за эффективного уменьшения размера прилегающей области, в которой может находиться частица - партнер по реакции. С другой стороны, наличие отражающей границы увеличивает поток частиц внутрь области ок. Таким образом, специфика кинетики реакций в наноразмерных системах заключается в проявлении влияния границ на характер протекания процесса. Если решение уравнения (1) для двухчастичной функции Грина С2 (г1, г2, г) получено, времязависящая средняя скорость х(г) бимолекулярной реакции представляется следующим интегралом
Х(г 1 г'> Г2 ) = Л и (| г1 - г2 |)с2(г1' Г2 , г 1 гр г2') Л 2 Г1 Л 2 Г2 (2)
Данное выражение (2) - точное, в рамках поставленной задачи, в которой не производится учета эффектов трехчастичных корреляций [22]-[24], а основное внимание фокусируется на проявлении влияния на кинетику границы СЯ области ок. Радиус-векторы г1',г2' в (2) задают начальные положения частиц 1 и 2. Таким об-
разом, средняя скорость х(г I г1', г2') бимолекулярной реакции параметрически зависит от начальной конфигурации г1', г2' пары частиц.
В общем случае получение точного аналитического решения для функции Грина С2 (г1, г2, г) является сложной задачей. В случае же достаточно малых скоростей и (р) может быть произведено построение приближенного аналитического решения, как, например, это было сделано в [8], [10]. Критерием слабой аннигиляции в рассматриваемой задаче может служить следующее неравенство для амплитуды скорости и0 = тах и(р): и0 << Б1(2) / Я2. При его выполнении уравнение (2) для двухчастичной функции Грина 020)(г1,г2,г) в нулевом приближении по и0 распадается на два независимых уравнения диффузии, в соответствии с чем, функция Грина 02°)(г1, г2, г) факторизуется по координатам каждой из частиц: 020)(г1, г2, г) = 01 (г1, г)^(г2, г). Очевидно, что и в этом случае представление (2) для средней скорости х(г I г1',г2') бимолекулярной реакции остается в силе
х(г I г/, г2) = ДО и (I г1 - г 1)^, г I г/) С1(г2, г I г')Л2Г1Л2 г2
(3)
а учет реакции производится, в таком подходе, в первом порядке по малой скорости и (р).
При помещении в центр круга ок точечной частицы с электрическим или магнитным дипольным моментом М, направленным вдоль диаметра, в нанореакторе возникает соответствующее осесимметричное поле - электрическое или магнитное, - а круговая симметрия системы понижается до осевой. В этих условиях одночастичная функция Грина С1 (г, р, г) диффузионного оператора
Л(г,р,г) = —- Б дг
1 д д 1 д2 г — + -
г дг дг г2 др2
с граничным условием на окружности СЯ
—^(гр, г) дг
= 0
(4)
в полярной системе координат с полярной осью, ориентированной вдоль вектора ди-польного момента М, может быть записана в виде
С1(т,р,г I г>') = 1 Г
^ +:> -Б № )2 г
5 0 (г / Я ) 0 / Я )
+2 5 ехр - Б №))
502 №)
5п (№ г / Я ) (№ г' / Я)
(5)
пЯ2 52 № ) - п2/№) )2 ]
ео8 п(р - р)
Я
где /л<кп> - положительные корни уравнения ]'п (р.(кп>) = 0; (х) - функции Бесселя первого рода индекса п.
