Канонические разложения случайных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011.

А-

СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК:539.3

А.К. Юсупов, А.Н.Бескопыльный КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

A.K. Yusupov, A.N.Beskopylniy CANONICAL DECOMPOSITIONS OF RANDOM FUNCTIONS

Разложение стационарной случайной функции в канонический ряд сводится к вычислению спектральной плотности. Коэффициенты ряда составляют систему случайных величин с единичной корреляционной матрицей.

Ключевые слова: случайная функция, спектральная плотность, матрица, ряд, каноническое разложение, дисперсия.

The analysis of the stationary accidental function in the canonwal row brings to calculation of power density. The efficiency of row constitutes the system of accidental value with (single) isolated correlation matrix.

Key words: accidental function, power density, matrix, row, canonical analysis, dispersion.

Определение напряженно-деформированного состояния строительных конструкций с учетом неоднородностей структуры материала ,изменчивости нагрузок ,разбросов характеристик окружающей среды приводит к стохастическим краевым задачам. Стохастические краевые задачи изучены недостаточно и построение их решений представляет известные математические трудности. Даже при наличии современных вычислительных машин получение численных результатов решений конкретных задач связано со значительными трудностями и затратой большого количества машинного времени.

Существенных упрощений в построении решения стохастических краевых задач можно достичь, представляя исходные случайные функции каноническими разложениями. Однако построение канонических разложений случайных функций, само по себе, далеко не простое дело. Поэтому целесообразно рассмотреть здесь практические способы построения этих разложений.

Непрерывную в среднеквадратическом смысле центрированную гауссовскую

случайную функцию Т(х), принадлежащую интервалу можно

представить [100] в виде ряда

_ ^ ^ _

т(x) = X —fr* • Pn (x) , (1)

n=о V An

где p n(x), A n — собственные функции и собственные числа однородного интегрального уравнения

Pn (x) = An ■ J" кт (x — y)(n (y)dy• (2)

—^

Здесь К т (x — y) — корреляционная функция стационарной случайной функции

Т( х),

А-—-

Тп — центрированные гауссовские случайные величины с единичной

корреляционной матрицей.

Основным препятствием к практическому использованию канонического

разложения (1) случайной функции Т( x) является отыскание точных решений интегрального уравнения (2). Лишь для стационарных функций с дробно-

рациональными энергетическими спектрами нахождение этих решений может быть сведено [1] к интегрированию линейного дифференциального уравнения с

постоянными коэффициентами. Это "жесткое" условие можно несколько "смягчитЬ. Для этого, используя известные свойства ядра уравнения (2), следует приближенно представить спектральную плотность дробно-рациональной функцией. Рассмотрим некоторые приемы построения <р (x), Лп .

Определим дифференциальное уравнение, эквивалентное интегральному уравнения (2). Пусть искомое уравнение имеет следующий вид:

L р = Лр . (3)

Если

L Кт (x — y) = 8 (x — y), (4)

(8 — дельта - функция), то функция р , входящая в (3), представляется в интегральной форме:

да

р (x) = Л - I Кт (x — y) - р (y) d y .

—да

Это уравнение полностью совпадает с (2). Это означает, что искомый оператор L должен порождать функцию Грина, совпадающую с корреляционной функцией К (x — x ) . Так как корреляционная функция действительной случайной функции симметрична, то оператор должен быть самосопряженным. Учитывая это обстоятельство, из уравнения (4) можно определить Кт (x — x), предполагая ее неизвестной.

Заметим, что для самосопряженного оператора L с постоянными коэффициентами

A L cos nx = cos nx ,

где A = 1/f(n), f (n) = L cosnx /cosnx. (5)

Тогда уравнение (4) принимает вид

да

f ~l(n) - cos nx = 2 -I КТ (x — y) - cos ny dy ,

0

откуда, после преобразования по Фурье, находим

сю у

^ г cos nx cos ny dn

КТ (x — y) = 2-I -o ny--

0 2f (n)

Это уравнение при y = 0 записывается так:

оо у

, . ^ с cos nx dn

КТ (x) = 2 -I---(6)

Т ( ) о 2f (n)

Последнее означает, что функция S (n) = f—1(n) есть спектральная плотность случайной функции Т (x) .

