CC BY
74
94
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
шероховатости в 2,5-6 раз, увеличение несущей способности поверхности до 10 раз, упрочнение поверхностного слоя на 20-250%.
Список литературы
1. Безъязычный В. Ф. Влияние качества поверхностного слоя после механической обработки на эксплуатационные свойства деталей машин // Инженерный журнал. - 2001. - № 4. - С. 9-16.
2. Кузнецов В.П., Макаров А.В., Саврай Р.А. и др. Финишная обработка термоупрочненной высокохромистой стали однопроходным алмазным выглаживанием на токарно-фрезерном центре инструментом с узлом динамической стабилизации. Вестник научно-технического развития. № 5 (45), 2011 г. С. 20-36.
3. Никифоров А.Д. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. - М.: Высшая школа, 2000. - 510 с.
4. Макаров А.В., Коршунов Л.Г., Выходец В.Б., Куренных Т.Е., Саврай Р.А. Влияние упрочняющей фрикционной обработки на химический состав, структуру и трибологические свойства высокоуглеродистой стали / А.В. Макаров, Л.Г. Коршунов, В.Б. Выходец, [и др.] // Физика металлов и металловедение. - 2010. - Т. 110, № 5. - С. 530-544.
5. Суслов А.Г., Гуров Р.В., Тишевских Е.С. Отделочно-упрочняющая обработка поверхностным пластическим деформированием / А.Г. Суслов, Р.В. Гуров, Е.С. Тишевских // Упрочняющие технологии и покрытия. -2008. - № 9. - С. 20-21.
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАНИПУЛЯТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ MATHCAD
Капера Сергей Сергеевич,
студент кафедры механотроники, г. Днепропетровск Ащепкова Наталья Сергеевна,
канд. техн. наук, доцент кафедры механотроники, г. Днепропетровск
АННОТАЦИЯ
Определены особенности составления математических моделей при использовании пакета прикладных программ Mathcad. Рассмотрен пример решения прямых и обратных задач кинематики для трёхзвенного манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат. Ил.: 4. Библиогр.: 10 назв.
Ключевые слова: кинематическая схема, полюс схвата, преобразование координат, траектория движения.
Постановка проблемы. При решении задач кинематического анализа промышленных роботов (ПР) с помощью ЭВМ требуются программы численного решения трансцендентных уравнений и дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются функциями времени.
Возникла необходимость создания метода, как последовательности простых вычислительных процедур для решения подзадач, с использованием стандартного пакета прикладных программ, обеспечивающего эффективное проектирование ПР. Обоснована целесообразность использования Mathcad для решения задач динамического анализа и моделирования движения манипулятора ПР.
Анализ литературы. Манипулятор ПР обычно представляет собой открытую кинематическую цепь, жесткие звенья которой соединены кинематическими парами пятого класса [2]. Если кинематическая цепь не содержит внутренних замкнутых контуров, то число кинематических пар n определяет число степеней подвижности манипулятора [1, 2]. Положение кинематической цепи манипулятора определяют с помощью обобщенных координат qi (ОД' = 1,2,..л) характеризующих относительные перемещения в кинематических парах [1, 2, 5, 6].
Рассматривают следующие задачи кинематического анализа манипулятора: первая задача кинематики (прямая задача о положении манипуляторов), вторая задача кинематики (обратная задача о положении манипуляторов); и задачи динамического анализа манипулятора: прямая и обратная задачи динамики [1, 2, 5, 6]. Решение обратной задачи о положении манипулятора проводится как на этапе проектирования, так и на этапе синтеза управляющих воздействий [2, 6]. Следует учесть, что для манипуляторов с большим числом степеней подвижности возможно несколько наборов обобщенных координат,
обеспечивающих заданное положение особой точки. Выбор оптимального решения проводится исходя из дополнительных ограничений или критериев качества [2, 6].
Математическая модель манипулятора составляется методом Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера, с представлением систем координат в разомкнутых кинематических цепях методом Денавита-Хартенберга [1, 2, 6].
Порядок системы дифференциальных уравнений для математической модели, составленной методом Лагранжа-Эйлера, соответствует числу обобщенных координат манипулятора [6], что может вызвать определённые трудности у студентов. В математической модели составленной методом Ньютона-Эйлера всего два уравнения: второй закон Ньютона и уравнение Эйлера для углового движения [6]. Однако, метод Лагранжа-Эйлера является более универсальным и чаще используется при моделировании движений ПР на ЭВМ [3].
