CC BY
42
УДК - 539.12.01
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КАОНОВ.
С.М. Кучин, Н.В. Максименко
В работе проведено вычисление обобщенной электрической поляризуемости каонов, которые рассматриваются как нерелятивистская система двух точечных спинорных кварков с потенциалом, имеющим линейное поведение на больших расстояниях и кулоновское поведение на малых расстояниях.
Ключевые слова: нерелятивистская кварковая модель, мезоны, поляризуемость.
Статья выполнена на основе доклада, прочитанного на международной конференции «Actual Problems of
Microworld Physics», Гомель, 1 - 12 августа 2011 г.
Введение.
Поляризуемости элементарных частиц вводятся для феноменологического учета влияния структуры частиц на их двухфотонные взаимодействия при низких энергиях и являются источником дополнительной информации, получаемой из данных по упругому рассеянию этих частиц. Численная оценка электромагнитных поляризуемостей элементарных частиц косвенно позволяет судить о характере взаимодействия между частицами, образующими составную систему.
В настоящее время имеется достаточно большое число теоретических расчетов электрических поляризуемостей заряженных адронов, в том числе и мезонов. Среди них можно отметить расчеты с использованием эффективных лагранжианов [1-6], алгебры токов [7], также поляризуемости нуклонов и П — мезонов вычислялись в нерелятивистской кварковой модели [8-15] , но эти расчеты были не вполне последовательны или проводились не для КХД - мотивированных потенциалов.
Целью данной работы является вычисление статической и обобщенной электрической поляризуемости заряженных каонов, которые рассматриваются как нерелятивистская система двух точечных спинорных кварков с потенциалом, имеющим линейное поведение на больших расстояниях и кулоновское поведение на малых расстояниях.
1. Методика оценки электрической поляризуемости.
В этом разделе мы изложим общую методику оценки статической электрической поляризуемости связанной системы [16], которая включает получение нижней и верхней границы для данной величины.
Рассмотрим уравнение
Я|Ф) = Е|Ф> (1.1)
с оператором Гамильтона, состоящим из суммы двух операторов:
Н = Я0 + ДЯ, (1.2)
где Я0 - оператор Гамильтона “невозмущенной” системы, а АН - некоторая малая добавка (оператор возмущения). Будем предполагать также, что в отсутствие возмущений (1.1) имеет вид:
Н0 К) = £ПЮ, п = 0,1,2,... (1.3)
Согласно стационарной теории возмущений, значение добавочной энергии к энергии основного состояния £0 ищем в виде ряда:
Е = £0 + Д£(1) + Дг(2) + - (1.4)
Соответственно волновая функция также представляется в виде ряда по параметру малости, входящему в АН:
|ф> = т> + |дт- (1.5)
В том случае, когда £0 — £i ■■■ — £п, находим, что значение добавочной энергии Asнаходится в интервале [16]:
(1.6)
где введены обозначения
А = (^0|АЯЯ0АЯ|^о),
В = (^0|АЯ2|^о),
С = (¥0\АЙ\¥0). (1.7)
Следовательно, для нахождения границ интервала (1.6) необходимо определить волновую функцию основного состояния У0, а также энергии основного и первого радиально-возбужденного состояний. В отличие от случая, когда необходимо нахождение точного значения , в нашем случае не требуется полного решения невозмущенной задачи.
Поправка Ае(2) к энергии основного состояния связанной системы, когда роль возмущения
1грает внешнее стационарное поле напряженностью Е, связана с электрической статичес поляризуемостью системы а0 соотношением:
А£(2) = -^Е2. (1.8)
Отметим, что в случае, если основное состояние |^о) является сферически-симметричным, значение
Д£(1)
равно нулю, т.е.
Д£(1) = С = 0. (1.9)
Используя (1.6) и (1.9), находим, что значение статической электрической поляризуемости а0 находится в интервале:
2 В2/Е2 2 В/Е2 /-11т
(1|0)
2. Статическая поляризуемость каонов.
В качестве феноменологической волновой функции мы используем волновую функцию модели с линейным запиранием и кулоновским поведением на малых расстояниях [17]:
ф(г) = №хр[—аг2 - рг], а = р = цЬ, (2.1)
где а, Ь - параметры линейной и кулоновской частей потенциала соответственно, ^ - приведенная масса двухчастичной системы.
Уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции имеет следующий вид:
1 й ( _ (Ш\ 1(1 + 1) 2^ , _
* +'ь1 [£-"(г)]в = 0,
где потенциал взаимодействия между кварками в данном случае выбирается в виде [17]:
УМ = аг ^ ^йЬг" -(1 + 5) + с. (22)
который учитывает асимптотическую свободу в КХД на малых расстояниях и линейный рост потенциала с увеличением расстояния между кварком и антикварком.
