CC BY
69
УДК 629.114.2
И. С.Сазонов, д-р техн. наук, проф., Ю. Е. Атаманов, канд. техн. наук, доц.,
С. Н. Турлай, канд. техн. наук
КИНЕМАТИКА ШЕСТИЗВЕННОЙ РУЛЕВОЙ ТРАПЕЦИИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЕЕ ПАРАМЕТРОВ
В статье рассмотрена кинематика шестизвенной рулевой трапеции. Предложены аналитические зависимости, позволяющие определять действительные углы поворота управляемых колес машин при заданных параметрах рулевой трапеции как плоского механизма. Показано, что для лучшего согласования кинематики действительной рулевой трапеции с идеальной целесообразнее изменять углы установки рулевых рычагов, а не изменять длину рычагов при заданных углах их установки. Определено влияние длины рулевой сошки на кинематику шестизвенной рулевой трапеции. Используя метод золотого сечения, найдены оптимальные углы установки рулевых рычагов и длина рулевой сошки, которые обеспечивают наименьшую погрешность углов поворота управляемых колес действительной рулевой трапеции по сравнению с идеальной рулевой трапецией.
При криволинейном движении все колеса трактора катятся с единым мгновенным центром поворота даже при нарушении кинематики поворота управляемых колес. Такое «согласование» кинематики поворота трактора и кинематики поворота управляемых колес происходит за счет боковой деформации шин и в некоторых случаях бокового скольжения передних или задних колес. Скользят обычно колеса, имеющие меньшую нормальную нагрузку или находящиеся в худших условиях по сцеплению. Деформация шин и боковое скольжение колес приводит к увеличению силы сопротивления качению, повышенному износу шин и увеличенному расходу топлива при совершении поворота. В наших работах [1, 2] показано, как важно согласование кинематики поворота трактора и его рулевой трапеции.
Как известно, при криволинейном движении управляемые колеса должны поворачиваться на разные углы. Поворот управляемых колес трактора на разные углы и согласование углов их поворота с кинематикой поворота трактора осуществляется с некоторой погрешностью рулевой трапецией. Кинематика четырехзвенной рулевой трапеции рассмотрена в [2].
Однако на колесных тракторах и других колесных машинах нашла применение и шестизвенная рулевая трапеция (рис. 1).
Шестизвенная рулевая трапеция состоит из двух четырехзвенников Л00Е0О и БСсРО, которые соединяются равнобедренным треугольником ОЕсРо- Назовем четырехзвенник ЛПЕоО - I (первым), а БС0Р0О - II (вторым). Первый четырехзвенник примыкает к внутреннему колесу, второй - к наружному. Углы установки рулевых рычагов ЛП0 и БС0 равны в Применяя методику, аналогичную для исследования четырехзвенной трапеции [2], получим выражения для расчета угла поворота наружного управляемого колеса в зависимости от угла поворота внутреннего колеса для шестизвенной рулевой трапеции.
Вначале определим постоянные параметры рулевой трапеции. Так, чтобы рассчитать длины поперечных тяг В0Е0 и С^о, воспользуемся формулой для определения расстояния между двумя точками при известных координатах этих точек:
= С(<р0 =
= Л = 7(х - х1)2 +(^2 - Уі)2,
где х1 и у1 - координаты точки Б0; х2 и у2 - координаты точки Е0.
Определим координаты этих точек:
хі = ІрСвяв; уі = ї^іпв;
Х2 = Бш/2 - е; у2 = 1с - с,
где 1р - длина рулевых рычагов; е - расстояние от плоскости симметрии сошки до центра отверстия под шаровой палец;
1с - длина рулевой сошки.
Подставив координаты точек х1 и у1 в предыдущее выражение, можно рассчитать длину поперечных тяг.
Рис. 1. Расчетная схема шестизвенной рулевой трапеции
Длина гипотенузы ОЕ0 треугольника ЕоКоО равна ОЕ0 = ^е2 + V , а угол ЕоОКо этого треугольника равен ЛЕ0ОК0 = аг^(е/1с). Тогда угол Е0О¥0, образуемый сошкой, определим по выражению ЛЕ0ОЕ0 = 2ЛЕ0ОК0. Угол ОАК равен углу ОВК. Эти углы определяем по формуле ЛОАК = ЛОВК = аг^(2с/Бш ), где с = ОК - вынос вперед оси сошки; Вш = АВ - шкворневая база рулевой трапеции. ЛАОК = аг^(Бш/(2с)); ЛАОБ = 2ЛЛОК.