Теперь нетрудно по соотношению (5) определить вид оператора

L =

S

г

V

d'

л

d xK

J

-1

(7)

где i - мнимая единица, к = 0, 2, 4,...,

^ (п) — спектральная плотность случайной функции Т (х) . Например, корреляционной функции

Кт (г)

S2•exp

— а \ т

(а > 0)

соответствует [ 2] спектральная плотность

S (n)

Sг

а

2 2 я n + а

(8)

Построим соответствующий дифференциальный оператор Ь . Для этого, подставляя

выражение (8) в (7), находим Г . Л

L =

я

(• S

2

d

d x

2

+ X

V

J

Внося оператор (9) в (3), получаем уравнение

2 (*• S

— ty"(x) + а •ty =

я

•Áty

(9)

(10)

или, в общем случае,

S

dк

d x.

J

ty

Xty

(11)

Здесь, как и прежде, к = 0, 2, 4, 6,... .

Легко замечаем, что решениями уравнения (11) являются функции cos nx, sin nx. Подставляя эти функции в (11), получаем

= [ S (n) ]

—1

(12)

Для случая рассмотренного выше примера из уравнения (10) находим

тт(п2 + с)

=

aS;

(12a)

Так как выше предполагалось, что оператор Ь имеет только постоянные

коэффициенты, то спектральная плотность (п) должна быть дробно-рациональной

—1

функцией, в противном случае / (п) Ф S (п) ,

то есть импеданс / (п) оператора Ь не приведет к дифференциальному уравнению (11) с постоянными коэффициентами. Таким образом, приведенный выше алгоритм справедлив, если спектральная плотность

к

0

1

■к

S(n) = — • ——1-, (13)

* Z

к = 0

где B и Рк — произвольные параметры, к = 0, 1, 2, 3, ... Пусть спектральная плотность

S(n) = — R —1(n) , [ R (0) ^ 0] (13a)

задана в произвольном виде. Покажем, что функцию S (n) можно представить в виде (13) Так как корреляционные функции симметричны, то S (—n) = S (n) . Это обстоятельство позволяет разложить функцию R (n) в ряд Тейлора по

аргументу n в окрестности частоты n 0 = 0 случайной функции:

го 2к

R(n) -ЮсК R(2К) (n0)-

Сравнивая этот ряд со знаменателем дроби (13) находим неизвестные коэффициенты

А = <2К)ТR(2к) (n 0) (14)

где верхний индекс в скобке указывает на порядок производной функции R(n) , взятой в точке n — n0 .

Формула (14) позволяет произвольную спектральную плотность (13а) записывать в требуемом виде (13). А это означает, что для любых ядер Кт (X — y), обладающих свойствами корреляционной функции, в качестве собственных функций приближенно могут быть приняты cos x, sin x . В этом и заключается "смягчение" условий, о которых говорилось в начале параграфа, накладываемых на спектральную плотность.

Из полученных выше формул видно, что собственные числа Я п обладают

непрерывным спектром, то есть соответствуют интегральному каноническому представлению случайной функции. Действительно, подставляя

г -1—1 feos nx

Я n = [ S \n) ] и ^n Cx ) = < .

Sin n x

в ряд (1) и, учитывая непрерывность спектра во всей вещественной оси, получаем

го _

T (x) = J VS(n) X

—го (15)

x [ x (n) • eos nx + P(n) • sin nx] dn.

