CC BY
93
УДК 681.5
Д.Ю. Петров НАДЕЖНОСТЬ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ РОБОТОВ
Предложена методика оценки надежности манипуляционных роботов (МР), разработанная на основе вероятностной кинематической модели. Данная методика позволяет получить статистический критерий качества работы манипулятора. Дано описание связи показателей надежности с технологическими допусками и с конфигурационными параметрами манипулятора. В качестве численного примера найдены показатели надежности двухзвенного плоского манипулятора и приведен анализ факторов, влияющих на надежность.
D.Yu. Petrov MANIPULATIVE ROBOTS RELIABILITY
The technique of manipulation robots reliability estimation, developed on a basis of probability kinematical model is offered here. The given technique allows receiving statistical criterion of the manipulator work quality. The description of communication of reliability parameters with the technological admissions and with configuration parameters of the manipulator is given in this article. As a numerical example the parameters of reliability of two-element flat manipulator are found and the analysis of the factors influencing reliability is given here as well.
Введение
Надежность работы МР является одним из основных показателей качества их эксплуатации. В большинстве публикаций, вышедших к настоящему времени, отражены отдельные исследования, в которых рассматриваются вероятностные модели механизмов с замкнутой кинематической цепью. Однако вероятностный анализ функционирования механизмов с разомкнутой кинематической цепью (в том числе и МР) освещен недостаточно. К этому направлению и относится настоящая работа.
В работе применяется вероятностный подход к построению кинематической модели МР. Предлагается анализ оценки надежности МР, позволяющий сформировать статистический критерий качества работы манипулятора, а также представлена методика расчета оценки надежности. В основу методики положена гипотеза о нормальном (по Гауссу) распределении случайных величин, являющихся кинематическими параметрами МР.
В качестве конкретного примера проведен расчет надежности двухзвенного плоского МР с применением аналитического метода расчета, а также метода статистических испытаний (цифрового моделирования).
1. Кинематика манипуляционного робота
Выберем кинематическую схему функционирования МР, предполагающую определение изменения его пространственной конфигурации. Данная конфигурация МР определяется зависимостями между обобщенными координатами, с одной стороны, а также положением и ориентацией рабочего органа (РО) МР - с другой, в известной функции времени.
Для описания вращательных и поступательных связей между соседними звеньями МР Денавит и Хартенберг [1] применили метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи. Рассмотрим схему двухзвенного узла МР с тремя кинематическими парами (КП) (данная схема графически представлена в монографии [2, с.131]).
По Денавиту - Хартенбергу, каждому звену (кинематической паре) соответствуют четыре геометрических параметра. При этом расстояние и угол 9г между осями хг,хг-1 систем осей координат, связанных с соседними звеньями, устанавливают относительное положение, а длина аг и угол аг между координатными осями гг,гг-1 (угол поворота звена) определяют структуру звеньев.
Для вращательной КП величины аг, аг, ф являются параметрами сочленения, а 9г -
обобщенной координатой. Для поступательной КП величины аг,
а,,
9, являются
параметрами сочленения, а ё, - обобщенной координатой.
Определение конфигурации МР, т.е. нахождение положения и ориентации его звеньев по заданным параметрам механической руки и обобщенным координатам, является прямой задачей кинематики ([2, с.29]). Эта задача решается путем применения известного векторно-матричного аппарата, в котором используются системы ортогональных координатных базисов, связанных с соответствующими звеньями МР.
Относительное положение двух смежных звеньев МР можно характеризовать, применяя однородную матрицу преобразования (матрицу преобразования по Денавиту -Хартенбергу [1]; см. также [2, с.57]), имеющую следующую структуру
D:
7—1
Г 4 А А * а4
0 I,
(1)
Здесь блочные матрицы имеют вид
Л,. =
СОБ 9, БІЙ 9,
0 =
1
В
В, = [— соб а, бій 9,, соб а, соб 9,, бій а,
дА
да, 0Ґ.
Матрица Дч связывает координатные ортобазисы, имеющие номера г, с
координатным ортобазисом номера г-1. Тогда конфигурация МР определяется результирующей матрицей («матрицей манипулятора» [2, с.60])
Т
Б Б2.
В”
ип
П Б—1
,=1
(2)
где БЦ - матрица структуры (1); п - число сочленений манипулятора. Матрица Т (2) может быть представлена в виде
п ? а р
Т
0 0 0 1
где в первой строке содержатся векторы нормали к РО, касательный вектор РО (вектор ориентации), вектор подхода РО и вектор его положения, соответственно. При этом упорядоченная совокупность (п, 5, а) образует тройку векторов правой ориентации [3].