В задачах дипломного проектирования рассматривается перемещение манипулятором ПР нагрузки (заготовки, инструмента, контрольно-измерительных приборов) по заданному закону движения [4]. В зависимости от назначения манипулятора на разных участках траектории ПР могут изменяться параметры нагрузки: геометрические размеры, форма, распределение масс [3, 4]. Эти особенности следует учесть на этапе составления математической модели, поскольку коэффициенты дифференциальных уравнений являются функциями обобщенных координат манипулятора и зависят от закона движения и параметров нагрузки.
Для решения данной задачи на ЭВМ можно использовать языки программирования (Fortran, Pascal, C) или математические пакеты (Matlab, Mathcad). Численные методы решения инженерных задач реализуются в среде прикладных программ Mathcad [3, 4], которая характеризуется возможностью решения линейных и нелинейных
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
95
алгебраических, дифференциальных уравнений и систем уравнений; выполнением операций с векторами, матрицами и полиномами [2, 6].
Пакет прикладных программ Mathcad позволяет выполнить кинематический и динамический анализ, т. е. рассчитать координаты, скорость и ускорение звеньев [1, 3, 4]; вычислить силы и моменты, действующие на звенья; определить траекторию схвата манипулятора [1, 3, 4].
Цель статьи - разработка метода кинематического анализа манипулятора ПР в среде Маthсаd.
Исходными данными являются [4]:
• кинематическая схема манипулятора,
• геометрические размеры и плотности звеньев манипулятора,
• требуемый закон движения схвата манипулятора,
• начальное положение звеньев,
• информация о нагрузке.
C каждым звеном манипулятора свяжем правую декартову систему координат OiXiYiZi. Начало отсчета Oi расположим в центре шарнира, одну координатную ось
направим по оси шарнира, вторую координатную ось направим вдоль оси симметрии звена, третья координатная ось дополняет систему до правой [4]. Движение манипулятора ПР определяется изменением во времени обоб-q, (t)
щенных координат i , которыми являются углы поворота - во вращательных, и перемещения - в поступательных кинематических парах.
Составим алгоритм решения задачи кинематического анализа манипулятора с использованием пакета прикладных программ Маthсаd.
Кинематический анализ. Первая задача кинематики: задана кинематическая схема манипулятора и законы движения (законы изменения обобщенных коорди-q,■ (t), i = 1,2,..n4 с-
нат ^iW’ ’ ’ ) требуется определить положение
особой точки Р (например, полюса схвата) в системе отсчета, связанной со стойкой [2, 3, 5, 6].
Алгоритм решения:
1) составим матрицы преобразования координат методом Денавита-Хартенберга [2] для поступательных кинематических пар:
A (i, q)
1 0 0 + q + x 1 0 0 x 1 0 0 x
0 1 0 y 0 1 0 + q + y r 0 1 0 y
0 0 1 z Av(j,q) = 0 0 1 z Av (к, q) = 0 0 1 + q + z
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
для вращательных кинематических пар:
1 0 0 x Cosq 0 + Sinq x Cosq + Sinq 0 x
0 Cosq + Sinq y Aw(j, q) = 0 1 0 y Aw(k, q) = + Sinq Cosq 0 y
0 + Sinq Cosq z + Sinq 0 Cosq z 0 0 1 z
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
где x, y, z - координаты начала отсчета Oi+1 в системе координат OiXiYiZi.
