Keli daraxtida aniqlangan model uchun asosiy holatlar Текст научной статьи по специальности «Естественные и точные науки»

Keli daraxtida aniqlangan model uchun asosiy holatlar

O'g'iloy Rahmon qizi Yarashova Buxoro davlat universiteti

Annotatsiya: Ushbu maqolada uchinchi tartibli Keli daraxtida aniqlangan spin qiymati to'rtga teng bo'lgan modelining asosiy holatlari tahlil qilingan. Uchinchi tartibli Keli daraxtida spin qiymati to'rtga teng bo'lgan yuqoridagi ikki yuz qirq uchta konfiguratsiyalardan energiyasi tenglarini ajratib, o'n birta sinfdan iborat ekanligi va itiyoriy tartibli Keli daraxtida aniqlangan Potts modeli uchun birlik sharda energiyani hisoblash formulasi o'rganib chiqilgan.

Kalit so'zlar: Gibbs o'lchovlari, modellar, Keli daraxti, birlik sharlar, Gamiltonyan, spin qiymati, Potts modelining energiyasi, q-komponentli model, Kroniker simvoli, kvant maydoni, Mo Gans statsionar taqsimoti

Basic cases for the model of the Keli tree

Ugiloy Rahmon qizi Yarashova Bukhara State University

Abstract: In this article, the main cases of the model with a spin value equal to four, defined in the third-order Keli tree, are analyzed. The third-order Keli tree consists of eleven classes by separating the energy equals from the above two hundred and forty-three configurations with a spin value of four, and the formula for calculating the energy in a unit sphere for the Potts model defined in the arbitrary Keli tree is studied.

Key words: Gibbs measurements, models, Keli tree, unit spheres, Hamiltonian, spin value, Potts model energy, q-component model, Kroniker symbol, quantum field, Mo Gans stationary distribution

Oxirgi yillarda daraxtlammg avtomorfizmlar gruppasini o'rganishga doir juda ko'p ilmiy maqolalar vujudga kela boshladi, ayniqsa Keli daraxti (Keli daraxti ba'zi

bir tеrminalogiyada Bеtе panjarasi ham dеyiladi). Keli daraxti Fk, bu k > 1 tartibli ^ksiz daraxt bo'lib, ya'ni har bir uchidan roppa-rosa k +1 dona qirra chiquvchi, siklsiz ^ksiz grafdir.

Faraz qilaylik, Fk = (V,L,i), bu yеrda V -Fk -ni uchlar to'plami, L -uning qirrakr to'plami va i - insidеntlik funksiyasi, har bir l e L qirraga uning oxirgi

nuqtаlаri X,y G V ni mоs qo'yadi. Аgаr i(e) — {x,y} bo'lsа, u hоldа x,y yaqin qo'shnilаr dеyilаdi vа bundа l —< x,y > ko'rinishdа yozаmiz. Keli dаrахtidа d(x,y) ,

x, y gV mаsоfа

d (x, y) = min{d: 3x — x0, x1,...xd xd — y gV }

bu yеrdа < xoxi >, < X1,x2 > < xd_i,xd > yaqin qo'shnikr fоrmulа yordаmidа knittedi. Yuqоridаgi minimumni аniqlоvchi

H — {x — xo,xi......,xd_1,xd — y gV}

kеtmа-kеtlik x dаn y gа yo'l dеyilаdi. Maqolada U.А.Rоziqоv va G.I.Botirovlarning ilmiy mаqоlаlаridаn mа'lumki [1], Keli dаrахtini uchlari bilan tаshkil etuvchilаri a1, a2,..., ak+1 bo'lgаn ikkinchi tаrtibli (k +1) tа siklik gruppаlаrni erkin ko'pаytmаsidаn ibоrаt bo'lgаn Gk gruppа orasidagi munosabat haqida

mulohaza yuritamiz.

Ta'rif. G gruppа Aa qism gruppаlаrni erkin ko'pаytmаsi dеyilаdi, аgаr Aa

qism gruppа birgаlikdа butun G gruppаni hоsil qilsа, ya'ni G ning hаr bir g

elеmеnti Aa den оlingаn chekli elеmеntlаr ko'pаytmаsidаn ibоrаt bo'lsа:

g = ala2...an, a g Aa, i = 1, n

va agar G ning har bir elementi quyidagi shartlar ostida yagona ko'rinishda bo'lsa:

1) barcha a- elementlar birdan farqli;

2) (1.2.1) da Aa qism gruppadan ikkita element yonma-yon turmaydi, umuman

olganda (1.2.1) ko'paytmada bitta qism gruppaga kirgan bir necha ko'paytuvchini o'z ichiga olgan bo'lsa ham.