*
I
2. Классификация вероятностных погрешностей
В процессе работы МР при управлении его движением заданные параметры конфигурации (положения и ориентации) звеньев преобразуются в соответствующий упорядоченный набор обобщенных координат. Это преобразование является результатом решения обратной задачи кинематики. Информация о полученном наборе координат направляется в управляющее устройство, формирующее исполнительные сигналы для приводов, находящихся в сочленениях МР. Данные приводы обеспечивают заданные перемещения звеньев, в результате чего формируется конфигурация МР.
При практической реализации данного алгоритма возникает определенное расхождение между заданной и фактически полученной конфигурацией МР, обусловленное возникающими погрешностями (ошибками). Приведем основные возможные причины возникновения этих погрешностей.
Производственно-сборочные погрешности
Отклонения кинематических параметров руки МР от номинальных могут быть вызваны производственными и сборочными допусками. Эти отклонения могут быть минимизированы заданием минимально возможных допусков. Практически такой подход неприемлем ввиду связанных с этим больших издержек производства. Альтернативой такому подходу является определение максимально точных значений кинематических параметров путем применения адекватных методов идентификации. Однако это, в свою очередь, потребует использования сложных измерительных устройств. Помимо этого, процедуры измерений являются трудоемкими и малоэффективными для применения в массовом производстве. Поэтому для определения параметров каждого МР, сходящего со сборочной линии, их использование неприемлемо. При этом следует отметить, что даже абсолютно точное измерение параметров МР не может идеально обеспечить его заданную конфигурацию ввиду систематически возникающих случайных ошибок в полученных значениях обобщенных координат его элементов.
Погрешности приводов и алгоритмов управления
Погрешности этого вида порождаются рядом причин, среди которых существенное значение имеют следующие: наличие зазоров в зубчатых передачах, упругость зубчатых передач, систематические ошибки двигателей приводных устройств, а также накопление погрешностей, вызванных округлениями значений параметров в алгоритмах управления.
Все эти погрешности вызывают тенденцию дрейфа значений обобщенных параметров МР. Частичной компенсации этих погрешностей можно достичь установкой в кинематических парах датчиков, передающих считываемую ими информацию о фактических значениях обобщенных координат в канал обратной связи. Поскольку разрешающая способность датчиков реально ограничена, то такого рода погрешности полностью исключить невозможно.
Погрешности, обусловленные зазорами в подшипниках
Погрешности этого рода влияют на величины кинематических параметров МР и для различных типов КП построены соответствующие им математические модели погрешностей, возникающих при работе МР.
Все вышеупомянутые погрешности имеют вероятностную природу. Однако существуют погрешности, не носящие случайного характера. К таким погрешностям относятся, в частности, погрешности, обусловленные упругой деформацией звеньев МР. Эти погрешности относятся к существенным для малогабаритных МР, работающих с большими скоростями. Однако для большинства МР с достаточно жесткими звеньями погрешности данного рода являются малосущественными.
Если отклонения кинематических параметров отдельного МР от заданных (номинальных) являются пренебрежимо малыми, так что их вероятностное распределение соответствует изменениям кинематических параметров целого класса МР данного типа, то такого рода погрешности по характеру являются глобальными.
Как известно, каждый конкретный МР имеет индивидуальные систематические ошибки измерения обобщенных координат. Вследствие этого данные ошибки можно считать локальными. Распределения этих погрешностей отвечают не только дрейфу обобщенных координат данного конкретного МР, но и отклонениям, соответствующим определенному классу МР.
Рассмотрим вопрос о классифицировании типов надежности функционирования МР в зависимости от характера выполняемых ими операций. Под надежностью МР понимается вероятность попадания значений параметров, совокупность которых характеризует конфигурацию (положение и (или) ориентацию) МР, в диапазон требуемых значений. Назовем диапазон требуемых значений данных параметров областью допустимых значений (ОДЗ). Размеры и конфигурация ОДЗ определяются назначением МР и особенностями его конструкции.
Анализ широкого класса ОДЗ позволяет выделить следующие основные типы надежности МР.
Этот тип надежности можно подразделить на следующие подтипы.