2) на основании кинематической схемы манипулятора представим перемещение особой точки Р, как после-
довательность движений по каждой обобщенной координате. Составим цепочку перемещений от 0 - го звена (основания манипулятора) до n - го звена, относительно которого особая точка неподвижна. Например:
0
Aw (к, qi)
->1-
Av (к,q2)
->2-
Av (j,q3)
->3.. n -1
Av (i, qn)
n
(1)
3) определим положение точки Р манипулятора в системе координат связанной с n - ым звеном
Г? = (xp yp
с основанием ПР
T = A • A2 • A3 • An
где n ™ 1 2 " n1 - общая матрица преоб-
разования координат от n - го звена до 0 - го звена (осно-
z 1)T
p и в системе координат связанной вания манипулятора). Для рассматриваемого примера на
основании (1) получим
о? = f (q1(t), q2(t), ..., q„ (t)) = A1 ■ a? • a?3 • ..A- • rp = t„ ■ rp
Ao = Aw(k,q1> A12 = Av(k,q2> a2 = A(j,q3> An-1 = A0T,qn)
4) определим линейную скорость и ускорение особой точки в системе координат связанной с основанием
ГП
ПР. Учитывая, что p определяет положение точки Р n -
го звена в системе координат связанной с n - ым звеном, получим:
vP = rP = -
d <Tn r )= An
r£0 = a~„ =
dt
dr fc-? )=d? Tn
dt
dt
2 n 'p
n
n
P
Согласно [2]:
d„ A 5T— ST,
TJi =^T~ Ак dt к=1Ак • А к
Uik, к < i,
0, к > i;
Up
A • A2
d Ак
d4k
•..A-
A • Ad-.. • Oi-A/-1-..A-1
96
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
d
dt
Vijk =
-2T = '£'£V,k q:
j=lk=1
4 - 2 ■
d4i
dAk-
d4k
i TUj ■ qj j=1 II dUj dqk =
... Ak -1 ... Ak -2 dAkk-1 ...An- ъ j > k•
dqk
... Ai-1 d Ai-1 An- ь j < k•
... Ai-2 dqi
d2 Aj
A1 ■ A 2 ■ ■ Aj-1 ■ d A'-1
A0 Ai ... Aj-2
dq j
■An-i, j = k.
Вычислим производные матриц преобразования координат для поступательных кинематических пар:
d Av (i, q)
dq
■ = QV (i, q) =
"0 0 0 +1" "0 0 0 0 " "0 0 0 0 '
0 0 0 0 dA-y •q)-П, 0,q) = 0 0 0 +1 dA <‘,q) =n„ (*•,) = 0 0 0 0
0 0 0 0 dq 0 0 0 0 dq 0 0 0 +1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
d 2 Aj-i dq2
= Q2 = 0;
для вращательных кинематических пар:
d Aw (i• q)
dq
= Q w (i, q) ■ Aw (i• q) =
0 0 0 0 0 0 -10 0 10 0
1
0
0
0 Cosq + Sinq y 0 + Sinq Cosq z
d Aw(j• q)
dq
d Aw (k, q) dq
= ^ w(j• q> Aw(j• q) =
= QW(k,q) ■ Aw(k,q) =
0 0 0 0 - 00 0 1
" 0 0 1 0 Cosq 0 + Sinq x
0 0 0 0 0 1 0 y
-1 0 0 0 + Sinq 0 Cosq z
0 0 0 0 0 0 0 1
"0 -1 0 0" Cosq О +i x
1 0 0 0 + Sinq Cosq 0 y
0 0 0 0 0 0 1 z
0 0 0 0 0 0 0 1
= Cli (Г. q) =
dq 2
"0 0 0 0" 1 0 0 0"
0 -1 0 0 d2 Aw=nw (],q) = 0 0 0 0
0 0 -1 0 dq 2 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
d ^2•q) =Q2(k-,q) =
dq2 w
-10 0 0
0 -10 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Угловые и линейные скорости особых точек звеньев манипулятора можно определить по рекурсивным формулам [6] для вращательной кинематической пары
®»= ® »-1+h-1 ■q»• V=®«x p+V+1,
для поступательной кинематической пары
,■ = ® ,■+1 V = 5+1 ■q+® ix p+V+1
где
®i• ®i+1
- векторы угловых скоростей i-го и i+1 -го зве-
V V ,
’ i,r i+1
ньев манипулятора; i ’ i+1 - векторы линейных скоростей i-го и i+1-го звеньев манипулятора; q‘ • q‘ - матрицы столбцы обобщенной координаты и обобщенной скорости; l+1 - радиус-вектор от оси вращения угловой обоб-
2
i i
2
x
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
97
щенной координаты до особой точки i+1-го звена манипулятора; P - радиус-вектор особой точки i-го звена манипулятора в системе координат OiXiYiZi.
На этом алгоритм решения прямой задачи кинематики завершен.
Вторая задача кинематики (обратная задача о положении манипуляторов): задана кинематическая схема манипулятора, известны положение и ориентация схвата для
Алгоритм решения: шаги 1) - 4) повторяют соответствующие шаги алгоритма решения первой задачи кинематики.