Длина гипотенузы АО треугольника
ОКА равна АО = ^с2 + (Бш /2)2, а длина гипотенузы ¥0О треугольника ¥0К0О равна Ро° = Ео° = ^с2 + (Бш / 2)2 .
Рассмотрение кинематики шестизвенной рулевой трапеции начнем с I четырехзвенника. Пусть внутреннее колесо повернулось на угол ав. Тогда Л1ЛВ = в - ав, а угол ОЛВ I четырех-звенника равен
ЛОЛВ = ЛЛВ + ЛОЛК.
Соединив точки О и В, получим два треугольника ЛОБ и ОБЕ. В треугольнике ОЛВ известны две стороны АО и ЛВ = 1Р, а также угол ОЛВ между ними. По теореме косинусов находим третью сторону ОВ:
ОВ = VОЛ2 + ЛВ2 - 2ОЛ.ЛВ соб ОЛВ .
Когда в треугольнике известны три стороны, его углы рекомендуется определять, используя радиус г вписанной окружности:
= (Р - а)(Р - Ь)(Р - с)
V Р ’
где р - полупериметр треугольника, р = (а + Ь + с) / 2.
Тогда углы этого треугольника можно определить по выражениям:
A r B r
tg- =------; *g-
2 p-a’ 2 p-b’
C r tg~:
2 Р-с
Используя предыдущие выражения, можем определить угол ЛОВ треугольника ОЛВ:
- полупериметр треугольника ОЛВ
Р = 2(ол + ЛВ + ОВ);
- радиус вписанной окружности
У
(p - AO)(p - OD)(p - AD) ш
tg-
p
AOD r
2 p - AD
Откуда
«0» в обозначении углов указывает на то, что в данном случае эти углы определяются при прямолинейном движении трактора:
ас = ЛЛОЕ + ЛЕОК - ЛЛОК0.
Переходим к определению угла поворота наружного колеса трактора. Для этого воспользуемся II четырех-звенником О¥СБ, в котором соединим точки Б и ¥. Получим два треугольника ОБ¥ и БС¥.
Рассмотрим треугольник ОБ¥, в котором известны две стороны ОВ = ОА и О¥, а также угол БО¥ между ними
ЛБО¥ = ЛЛОБ - (ЛЛОЕ + ЛЕО¥) .
Третью сторону Б¥ этого треугольника определим по теореме косинусов:
ZAOD = 2arctg
p - AD
Во втором треугольнике ODE известны все три его стороны (EO = FO = E0O). Определим угол DOE:
- полупериметр треугольника
p = 2(OD + FO + DE);
- радиус вписанной окружности
r=
(p - OD)(p - FO)(p - DE)
tg
DOE
2 p - DE
Откуда
ZDOE = 2arctg
p - DE
Тогда ЛЛОЕ = ЛЛОВ + ЛВОЕ.
Теперь можем определить угол ас поворота рулевой сошки, учитывая, что при прямолинейном движении трактора угол АОК0 = АОЕ0 + Е0ОК0, где индекс
BF = VOB2 + OF2 - 2OB • OF cos BOF .
Определим угол ОБ¥ этого же треугольника:
- полупериметр треугольника
Р = 2(°б + Б¥ + О¥);
- радиус вписанной окружности
(p - OB)(p - BF)(p - OF)
tg-
OBF
2 p - OF
Откуда
ZOBF = 2arctg r---------.
p - OF
Находим угол JBF (ZOBJ = ZOAK): ZJBF = ZOBF - ZOAK . Рассмотрим второй треугольник
r
r
r
r
БС¥, в котором известны три его стороны ВС, С¥ = ВЕ0 и Б¥. Определим угол ¥БС этого треугольника:
- полупериметр этого треугольника
р =-(1р + ГС + БЕ),
где ГС = БЕ;
- радиус вписанной окружности
І
(р - Ір )(р - ВЕ)(р - БЕ)
ЕБС
2 р - БЕ Откуда
ЛЕБС = 2аг^
р - БЕ
Следовательно, угол поворота наружного колеса равен:
ан = Л^БС + ЛБЕ - в
(1)
Из-за громоздкости окончательного выражения для расчета угла поворота наружного колеса ан не будем в выражение (1) подставлять значения углов ¥БС и ЗБ¥. Выражение (1) позволяет исследовать кинематику шестизвенной рулевой трапеции при различных ее параметрах (длины поворотных рычагов и углов их установки, длины рулевой сошки и выноса сошки вперед, изменение расстояния «е»).