Надежность типа Р-1 (Ро8Шоп-1)
Предполагается, что РО МР-схват расположен в плоскости, параллельной рабочей плоскости. В этом классе надежности на положение схвата в плоскости его расположения налагаются более жесткие допуски, чем на его расстояние от рабочей плоскости.
Рассмотрим конкретный случай, при котором МР выполняет операцию по наведению и завинчиванию винта в отверстие с резьбой. Примем, что рабочая плоскость расположена ортогонально оси отверстия, а ось винта параллельна оси отверстия. Тогда ось винта должна быть расположена максимально близко к оси отверстия. При выполнении этих условий до контакта винта с окрестностью резьбового отверстия расстояние от винта до отверстия не играет существенной роли. В этом случае допуски можно определить как максимальное удаление Л1 оси отверстия от оси винта. Тогда ОДЗ будет являться прямым круговым цилиндром радиуса Л1, соосным с резьбовым отверстием. Надежность, соответствующая ОДЗ данного вида, определяется как надежность типа Р-1.
Определим выражение для величины смещения оси винта относительно оси резьбового отверстия (Л1)а. Пусть в заданном координатном ортобазисе точка
пересечения резьбового отверстия с рабочей плоскостью определяется координатами (х0, у0, г0), а фактическое положение схвата МР-координатами (хг, уг, гг). Зададим рабочую плоскость уравнением [3]
где А1, А2, А3 - координаты направляющего вектора оси резьбового отверстия; (х, у, г) -координаты текущей (произвольной) точки этой плоскости. Тогда
3. Классификация надежности манипуляционного робота
3.1. Надежность по положению (Position)
Al(x - Xo) + A2(y - yo) + Аз(z - Zo) = ^
(4)
В формуле (5) обозначено:
Таким образом, надежность типа Р-1 определяет вероятность реализации значения (Л1 )а < Л1, где величина (Л1)а определяется равенством (5).
Надежность типа Р-2 (Ро8Шоп-2)
Этот класс надежности предусматривает наложение более жестких требований к допускам на расстояние РО до рабочей плоскости, чем требования к допускам, налагаемым на положение РО в плоскости, параллельной рабочей плоскости. Типовым примером такого рода операций является процесс металлонапыления поверхностей деталей, когда наконечник (сопло) распылителя должен располагаться на заданном расстоянии от напыляемой поверхности. При этом положение самого распылителя на плоскости, параллельной рабочей плоскости, имеет второстепенное значение.
Пусть <ф> - номинальное или среднее значение расстояния от РО до рабочей плоскости, а ЛФ - величина заданного допуска на данный параметр. Тогда расстояние от РО до рабочей плоскости определяется как <Ф>±ЛФ и ОДЗ в этом случае является полосой, параллельной рабочей плоскости, шириной 2ЛФ, срединная плоскость которой отстоит на расстоянии <Ф> от рабочей плоскости. Надежность, соответствующая ОДЗ данного вида, классифицируется как надежность типа Р-2.
Обозначим (хф, уф, гф) координаты точки в заданном координатном ортобазисе, совпадающей с требуемым положением РО, находящемся на расстоянии <Ф> от фиксированной плоскости, определяемой уравнением (4). Тогда [3]
где координаты (хг, уг, гг) определяют фактическое положение РО, а параметры |А|, Б находятся по формулам (6).
Обозначив через (±ЛФ) заданный допуск на значение параметра <Ф>, заключаем, что надежность типа Р-2 определяет вероятность реализации величины Фг, вычисляемой по формуле (7), в интервале значений (< Ф > -Л Ф, < Ф > +Л Ф) .
Надежность типа Р-3 (Ро8Шоп-3)
Классификация надежности типов Р-1 и Р-2 не предусматривает наложения ограничений на положение РО, ни в заданной плоскости, ни вдоль заданной линии. Однако существуют конвейерно-сборочные операции, при выполнении которых требуется полностью ограничить положение РО. К такого рода операциям относятся, в частности, манипуляции, выполняемые при сборке микросхем и при точечной сварке на рабочей плоскости. В качестве допусков при этом можно задавать максимальные отклонения координат (х,у, г) положения РО от их средних значений (±Лх, ±Лу, ±Лг), а в качестве ОДЗ принять область в виде прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер 2(Лх,Лу,Лх), центр которого совпадает с требуемым положением РО. Надежность, соответствующая ОДЗ данного вида, определяется как надежность типа Р-3.