Это выражение и есть интегральное каноническое представление вещественной стационарной случайной функции. В дискретном представлении случайные величины

ап и /п некоррелированы. Корреляция элементов каждой системы выражается

так:

т{ Ъп х Ь^} = ап х =

— символ Кронекера, причем системы ап и /3 независимы. При переходе от ряда к интегралу, величины а п и / п становятся непрерывными функциями а(п) и 3(п) , а символ Кронекера переходит в дельта - функцию, то есть

т{ Ъ(п) х = т{а(п) х Ъ(пУ} = — /г).

По аналогии с дискретным случаем здесь функции а(п) и 3(п) также независимы. Используя указанную выше с т о х а с т и ч е с к у ю о р т о н о р м а л ь н о с т ь функций а(п) и 3(п), легко найти корреляционную функцию, соответствующую предыдущему интегральному представлению случайной функции

Т(х) (15):

ад

.. . 1-Г— 1-Г— . . . +

Кт (X — х') = J J S(n — к) ■ д/S(n) ■ S(к) ■ cos nx ■ cos кХ dndK

—ад

ад

JJ S(n — к) ■ VS(n) ■ y¡S(n) sin nx ■ sin кХ dndK.

ад

+

—ад

Учитывая симметричность спектральной плотности ^ (п), а также фильтрующее свойство дельта - функции, из предыдущего выражения получаем известное преобразование Винера - Хинчина, справедливое для вещественных стационарных случайных функций:

Кт (x — x') = 2 J S (n)cos n( x — x')dn.

o

Обратным преобразованием Фурье находим и спектральную плотность

1 ад

— J Кт(x — x')cosn(x — x')d(x — x').

^(п) =---> — Т

7Т О

Эти два интегральных преобразования Винера - Хинчина играют важную роль в теории стационарных случайных функций [3]

Для перехода к каноническому разложению по дискретным индексам (с единичным шагом) заменяем неограниченную вещественную ось довольно большим, но конечным, отрезком Н. Тогда интеграл (15) с учетом (12) переходит в сумму:

Т( х) = S о

к=0

ад ^ ~ /?к . Л

—. к cos®KX ч--■ к sin сокX

1V л/ ^к V ^к У

где Sq — дисперсия стационарной случайной функции Т( x),

(16)

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011.

А-—-

а^, /3 ~ две независимые системы случайных величин, каждая из которых

представлена единичной корреляционной матрицей.

оо оо

Интеграл I ^-"Ч= 2 I ^= 1. (17)

— ОО — оо

Для перехода от этого интеграла к соответствующей сумме заменяем

кл л

П на - = , dn

на

h — h

Тогда из (17) получаем

J тг- С-2 J f

S"2 • J S(n)dn = • V S [ — I

-j h \ h )

—= — j

или с учетом симметричности спектральной плотности,

л-1 = s (о) , л-1 = -2vs —

0 h - s02 v 7 — h - S02 ^ h )

(18)

где к = 1,2,3, ....

Здесь начало оси х - ов расположено в середине отрезка И . В случае рассмотренного выше примера (8), при И = 15 т., а = 0,1-га-1, по приведенным выше формулам, находим, что

Л—/ =

1

ch

Л—1 =

—

с

—ж

л

+ с

)

(18a)

или Л-1 = 0,666; л 1 = 0,250; Л-1 = 0,07.

Теоретически

л

—=о

-1

—

2

1 - При полученных значениях Л- 1 ,

л--1 = 0,986

к=0

Сравнивая эти две суммы, заключаем, что ряд (16) сходится довольно быстро и в рассматриваемом примере можно ограничиться удержанием пяти первых членов.

Приведенный выше алгоритм очень прост. Построение канонического ряда разложения случайной функции сводится к вычислению ее спектральной плотности.

Библиографический список:

1. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Пер. с англ., под ред. Добрушина И.Л. "Наука" М., 1968.

2. Свешников А.А. Прикладные методы в теории случайных функций. "Наука", М., 1968.

3. Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. "Успехи математических наук" , вып. 5, 1938.

2

со