CC BY
19
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 6, 2007 УДК 530.145
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПИОНОВ В ОБЛАСТИ МАЛЫХ ИМПУЛЬСОВ ИЗ КВАРКОВОГО КОНДЕНСАТА
Д.Б. Блашке, А.В. Прозоркевич, С.А. Смолянский, А.В. Филатов
Исследована нелинейная система кинетических уравнений немарковского типа, описывающих рождение частиц с переменной массой в рамках модели Nambu-Jona-Lasinio для случая рождения пионов в процессе распада а-мезонов в горячей и плотной ядерной материи. Вычислено увеличение числа я-мезонов в области малых импульсов, вызванное дополнительным рождением а-мезонов под действием «инерциального» механизма с учетом нелинейной зависимости массы а-мезонов от температуры в уравнении состояния вблизи точки та ~ 2тп. Показано, что соответствующий вклад может быть значительным.
Введение
В последние годы были обнаружены некоторые свойства кирального фазового перехода, такие как, например, избыток п-мезонов, вызванный быстрым достижением термо- и химического равновесия в симметричной фазе [1], избыток низкоэнергетических пар фотонов, рожденных аннигиляцией п-мезонов в горячей и плотной материи [2], увеличение числа дилептонов за счет лептонного распада о-мезонов [3]. Для своего объяснения эти и многие другие свойства материи вблизи точки фазового перехода адронной материи в состояние кварк-глюонной плазмы требуют более детального теоретического исследования.
Наиболее доступным в настоящее время способом достичь необходимых энергий и плотностей для изучения этих свойств ядерной материи являются эксперименты по столкновению релятивистских тяжелых ионов, в которых происходят процессы деконфайнмента из адронного газа в состояние кварк-глюонной плазмы. При охлаждении такая система проходит через киральный фазовый переход: из фазы с нарушенной киральной симметрией в фазу, где она восстанавливается [4]. Рассмотрим мезонный файербол1, образованный при столкновении тяжелых ионов, например, в условиях ускорителя SPS2. Можно полагать, что он эволюционирует от начальной высокой температуры в область «вымораживания» (freeze out) в соответствии со сценарием гидродинамики Бьеркена [5,6].
1Под файерболом подразумевается сгусток горячей и плотной ядерной материи, образованный в результате столкновения ядер.
2 Super Proton Synchrotron (ЦЕРН, Женева).
В процессе расширения и охлаждения адронной системы, образующейся при столкновении релятивистских тяжелых ядер, масса о-мезонов, в соответствии с моделью КашЬи-1опа-Ьа8тю (ШЬ) [7], увеличивается и стремится к своему вакуумному значению, при этом она быстро переходит пороговое значение 2тп, когда может происходить распад о-мезонов на два п-мезона. Поскольку взаимодействие о ^ пп достаточно интенсивное, этот процесс распада проходит достаточно быстро. До наступления фазы «вымораживания» рожденные п-мезоны термализуются в «тепловой бане». В соответствии с кинетическим подходом [8,9] зависимость массы о-мезонов от времени приводит к вакуумному рождению этих частиц посредством так называемого «инерциального механизма».
Целью работы является построение и исследование нелинейной системы кинетических уравнений модели, описывающей поведение системы п-о, и оценка влияния дополнительного механизма рождения о-мезонов (инерциального механизма) на процесс генерации п-мезонов (процесс о ^ пп)- одного из возможных источников наблюдаемой в экспериментах множественности п-мезонов. Рассмотренный в работе сильно неравновесный процесс привлекается для объяснения экспериментально наблюдаемой множественности от теоретического предсказания, основанного на гипотезе теплового равновесия п-мезонного газа в области малых импульсов.
В работе используется естественная система единиц: Т = с = к = 1, где к - постоянная Больцмана.
