Качение упругой пневматической шины с проскальзыванием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986 №6

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.43 : 629.7.027.23-254

КАЧЕНИЕ УПРУГОЙ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ ШИНЫ С ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕМ

Е. И. Ларькин, Е. В. Ягольницкий

В рамках уточненной струнной модели получены уравнения качения упругой шины, описывающие процессы ее движения, включая малые поперечные колебания колеса и проскальзывание шины. Рассмотрено стационарное движение колеса с учетом угла увода и проведен расчет частотных характеристик движущейся шины.

Изучение взаимодействия с землей катящегося колеса, снабженного упругой шиной, необходимо для решения задач, связанных с прочностью конструкции самолета и, в частности, для расчета шимми. При теоретическом рассмотрении шимми считают, что качение колеса происходит без проскальзывания шины. Отсутствие проскальзывания обычно постулируется. Однако при качении реальной шины на заднем фронте поверхность контакта обязательно проскальзывает относительно земли, а внешняя касательная нагрузка постепенно уменьшается до нуля [1].

Формирование уравнений качения шины, учитывающих проскальзывание, на базе гипотезы увода [2] или теории Келдыша [3] невозможно при отсутствии ее упруго-массовой модели. Поэтому предварительно были проведены расчеты для выяснения влияния проскальзывания шины на границы устойчивого движения неуправляемых колес самолета. Учет проскальзывания сводится к двум эффектам: снижению эффективной боковой и пяточной жесткостей шины и смещению точки приложения боковой силы, действующей на пневматик со стороны земли. Рассматривалось несколько схем шасси, и в некоторых случаях проскальзывание шины ухудшало устойчивость движения самолета на земле. Это и послужило причиной более точного и детального рассмотрения данного явления.

Благодаря симметрии шины процессы ее движения, связанные с малыми продольными и поперечными колебаниями колеса, можно рассматривать раздельно. Предположим, что материал шины идеально упруг. Будем считать, что невозмущенное движение колеса есть его прямолинейное качение с постоянной скоростью V. Колесо находится под постоянной вертикальной нагрузкой.

Выберем движущуюся с той же скоростью прямоугольную систему координат о'х'у'г', ось о'у' которой перпендикулярна земле, а ось ю'х' находится на поверхности земли и направлена против движения

колеса (рис. 1). Введем также связанную с колесом прямоугольную систему координат охуг. Ось оу направим через центр колеса, а ось ох расположим на земле в диаметральной плоскости колеса.

Выразим возмущенное движение корпуса колеса при его поперечных колебаниях смещением г* (т) точки о вдоль оси о'г' и углом 0 (т) между осями ох и о'х', где т — время.

Смещение точек шины, лежащих при возмущенном движении на земле, выразим через смещение W (х, т) точек средней линии пневматика относительно корпуса колеса вдоль оси oz. Смещением пневматика вдоль-оси ох при поперечных колебаниях пренебрежем. Пусть величина есть скорость проскальзывания точек шины внутри зоны контакта, а вектор напряжений, действующих на точки шины в контактной области, определим величинами Ру, Pz соответственно направленными вдоль осей оу и oz. При этих предположениях перемещение точек средней линии шины внутри зоны ко’нтакта при наличии проскальзывания должно» быть подчинено следующим соотношениям:

dlP dW , dz* d%

V* + V~dF + Ж +x-fc+Vb==0’

Pz = txPy sign Vz,

где |Л — коэффициент трения.

В области, где отсутствует проскальзывание шины, т. е. где У2 = 0» выполняются уравнения:

dW dW dz*- db

у-&т + ~д^ + -фГ + х-ж + уь===0’

Pz < \>.Py.

Перейдем к математическому описанию модели шины. Представим ее каркас состоящим из некоторого количества параллельных струн, соединенных нерастяжимыми нитями корда [4]. Струны упруго связаны с недеформируемым корпусом колеса. К струнам крепится большое количество профильных упругих элементов, так что концы элементов, имеют контакт с землей и воспринимают внешнюю нагрузку с ее стороны. Деформация профильных элементов вне контактной области равна нулю. Материал профильных элементов однороден и в пределах малых колебаний подчиняется закону Гука. Тогда можно записать:

Pz=-cpWp)

где Ср — жесткость профильных элементов в боковом направлении,. №р — деформация элементов в боковом направлении.

Предположим, что при поперечных колебаниях точки связи струн с нитями корда смещаются только в боковом направлении и расстояние между струнами остается неизменным. Рассматривая равновесие сил, действующих на элемент шины длиной йх и полной шириной пневматика 2Ь*, получим уравнение растянутых и жестко связанных струн:

Р 6 с‘ ^ = Р* т)’ (1)

где р—натяжение струн; с5 — жесткость соединения струн с корпусом колеса; — деформация струн в боковом направлении.

Таким образом, полное отклонение шины в контактной области будет состоять из деформации профильных элементов и отклонения струн

X? =Гр+ при |*| < А,

где Ь — полудлина контакта.

Преобразуем уравнение (1). Для этого введем константы:

-Vb •=-?■-/ttW- <2>

Учитывая соотношения (2), уравнение (1) приводим к виду

с/2 W, дхз

При \х\ >L будем иметь

а

2 d*Ws

Общее решение уравнения (3) при отсутствии боковой нагрузки можно представить в виде

Ь + 1* + х

ws (X, -і) = W1 (х) exp (^7^-) + Wa W exP

где a — длина участка релаксации; l* + 2L — длина окружности шины в диаметральной плоскости; Wi(t) и Wz(т) —соответственно деформация струны в передней и задней точках контакта.