Надежность данного типа при заданной ОДЗ понимается как вероятность реализации параметров (хг, уг, гг), значения которых реализуются внутренними точками
< Ф >= |А| 1[Б - (Дхф + А2уФ + А3)].
Фактическое расстояние от РО до рабочей плоскости определяется равенством
Фг - \А\ [Б - (А1 хг + А2уг + А3^
(7)
ОДЗ:
хФ - Лх < хг < хФ + Лх,
ул-лу <уг <ул + лу, -Лг < + Лг.
Таким образом, из трех рассмотренных типов надежности надежность типа Р-3 обеспечивает наибольший запас, так как при одних и тех же условиях она имеет наименьшее значение.
3.2. Надежность по ориентации (Orientation)
Этого рода надежность определяется только по отношению к погрешностям ориентирования РО. Ориентация РО МР полностью определяется векторным ориентационным базисом R = (n, s, а), входящим в подматрицу матрицы Т (3) преобразования координат РО в уравнении (2).
Данный тип надежности можно подразделить на следующие подтипы в зависимости от способа задания ограничений на ориентацию.
Надежность типа О-1 (Orientation-1)
При выполнении МР некоторых операций (например, при сверлении отверстий) для обеспечения выполнения цели достаточно задать только один из ортов ориентационного базиса R. Тогда для определения ОДЗ достаточно задать минимально и максимально допустимые значения направляющих косинусов выбранного из R вектора относительно основного координатного базиса.
В случае, когда фактические значения направляющих косинусов находятся в заданных пределах, ориентация РО приемлема для достижения поставленной цели операции.
Таким образом, надежность типа О-1 определяет вероятность реализации фактических значений направляющих косинусов в указанных допустимых пределах.
Надежность типа О-2 (Orientation-2)
Для выполнения ряда высокоточных сборочных операций требуется задать полную ориентацию РО в основном координатном базисе. Это приводит к необходимости задать все три вектор-параметра базиса R, например, углы Эйлера ф, 9, у.
Соотношения связи между углами Эйлера и координатами ортов базиса R могут быть получены методом обратных преобразований, связанных с базовой матрицей ортобазиса R
n s a
x x x
ny s ay
y y y
n s, a.
при решении обратной задачи кинематики в эйлеровых координатах. Решение этой задачи неоднозначно и, в зависимости от применяемого способа, приводит к следующим группам ([З, с.7З,74]).
Первая группа
ф = ATAm(ax ,-ay х
0 = ATAN 2(ax sin ф - ay cos ф , a,), (В)
у = ATANЗ(-sx cos ф - sy sin ф , nx cos ф + ny sin ф).
Вторая группа
ф = ATAN З(пу cos у - sy sin у, nx cos у - sx sin у),
0 = ATA^n sin у + sz cos у, a,), (9)
у = ATAm(n,, s,).
Здесь ATAN - специальная обратная тригонометрическая функция [З], однозначно определяющая значения углов Эйлера, полученных в результате обратного преобразования.
Соотношения (В), (9) обеспечивают устойчивый вычислительный алгоритм и впервые получены в работе [4].
_ z
z
z _
Если задать максимально допустимые отклонения значений углов Эйлера от их средних значений, то вероятность попадания фактических значений этих углов в ОДЗ определит надежность типа О-2.
3.3. Полная надежность
Для большинства случаев промышленного применения МР при определении суммарной (полной) надежности требуется определить надежность как по положению, так и по ориентации в комплексе. В частности, при выполнении МР операции по наведению и завинчиванию винта в отверстие с резьбой для определения полной надежности следует комбинировать надежности типов Р-1 и О-1. Это обусловливает вероятность одновременного попадания параметров положения и ориентации РО в пределы их соответствующих ОДЗ так, как это было установлено при классифицировании надежностей типов Р-1 и О-1.
4. Расчет надежности манипуляционного робота
Как известно, надежность работы МР можно рассчитать путем применения либо аналитического, либо численного метода, в частности, метода численного моделирования. Приведем описание применения каждого из этих методов.
4.1. Применение аналитического метода
Применение этого метода предполагает предварительное построение аналитической вероятностной модели кинематики МР. В основу данной модели положена центральная предельная теорема теории вероятностей ([5, с.454]; [6, с.506]). В силу этого примем, что параметры, определяющие положение и ориентацию РО, соответствуют закону нормального совместного распределения вне зависимости от распределений кинематических параметров и обобщенных координат.