Faraz qilaylik, GK - tashkil etuvchilari a1?a2,...,ak+1 bo'lgan, (k +1) ta

ikkinchi tartibli siklik gruppalarni erkin ko'paytmasi bo'lsin.

Tasdiq: Keli daraxtining V uchlar to'plami bilan GK gruppa orasida o'zaro bir

qiymatli moslik mavjud.

Isbot: Bu moslik quyidagicha quriladi. Fiksrlangan ihtiyoriy x0 g V uchga GK

gruppaning e birlik elementini mos qo'yamiz. Umumiylikka zid bo'lmagan holda ko'rilayotgan grafni tekislikda deb qarashimiz mumkin. Keyin x0 uchga qo'shni

bo'lgan uchlarni soat strelkasi yo'nalishiga qarama-qarshi yo'nalish bilan xi g V lar bilan nomerlab chiqamiz.

Har bir xi g V uch uchun gruppaning ai, i = 1, k +1 tashkil etuvchilarini mos

qo'yamiz. Endi har bir xi g V uchlar uchun ikkilik x^ nomerlashni aniqlaymiz, bular

X — ni qo'shnüаri bo'kdi. x — ni bittа qo'shnüаridаn biri x0 bo'lib, ungа xü = x0 mоs qo'yamiz vа u hоldа qоlgаn xi eV qo'shnilаrni nоmеrlаsh yuqоridаgi

nоmеrlаsh qоidаsi bo'yichа bo'lаdi. Hаr bir xij uch uchun ai üj i, j = 1, k +1

_ 2

so'zni mоs qo'yamiz, xa = xo vа ai = e bo'^ni uchun, u hоldа bu аkslаntirish

kеyingi qаdаmlаrdа hаm sаqlаnаdi.

Xj uchlаrning qo'shnilаri uchun uchtаlik nomеrlаshni quyidаgichа kiritаmiz.

xUj - ni bito qo'shnisi xt bo'lgаni uchun, ungа xw = xt mоs qo'yamiz vа u hоldа

qоlgаn qo'shnilаrni nоmеrlаsh yuqоridаgi kаbi bir qiymаtli аniqlаnаdi. Hаr bir xijK

uch uchun ajüjak so'zni mоs qo'yamiz. Bu аkslаntirish оldingi qаdаm bilаn mоs

kеlаdi, chunki xw = xt vа aja jaj = ajüj = ai. Shundаy qilib, Fk -Keli dаrахtidа uchlаr to'plаmi V bilаn Gk gruppа оrаsidа o'zаrо bir qiymаtli mоslik o'rnаtish mumkin. Tаsdiq isbоt bo'ldi. Uni quyidagi rasmdan ham ko'rish mumkin.

Gibbs o'lchovlarini topish uchun tahlil etilayotgan modellarning asosiy holatlarini topish muhum sanaladi [1-3], chunki topilgan asosiy holatlar Gibbs o'lchovlarini 1 ga intiltiradi. Ehtimollar nazariyasidan bizga malumki, o'lchovlarning 1 ga yaqinlashish hodisalarni realligini taminlaydi.

U.A.Roziqov va G.I.Botirovlarning ishlarida [1] spin qiymati 3 ga teng bo'lgan Potts modeli uchun 2 tartibli Keli daraxtida asosiy holatlarni topish uchun, birlik sharlarga ajratilgan. U holda Potts modelining ko'rinishi quyidagiga teng bo'ladi [14]:

H(a) = T J1 x)a(y) + J2 x)a(y)

2 < x, y > x, yeV

x, yeV d (x, y)=2

Yuqoridagi Gamiltonyanga asosan 81 ta konfeguratsiya 6 ta sinflardan tashkil topgan birlik sharlarning energiyasiga teng bo'ladi [1]:

3

1- sinf: U = — J1 + J 2

21

2-sinf: U2 = J1 + J2

3-sinf: U 3 = 3J 3

4-sinf: U4 = 1J1 + J2

TT 1 r

5-sinf: U 5 = — J1

6-sinf: U 6 = J2

Maqolada spin qiymati 4 ga teng bo'lgan Potts modeli uchun 3 tartibli Keli daraxtida aniqlangan [1-2] asosiy holatlarni topish masalasini muhokama etilgan. Demak, birlik sharlarda Potts modelining energiyasi ushbu formula yordamida hisoblanadi:

U = ^ J1 X x)a{y) + J2 xy)

2

x.