В отсутствие дипольных источников аксиально-симметричного поля в полости полярную ось можно провести через точку начального расположения частицы г'. Тогда р = 0 и вместо (5) получаем
G1(r,ф, 1I r') = 1 Г
,, 2 jl + XexP I-R2
Jo (0)r / R)J0 (V/ R))
+21 exp - D (№)) t
k n=i R
J 0 № ) Jn (№n) r / R ) (№n) r' / R)
(6)
nR2 J2 № ) - n2/№)) ]
cos Пф
Наконец в случае круговой симметрии, которая возникает после усреднения (6) по углу р для радиальной функции Грина 01 (г, г I г') можем записать
1
Gi(r,1I r') = ~2jl +Xexp
kR 2
D №)) t
Jo (№r/R)Jo (V/R)
J o2 №)
(7)
Расстояние р =1 г1 - г21 между частицами 1 и 2 находим через координаты этих частиц р =1 г1 -г2 |=[г12 + г22 -2г1г2cos(р1 -р2>] . Для вычисления интеграла (3), определяющего среднюю скорость х(г I г/,г2'> бимолекулярной реакции, можно воспользоваться общим выражением (5) для функции Грина с произвольным направлением полярной оси. Именно так приходится действовать при наличии аксиально-симметричного поля в полости. Однако, в изотропных задачах гораздо проще использовать форму (6), вводя угол а между полярными осями, проведенными через начальные положения частиц 1 и 2. Тогда двухчастичная функция Грина О20)(г1, г2, г >, определяющая интегралы (2) и (3) может быть представлена в виде
Рисунок 1 - Круговая нанообласть Or диффузии-аннигиляции с отражающей границей окружностью CR.
G20)(ri,Г2,t) = GiOi,Pi,1I r^Gi(r,,Ф2-a,1I r'),
где одночастичные функции Грина Gi(rj,qj,1I rj), j = i,2 определяются выражением (6). При таком подходе начальные положения частиц 1 и 2 произвольны. Распределения по этим положениям могут носить коррелированный характер, а могут быть однородными. Сдвиг по углу a можно производить не в угловом аргументе функции Грина, а в выражении, определяющем расстояние р =I ri - r21 между частицами. Поскольку (6) записывается в двух различных полярных системах координат, для межчастичного расстояния теперь следует использовать выражение
р =1 ri -r2 1= [rj2 + r22 - 2rir2 cosф -ф2 + а)] .
Особенно простой для анализа и расчетов случай возникает при закреплении одной из частиц (например, частицы 2) в центре круга. Тогда r' = О, D2 = 0 и р =| ri - r21= r . Угловые зависимости в такой системе исчезают и для средней скоростиx(t I V) бимолекулярной реакции, в этом случае, можем записать
R
x(t I r') = 2nju(r)Gi(r,11 r')rdr , (8)
где индекс, идентифицирующий подвижную частицу, опущен, а радиальная функция Грина 01 (г, г I г') определена выражением (7).
В качестве примера использования модели (7)-(8) на рис. 2-4 приведены результаты расчетов временных зависимостей средней скорости х(г I г') бимолекулярной аннигиляции для случая центрально-симметричного размещения частиц-реагентов и экспоненциальной дистанционной зависимости скорости и (г), характерной для обменного взаимодействия [25]-[26]
и (г) = и 0 ехр[-2(г - г,)/ Ь],
где г0, Ь - радиус максимального сближения реагентов и характерный масштаб перекрытия их электронных оболочек, соответственно.
Даже простейший случай закрепленной в центре круговой области частицы дает качественно верное представление о характере формируемой кинетики парной аннигиляции. Так, на рис. 2 представлены временные зависимости средней скорости х(г) аннигиляции частиц в круге с отражающей границей именно для такого режима - с закрепленной в центре одной частицей и свободно блуждающей в области круга - другой, для различных значений коэффициента диффузии Б подвижной частицы. Как видно из рис. 2, увеличение коэффициента диффузии Б приводит к дос-
таточно предсказуемому ускорению выхода средней скорости х(г) на асимптотическую стадию, связанную со стационарным распределением плотности вероятности 01(г, г . Аппроксимация ряда (7) в выполненных расчетах осуществлялась учетом первых 15 членов суммы. Такая замена правомочна лишь на временах £, достаточно удаленных от начала процесса. Для малых значений коэффициента диффузии Б на рис. 2 наблюдается немонотонная временная зависимость средней скорости х(г) с максимумом в некоторый характерный момент Ьт, зависящий от Б.