Алгоритм применения данного метода сводится к следующему. Определяются вероятностные параметры: математические ожидания, дисперсии а2, ковариации а параметров конфигурации РО. Для этого применяются кинематические уравнения МР, связывающие его кинематические параметры и обобщенные координаты с параметрами конфигурации. На основе найденных величин строится описание функции нормального совместного распределения.
Математические ожидания параметров конфигурации РО МР определяются на основе математических ожиданий случайных величин кинематических параметров и обобщенных координат. Величины дисперсий и ковариаций параметров определяются с применением правила частных производных.
Найденные величины математических ожиданий, дисперсий и ковариаций позволяют определить функцию плотности вероятностей двумерного нормального совместного распределения. Это дает возможность найти надежность МР путем интегрирования по ОДЗ найденной функции плотности вероятностей нормального совместного распределения.
При использовании данного алгоритма в рамках аналитического метода следует учитывать некоторые особенности, сводящиеся к следующему. Применение правила частных производных привносит дополнительные погрешности; они обусловлены усечением разложений соответствующих функций в ряды Тейлора в окрестности математических ожиданий. Кроме того, дополнительные погрешности вносятся и в результате выполнения двойного интегрирования по ОДЗ функции плотности вероятностей. Эти факторы снижают точность ожидаемого результата вычислений.
4.2. Применение метода статистических испытаний
В целях оценки достоверности результатов расчета надежности МР, полученных аналитическим методом, применяется альтернативный ему метод - метод статистических испытаний. Алгоритм применения этого метода состоит в следующем.
1. Первоначально устанавливается множество случайных величин, к которым относятся кинематические параметры МР и его обобщенные координаты.
2. Затем принимаются законы распределения вероятностей случайных величин. В дальнейшем для всех случайных величин принимается нормальное (гауссово) распределение вероятностей, одномерная предельная форма которого представляется плотностью распределения вида [7]
ф(х) = ■
1
а
ехр
1 ( х - а
2 V а
(- да < х < +да),
(10)
где а, а - математическое ожидание и стандартное отклонение независимых одинаково распределенных случайных величин, соответственно.
3. Следующим шагом на основе принятого закона распределения вероятностей находятся значения вероятности каждой случайной величины, в результате чего определяется совокупность случайных величин, позволяющая установить конфигурацию области возможных значений (ОВЗ) параметров РО.
4. Определяется конфигурация ОВЗ параметров РО.
5. Определяется исход каждого отдельного статистического испытания путем проверки принадлежности значений параметров конфигурации ОВЗ РО соответствующей ОДЗ.
Повторяя последовательно все предыдущие шаги данного алгоритма, следует провести достаточно много таких испытаний. В результате надежность Ж определяется равенством
(11)
где п*, п - количество успешных испытаний и количество всех проведенных испытаний.
Получением соотношения (11) завершается одношаговая процедура цифрового моделирования. В целях повышения достоверности результата количество таких шагов должно быть достаточно большим.
5. Надежность двухзвенного плоского манипуляционного робота
Применим описанные выше алгоритмы для расчета механизма, схема которого представлена в полярных координатах г, 9 на рис. 1 ([2, с.117]).
2
Рис. 1. Схема двухзвенного плоского манипулятора
Конфигурационные параметры МР 11,12,91,02 изначально предполагаются независимыми случайными величинами, распределенными по закону Гаусса (10).
Положим: 11 = 0,12 1, 12 = 0,06 1, а(11) = а(12) = 10-41,
а(91) = а(-02) = 1,745 -10-3 8аа, где а - символ стандартного отклонения заданных величин от их номинальных значений. Тогда надежность МР определяется как вероятность Р(г, 99) попадания параметров его конфигурации в ОДЗ - кольцевой сегмент с размерами (2Дг, 2Д9), рис. 2:
Ж = Р[г-Дг < г < г + Дг, е-Д9<9<е + Д9], (12)
где (Дг, Д9)>0.
Рис. 2. ОДЗ параметров манипуляционного робота на координатной плоскости
В формуле (12) и всюду в дальнейшем черта сверху - символ математического ожидания данной величины.
В численных расчетах, приведенных ниже, принято: Д г = 3 -10-4 1,
Д9 = 2,91 -10-3 8аа .
5.1. Применение аналитического метода
Применим алгоритм аналитического метода. Координаты положения РО М(гМ, 9М) определяются равенствами
гм = (12 + 12 + 21/2С^ 92 ) 2 1
бій |91 - 9м | = — бій |921,
(13)
следующими из схемы (рис. 1).