,y) d (x,y)=2

x, yeV x, yeV

Uchinchi tartibli Keli daraxtida spin qiyamti 3 ga teng bo'lgan birlik sharlardagi konfiguratsiyalr soni 243 tani tashkil etadi, bular quyidagi ko'rinishda bo'ladi. Shulardan ikkitasini keltiramiz:

1. U = 1 J1(1 +1 +1 +1) + J2(1 +1 +1 +1 +1 +1) = 2 J1 + 6 J 2;

21

2. U =1 J1(1 +1 + 0) + J2(1 + 0 + 0) = J1 + J2.

Demak, uchinchi tartibli Keli daraxtida spin qiymati 4 ga teng bo'lgan yuqoridagi 243 ta konfeguratsiyalardan energiyasi tenglarini ajratib, quyidagi 11 sinfdan iborat ekanligi aniqlaymiz.

1-sinf U = 2J1 + 6J2 7-sinf U = 1 J,

2-sinf U = 6J2 2

3 8-sinf U = J + J2

3-sinf U = 2J1 + 3J2 9-sinf U = 2J2

4-sinf U = Jx + 2J2 in . fTT 1 r r

1 2 10-sinf U = - J + J

5-sinf U = 3J2 2

6-sinf U = J2 11-sinf U =1 Ji + 3J2

2 1

11 ta sinfdan iborat bo'lgan energiyalar to'plamini Potts modeli uchun asosiy holat bo'ladigan sohlarni topish masalasini ko'rib chiqamiz. Bu masalani hal etish uchun, har bir energiyani minimallashtirish masalasi qaraladi, bu esa har bir energiyani boshqa energiyalardan katta emasligini topish deganidir. Demak, biz quyidagi 11 ta tengsizliklar sestemasining umumiy yechimlarini topib, ikki o'lchovli fazoda sohalarga ajratamiz.

Yuqoridagi tensizliklar sistemasining yechimlari quyidagilardan iborat.

J

J,

U1 = J J2) e R2: J2 > 0, J1 U6 = \(J„ J2) e R : J2 < 0,0 > J1

12

2

U2 =j(J1, J2)e R2 : J2 < 0, J1 > 0}

U7 ={(J1, J2) e R2 : J2 < 0, J1 < J1

J1 L 2 J

U3 = {(J1, J2)e R2: J2 > 0, J1 < -12( U8 = LJ1, J2) e R^ :J2== 0,J1 == 0}

U4 = J J2) e R2 :J2== 0, J1 == 0} U9 = j(J1, J2) e R2 :J2== 0, J == 0} U5 = J1, J2) e R2 :J2== 0, J1 == 0} U10 = J J2) e R2 :J2== 0, J1 == 0}

U11 = {(J„ J2) e R2 :J2== 0, J1 == 0}

1-chizma. Kelib chiqqan soha Endi Keli daraxtida aniqlangan bir nechta modellar va Potts modeli uchun birlik shardagi energyasining umumiy formulasini keltiramiz.

1) q- komponentli model. Bu modelning Gamiltaonyani quyidagicha aniqlanadi

[3]:

H(G) = X ^(G(x)G(y)) + X h(G(x))

<x, y>eL

bu yerda,

Wi,Vj) = Ai-, i,j=1,2,

q- esa konfiguratsiyaning qabul qiladigan spin qiymatlari:

q * q, h(Vj) e R, j=1,2,....,q

va (reQ) simmetrik matritsani tashkil qiladi.Q- barcha konfiguratsiyalar to'plami.

Bu model uchun Rozikov va Botirovlarning olingan natijalari 2007 yilda Journal Statistical Mechanics: Theory and Exprement nomli jurnalda nashr etilgan [1].

2) Keli daraxtida o'zaro ta'siri 2 ga teng bo'lgan Potts modelining Gamiltonyani quyidagi ko'rinishda ifodalanadi:

H (c) = J1 £ö<( x)<(y) + J2

c( x)c( y V 2 x )c( y)

< x, y > x, yeV

x, yeV d (x, y)=2

J1, J2 e R va S<(x)<(y)

bu yerda

f1, c(x) = c(y)

° C(x) y) dC( x )C( y) Kroniker simvoli deyiladi.

Potts modeli uchun topilgan asosiy holatlar Rozikov va Botirovlar tomonidan Throry Mathematical Physics nomli journalda nashr etilgan [1]. Bu maqolada ikkinchi tartibli Keli daraxtida aniqlangan spin qiymati uchga teng bo'lgan Potts modeli uchun Asosiy holatlar va ularning sonlari topilgan.

Roziqov U.A. tomonidan Kroniker simvolining umumlashmasi quyidagi funksiya ko'rinishida kiritilgan [3]:

U(ra): Qa ^ {A -1,|A - 2,-1A - m^A,} bu quyidagicha ifodalanadi:

V (ra ) = A| - \ra n ^ - r(x),x 3 A.