Изменение начального расстояния г между молекулами Т-Т-пары в круговой области также приводит к изменению средней скорости аннигиляции х(г I г') (рис. 3). При достаточно малых размерах пары реагентов, наблюдается выход на максимум функции х(г I г') со временем, а затем ее спад до асимптотического значения, одинакового для всех кривых при фиксированном коэффициенте диффузии Б. При г ^ я наблюдается монотонный по времени выход графиков на ту же асимптоту.
Увеличение размера круговой области приводит к монотонному снижению асимптотического значения скорости х(г I г') (рис. 4). Этот факт представляется вполне логичным и не требующим дополнительных объяснений. Вместе с тем, высокие значения скорости на начальном временном отрезке не могут считаться вполне доверитель-
Рисунок 2 - (Color online) Временные зависимости средней скорости %(t) аннигиляции частиц в круговой области с закрепленной в центре одной частицей и свободно блуждающей и отражающейся от границы области - другой. Представленные кривые отвечают различным значениям коэффициента диффузии D (на врезке) подвижной частицы. Значения других параметров моделирования: U0 = 1011 с-1; R=10, r0=0.2, 1=0.1, r'=5 нм.
Рисунок 3 - (Color online) Временные зависимости средней скорости %(t) аннигиляции в круговой
области, закрепленной в центре и свободно блуждающей частиц для различных начальных положений r' (на врезке) подвижной частицы. Коэффициент диффузии D=10-5 см2/с. Значения других параметров моделирования - те же, что и для рис. 2.
ными при небольшом числе членов в конечной сумме, аппроксимирующей функцию Грина (7). В то же время, качественные изменения хода кривых х(г I г') на начальном этапе для различных значений радиуса R, безусловно, говорят о влиянии границ области на ход процесса.
Реакции с трехмерной диффузией в шаровой области
В областях шаровой формы одночастичная функция Грина 01(г,в,р-,г) определяется диффузионным оператором
Л (r t) = д- D -1 dt r2
д 2 д 1
— r — +--
dr dr sin в дв
д . в д Sine--h-
1
дв sin2 в dp2
(9)
причем граничные условия на сфере 5Я отвечают краевой задаче Неймана (нулевой поток). Тогда в сферической системе координат с осью 2, ориентированной вдоль вектора дипольного момента М (рис. 5), определяющего аксиальное поле в полости, функция Грина 01(г,в,р, г) каждой из двух аннигилирующих частиц может быть записана в виде
Gi(r,e,p,11 г ,в',p') =
|4nR
+ ХХ exP
n,l =1 m=0
3 + X exp- D Ш1
- D к) )21
Ji/2 ((0)r /R) ((V /R)
2nR2JT7j22 )
(2i + 1)(i - m)!Ji+1/2 () r / R )j l +1/2 (( r' / R)
(1 + 8m,)nR2(i + m)\4rr' J/+1/2 (K) 1 - i( l +1)/ (Kl) )2 ]
(10)
x Pm (cos в) ■ Pm (cos в') cos m(p - p )
где
Pm (cos в)
кl)
присоединенные полиномы Лежандра;
,(') ■ J'
положительные корни уравнения 2КП) ■ J'+1/2 (кП)) - Ji+1/2 (кП)) = 0.
Рисунок 4 - (Color online) Временные зависимости средней скорости %(t) аннигиляции в круговой области, закрепленной в центре и свободно блуждающей частиц для различных значений радиуса R (на врезке) круга. Коэффициент диффузии D=10-5 см2/с. Значения других параметров моделирования - те же, что и для рис. 2.
Если ось Z рис. 5 выделена вектором M дипольного момента точечного источника поля, размещенного в центре шара, то векторы M и г/, г2' в общем случае уже не будут лежать в одной плоскости, а соответствующая функция Грина G^r^p, t) каждой из частиц в лабораторной системе координат будет иметь громоздкий вид (10). Как и в прежде рассмотренном случае круговой реакционной зоны, более удобные для расчетов скорости выражения функций Грина получаем и теперь, если ось Z не выделена физически (т. е. полем), и для описания одночастичных функций Грина используются две различные молекулярные системы координат (МСК) с осями zi и z2, направленными вдоль радиус-векторов г/, г2' начальных положений каждой из частиц. В этих системах координат углы в',в2' = 0 и поэтому cos в' = 1, откуда следует и P^ (cos в') = Sm0.