1. Кинетика составной системы о-п
Рассмотрим эволюцию составной системы о- и п-мезонов после прохождения через точку кирального фазового перехода. Предположим также, что система достаточно плотная и при условии пространственной однородности быстро достигает состояния локального равновесия с распределением Бозе-Эйнштейна
^(р,1) = {ехрК(р,1)/Та(1)] - 1}"1,
где ша(р,1) - энергия частицы, а есть о или п. Зависимость от времени температуры подсистем Та(1) определяется расширением и одновременным охлаждением файербола и задается уравнениями гидродинамики [5]. Зависимость то(Т(1)) массы о-мезонов от времени определяется моделью ШЬ [6]
ю0(р,1) = (Т (1)) + р2. (1)
Учет процессов вакуумного рождения о-мезонов под действием инерциального механизма в кинетическом описании приводит к появлению ненулевой функции источника в кинетическом уравнении подсистемы о-мезонов [8]
1 Г*
1Г(р,1) =-Ла(р,1) Л(р,0[1 + 2/а(р,0]со8[2ео(р; 1,1?)], (2)
2
где Ло(р, 1') - амплитуда перехода между состояниями с положительной и отрицательной энергией
Л (р 1) = "о(р,1) = то(1)то(1) (3)
Ло(р, 1) = / ,ч = 2/ N , (3)
а 60(р; г, г') - динамическая фаза
0о(р; М') = Г Л0(р,£"). (4)
Н'
Возникающие в результате вакуумного рождения нестабильные о-мезоны могут распадаться на два п-мезона или фотона, что приводит к возникновению динамической связи между мезонными подсистемами. Ниже будем учитывать только первый канал и предположим, что эти процессы происходят в термализованном ме-зонном газе. Полная амплитуда распада Го—пп для процессов о ^ п+п- и о ^ 2п0 была получена при конечных температуре и плотности в системе центра масс [10]. Используя функцию Го—пп, можно записать выражение для потерь в подсистеме о-мезонов
/¿ОМ(р,*) = - I ( ^Л? г) Го—пп(р, Р1, Р2; Шр,т + /п(Р1,Ь)]х
X [1 + /п(р2,Ь)Щыа(р, г) - Юп(р1, Ь) - Юп(р2, Ь)}б(р - р1 - р2) (5) и соответствующее выражение для прихода в п-мезонную подсистему
1пт(р,г)= [ ———-г Го^пп (р?, р, р1; г)/о(р?,г)[1 + /п(рьг)]х
х [1 + /п(р,г)]б{—а(р2,г) - —п(р,г) - —п(р1,г)}&(р2 - р - рО. (6)
Здесь были учтены законы сохранения энергии и импульса при распаде о-мезонов.
Запишем итоговое кинетическое уравнение для описания совместной эволюции подсистем п- и о-мезонов
£ _ т'аае I то—>пп I тех /п\
/а — 'а * 'а +'а • (7)
Функции источников Цас и 1ао—пп определяются уравнениями (2), (5) и (6) (для п-мезонов Цас = 0). Наконец, последний член соответствует изменению локального квазиравновесного распределения мезонов в импульсном пространстве, обусловленного термодинамическим охлаждением системы,
/ех = Га' • (8)
В общем случае интегралы (5) и (6) сильно затрудняют численный анализ кинетического уравнения (7), поэтому сделаем некоторые упрощения. В области малых импульсов в выражении для потерь в о-подсистеме (5) можно пренебречь зависимостью от импульса: 11о°(р,г) & /^(г),
3
Го—пп(ргт ,г)[1 + /п(рг ,г)]2, (9)
где р^ (г) пороговое значение для импульса п-мезонов
Ргг(г) = ^ш2а(г)/4 - ш2п(г). (10)
11о°™(1) = п
4ргг (г) шо(г)
В уравнении (9) предполагается, что fn(-p) = fn(p) благодаря изотропии системы. Кроме того было принято во внимание, что ma(t) = 2 шп(ptr,t) и
ra^nn{ptr,t) = Го^пп(Р = 0, pi, -pi; t)\\pi\=ptr. (11)
Эта функция была вычислена в работе [10]. Теперь можно произвести упрощение и убрать зависимость от импульса в выражении для амплитуды распада, что приводит к следующей оценке:
rö^nn(t) = 0.274 md. (12)
Аналогичные процедуры упрощения в выражении для прихода в подсистему п-мезонов (6) приводят к следующим соотношениям, справедливым в области малых импульсов:
in0m(p,t) = (t) r™(t)[1 + fn(p,t)]fa(qtr ,t)[1 + fn(qtr ,t)], (13)
mn(t)
где
ma(t)
qtr(t) = mjrftr ■ (14)
Различие в величине порогового момента (ptr в уравнении (9) и уравнении (13)) обусловлено предположением, что о-мезон в уравнении (9) и оба п-мезона, родившиеся в результате распада о-мезона, в уравнении (13) находятся в состоянии покоя.