Qi (tm), i = 1,2,.. Л .. ,
5) вычисления ’ 5 проведем по фор-
муле:
гр
=Tn Г1 • Грр
(3)
для момента времени m можно записать:
момента времени tm в системе координат связанной с основанием ПР. Требуется определить значения обобщенных координат <Qi ('m ^ i = 1,2,. Л, обусловленных заданно
ным положением схвата P . Согласно [2 - 4] задать положение схвата, как и любого твердого тела можно с по-
рех линейных
a(t), Р(0, l(t)
x(t), y(t), z(t)
мощью трех линейных v' и трех угловых ко-
ординат
rP = f (tm, x(tm X y(tm X z(tm X a(tm X P(tm X l(tm )) ,
Tn = F(tm, Ql (tm X Q2 (tm ),.Qi (tm ),.Qn (tm )) ,
т. е. уравнение (3) в общем случае представляет собой систему шести нелинейных уравнений
x(tm ) F1 (tm , Q1 (tm ), q2 (tm ), — Ai (tm X .. Qn (tm ) , y(tm ) = F2 (tm , Q1 (tm ), q2 (tm ), — Ai (tm X ..Qn (tm ) , z(tm ) = F3 (tm , Ql (tm X Ъ (tm X -A, (tm l-Qn (tm ) , a(tm ) = F4 (tm, Ql (tm X Ъ (tm X -Аг (tm l-Qn (tm ) , P(tm ) = F5 (tm, Q1 (tm X Q2 (tm X ..-4i (tm '),..^ln (tm ) , y(tm ) = F6 (tm , Ql (tm X Ъ (tm X -A, (tm X-Qn (tm ) .
Метод решения (4) зависит от количества обобщенных координат манипулятора. Если n=6, система имеет единственное решение; при n>6 одному и тому же положению схвата могут соответствовать различные наборы значений обобщенных координат. Если n<6, то решение существует для ограниченного множества положений схвата; т.е. рабочая зона манипулятора имеет ограничения. Системы уравнений вида (3, 4), дополненные ограничениями, эффективно решаются в среде Mathcad.
Пример. Проиллюстрируем применение данного алгоритма. Кинематическая схема манипулятора ПР представлена на рис. 1. Предположим, что известны законы из-
менения обобщенных координат
q1(t) = 01t2 + 0.01/
g2(t) = 0.025t + 0.1
Q3(t) = 0.03t + 0.15
начальные поло-
q1(t0) = 0 q2(/0) = 0.1
жения звеньев манипулятора 1 0 , 2 0 ,
bih) =015; в системе X2Y2Z2 координаты полюса схвата в начальный момент времени P (0; 0.3; 0).
Требуется определить: координаты, скорости и ускорения полюса схвата при реализации заданных законов изменения обобщенных координат; вычислить значения обобщенных координат соответствующие заданным координатам полюса P (xk; yk; zk).
Zh Z0
Xi
.* Yo
Qi
fe';--
4-
Рисунок 1. Кинематическая схема манипулятора.
Z
A
Y
Решение. В каждой кинематической паре введем правые системы координат XiYiZi. Составим цепочку перемещений от 0 - го звена (основания манипулятора) до 3 - го звена, относительно которого особая точка неподвижна:
0 Aw(k,41) ^ 1 Av(k,g2) ^2 Av(j,q3) ч,з
Составим матрицы преобразования координат Де-навита-Хартенберга [2, 3. 6] для манипулятора кинематическая схема которого приведена на рис. 1:
98
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
A2 —
"1 0 0 0 ' '1 0 0 0 ' Cos q1 (t) - Sinq1(t) 0 0'
0 1 0 %(t) A2 — 0 1 0 0 A — Sinq1(t) Cos q1 (t) 0 0
0 0 1 0 0 0 1 42(t) 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
На рис.2 представлено решение прямой задачи о положении манипулятора с использованием пакета прикладных программ Mathcad.
Определим скорость и ускорение движения точки Р
схвата манипулятора, выполняя операцию символьного
r * — v r ^ — a
дифференцирования вектора координат P P, P P (рис.3).
Рисунок 2. Решение прямой задачи о положении манипулятора с использованием пакета прикладных программ
Mathcad.