Тогда азимутальный угол р' исчезает из (10), В результате из (10) в МСК каждой из моле-т. к. в сумме по т остается лишь член с т=0. кул получаем
G1(r,e,11 r',0) 3
4nR3
X exP
R № )
Jm (( r / R )) ((V / R )
+ X exp - RD № )
2nR(T)
(2, + 1) J,+1/2 ((') r / R)J,+1/2 (') r' / R)
2k.R V rr'Jf+i/2,
(№) ) -, (,+1)/(№') )2 ]
P (cose)
(11)
Таким образом, из (11) следует, что и по азимутальному углу р имеет место симметрия в каждой из локальных МСК.
Расчеты средней скорости %(г I г', г2') бимолекулярной аннигиляции могут быть выполнены на основе интеграла - объемного аналога
(3)
Х(г I г/, г2> = Л и (I г, - г, 1)^01, г I г,') в1(г2, г I г2'>а3 г а3 г, 11 (12)
где одночастичные функции Грина г,в,г I /,0> заданы выражением (11). Расстояние р = г - г21 между частицами 1 и 2 в шаровой полости находим в виде
Г 2 2 г» —«1/2
р = г -г2!=[г! + г2 -2гхг2^р(Ц,02>] , где угол ^(Ц,О2) между радиус-векторами г и
А ч ^^ л
ГОо
\ ^ / 1
\ /
Рисунок 5 - Шаровая нанообласть диффузии-аннигиляции частиц объемом Ук с отражающей поверхностью - сферой Бк .
r2 определяется направлениями Q1, Q 2 так, что выполняется соотношение cos , Q 2) = cos е cos е2 + sin е1 sin e2 cos( - (p2), а все углы заданы в одной системе координат, например в МСК(21). Поскольку выражение (11) определяет функцию Грина частицы 2 в ее собственной МСК(г2), необходимо, теперь, записать функцию G1(r2,11 r2') в МСК(21). Тогда для первой частицы функция Грина G1 (r1, e1,11 r/, 0) будет определяться выражением (11), а для второй - формулой (10) (для функции G1 (r2,e2,p2,11 r2',ef2 =a,p2 = 0) ). К тому же результату приходим при записи формы (11) для второй частицы в МСК(21) с помощью теоремы сложения для сферических функций. Кроме такого подхода, можно использовать, также, функции Грина для обеих частиц, заданные в виде (11), но тогда угол в(Ц, Q 2) между радиус-векторами r1 и r2 придется выражать через угловые переменные МСК(21) и МСК(22). Переход к не зависящей от начальных положений частиц скорости x(t) = (z(t I r', r2')) производится итоговым
усреднением интеграла (12) по параметрам / / r1 , r2 .
Заметим, что рассмотренная задача в шаровой нанообласти перекликается с проблемой определения энергетического спектра двухэ-лектронной квантовой точки, с той лишь разницей, что спектр электронного гамильтониана в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме будет отличаться от спектра диффузионного оператора (9) за счет различий в постановке граничных условий. Энергетический спектр электрона определяется из решения задачи Дирихле для волновой функции частицы в сферической квантовой точке.
Спектр диффузионного оператора для непроницаемой полости находится из решения задачи Неймана. Таким образом, имеющая место аналогия между двумя физически различными задачами позволяет говорить в некотором смысле о «кинетическом двухчастичном атоме» или кинетическом образе двухчастичной квантовой точки. Именно по этой причине для обозначения индексов собственных чисел в (10) и (11) использованы символы п,1,т - по аналогии с квантовыми числами состояний атома.