Masalan, agar GA o'zgarmas konfiguratsiya bo'lsa u holda \rA n^ = 1 bo'ladi. Shuni ta'kidlash lozimki agar \A\ = 2bo'lib A= {x,y} bo'lsa, u holda: U ({r(x),r(y) })r(x)r(y) bu yerda (a) - a ning butun qismi.

1,r( x) = r( y) 0,r(x) *r(y)

bo'lsin bu yerda (a)- a ning butun qismi. ßr bilan barcha (x)=

{y 3 V: d(x, y) < r1 } radiusi r1 bo'lgan barcha shartlar to'plamini belgilaymiz, ya'ni:

jur = {br(x): x 3 V }

Roziqov U.A. tomonidan quyidagi gamiltanian kiritilgan [1-4]:

H (T) = - J £ V (rb) bu yerda J e R.

b3 Mr

Bu model uchun Keli daraxtining asosiy holatlari va ularning soni topilgan hamda Botirov tomonidan Mathematical Notes nomli jurnalda natijalar nashr etilgan.

3) 2- o'lchovli nazariya kvant maydonida panjarali model d=2 bo'lsin. H- qadam bilan Z2 panjarani qaraymiz. Mo Gans statsionar taqsimotiga mos keluvchi gamiltanian quyidagicha aniqlanadi:

r 3 N va r1=

Vr( x)r( y)

r + 1

Ho=— X + h,x2) —9(x2,x2 + h)— 9(x2,x2) )2 + m2oh2S2(x1,x2)]

2 H

2

X = (xi, x2 ) bu yerda h e Z dan olingan nuqta.

Keli daraxtida spin qiymatlari t(x)x 3 F 0= {± 1,±2,...+q }to'plam elementlari qabul qiluvchi A modellarning gamiltaniani quyidagicha aniqlanadi.

H (T)=H A(r) = ¿A(r( x),T( y), J),

< x, y>3L

bu yerda J3 Rn,n 3 N, barcha yon qo'shnilar bilan jamlanuvchidir.

Bu model uchun M. Rakhmatullayev tomonidan kuchsiz asosiy holatlar tushunchasi kiritilgan va olingan natijalar Theory Mathematical Physics nomli jurnalda nashir etirlilgan.

4) 2- o'lchovli panjarada Izing modeli quyidagicha aniqlanadi:

ho=J X m9)=±i,ti,t113 z2.

At—tv 11=1

Agar J>0 bo'lsa ferramagnit holati bo'ladi, bu yerda 2 ta davriy 9 - = {9(0 = 1 }, 9 = {9(t) = —1 }asosiy holat bo'ladi. Keli daraxtining birlik sharida energiyasini hisoblash:

i

T(x)T(y) = \1agarz(x = t(y) ' 0, agarT( x) + t( y)

Izing modeli uchun ixtiyoriy tartibli Keli daraxtida asosiy holatlar topilgan hamda bu natijalar [1] da nashir etilgan.

M to'plam birlik sharlar to'plamidan iborat bo'lsin. a konfeguratsiya b e M birlik sharda aniqlangan bo'lsa, bu konfeguratsiya chegaralangan konfiguratsiya deyiladi va ab kabi belgilanadi.

Potts modeli uchun, birlik shardagi energiyasini hisoblash formulasini quyidagicha kiritamiz:

U ) - U , J) = 1 J £^(xMy) + J 2 E Sa(x)a(y)

2 < x, y > x, yeb

x, yeb d (x, y)=2

bu yerda J = (J1,J2) e R .

Teorema. 1) Markazi c nuqtada va qiymati ab (cb) = i bo'lgan ab konfeguratsiya (bu yerda cb b sharning markazidir) hamda | x: ab(x) = j |= mj, j = 1,2,..., q bu yerda |A| -A ning elementlar soni berilgan bo'lsin. U holda U(ab) quyidagi ko'rinishda hisoblanadi

1 q ^ i

U(a)-Ui,,m, J) =1 ESij mj Ji + Ecm J2

2 j=1 j=1

bu yerda m. e N u{0}, £ m. = k +1 and J = (J1, J2) e R2 ;

j=i

2) Ixtiyoriy cb konfeguratsiya uchun, U(cb) quyidagi to'plamga tegishli bo'ladi.

q o

U(cb) e{Uik (mj, J): mj e N u {0}, £ mj = k +1 va J = (J1, J2) e R2}.