Рисунок 3. Определение скорости и ускорения движения точки Р схвата манипулятора с использованием пакета
прикладных программ Mathcad.
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 6 (15), 2015 | ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
99
Решение обратной задачи о положении манипулятора с использованием встроенной функции Given пакета прикладных программ Mathcad представлено на рис. 4.
^ Mathcad Professional - [статья_15.тссЗ]
о) Файл Редактирование Просмотр Вставка Формат Математика Сим
О’йн аа? а
т в
Хк := 0.067 Yk := 0.445 qlk := 0 q2k := 0 Given
Zk := OJ75 q3k := 0
Хк = -sin(qlk)q3k Yk = cos(qlk)q3k
Zk = q2k
FF := Fmd(qlk.q2k.q3k)
FF =
-0.W9
OJ75
0.45
Рисунок 4. Решение обратной задачи о положении манипулятора с использованием пакета прикладных
программ Mathcad.
Выводы. Проведение кинематического анализа по представленному алгоритму позволяет формализовать процесс вычислений, уменьшить затраты учебного времени и сократить количество ошибок.
Список литературы
1. Ащепкова Н. С. Моделирование и кинематический анализ кривошипно -шатунного механизма / Н. С. Ащепкова // Вюник НТУ “ХПГ\ - Харшв: НТУ “ХПТ. - 2014. - № 62. - С. 3-12. Механика промышленных роботов. Кн.. 1. Кинематика и динамика: учеб. пособие / Е. И. Воробьев, С. А. Попов, Г. И. Шевелёва. / под. ред. К. В. Фролова, Е. И. Воробьева. - К.: Вища школа, 1988. - 304 с.
2. Бурдаков С. Ф. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов / С. Ф. Бурдаков, В. А. Дьяченко, А. Н. Тимофеев // М.: Высшая школа, 1986. - 264 с.
3. Котлярский Л. Н. Mal^ad. Решение инженерных и экономических задач / Л. Н. Котлярский - СПб.: Питер. - 2005. - 388 с.
4. Кудрявцев Е. М. Mathcad 2000 Pro / Е. М. Кудрявцев - М.: ДМК Пресс. - 2001. - С. 530-540.
5. Сокол Г. I. Теорiя механiзмiв робототехшчних систем. Кшематика: Навч. поабник / Г. I. Сокол. -Дншропетровськ: РВВ ДНУ, 2002. - 92 с.
6. Шахинпур М. Курс робототехники. Пер. с англ. / М. Шахинпур. -М.: Мир, 1990.-527 с.
О СПОСОБАХ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ КАВИТАЦИОННЫХ ПОТОКОВ
Капранова Анна Борисовна
Доцент, докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической механики ФГБОУ ВПО «Ярославский
государственный технический университет», г. Ярославль
Солопов Сергей Александрович Инженер-расчетчик, ЗАО «НПО Регулятор», г. Ярославль Мельцер Александр Михайлович Генеральный директор, ЗАО «НПО Регулятор», г. Ярославль
АННОТАЦИЯ
Целью настоящей работы является обзор существующих способов математического описания процесса формирования кавитационных потоков в средах различной природы. Соответствующий анализ литературных источников выявил два основных подхода к указанной проблеме - стохастический и детерминированный. Целесообразность их применения зависит от стадии кавитации, в частности, образование кавитирующих пузырей описывается кинетическими уравнениями, а этапы развития данного процесса и роста пузырей - в рамках гидродинамики.
ABSTRACT
The purpose of this paper is to review the existing methods of mathematical description of the process of cavitation flow formation in mediums of different nature. The corresponding literature analysis identified two basic approaches to the mentioned problem - the stochastic and deterministic. Reasonability of their use depends on the cavitation stage, in particular the formation of cavitation bubbles is described by kinetic equations, and the stages of development of the given process and bubble growth are as part of hydrodynamics.
Ключевые слова: кавитация, модель, кинетические уравнения, методы гидродинамики.
Keywords: cavitation, model, kinetic equations, methods of hydrodynamics.
Интенсификация технологических процессов, свя- токов в условия пониженного давления в некоторой облазанных с течением жидкостей, часто напрямую зависит от сти движения жидкостной среды вследствие достижения решения проблемы кавитации - эволюции разрывных по- значительных скоростей (гидродинамической кавитации)