Выполним исследование кинематики шестизвенной рулевой трапеции применительно к трактору «Беларус», имеющему следующие параметры:
эксплуатационная масса, кг 4840
масса, приходящаяся на
передний мост, кг 1700
база трактора, м 2,37
ширина колеи, м 1,40
шкворневая база, м 1,095
длина рулевых рычагов, м 0,21
углы установки рулевых
рычагов, град 70
плечо обката, м 0,057
длина рулевой сошки, м 0,30
вынос сошки вперед, м 0,10
расстояние «е», м 0,035
На рис. 2 представлена зависимость действительного угла поворота наружного управляемого колеса от угла поворота внутреннего колеса при указанных выше параметрах трактора и рулевой трапеции, а на рис. 3 - отклонение действительного угла поворота наружного управляемого колеса от теоретического угла его поворота (погрешность поворота наружного колеса) от угла поворота внутреннего управляемого колеса.
Анализ приведенных результатов показывает, что наружное управляемое колесо при шестизвенной рулевой трапеции во всем диапазоне поворота внутреннего управляемого колеса поворачивается на угол, меньший, чем теоретический. С увеличением угла поворота внутреннего колеса погрешность в повороте наружного колеса возрастает, достигая при максимальном угле поворота внутреннего управляемого колеса 6,70 (при четырехзвенной трапеции наибольшая погрешность достигала 3,80), т. е. увеличилась почти в 2 раза. Следовательно, шестизвенная рулевая трапеция, имеющая одинаковые с четырехзвенной трапецией углы установки рулевых рычагов и их длину, хуже обеспечивает согласование кинематики поворота трактора с кинематикой рулевой трапеции. Это повышает сопротивление движению трактора с шестизвенной рулевой трапецией на повороте, увеличивает износ шин и расход топлива по сравнению с трактором, на котором установлена четырехзвенная рулевая трапеция.
Поиск оптимального угла установки поворотных рычагов для шестизвенной рулевой трапеции осуществлялся по критерию: наименьшая сумма квадратов отклонений ХА2 = /(в) действительных углов поворота управляемых колес от теоретических углов поворота. Изменение этого критерия от угла установки рулевых рычагов показано на рис. 4.
Г
Г
Рис. 2. Зависимость действительного угла поворота наружного управляемого колеса от угла поворота внутреннего колеса: 1 - теоретическая зависимость; 2 - действительная зависимость
О 10 20 30 град 50
Рис. 3. Зависимость погрешности поворота наружного колеса от угла поворота внутреннего колеса
Из рис. 4 видно, что функция ДО) имеет примерно при 780 угла установки рулевых рычагов минимальное значение. Оптимальный угол установки поворотных рычагов для шестизвенной рулевой трапеции определялся методом золотого сечения и оказался равным 78,540.
После расчета оптимального угла установки рулевых рычагов, переходим к исследованию влияния длины рулевой сошки на кинематику шестизвенной рулевой трапеции (остальные параметры трапеции фиксированы, причем угол установки рулевых рычагов принимался равным оптимальному углу установки рулевых рычагов). Критерием приближения кинематики действительной шестизвенной рулевой трапеции к идеальной в зависимости от длины рулевой сошки являлась сумма квадратов отклонения ХА = /(ЇС) действительного угла поворота наружного управляемого колеса от его теоретического угла поворота.
Результаты этих исследований представлены на рис. 5. Из рисунка видно, что наибольшая погрешность кинематики шестизвенной рулевой трапеции наблюдается
при минимальной длине рулевой сошки, равной 0,2 м. С увеличением длины рулевой сошки от 0,2 до 0,27 м критерий 1Л убывает от 145,22 до 4,95 град2. При дальнейшем увеличении длины рулевой сошки до 0,35 м критерий 2Л возрастает от 4,95 до 14,84 град2. Такое изменение кривой 1,Л = /(1С) говорит о том, что при длине рулевой сошки, равной примерно 0,27 м, отмечается наилучшее совпадение кинематики действительной и идеальной рулевых трапеций. Поиск оптимальной длины рулевой сошки осуществлялся методом золотого сечения и оптимальная длина рулевой сошки оказалась равной
0,2695 м, при этом сумма квадратов отклонений действительных углов поворота наружного управляемого от нулевого значения до максимального угла поворота составила 4,9495 град2.
