Касательные напряжения при стесненном изгибе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.981

В.И. ФИЛИМОНОВ, В.А. МАРКОВЦЕВ, C.B. ФИЛИМОНОВ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ СТЕСНЕННОМ ИЗГИБЕ

При определении возможности изготовления профилей методом стесненного изгиба (гибкой с торцевым сжатием) для авиастроения, автомобилестроения и других отраслей промышленности возникает проблема установления допустимого диапазона геометрических параметров угловой зоны профиля. В отличие от обычной гибки, где в процессе формообразования профиля при предельных степенях деформации разрушается наружный контур зоны сгиба, при стесненном изгибе в случае больших усилий торцевого поджатия появляются дефекты типа зажимов на внутреннем контуре. Причиной возникновения таких дефектов являются касательные напряжения, определение которых в уголковой зоне позволяет решать вопросы, связанные с влиянием границ и величин усилий поджатия на ресурс пластичности в областях деформированной зоны, с целью выработки условий предельного формоизменения.

30

Вестник УлГТУ 4/2000

Известно небольшое число работ, в которых предпринимались попытки аналитического определения касательных напряжений в уголковой зоне. Так, в работе [1], на основе полей линий скольжения, определены главные напряжения в зоне сгиба, указан характер разрушения материала на внутреннем контуре и обозначен общий подход к решению проблемы. В работе [2], на основе принципа минимума работы и метода Ритца, процесс деформирования рассматривается как аддитивная последовательность приращения деформации сдвига с последующей минимизацией квадратичного функционала. К недостаткам этого подхода следует отнести необходимость определения отношения угловой скорости к окружной деформации, а также недостаточную адекватность модели гибки заготовки с закрепленными концами процессу гибки профиля в роликах (профилированию). В работе [3] аналогичную задачу решали методом возмущений решения задачи чистого изгиба (нулевое приближение) с последующей линеаризацией возмущенного решения методом Крылова-Митропольского-Боголюбова в растянутых координатах Лайт-хилла. К недостаткам такого приема можно отнести асимптотическую несогласованность полученного решения для касательных напряжений с реальным напряженным состоянием на границе упругой и пластической областей. Указанные выше недостатки работ [1,2,3] объясняются сложностью решения проблемы определения касательных напряжений в уголковой зоне в чисто математической постановке задачи.

Рассмотрим данную задачу с учетом ряда обоснованных допущений:

1. Деформация считается плоской.

2. Материал считается изотропным, жестко-пластичным, неупрочняе-

мым.

3. Касательные напряжения представляются мультипликативной функцией по двум координатам.

Решение задачи проведем в цилиндрической системе координат, считая напряжения зависимыми от радиуса г, исходящего из центра кривизны контура внутренней поверхности зоны сгиба при транс-версальном сечении профиля, и угла поворота 9 радиуса вектора относительно биссектрисы угла (рис. 1). Третья ось, обозна- „ , „ , ,

г чг ' Рис. 1. Зона сгиба профиля (с гео-

чаемая буквой 2. совпадает с линией гиба ^

3 метрическими безразмерными па-

и расположена перпендикулярно плоско- раметрами)

сти сечения. Координата г - безразмерная

(отнесенная к толщине исходной заготовки), а текущий угол в измеряется в радианах. В этих условиях с учетом первого допущения можно ввести обозначения напряжений:

<тп = стгг(г,в); стт = авв(г,6); агв = агв(г,в); агг = а2в - 0; стгг =<тя(г,в). у }

Здесь обозначение напряжений традиционно: первый индекс обозначает положение элементарной площадки в пространстве (перпендикулярно соответствующей оси), а второй совпадает с направлением действующей силы.

Условие плоской деформации (деформация е^ = 0) дает

а22=(ап+авв)/2. (2)

Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат с учетом формул (1) можно представить в следующем виде:

да„ ^ 1 дагв

+ -

д г г дв 8 аггв + 1 дет

+ ■

= 0:

=0.

(3)

д г ■ г дв г Условие пластичности при плоской деформации имеет вид:

(&п.~<Уво)г +4<т;в =

(4)

где вч - предел текучести материала; к - максимальное касательное напряжение.

Совместное решение системы (3) и уравнения (4) с учетом соотношения (2) приводит к следующему дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка относительно касательных напряжений агв, которое может быть решено лишь при некоторых дополнительных условиях:

1 д2 а

гв

Г дв1

д2

+

+

+-

1А

г дв

<т

гв

+ ----М

дгдву

сг,

гв

А

дг

{ а ^ д г

дсх,

(5)

^- = 0. дг

Решение уравнения (5) в соответствии с третьим допущением:

стГв(г,в) = к-уг(г)-<р(9), (6)

где у/(г) и <р(в) - пока не определенные функции.

Переходя к безразмерным напряжениям путем деления на к, после

подстановки решения (6) в уравнение (5), при условии = ~ (условие

дв (х

разрешимости уравнения (5)) и осреднении члена, содержащего функции от в, с учетом начальных условий для <р(в) получим:

<р(9) = вт (я9/а) , г1^- + 2г^—гу/ = 0. (7)

Л^ + 2 г?* дг2 дг

Здесь у - (ж/а) .