Вычислим двумерную функцию плотности вероятностей нормального совместного распределения р(г, 9) величин гм, 9м. Для этого следует вычислить математическое ожидание М (гм, 9м ) = (гм, 9м ) и дисперсии а;:, а9, применяя, в силу (13), соотношения
гм = (12 +12 -2112 соб92)2, бій|91 -9м| = з^бій|9.
12
2
аг
= 1
22 л а рі, а9 2
V дРі )к і=1
V дРг ) к
ар
аг 9 = 2
гм
(дг ^
и/ я
(14)
2
2
г=1
г=1
к
В равенствах (14) следует принять: р\=1\, р2=12, р3=9ь р4=92, а нижний индекс «£» относится к значениям частных производных, вычисленным в точках области, соответствующих математическим ожиданиям.
Двумерная функция плотности вероятностей нормального совместного распределения величин гМ, 9М согласно равенствам (14), определяется соотношением ([6, с.520]).
Ф (rM, 9м) =-------1 I 2 Ф (P, rM, 9M), (15)
2паг а9Л/1 -р2
где
Ф(Р, гм, 0м) = exp В равенстве (15) обозначено
ол 1 2, — 2PuU + u02)
2(1 -р )
r — r 0 — 0
_ fM fM „ _ UM UM _ _
r ’ M0 _ ’ P _
Согласно выражению (16) надежность МР определяется соотношением
w0
W = Id0M \^>(rM>0M) drM > (16)
- W0 — Wr
где wr = , w0 =
r
Численный расчет величины Ж (16) для принятых выше конфигурационных параметров проведен с помощью системы МаШсаё 2001. Результаты вычислений, проведенных данным методом, представлены в таблице (а = 9Х -9М ) .
При расчете величины Ж (16) дополнительно учитывается условие ГМ ^ А + 12 . При невыполнении этого условия значению функции ф(гМ, 9М) присваивается нуль. Это позволяет провести расчет, исключив нереализуемое событие ГМ > А + 12 , которое возможно для первого набора исходных данных, приведенного в таблице.
Надежность двухзвенного плоского манипуляционного робота
°r0
r
0
r0
W
№ Математические ожидания Надежность W
01, рад 02 , рад rM , м 0M , рад Аналитический метод Усредненные значения цифрового моделирования
а > 0 а < 0 а > 0 а < 0
1 0 0 0,180 0 0 0,427969 0,427969 0,427853
2 п/4 -п/4 0,168 0,53 1,041 0,836816 0,844288 0,841234
3 0 п/2 0,134 0,464 -0,464 0,825502 0,825502 0,825712
4 п/6 п/3 0,159 0,857 0,190 0,810446 0,857215 0,834318
5.2. Применение метода статистических испытаний
Цифровое моделирование с применением этого метода предусматривает генерирование нормально распределенных случайных чисел. Расчет надежности МР для каждой его конфигурации производится на основе результатов большого количества экспериментов. Результаты цифрового моделирования, усредненные по модельным группам, приведены в таблице.
Сопоставление с аналитическим методом
Расхождение в показателях надежности, полученных каждым из примененных методов для данной конфигурации МР, обусловлено наличием суммарных погрешностей,
различных для каждого из этих методов. Никакой из данных методов при одинаковых принятых предпосылках не имеет явно выраженного предпочтения перед другим.
Применение аналитического метода неизбежно связано с последовательным накоплением погрешностей в процессе вычислений. При этом суммарная погрешность пропорциональна количеству выполненных вычислительных операций. Помимо этого, при использовании этого метода на точность вычисления влияют факторы, отмеченные выше (применение правила частных производных при вычислении вариаций, а также приближенное вычисление интеграла (16)).
Факторы, влияющие на надежность
Степень надежности МР, согласно равенству (16), измеряется вероятностью, полученной путем интегрирования функции плотности вероятностей, которая, в свою очередь, есть функция математических ожиданий совокупности параметров конфигурации МР. Следовательно, различным конфигурациям РО в конфигурационном пространстве соответствуют определенные (вообще говоря, различные) показатели надежности МР. Вследствие этого, если расположение РО не задано, то получить единственное значение надежности принципиально невозможно.
Как правило, МР промышленного применения выполняют ряд повторяющихся программно заданных операций. Это позволяет выделить в рабочем пространстве позиционные точки, в которых МР выполняет конкретную операцию или программно заданную последовательность операций. Тогда имеется возможность определить показатели надежности, соответствующие данным позиционным точкам.
