Канонические комбинаторные модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Bershtein L.S., Bozhenyuk A. V., Rozenberg I.N. Fuzzy Graph Vitality Degree Increase on the Base of Strong Connection // Proceedings of East West Fuzzy Colloquium 2005. 12th Zittau Fuzzy Colloquium. Zittau: Hochschule Zittau\ Goerlitz. 2005. - P. 309-312.

УДК 528

А.Э. Саак

КАНОНИЧЕСКИЕ КОМБИНАТОРНЫЕ МОДЕЛИ

Эксперимент спроса-предложения вычислительных ресурсов при функционировании МВС со множеством пользователей базировался на классических комбинаторных моделях Бернулли и Лапласа [1, 2]. Последние полагают в свою основу алгебру весовых совмещений комбинируемых элементов и алгебру геометрических совмещений, соответственно. Несколько иной тип совмещений элементов применяется в модели комбинирования кратных целочисленных разностей Ньютона. В предлагаемой работе на основе базовых алгебраических операций сдвига и разности в 2-среде целочисленных распределений вводятся упомянутые биномиальная и геометрическая комбинаторные модели. Первая из них дополняется моделью Ньютона в качестве присоединённого распределения кратных 2-разностей по отношению к прямой форме биномиальной композиции идентичных двузначных 2-распределений.

Рассмотрим сочетательный выбор / из «к» единичных звеньев линейного полигона [0,к]с2. Мощность множества данных сочетаний равна

Ск]}, / = 0,1, к, к .

Полученное распределение называем комбинаторной моделью Бернулли. Алгебру исходов данного эксперимента удобно формализовать производящей операторной функцией единичного сдвига в 2-среде

¿С^^ =(1+б)к, бЯл)=Ял +1).

11=0

Производящий бином Бернулли отвечает алгебре весовых совмещений

б/1 Б/ = 1

нагруженных комбинаторных элементов.

Обратимся к испытаниям Лапласа. С этой целью осуществим комбинирование предыдущих выборок 1 из «к» единичных звеньев. При к-кратном комбинировании указанных выборок линейной меры 1 получаем мощность множества комбинаций

к

П1 = /

1

согласно правилу мощности комбинаций. Факторизация данных исходов в случае неразличимости выборок уменьшит полученную разместительную мощность в к! раз

1 /М 1=1,2-•, к.

Последнее распределение исходов называем комбинаторной моделью Лапласа. Объединение данных исходов образует объемлющее множество эксперимента и имеет меру

Исходы на единицу меньшей меры ребра координатных котетраэдров принимаем в качестве ординарных исходов рассматриваемых испытаний - однородной системы базисных подмножеств в объемлющем координатном котетраэдре с ребром «к» в Як (рис. 1).

Уменьшение ребра на 1 трактуем в качестве результата сдвига основной вершины на 1 вдоль одной из координатных осей. Таким образом, имеется «к» ординарных исходов, и мощность их косуммы равна

что объемлющий координатный котетраэдр складывается из единичного координатного куба и всех дополнительных к кубу координатных котетраэдров с ребром на 1 меньшей длины, чем у основного котетраэдра (рис. 2). Последние элементы с операциями геометрического объединения и пересечения индуцируют алгебру исходов канонического эксперимента Лапласа.

Сопоставим единичному линейному полигону [0,к]с2 правильный единичный полигон на комплексной плоскости

к

к

к

Рис. 1. Объемлющий координатный котетраэдр

к

Рис. 2. Единичный координатный куб и дополнительные к кубу координатные котетраэдры

к

к

Е(- 1УС'(к - іУ/к\ = 1.

і =0

Величина справа 1к=1 отвечает результату всех единичных сдвигов основной вершины - единичному кубу в Як. Предыдущая формула Теппера [3] означает,

Г0 —»—>

0

Рис. 3. Идеальный элемент испытаний Ньютона

Рис. 4. Радиус-векторы единичного полигона на комплексной плоскости

Рис. 5. Гомотетии радиус-векторов и хорды полигона

Рассмотрим алгебры горизонтальных и круговых единичных переходов. Приведём формулу Ньютона

У (к) = (1 + Д! )к У (0), Б'кУ (0) = У (к).

Последняя допускает представление в виде

(1 + ^)Д1(0), Д1(і)=Д{1У(0), Д0 = 1,

^ Д1 (0) = Д\ У(0), К , ^ Д1 (0) = Д11 У (0) .

Таким образом, распределение 2-разностей Ньютона

ДІ У(0), Д11 У(0) = (¿1 -1)і1 У (0)

отвечает присоединённой алгебре по отношению к алгебре сдвигов в эксперименте Бернулли. Данная присоединённая алгебра сдвигов принимается в качестве комбинаторной модели Ньютона. Укажем гармоническое представление моделей Бернулли и Ньютона. Гармоникам

сЦV/, і = 1, К, к

(1)

отвечает сочетательный выбор] из «к» чисел { Ж1). Выбор]=0 даёт исход полного неуспеха в «к» испытаниях Бернулли. В испытаниях Ньютона сохраняется идеальный

к

элемент (рис. 3), а сочетательный выбор применяется к тому же множеству «к» идентичных комплексных отрезков {^}. Однако в биномиальной модели выбор может быть представлен гомотетией (1) радиуса-вектора единичного полигона (рис. 4)

тогда как в модели последовательных 2-разностей осуществляется сопоставление

с неидентичными отсчётами У(1) приводит к составному сочетательному выборуА из «к» звеньев единичного полигона с последующим умножением выбранного веса S1 на числовой множитель А Получаем обобщённый биномиальный эксперимент с производящей формой

Индуцируемый последней 2-интеграл образует форму Ньютона, по отношению к которой бином Ньютона-Бернулли является модельным частным случаем. Производящую форму Бернулли в действии на ньютонов фактор

принимаем в качестве обобщённой модели канонических кубических слоёв - общей модели спроса «к» пользователей на вычислительный ресурс одного рода. Производящую форму Лапласа

А = 0

принимаем в качестве обобщённой модели координатных котетраэдров -общей модели предложения вычислительных ресурсов в ответ на указанный спрос. Выбор показательного распределения

возвращает нас к первоначальным моделям канонического спроса-предложения Бернулли и Лапласа.

В итоге возникает достаточно широкий класс комбинаторных экспериментов, расширяющий ранее имевшиеся возможности моделирования МВС со множеством пользователей.

Г/1 с[л)^л ,

А=0

указанному множеству - звена полигона ^-1, хорды полигона ^12-2^1+1 1-го порядка, хорды 2-го порядка (^-1)3, и т.д. (рис. 5).

Общая формула Ньютона 2-распределения

У (к)= Ескл) Ді1 у (0)

І1 =0

к

к

Ес^^І1 і ^ Ескі1)/і1.

І1 =0

(1 + X )Д(0), дО)=Д'Г (0)= /і

Е (- К >(к - і) /к! X/

і=0

в действии на предыдущий ньютонов фактор

Е(- 1)с(' )/1 (-і )к!

У (і )= 2і ^ /} = Д] У (0) = 1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. СаакА.Э. Алгебро-метрологические свойства комбинаторных моделей МВС // Труды III Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’ 2006. М., 2006. - С. 1452-1457.

2. Саак А.Э. Комбинаторный эксперимент как модель многопроцессорных вычислительных систем коллективного пользования // Труды II Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’ 2004. М., 2004. - С. 871-883.

3. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. - Новосибирск: Наука, 1977. - 285 с.