На рис. 1-3 представлены результаты численных расчетов временной эволюции системы п- и о-мезонов. Рис. 1 отображает зависимость массы о-мезонов в соответствии с моделью NJL и гидродинамическим расширением ядерного файербола в рамках решений Бьеркена. На рис. 2 показано сравнение равновесной функции распределения п-мезонов с конечным распределением, по оценкам кинетического подхода (7). На этих рисунках можно видеть существенный прирост рожденных п-мезонов в области малых импульсов. На рис. 3 представлены результаты численного моделирования решения кинетических уравнений системы мезонов п — о для различных начальных условий подсистемы о-мезонов. На рис. 3, а показано различие между конечным распределением п-мезонов и равновесным распределением
Рис. 1. Эволюция та в рамках гидродинамики Бьеркена и модели ШЬ. Показаны два случая для фазовых переходов первого рода (сплошная линия) и второго рода (штриховая линия) [6]
Рис. 2. Конечное распределение я-мезонов при действии инерциального механизма (штриховая линия) и начальное равновесное распределение а-мезонов (сплошная линия)
0.006 0.005
и*
« Б
"-,0.004
I
0.003
1—.—.—.—I—.—.—.—I—.—I—.—I—.—.—I—I—.—.—.—...,...,...,...,...
а 0 100 200 300 400 р, МеВ ^ 0 100 200 300 400 р, МеВ
Рис. 3. Разница между конечным распределением я-мезонов и равновесным распределением Бозе-Эйнштейна, соответствующем конечной температуре системы, с нулевым начальным распределением а-мезонов (а) и тепловым равновесным распределением Бозе-Эйнштейна, соответствующем начальной температуре системы (б)
Бозе-Эйнштейна, соответствующем конечной температуре системы, при нулевом начальном распределении а-мезонов. На рис. 3, б показано различие между конечным распределением п-мезонов и равновесным распределением Бозе-Эйнштейна для начальной температуры системы а-мезонов. Из этих рисунков видно, что полученные в работе кинетические уравнения (7) с использованием ненулевых начальных условий для подсистемы а-мезонов демонстрируют увеличение плотности п-мезонов в области малых импульсов относительно равновесного теплового распределения, что соответствует экспериментальным данным [12].
Заключение
Полученная в работе система интегро-дифференциальных кинетических уравнений немарковского типа, описывающих процесс эволюции связанных систем п- и а-мезонов, содержит квадратичную нелинейность по функции распределения п-мезонов. Использование гидродинамики Бьеркена и модели КашЬи-1опа-Ьа8тю привносит дополнительные источники нелинейности. Для численного решения этой системы уравнений в работе использовался ряд упрощающих модельных предположений, не влияющих на область малых импульсов. Оценки показывают, что в результате процесса распада а-мезонов на два п-мезона с учетом дополнительного вакуумного рождения а-мезонов под действием инерциального механизма возможен значительный прирост плотности п-мезонов в области малых импульсов.
Таким образом, инерциальный механизм в данной системе может служить дополнительным источником наблюдаемой множественности п-мезонов в экспериментах по столкновению релятивистских ядер тяжелых элементов.
Мы благодарны Ю.А. Калиновскому за полезные обсуждения при выполнении данной работы.
Библиографический список
1. Song Ch., Koch V. Excess of pions with chiral symmetry restoration // Phys. Lett. B. 1997. Vol. 404. P. 1.; arXiv:nucl-th/9703010.
2. Volkov M.K. et al. Excess low energy photon pairs from pion annihilation at the chiral phase transition//Phys. Lett. B. 1998. Vol. 424. P. 235; arXiv:hep-ph/9706350.
3. Weldon H.A. Dilepton enhancement at 2mn and chiral symmetry restoration // Phys. Lett. B. 1992. Vol. 274. P. 133.
4. Koch V. Aspects of chiral symmetry // Int. J. Mod. Phys. E. 1997. Vol. 6. P. 203; arXiv:hucl-th/9706075.
5. Bjorken J.D. Highly relativistic nucleus-nucleus collisions: The central rapidity region // Phys. Rev. D. 1983. Vol. 27. P. 140.