Еще раз отметим, что укороченная (по сравнению с оптимальной длиной) рулевая сошка дает большую погрешность в кинематике поворота управляемых колес, чем удлиненная рулевая сошка. Так, рулевая сошка, уменьшенная в 1,3 раза по сравнению
с оптимальной длиной сошки (длина сошки равнялась 0,2077 м), дает погрешность 96,29 град2, а удлиненная - в
1,3 раза (длина сошки - 0,35 м) дает
2
погрешность 14,84 град .
Рис. 5. Зависимость критерия ХА2 от длины рулевой сошки
Определив оптимальный угол установки рулевых рычагов и оптимальную длину рулевой сошки, исследуем кинематику шестизвенной рулевой трапеции
с этими оптимальными параметрами. Результаты представлены на рис. 6 и 7.
40
град
30
20
10
10
20
30
град
50
ОС;
Рис. 6. Изменение действительного угла поворота наружного управляемого колеса от угла поворота внутреннего колеса при оптимальных параметрах рулевой трапеции: 1 - теоретическая зависимость; 2 - действительная зависимость
Рис. 7. Зависимость погрешности поворота наружного колеса от угла поворота внутреннего колеса при оптимальных параметрах рулевой трапеции
Анализ результатов исследования показывает, что при оптимальных параметрах рулевой трапеции наружное управляемое колесо поворачивается на угол больше, чем при идеальной рулевой трапеции до угла поворота внутреннего колеса на угол 400.
Причем наибольшее отклонение
0,56460 наблюдается при повороте внутреннего колеса на угол 260. С увеличением угла поворота внутреннего колеса от 40 до 460 наружное колесо поворачивается на меньший угол, чем при идеальной трапеции, достигая максимальной погрешности 1,2 при повороте внутреннего колеса на угол 460.
Следовательно, у шестизвенной рулевой трапеции с оптимальным углом установки рулевых рычагов и оптимальной длиной рулевой сошки наибольшая погрешность поворота наружного управляемого колеса в 1,20 наблюдается при максимальном угле поворота внутреннего колеса 460, у трапеции с «серийными параметрами» погрешность составила 6,720 при максимальном угле поворота внут-
реннего колеса.
Дальнейшая оптимизация параметров шестизвенной рулевой трапеции (вынос оси рулевой сошки и расстояние «е») не проводилась, т. к. при оптимальном угле установки рулевых рычагов и оптимальной длине рулевой сошки достигнуто почти полное совпадение кинематики действительной и идеальной рулевых трапеций.
Заключение
1. Разработаны аналитические зависимости, позволяющие расчетным методом исследовать кинематику шестизвенной рулевой трапеции, что повышает точность и уменьшает время, необходимое для исследования кинематики рулевой трапеции.
2. Установлено, что для улучшения кинематики шестизвенной рулевой трапеции целесообразнее изменять углы установки поворотных рычагов, а не изменять их длину.
3. Оптимальные параметры рулевой трапеции можно определить одним
из методов оптимизации (в данной работе использовался метод золотого сечения), используя в качестве целевой функции минимум суммы квадратов отклонений действительного угла поворота наружного колеса от теоретического угла. Оптимальные углы установки рулевых рычагов для выбранных параметров рулевой трапеции и базы трактора равны 78,540, а оптимальная длина рулевой сошки - 0,27 м.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сазонов, И. С. Кинематика поворота колесного трактора с реальной рулевой трапецией / И. С. Сазонов, Ю. Е. Атаманов, С. Н. Тур-лай // Вестн. МГТУ. - 2003. - № 2. - С. 134-142.
2. Сазонов, И. С. Кинематика четырехзвенной рулевой трапеции и оптимизация ее параметров И. С. Сазонов, Ю. Е. Атаманов, С. Н. Турлай // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2007. -№ 1. - С. 40-46.
Белорусско-Российский университет Белорусский национальный технический университет
НПО «СЕЛТ» Материал поступил 18.02.2008
I. S. Sazonov, Y. E. Atamanov, S. N. Turlay Kinamatics of a 6-link steering trapezium and optimization of its parameters
Kinematics of 6-link steering trapezium is considered in the paper. Analytical dependences which allow detecting real turning angles of wheels of cars at set parameters of steering trapezium as a plain mechanism are proposed. It has been shown that for better match of kinematics of steering trapezium with an ideal one it is more reasonable to change angles of steering levers rather than length of the levers at the given angles. Influence of length of the steering lever on kinematics of 6-link steering trapezium has been detected. Using a golden section method, optimum angles of steering levers setting and optimum length of steering lever have been detected. They give the least error of turning angles of controlled wheels of the steering trapezium in comparison with the ideal steering trapezium.