В случаях, при которых для выполнения данной задачи МР может принимать несколько конфигураций, предоставляется возможность выбрать из этого множества конфигурацию, обеспечивающую более высокую надежность.
Способность МР достичь заданной конфигурации в конфигурационном пространстве характеризуется его точностью, определяемой расстоянием между заданным и фактическим положением РО. В свою очередь, показателем точности может являться повторяемость МР, т.е. его способность повторить свое движение с заданной точностью. Повторяемость определяется расстоянием в конфигурационном пространстве между конечными положениями РО при многократном выполнении одной и той же операции.
Для выполнения МР работы высокого качества показатели точности и повторяемости являются определяющими.
Показатели надежности можно применить для оценки как точности, так и повторяемости МР. Точность определяется погрешностями его кинематических параметров и обобщенных координат. Тогда надежность, вычисленная как функция математических ожиданий совокупности кинематических параметров и обобщенных координат, является достоверным критерием точности МР.
Повторяемость МР определяется только погрешностями обобщенных координат. Считая все кинематические параметры детерминированными и учитывая только математические ожидания обобщенных координат, вычисленную на их основе надежность можно принять за достоверную оценку повторяемости МР. Это обеспечивается путем применения приведенного выше алгоритма, в котором стандартные отклонения всех кинематических параметров предварительно положены равными нулю.
Заключение
В настоящей работе определены основные источники возникновения погрешностей, связанных с использованием кинематических параметров МР. При формировании кинематической модели МР применен вероятностный подход, обусловленный случайным характером данных погрешностей.
Представлена классификация основных типов надежности МР промышленного применения. Для расчета надежности двухзвенного манипулятора применены два
вычислительных метода: аналитический и метод цифрового моделирования (метод статистических испытаний). Сравнение показателей надежности, вычисленных каждым из данных методов при одинаковых предпосылках, дает возможность оценить достоверность полученных результатов.
Целью применения метода статистических испытаний являлось построение грубой структурной модели, не содержащей детального описания, но достаточно устойчивой по отношению к совокупности неизвестных исходных данных.
Известно, что применение вероятностных моделей обусловливает включение в них размытых понятий и величин [9], образующих, в свою очередь, дедуктивные логические модели размытых понятий [10]. С повышением степени размытости неизбежно уменьшается значение подробных элементов исходных характеристик данной задачи, а это подкрепляет устойчивость методов ее исследования. Последнее обстоятельство для большинства исследовательских задач имеет решающее значение.
Вероятностная модель процесса, в отличие от детерминированной, приводит к результатам, полученным в условиях специфической неопределенности, заложенной в постановке данной задачи. В силу этого представляется сомнительным положение о том, что вероятностные модели реальных процессов всегда более совершенны и предпочтительны, чем детерминированные. Этот довод не является достаточно убедительным, как и положение о предпочтительности детерминированных моделей перед вероятностными.
Дальнейшее развитие результатов, полученных в настоящей работе, может быть сведено к созданию алгоритмов синтеза, на основе которых может быть осуществлен расчет технологических допусков и параметров привода, обеспечивающих необходимую надежность манипулятора.
Автор благодарен В.Л. Березину за помощь в выполнении расчетов в системе Mathcad и Н.Н. Макееву за помощь в работе над статьей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Denavit J. A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices / J. Denavit, R.S. Hartenberg // Journal of Applied Mechanics. 1955. Vol. 77. P. 215-221.
2. Фу К. Робототехника / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли. М.: Мир, 1989. 622 с.
3. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. М.: Наука, 1968. 912 с.
4. Paul R.P. Kinematic control equations for simple manipulators / R.P. Paul, B.E. Shimano, G. Mayer // IEEE Transaction Systems. 1981. № 6. P. 449-455.
5. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендцев. М.: Наука, 1986. 544 с.
6. Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1968. 720 с.
7. Прохоров Ю.В. Теория вероятностей / Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов. М.: Наука, 1967. 406 с.
8. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12 / Д.В. Кирьянов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 576 с.
9. Заде Л. Лингвистические переменные / Л. Заде. М.:Мир, 1975. 354 с.
10. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, Л. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. 435 с.
Петров Дмитрий Юрьевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Системотехника»
Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 10.11.06, принята к опубликованию 19.06.07