, j=1

Potts modeli uchun aniqlangan Keli daraxtida 3-tartibli spen qiymati 4 ga teng bo'lganda asosiy holatlar ko'rib chiqildi. Gibbs o'lchovlarini topish uchun tahlil etilayotgan modellarning asosiy holatlarini topish muhum sanaladi, chunki topilgan asosiy holatlar Gibbs o'lchovlarini 1 ga intiltiradi. Ehtimollar nazariyasidan bizga ma'lumki, o'lchovlarning 1 ga yaqinlashish hodisalarni realligini taminlaydi. Shuningdek Potts modeli uchun aniqlangan Keli daraxtida ixtiyoriy tartibli birlik sharning energiyasini hisoblash formulasi tahlil qilib chiqildi.

Hozirgi kunda zamonaviy matematikaning jumboqli masalalaridan hisoblangan o'lchovlar nazariyasiga har bir matematik qiziqib o'rganmoqda. Kristal panjara daraxt tipida bo'lgan moddalarning faza almashishlarini topish statistic fizikaning asosiy masalalaridan biridir. Gibbs o'lchovlari soni Kristal panjara tipida bolgan moddalarning faza almashishlar soni tengligi yani ma'lum bir siklik qonuniyatga bo'y sunishi o"zbek olimlari tomonidan o'rganilgan. Gibbs o'lchovlarini topish o'lchovlar nazariyasida juda muhimdir. [5-36] maqolalarda Gibbs o'lchovlari bo'yicha olib borilgan izlanishlarga o'xshash Banax va vaznli Sobolev fazolarida differensial operatorlar bo'yicha tadqiqotlar olib borilgan.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. G.I. Botirov, U.A. Roziqov, Potts model with competing interactions on the Cayley tree: The countour method, Teor. Math. Phys. 153(1) (2007), 1423-1433

2. Botirov G.I., Qayumov U.U., Energy of unit balls for Potts model on a Cayley tree // Abstracts of the Conf. of Scientific Reports "New Theorems of Young mathematicians - 2013", 15-16 April 2013, p. 100-101..

3. U.A. Roziqov, Gibbs measures on Cayley trees. World Scientific. 2013

4. Botirov G.I.: Ground states for Potts model with competing interactions on Cayley tree // Uzbek Math. Jour. No.4, (2011), pp.59-65.

5. Rasulov X.R. Qualitative analysis of strictly non-Volterra quadratic dynamical systems with continuous time // Communications in Mathematics, 30 (2022), no. 1, pp. 239-250.

6. Rasulov X.R. Qualitative analysis of strictly non-Volterra quadratic dynamical systems with continuous time // arXiv e-prints, 2022, arXiv: 2211.06186.

7. Расулов Х.Р. Аналог задачи Трикоми для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 4.

8. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.

9. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.

10. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.

11. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.

12. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7-10.

13. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // Scientific progress, 2:2 (2021), р.870-879.

14. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.

15. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяция ва унинг математик модели хдвдда // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.81-96.

16. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.

17. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.

18. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р. (1996). Задача Коши для одного квазилинейного вырождающегося уравнения гиперболического типа // ДАН Республики Узбекистан, №4, с.3-7.

19. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.

20. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).

21. Rasulov, X. (2022). Об одной задаче для вырождающеюся квазилинейного уравнения гиперболического тип. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).

22. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).

23. Rasulov, R. X. R. (2022). Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).

24 Rasulov, R. X. R. (2022). Квази чизи^ли гиперболик турдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).

25. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).

26. Rasulov, R. X. R. (2021). Гиперболик типдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).

27. Rasulov, R. X. R. (2022). О краевых задачах для уравнений эллиптического типа с линией искажения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).

28. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита бузилиш чизотига эга булган аралаш типдаги квазичизи^ли тенглама учун Нейман масаласига ухшаш чегаравий масала хдвдда. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).

29. Rasulov, H. (2021). Funksional tenglamalarni yechish bo'yicha ba'zi uslubiy ko'rsatmalar. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).

30. Rasulov, H. (2021). «Kompleks analiz» fanida mustaqil ta'limni tashkil qilish. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).

31. Rasulov, H. (2021). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).

32. Rasulov, H. (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдкида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 2(2).

33. Rasulov, H. (2021). Funksiyaning to'la o'zgarishini hisoblashdagi asosiy qoidalar. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 6(6).

34. Rasulov, H. (2021). One dynamic system with continuous time. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).

35. Rasulov, X. (2022). Об одной динамическойсистеме с непрерывным временем. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 22(22).

36. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. On a problem for a quasi-linear elliptic equation with two perpendicular lines of degeneracy // Proceedings of International

Educators Conference, Conference Proceedings, Volume 3, December, 2022, pp. 352-354.