Второе дифференциальное уравнение в зависимостях (7) имеет следующее общее решение:

¥(г) = С,га+ Сггр, (8)

где а=(р- 1)/2; £ = + 1)/2; // = (1 + 4 у)т.

Удовлетворяя граничным условиям на наружном контуре, из решения (8) получим функцию цг (г) \

¥(г) = \

Г;

(п/р)т, (9)

где п ~ величина относительного утолщения зоны сгиба по биссектрисе угла; р - относительный внутренний радиус зоны сгиба.

Следует отметить, что граничные условия определяются исходя из физических соображений - касательные напряжения на наружном контуре должны отсутствовать, ибо вблизи наружного контура выполняются условия, приближенные к условиям обычной гибки. Радиус кривизны наружного контура зоны сгиба Я можно задать приближенно:

Я=р+1+п. (10)

Точное задание внешней границы пластической области легко осуществимо методами дифференциальной геометрии, однако результат такого уточнения отличается от реально измеренных значений на величину ошибки измерения при использовании инструментального микроскопа модели МИМ-6. Кроме того, радиус Я задается весьма громоздкой неоднозначной функцией: для описания криволинейной и прямолинейной границ в пластической области используются различные -функциональные зависимости, что затрудняет теоретический анализ.

В окончательном виде зависимость для определения касательных напряжений на основании выражений (6), (7) и (9) может быть представлена в виде;

аг9(г,в) = к?,т (я9¡а)• —

7)

Л"-г

(п/р)ш. (11)

Анализ зависимости (11) показывает, что на биссектрисе угла и на линии сопряжения упругой и пластической зон касательные напряжения равны нулю (угол 0 равен нулю и а соответственно). На наружном контуре (Я ^ г) касательные напряжения также обращаются в нуль, что соответствует реальному напряженному состоянию в угловой области. Вблизи внутреннего кон-

тура касательные напряжения принимают максимальные значения. Для наглядности приведем диаграмму распределения касательных напряжений в угловой зоне с учетом относительного торцевого сжатия, выполненную в среде MathCAD-2000. На рис. 2 значение относительного торцевого сжатая т = uj<7s принято равным 0,3. Здесь иа и <js - напряжение торцевого поджатая и предел текучести материала соответственно. Вместо arQ введена безразмерная функция t (и, г) = огв/ к, где и = в.

При больших значениях торцевого поджатия (напряжение поджатая приближается к пределу текучести материала), согласно предлагаемой модели, относительные касательные напряжения могут превосходить единицу. Это означает практическое исчерпание ресурса пластичности, а при разрушении значение напряжений должно падать до нуля. Однако эта модель не предполагает нарушения сплошности материала, хотя и указывает на некоторую сингулярность решения задачи в области внутреннего контура при значительных напряжениях торцевого поджатия. Так, при т = 0,7 уже имеют место дефекты внутреннего контура при утолщении зоны сгиба до 18 %.

Отметим, что в области, близкой к биссектрисе угла и внутреннему контуру, зависимость (11) хорошо согласуется с моделью, представленной в работе [3], где касательные напряжения описаны формулой:

t = (п-гътв)/(1 - cosa).

Однако, как уже отмечалось ранее, предложенная модель не приводит к асимптотической корректности при в ~~>а. Наконец, учитывая, что стесненный изгиб является более общим случаем, чем обычная гибка, при которой, как известно, касательные напряжения отсутствуют, формула (11) дает нулевые напряжения во всей области (при п = 0).

Таким образом, разработанная авторами математическая модель касательных напряжений соответствует реальному процессу формообразования, имеет компактный вид и является асимптотически корректной. При использовании зависимости внутреннего радиуса и величины утолщения зоны сгиба от торцевого поджатия (обсуждение которой выходит за рамки данной статьи) модель позволяет установить диапазон допустимых значений геометрических параметров с целью обеспечения возможности проработки на техно-

0,40

0,35 0,30

0,25 0,20

0,15 0,10

0,05

О

t(u,p)

t(u,p+0,2)

it(u,p+0,4)

^ t(u,p+U,ft)

^t(u)P+0,8pV> / 1 >

t(u,p+l) ^

0,6 рад _ 0,8

0,2 0,4 Рис. 2. Распределение напряжений в угловой зоне

логичность перспективных профилей, а также с целью назначения геометрических параметров калибров формующих роликов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Филимонов В.И., Проскуряков Г.В., Москвин A.C. Напряженное состояние при стесненном изгибе // Пластическое формоизменение деталей авиационной техники. Сер. Авиационная техника. 1987. С. 38-43.

2. Ершов В.И., Глазков В.И., Каширин М.Ф. Совершенствование формоизменяющих операций листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1990. 312 с.

3. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия, 1990. 304 с.

Филимонов Вячеслав Иванович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Материаловедение и обработка металлов давлением» УлГТУ, окончил Университет дружбы народов по специальности «Физика» и Ульяновский политехнический институт. Работает в области моделирования процессов обработки металлов давлением и расчетов профилегибочного оборудования.

Марковцев Владимир Анатольевич, кандидат технических наук, зам. генерального директора Ульяновского НИАТ, окончил Ульяновский политехнический институт. Работает в области технологии процессов профилирования.

Филимонов Сергей Вячеславович, аспирант кафедры МиОМД, окончил УлГТУ, Имеет публикации в области технологии профилирования.