Таким образом, в работе построена математическая модель кинетики дистанционно зависящей аннигиляции частиц двух сортов, ускоренной их диффузией в нанообластях круговой и
сферической формы. Предложенная модель может быть использована как для описания кинетики неселективной по спину аннигиляции частиц, так и для спин-селективных реакций, таких, например, как триплет-триплетная аннигиляция экситонов, или тушение триплет-возбужденных молекул дублетными ловушками в нанодис-персных системах с полостями или включениями дискообразной, а также шаровой формы. В случае описания спин-селективных реакций полученная в работе средняя скорость бимолекулярной аннигиляции или тушения должна быть дополнена спиновым динамическим фактором, расчет которого представляет собой отдельную задачу, и может быть выполнен как, например, это было сделано в [27]-[28].
Автор благодарен Неясову П.П. за помощь в проведении расчетов временных зависимостей рис. 2-4 на основе модели (7)-(8).
Работа выполнена по Госзаданию № 3.7758.2017/БЧ Министерства образования и науки РФ.
Список литературы:
1. Овчинников, А.А. Кинетика диффузионно-контролируемых химических процессов / А.А. Овчинников, С.Ф. Тимашев,
A.А. Белый. - М.: Химия. - 1986. - 287 с.
2. Бурлацкий, С.Ф. Кинетика гибели на ловушках в допороговых перколяционных системах / С.Ф. Бурлацкий, И.Ф. Иванов. - ЖЭТФ. - 1988. - Т. 94. - С. 331.
3. Khairutdinov, R.F. Photochemical reactions on the surface of a circular disk: a theoretical approach to kinetics in restricted two-dimensional space / R.F. Khairutdinov, K.Ya. Burshtein, N. Serpone //Journal of Photochemistry and Photobiology A: Chemist -1996. - V. 98. - P. 1-14.
4. Konkoli, Z. Diffusion controlled reactions, fluctuation dominated kinetics and living cell biochemistry / Z. Konkoli // Fifth Workshop on Developments in Computational Models—Computational Models From Nature / Ed. by S. Barry Cooper & Vincent Danos. - EPTCS. - 9, 2009. - Р. 98-107. - doi:10.4204/EPTCS.9.11 c.
5. Stochastic model for fluorescence quenching in monodisperse micelles with probe migration / M.H. Gehlen et al. // J. Phys. Chem. - 1991. - V. 95. - №14. - P. 5684-5689.
6. Barzykin, A.V. Luminescence quenching in micellar clusters as a random walk problem / A.V. Barzykin, M. Tachiya // Phys. Rev. Let. - 1994. - V. 73. - №25. - P. 3479-3482.
7. Onipko, A.I. Kinetics of incoherent exciton annihilation in nonideal one-dimensional structures / A.I. Onipko, I.V. Zozulenko // J. Luminescence. - 1989. - V. 43. -P. 173-184.
8. Кучеренко, М.Г. Асимптотическая стадия кинетики экситонных процессов в полимерных цепях с регулярной и нарушенной структурой / М.Г. Кучеренко, В.Н. Степанов, Т.М. Чмерева // Вестник ОГУ. - 2004. - №9. - С. 127-139.
9. Chevalier, Y. The structure of micelles and microemulsion / Y. Chevalier, T. Zemb // Rep. Prog. Phys. - 1990. - V. 53. - №3. -P. 279-371.
10. Кучеренко, М.Г. Процессы с участием электронно- возбужденных молекул на поверхностях твердых адсорбентов: монография / М.Г. Кучеренко, Т.М. Чмерева. - Оренбург: Оренбургский государственный университет. - 2010. - 346 с.
11. Кучеренко, М.Г. Флуктуационная кинетика фотореакций в системе перколяционно-связанных наноячеек / М.Г. Кучеренко // Вестник Оренбург. гос. ун-та. - 2001. - №2(8). - С. 89-95.
12. Кучеренко, М.Г. Динамика флуктуаций числа молекул в наноячейках и кинетика реакций в дисперсных средах / М.Г. Кучеренко // Вестник Оренбург. гос. ун-та. - 2000. - №2. - С. 57-64.
13. Juzeliunas, G. Fluorescence depolarization due to exciton annihilation in molecular domains / G. Juzeliunas // Journal of Luminescence. - 1990. -V. 46. -P. 201-207.
14. Energy transfer from a semiconductor quantum dot to an organic matrix / D.M. Basko et al. // Eur. Phys. J. - 2000. - V. 13. -Iss. 4. - P. 653-659.