6. Rehnberg P., Kalinovsky Yu. L., Blaschke D. Critical scattering and two photon spectra for a quark-meson plasma // Nucl. Phys. A. 1997. Vol. 622. P. 478; arXiv: hep-ph/9705299.
7. Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. I // Phys. Rev. 1961. Vol. 122. P .345;
Nambu Y., Jona-Lasinio G. Dynamical model of elementary particles based on an analogy with superconductivity. II // Phys. Rev. 1961. Vol. 124. P. 246.
8. Pervushin V.N. et al. The kinetic description of vacuum particle creation in the oscillator representation // Int. J. Mod. Phys. A. 2005. Vol. 20. P. 5689; arXiv: hep-ph/0307200.
9. Blaschke D., Prozorkevich A.V., Reichel A.V., Smolyansky S.A. Vacuum creation of massive vector bosons and its application to a conformal cosmological model // Яд. физ. 2005. Т. 68. С. 6; arXiv:hep-ph/0411383.
10. Klevansky S.P., Quack E., and Zhuang P. Hadronization cross-sections at the chiral phase transition of a quark plasma // Phys. Lett. B. 1994. Vol. 337. P. 30; Zhuang P., Huang M., and Yang Z. Thermal and nonthermal pion enhancements with chiral symmetry restoration // Phys. Rev. D. 2001. Vol. 63. P. 016004; arXiv:nucl-th/0008044.
11. Klevansky S.P. The Nambu-Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64. P. 649.
12. Zhuang P. Low-momentum pion enhancement induced by chiral symmetry restoration // Int. J. Mod. Phys. A. 2004. Vol. 19. P. 341.
Саратовский государственный Поступила в редакцию 30.10.2007
университет После доработки 12.11.2007
KINETIC THEORY OF LOW MOMENTUM n-MESON PRODUCTION FROM QUARK CONDENSATE
D.B. Blaschke, A.V. Prozorkevich, S.A. Smolyansky and A.V. Filatov
The nonlinear system of non-markovian type kinetic equations, describing the particles production with varying masses in framework of Nambu-Jona-Lasinio model is investigated for the case of n-meson production by o-meson decay in hot and dense nuclear matter. The n-meson enhancement in a low-momentum region due to additional o-mesons creation via intertial mechanism using the nonlinear dependence of sigmas mass from the temperature in equation of state in vicinity of mo & 2mn is calculated.
Блашке Давид Бернхард - родился в 1959 году в Гюстрове, (Германия). Окончил университет в Ростоке (1983). Защитил диссертацию на сосиска-ние звания кандидата физико-математических наук (1987) и доктора физико-математических наук («Квантовая статистика эффективных кварковых моделей адронной материи», 1995). С 1981 года член Германского физического общества, с 1990 - член Европейского физического общества, с 1995 - член Европейского центра теоретических исследований в ядерной физике и связанных областях (Тренто, Италия). Работает в университете Вроцлава (Польша). Опубликовал более 60 научных работ, редактор двух книг: «Understanding Deconfinement in QCD» (World Scientific, Singapore, 2000), «Physics of Neutrons Star Interiors» (Springer, Heidelberg, 2001).
Прозоркевич Александр Васильевич - родился в 1947 году в Калининграде. В 1970 году закончил физический факультет Саратовского государственного университета (кафедра теоретической физики). В 1981 году защитил кандидатскую диссертацию. Работает доцентом кафедры теоретической и математической физики СГУ.
Смолянский Станислав Александрович - родился в 1936 году в Саратове. Окончил Саратовский государственный университет (1960). После окончания СГУ работал в Физико-энергетическом институте Обнинска, а с 1963 года - в СГУ Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в СГУ (1971) и доктора физико-математических наук в ИТФ (Киев, 1988) в области релятивистской кинетики и гидродинамики с приложениями в области экстремальных состояний вещества. Автор монографии «Введение в релятивистскую статистическую гидродинамику нормальной жидкости» (в соавторстве с А.Д. Панферовым). Опубликовал около 150 научных работ. Заведующий кафедрой теоретической и математической физики СГУ
Филатов Андрей Викторович - родился в 1982 году в Саратове. Окончил факультет нелинейных процессов Саратовского государственного университета (2004). Аспирант кафедры теоретической и математической физики СГУ