Для фиксации значений параметров потенциала мы используем экспериментальные значения масс, констант лептонных распадов и среднеквадратичного радиуса заряженных каонов. Для характеристик К± — мезонов мы используем следующие значения [18, 19]:
= 493,677 ± 0,016 МэВ, /к± = 160,60 ± 1,4 МэВ,
{г2к±)ехр = (0,34 ± 0,05) Фм2.
Наиболее близкое описание этих данных наблюдается при следующих значениях параметров:
а = 0,2 ГэВ2; Ъ = 1,35; с = 0,37 ГэВ; ти = т5 = 0,05 ГэВ.
Массы и—, d—, 5— кварков считаются одинаковыми, т.е. нарушение Би(3) — симметрии не учитывается. Теоретический расчет, в рамках данной модели, приводит к следующим значениям:
Мк± = 493 МэВ,
[к± = 160,9 МэВ,
{г2±) = 0,34 Фм2.
Численные расчеты с использованием найденных параметров приводят нас к следующему интервалу для статической поляризуемости заряженных каонов:
0,013 ■ 104 фм3 < «о ± ^ 5,380 ■ 104 фм3,
ИЛИ
«о ± = (2,6965 ± 2,6835) ■ 10~4фм3.
Для оценки поляризуемости использовался нерелятивистский оператор электрического дипольного взаимодействия:
1
йЕ = - е2)(гЕ),
где - операторы заряда кварков, действующие на зависящую от унитарного спина часть волновой функции, которые для К ± - мезонов имеют вид [8]:
фк+(0 = (^|) [|в Т и!) — |в I иТ>], (2.3)
фк (0 = (^=) [|йТ51>-|й15Т>], (2.4)
где и, я - антикварки.
При расчетах также использовалось следующее соотношение:
(к±\(е1-е2)2\к±) = ^
3. Комптоновская электрическая поляризуемость К± — мезона.
Как было показано, например, в работе [8], обобщенная электрическая поляризуемость а может быть представлена в виде суммы двух частей: а = а0 + Да. (3.1)
Величина а0 называется статической поляризуемостью и связана с наведенным электрическим дипольным моментом в приближении его точечности, т.е. деформированная составная система описывается как точечный диполь.
Слагаемое Да учитывает структуру составной системы и в главном приближении выражается через среднеквадратичный радиус составной системы. Величина Да имеет релятивистскую природу и может быть объяснена переходом от томсоновского рассеяния на точечных частицах к рассеянию на структурных частицах с электромагнитным радиусом [20]. Для бесспиновой системы это слагаемое записывается в следующем виде:
Да = ^, (3.2)
з м к '
где Ми г - масса и электромагнитный радиус мезона соответственно, а а - постоянная тонкой структуры.
Проводя вычисление Да в рамках данной модели с точечными кварками, находим, что слагаемое, связанное с электромагнитным радиусом каона, в предлагаемом подходе имеет следующее значение:
Аак± = 3,356 ■ 10~4фм3.
Итак, экспериментально измеряемая комптоновская поляризуемость К ± — мезонов в рамках данной модели имеет следующее значение:
а„
= (6,0525 ± 2,6835) ■ 10"4 фм.
В таблице 1, для сравнения, приведем результаты расчетов электрической поляризуемости каонов в различных моделях.
Таблица 1.
Модели а^±/10 4 фм3
В этой работе 6,0525 ± 2,6835
Киральные теории 0.5 [21] 1.3 ±0.4 [5]
3.4 ± 1.3 [8]
3.68±0.57 [22]
Другие модели 10.4 ± 1.6 [23]
1.0 ±0.3 [24]
4. Заключение.
В данной работе в рамках нерелятивистской кварковой модели с потенциалом, имеющим линейное поведение на больших расстояниях и кулоновское поведение на малых расстояниях, рассчитаны статическая и обобщенная электрические поляризуемости заряженных каонов как связанной системы двух точечных спинорных кварков. Полученное значение статической поляризуемости коррелирует с соответствующим значением, полученным в работе [8] в рамках нерелятивистской кварковой модели с осцилляторными силами. В то же время, этот результат превышает значения, полученные в работе [21] в рамках киральной пертурбативной теории, основанной на построении эффективного лагранжиана взаимодействия адронов, результат, полученный на основе алгебры токов [7], значение, полученное на основе кирального лагранжиана [5], а также результат, полученный в релятивистской гамильтоновой динамике [22], но оказывается меньше, чем результат, полученный в работе [23]. Таким образом, в настоящее время имеется расхождение в различных теоретических предсказаниях поляризуемости каонов. Поэтому, в связи с планированием в ближайшем будущем новых экспериментов по измерению поляризуемостей мезонов с более высокой степенью точности [25], задача по вычислению этих поляризуемостей приобретает новый интерес. И хотя основной упор в предстоящих экспериментальных исследованиях делается на изучение поляризуемостей л-мезонов, однако в этих экспериментах впервые планируется измерить также и поляризуемости каонов.
In the paper the calculation of the generalized electric polarizability of kaons, which are considered as a nonrelativistic system of two point of the spinor quarks with the potential of having a linear behavior at large distances and Coulomb behavior at short distances.
