КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.01

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Ушакова Н.Ю., канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизированного электропривода, электромеханики и электротехники, Оренбургский государственный университет, Оренбург e-mail: olaa56@mail.ru

Крупский А.А., студент группы 17ЭЭ(ба)-1, Оренбургский государственный университет, Оренбург

e-mail: krupskij_99@mail.ru

Актуальность статьи обусловлена практической важностью исследования проблем передачи электрической энергии. Статья посвящена разработке обобщенной модели электрической цепи постоянного тока с переменным параметром на основе основных законов теоретической электротехники. Разработанная модель позволила получить формулы, позволяющие проводить качественный анализ энергетических характеристик цепей с произвольными параметрами, а также сделать выводы о требуемых соотношениях параметров линии и нагрузки. Материалы статьи могут быть полезными как для студентов, изучающих курс ТОЭ, так и для практиков, занимающихся проектированием и диагностикой электротехнических объектов.

Ключевые слова: электрическая цепь, модель электрической цепи, коэффициент полезного действия, потери в линии.

Расчет передачи и распределения энергии в электроэнергетических системах - одна из наиболее актуальных и практически важных задач теоретической электротехники. Обычно подобные задачи решаются с использованием известных методов анализа электрических цепей при условии неизменных параметров цепи. В то же время, на практике при эксплуатации различных объектов электроэнергетики иногда возможны ситуации, когда необходимо спрогнозировать реакцию объекта на изменение какого-то параметра. Это может быть уменьшение, увеличение, короткое замыкание или обрыв какого-либо участка цепи, изменение выходных параметров источника и.т.п. При этом более важными будут не точные количественные расчеты, а вывод общих закономерностей, которые позволят не только для этой, но и для аналогичных цепей ответить на вопросы:

- в каких пределах и по какому закону будут изменяться токи и напряжения в исследуемой цепи;

- не приведет ли их изменение к аварийному режиму;

- при каких соотношениях параметров цепи в нагрузке или на ином участке будут достигнуты требуемые уровни мощности или коэффициента полезного действия.

Если эти вопросы не касаются всех участков исследуемого объекта, то нет необходимости проводить полный расчет цепи, а можно ограничиться так называемым ее «частичным или качественным анализом». Так можно назвать группу приемов анализа, основанных на экспериментальном или расчетном определении только нескольких характерных параметров цепи. Определение их позволяет судить о режиме и работе цепи без детального расчета токов и напряжений всех ее ветвей [1]. Результатом такого анализа должны стать получение энергетических характеристик и зависимостей, которые можно применять при исследовании аналогичных электрических цепей.

Математические основы качественного анализа основаны на методах эквивалентных преобразований и основных законах для электрических цепей: законах Ома и Кирхгофа. Формулировка задачи может быть прямой, когда указан диапазон изменения параметров конкретного элемента и участки цепи, на которых требуется определить изменение токов,

напряжений или мощностей, или обратной, когда по реакции цепи требуется определить элемент или диапазон изменения параметров.

В качестве примеров прямой задачи рассмотрим подробнее задачи передачи энергии по линиям постоянного и синусоидального токов. Следует сказать, что вопрос передачи электрической энергии рассматривается во многих классических учебниках по теоретической электротехнике [2], однако везде он рассматривается с точки зрения передачи максимальной мощности. Мы же исследуем зависимости в цепях передачи электрической энергии в широком диапазоне изменения параметров нагрузки.

Модель простейшей линии электропередач постоянного тока представляет собой неразветвленную цепь, содержащую источник с постоянным напряжением ивх, постоянное сопротивление линии Ял, и сопротивление нагрузки Ян, которое теоретически может изменяться от 0 до бесконечно большого значения рисунок 1. Токами утечки между проводами линии через несовершенную изоляцию пренебрегаем. Чтобы исследовать зависимость основных характеристик цепи от соотношения параметров линии и нагрузки, введем понятие коэффициента нагрузки к = Ян / Ял, равного отношению сопротивления нагрузки к сопротивлению линии.

Я

1вх

ивх

0

Рисунок 1 - Модель простейшей линии электропередач постоянного тока

Ток в такой цепи находится по закону Ома. Очевидно, что максимальным этот ток будет при Ян=0, то есть в режиме короткого замыкания нагрузки. Обозначив ток короткого замыкания 1кз после несложных преобразований получим следующую формулу для тока:

I (к )

и в

ивх / Ял

(1)

Яп + Ян 1 + Ян / Яп 1 + Ян / Яп 1 + к

Лгт гт Л ИЛ

Путем аналогичных рассуждений, используя известные в электротехнике законы, получим выражения для расчета других характеристик данной электрической цепи как функции от к:

- напряжение на нагрузке:

и в

ин (к) = I (к) • Ян =

Ян Ял

1 Ян 1 + —

Ял

и вх • к 1 + к

(2)

- мощность, отдаваемая в цепь источником, Ри

Рисст (к) = и вх • I (к) =

и в

1 + Ян /Ял 1 + к

(3)

- мощность выделяемой на нагрузке Рн:

Рн (к) = ин (к) • I (к) =

и вх • к • I

к • Рк

(1 + к){\ + к) (1 + ку

- коэффициент полезного действия линии (КПД) □ □

кз

кз

кз

,п Рн (к) к

Рист (к) 1 + к

Чтобы не привязываться к конкретным числовым значениям параметров данной цепи и получить выводы, которые можно потом распространить на любые аналогичные электрические цепи, формулы (1) - (4) целесообразно переписать в относительных единицах (в долях) от соответствующих величин (от 1кз, ивх, Ркз):

I (к) = -Ц. (6)

1 + к

ин (к) = 1+- (7)

1 + к

Рист (к) = (8)

1 + к

Рн (к)

к

(9)

(1 + к У

По результатам расчетов по формулам (5) - (9) в МаШеаё были рассчитаны и построены графики рисунок 2, по которым можно определить законы изменения и значения тока, напряжения, мощности источника и потребителя, при различных коэффициентах нагрузки к. Для наглядности коэффициент к при расчете данных характеристик задавался в небольших пределах: от 0 до 10.

1(к) 0.6 и(к)

1 »■ ч

/ 11 А * 'ч -

Л* 1 \ 1 *\ ч ч "V

1* \

1

1

0.3

0.2

К(к)

0.8

"0.6

Рп(к)

0.1

Рп(к) • • ♦ *

11 (к) 0.4 0.2

р • ™ ^

\ ✓ ✓

\/ /\

/ \ 1 Г * * • ^^

{ * . •Г". 1-

1

4 6 к

0 10

4 6

к

10

Рисунок 3 - Кривые изменения тока, напряжения потребителя, мощности источника и потребителя

Проведенные расчеты подтвердили известный вывод о том, что максимально возможная мощность в нагрузке выделится при Ян = Ял, то есть при к =1. Но коэффициент полезного действия линии при этом очень низкий и равен 0,5. Поэтому равенство сопротивлений нагрузки и линии целесообразно применять только в линиях связи, где требуется максимальная мощность в приемнике и не имеет значения величина КПД. Для линий электропередач в электроэнергетике такой КПД неприемлем, там его стремятся получить на уровне 0,8 - 0,9.

Используя выражение для расчета КПД (5), определим при каком соотношении сопротивлений линии и нагрузки возможно достижение требуемого значения:

Л

к =

1

(10)

Так, например, чтобы получить КПД 0,9, к должен равняться 9, то есть Ян = 9Ял. Из построенной для широкого диапазона изменения коэффициента к зависимости на рисунке 3 видно, что для получения высокого КПД (более 0,9) должно быть Ян > 10ЯЛ.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 г|(к) 0.99

Рисунок 4 - Зависимость значения КПД от соотношения сопротивления линии и нагрузки

При передаче электрической энергии на значительные расстояния интерес представляют также мощность потерь в линии и выбор с точки зрения минимизации потерь материала и сечения проводов. Так как реальные линии имеют сопротивление линии во много раз меньше сопротивления нагрузки, имеет смысл исследовать энергетические характеристики линии при изменении коэффициента нагрузки к в более широких пределах.

Допустимые потери в линии, которые должны составлять не более 2-10%, выразим в долях от полезной мощности Рн

Рп

пот%

(к)

р (к) - Р (к) 1

исп\к „\ к1. 100% = _. 100%

Рн (к)

к

(11)

Из выражения (11) хорошо видно, что верхний предел допустимых потерь 10%, достигнут при соотношении к= Ян/ Ял = 10, нижний предел 2% получится при к= Ян/ Ял = 50. Отсюда следует вывод, что для минимизации потерь в линии соотношение сопротивлений линии и нагрузки следует выбирать как можно большим. На рисунке 4 показана зависимость потерь в линии, в % от коэффициента нагрузки к. При этом нижний предел изменения к выбирался, исходя из условия достижения минимальных потерь 10%.

Полученные выше формулы можно применить к задаче о работе источника на переменную нагрузку, считая сопротивление линии внутренним сопротивлением источника. Как известно, напряжение источника напряжения не должно значительно зависеть от величины нагрузки и протекающего от него тока. Если, например, задать допустимое падение напряжения источника на выходе и = 2%, т.е. ин = 0,98ивх то по формуле (7) легко рассчитать, в каком соотношении должны находиться внутреннее сопротивление источника

и нагрузки: 0,98 =-, откуда получается, что к = 49.

1 + к

Если требуется провести анализ более сложной разветвленной цепи с несколькими источниками при изменении одного из параметров, то переход к модели неразветвленной цепи можно провести по методу эквивалентного генератора, определив напряжение холостого хода на переменном сопротивлении и входное сопротивление относительно его зажимов. Формула (1) при этом примет вид:

I (k) =

U

хх

Rex + RH

(12)

Рисунок 5 - Зависимость потерь в линии в % от коэффициента нагрузки к

Таким образом, предложенная выше простейшая расчетная модель цепи постоянного тока может успешно применяться для широкого спектра задач, качественного анализа и прогнозирования энергетических характеристик при изменении параметров схемы.

Литература

1. Каплянский, А.Е. Теоретические основы электротехники / А.Е. Каплянский, А.П. Лысенко, Л.С. Полотовский; под ред. А.Е. Каплянского. - М.: Высшая школа, 1972. - 448 с.

2. Поливанов, К.М. Теоретические основы электротехники. Ч. 1: Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными / К.М. Поливанов. - М.: Энергия, 1965. - 358 с.