15. Агранович, В.М. Резонансный перенос энергии от полупроводниковой квантовой точки к органической матрице /
B.М. Агранович, Д.М. Баско // Письма в ЖЭТФ. - 1999. - Т. 69. - Вып. 3. - С. 232-235.
16. Агранович, В.М. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах / В.М. Агранович , М.Д. Га-ланин. - М.: Наука. - 1978.
17. Кучеренко, М.Г. Экситонная передача энергии между адсорбатами / М.Г.Кучеренко, Т.М. Чмерева // Физика твердого тела. - 2008. - Т. 50. - №3. - С. 512-518.
18. Туницкий, Н.Н. О резонансном межмолекулярном переносе возбуждения при учете диффузии / Н.Н. Туницкий, Х.С. Багда-сарьян // Опт. и спектр. - 1963. - Т. 15. - №1. - С. 100-106.
19. Берлин, А.А. Учет диффузии и подбарьерных переходов при описании туннельного механизма реакции захвата электрона молекулой акцептора / А.А. Берлин // Доклады АН СССР. - 1975. -Т. 223. - №3. - С. 625-628.
20. Докторов, А.Б. Квантовая теория дистанционного переноса, ускоренного диффузией / А.Б. Докторов, А.И.Бурштейн // ЖЭТФ. - 1975. -Т. 68. - №4. - С. 1349-1362.
21. Кучеренко, М.Г. Аннигиляционная деполяризация люминесценции центрально-выстроенных молекулярных зондов в микро- и нанопорах с жидкокристаллическим наполнителем / М.Г. Кучеренко, А.А. Палем // Вестник ОГУ. - 2008. -№9.- С. 210-216.
22. Suna, A. Kinematics of exciton-exciton annihilation in molecular crystals / A. Suna // Phys. Rev. B. - 1970. - V. 1. - №4. -P. 1716-1739.
23. Кучеренко, М.Г. Кинетика статического нелинейного самотушения люминесценции в коллоидных системах / М.Г. Кучеренко // Коллоидный журнал. - 1998. - Т. 60. - №3. - С. 398-406.
Kucherenko M.G. Kinetics of the static nonlinear self-quenching of luminescence in colloidal systems // Coll. J. 1998, V.60, №3, P. 347-355.
24. Кучеренко, М.Г. Кинетика статической аннигиляции квазичастиц в полидисперсной наноструктуре / М.Г. Кучеренко, А.В. Сидоров // Вестник Оренбургск. гос. ун-та. - 2003. - №2 (12). - С. 51-57.
25. Dexter, D.L. A theory of sensitized luminescence in solids / D.L. Dexter // J. Chem. Phys. - 1953. - V. 21. - №5. -P. 836-850.
26. Pilling, M.J. Theoretical Model for Diffusion Controlled Reactions of Solvated Electrons Incorporating a Tunneling Mechanism / M.J. Pilling, S.A. Rice // J. Chem. Soc. Farad. Trans. 2. - 1975. -V. 71. - №9. - P. 1563-1571.
27. Кучеренко, М.Г. Зависимость скорости спин-селективной аннигиляции электронных возбуждений от внешнего магнитного поля в наноструктурированных системах / М.Г. Кучеренко, Р.Н. Дюсембаев // Химическая физика и мезоскопия. -2010. - Том 12. - №1. - С. 112-119.
28. Kucherenko, M.G. Positive magnetic field effect on mutual triplet triplet annihilation of mixed molecular pairs: Magnetosensitive geterofusion induced by difference of g-factors / M.G. Kucherenko, R.N. Dusembaev // Chem. Phys. Lett. - 2010. - V. 487. -P. 58-61.
Сведения об авторе:
Кучеренко Михаил Геннадьевич, директор Центра лазерной и информационной биофизики Оренбургского государственного университета, заведующий кафедрой радиофизики и электроники,
доктор физико-математических наук, профессор E-mail: rphys@mail.osu.ru
460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, тел. (3532) 372457