Список литературы
1) Weiner R., Weise W. Electromagnetic polarizability of the nucleon and chiral quark models // Phys. Lett. B. 1985. V. 159. p. 85-99.
2) Scoccola N. N., Weise W. Nonlinear meson theories and electromagnetic polarizability of the nucleon // Nucl. Phys. A. 1990. V. 517. p. 495-508.
3) Donoghue J. F., Holstein B. R. Pion transitions and models of chiral symmetry // Phys. Rev. D. 1989. V. 40. p. 2378-2409.
4) Holstein B. R. Pion polarizability and chiral symmetry // Comments Nucl. Part. Phys A. 1990. V. 19. p.221-238.
5) PervushinV. N., Volkov M. K. Pion polarizability in chiral quantum field theory // Phys. Lett. B. 1975. V. 55. p. 405-408.
6) Ivanov M. A., Mizutani T. Pion and kaon polarizabilities in the quark confinement model // Phys. Rev. D. 1992. V. 45. p. 1580-1601.
7) Терентьев М. В. Поляризуемость пиона, виртуальный комптон-эффект их^ evy распад // ЯФ. 1972. Т. 16. с. 162-173.
8) Петрунькин В. А. Электрическая и магнитная поляризуемости адронов // ЭЧАЯ. 1981. Т. 12. с. 692-753.
9) Dattoli G., Matone G., Prosperi D. Hadron polarizabilities and quark models // Lett. Nuovo. Cim. 1977. V. 19. p. 601-614.
10) Drechsel D., Russo A. Nucleon structure effects in photon scattering by nuclei // Phys. Lett. B. 1984. V. 137. p. 294-298.
11) Schoberl F., Leeb H. Quark core contribution to the electric polarizability of hadrons // Phys. Lett. B. 1986. V. 166. p. 355-371.
12) De Sanctis M., Prosperi D. Nucleon polarizabilities in the constituent quark model // Nuovo. Cim. A. 1990. V. 103. p. 1301-1310.
13) Liebl H., GoldsteinG.R. Electromagnetic polarizabilities and charge radii of the nucleons in the diquark model // Phys. Lett. B. 1995. V. 343. p. 363-368.
14) Кучин C.M., Бакулина E.B. Оценка вклада валентных кварков в электрическую поляризуемость мезонов в нерелятивистской кварковой модели // Тр. XII междунар. науч. - методич. конф. «Актуальные проблемы науки и образования», РИО БГУ, Брянск, 2009. с. 62 - 73.
15) Н. В. Максименко, С. М. Кучин. Статическая поляризуемость мезонов в кварковой модели // Известия ВУЗов. Физика. 2010. Т. 53. № 5. с. 99 - 101.
16) Andreev V.V., Maksimenko N.V. Static polarizability of relativistic two-particle bound system // Proc. of Int. School-seminar ’’Actual problems of particle physics”. 2001, Gomel, Belarus; Edited by the Ed. Board. JINR, Dubna, 2002. V. 2. p. 128-139.
17) Tezuka H. Analytical solution of the Schrodinger equation with linear confinement potential // J. Phys. A. Math. Gen. 1991. V. 24. p. 5267-5272.
18) Groom D.E. et al. Review of Particle Physics // Eur. Phys. J. C. 2000. V. 15. p. 1-878.
19)] Amendolia S.R. et al. A measurement of the kaon charge radius // Phys. Lett. B. 1986. V. 178. p. 435-440.
20) A. I. L’vov. Theoretical aspects of the polarizability of the nucleon // Int. Journ. Mod. Phys. 1993. V. A8. p. 52 - 67.
21) Holstein B.R. Pion polarizability and chiral symmetry // Comments Nucl. Part. Phys A. 1990. V. 19. p.221-238.
22) В. В. Андреев, А. Ф. Крутов. Комптоновская поляризуемость каонов в релятивистской гамильтоновой динамике // Вестник Самарского Государственного Университета. Естественно -научная серия. Специальныйвыпуск. 2004. с. 111 - 127.
23) D. Ebert, M. K. Volkov. Kaon polarizability in the Nambu-Jona-Lasinio model at zero and finite temperature // Phys. Atom. Nucl. 1997. V. 60. p. 796 - 803.
24) Терентьев М. В. О структуре волновых функций мезонов как связанных состояний релятивистских кварков // ЯФ. 1976. Т. 25. №1. с. 207 - 213.
25) M. Moinester. Pion and kaon polarizabilities at CERN COMPASS // Czech. J. Phys. 2003. V. 53. p. B169 - B187.
Об авторах
Кучин C.M. - старший преподаватель филиала Брянского государственного университета имени
1кадемика И.Г. Петровского в г. Новозыбкове, Kuchinsm@mail.ru
Максименко Н.В. - профессор, доктор физико-математических
государственный университет имени Ф. Скорины, maksimenko@gsu.unibel.by
наук Г омельский