Если принять член ехр ^—— j равным нулю, то из (3) получим:

dWs

дх

Щ dWs

x=-L а ’ дх

_ W2

x=L a

Сила и момент, действующие на пневматик, вычисляются интегрированием по контактной области А. При поперечных колебаниях боковая сила и момент равны:

Г = — ^ Рг(х, і)йА\ М— | хРг{х, і)сіА.

А А

Будем считать, что вертикальная нагрузка распределяется по длине контакта по параболическому закону. Это достаточно близко к экспериментальным результатам. Тогда

о здг

где Ру = —— обозначает максимум величины Ру в точке л: = 0; N—вертикальная сила, действующая на ось колеса.

Таким образом, на первом участке зоны контакта, где отсутствует проскальзывание шины, для нахождения деформаций струны и профильных элементов используется система уравнений:

..dW1 , дГ1 У~дГ + -дГ

dz* rf0

+ Х — + М = 0;

dz

с дх1

W' = wl+wlp-, IPz\<vPr

При этом должны выполняться граничные условия:

1) Wl=Wlt j

2) Ws = Wlt ^ ПрИ x = — L.

(4)

3)

aw1

При выполнении граничного условия решение первого

уравнения (4) . будет иметь вид

Wl = (W1 -f z* — Lb) exp [—ps{x + L)] — z* — xb.

(5)

Решение записано в операторной форме р8 = р/У, где р — оператор Лапласа.

Подставляя уравнение (5) во второе уравнение системы (4), найдем

Wl = Q exp (-J) + С2 exp (- -£-) +

+ (s3 — 1) {-5-2* , exP i—Ps (x + L)\ + z* + *01 • I acPs ~ 1 J

(6)

где K=WX + Z* — LG вое

при x = — L\

dW1 Wі

Первое уравнение качения находится из условия

-Г + л) Wi + P,z* + (1 -psL)Q = 0.

(7)

Это уравнение совпадает с уравнением качения струнной теории пневматика, катящегося без проскальзывания.

Во второй зоне контактной области, где происходит проскальзывание шины, должна выполняться следующая система уравнений:

7>1 diT11 d6

V'+V

dW1

дх

+

дх ' dz д* W1} „ p

Рг — рРу(х) sign V Wp = — Pjcp-

+ VQ=0;

Граничные условия имеют вид:

1) ]У1 = \Ри

2) №1=

3)

4)

dWl_ дх dW!

dwl

дх

S

дх

Wl

при х = L^,

при x — L.

Используя первое граничное условие В точке Х = 1.1, получим общее решение первого уравнения (8):

W

11 = {atexp[— ps(L + A)] + -^}exp— Z*

1 Vz

Ps V

if - дів.

(9)

Из соотношения U^i1 — Wn — — Pv (*) sign Vz находим

cp

w" = {ATexp [- p, (L 4- Z.j)] + — -£-} exp\-ps (x -/.,)] -

1 V..

-z*-— -^r-xB + — Py(x) Sign I/,.

(10)

Выполняя граничные условия =УРі при х = —Ь и ^ = №% при х=Ьі, находим деформацию струн на первом участке, т. е. определяем константы Сі и Сг-

Ь

Сж =. [в* Ю^1 — Са ехр

ехр

С,

W,

ехр ) +/Сехр[-/?Д/.1+^)]—г*—Ьх б} + (И)

+ Т$Гр Ру (^1) 51§п = ехР ( - ~ ехр .

Таким образом, соотношения (5), (6), (9), (10) и (11) дают полное распределение деформации шины в контактной области при нашей •схематизации пневматика.

dW

н

При выполнении граничных условий: при д: = ^1,

X а

И?! ехр

при х = Ь находим второе и третье уравнения качения: Ьх ь

+ К(1 — о»./ц)ехр[—PS{L — Z.,)] +

+ г* + Lx і

h-m

sign Vг — §\

і \ V,

(aPs — 1) К ехр (— 2ps L) + (о - -j-) ехр [— ps (L - Lx) + + ys ^ + z* + (а + L) в + 2 -f s’ sign Vz = 0.

(12)

Первое уравнение (12), а также соотношения (11) приближенные. Они получены в предположении малости величины <4 р1 по сравнению с единицей. Предварительный анализ, а также последующие расчеты показали, что (а*/7?)тах~0,01-^0,02.

Боковая сила, действующая на катящуюся шину, будет состоять из боковой силы на участке отсутствия проскальзывания

£.

I

-L

д* Ц7

г -----------

дх*

C'W]

dx

и из боковой силы на втором участке

L L

L* — L\ 1 ЗР~

Окончательно:

Г=с0вЧа^

ехр -

Lx

-1

+К

\ Ps

sign Vг dx = sign V,.

[exp (—ps (Z. + L,))-!].

L? — Z.2 I „

{L-L i)-

l?-l\

3Z.2

sign 1/г.

l L\ L\ \

~2 7J + 17JT ) sign K'

Аналогично для момента, действующего в контактной области:

M = cp**{wlo [(I, + ае) ехр (- + {Ll _ 0с)] + £izil2* +

/ 3 _ / з 1 _ 02 п2 1

+ 6 + K[(\+PSL) ехр (_ps {Ц + L)) + (psL — 1)] [ 4-

| ( 1

‘ О I О I -А ' Ч I Л J

1. Стационарное качение колеса с постоянным углом увода. Предполагаем, что на переднем фронте контакта проскальзывание шины отсутствует. Оно начинает возникать в некоторой точке контакта, расположенной на расстоянии Ьх от начала координат. Далее считаем, что при положительных углах увода отклонения струн положительные, а скорость проскальзывания точек шины отрицательная. Интегрируя первое уравнение (4), которое в стационарном случае имеет вид

dWl

dx

+ 6 = 0,

и используя граничное условие = в точке х = —Ь, получим:

ЧР1 = '№1 — {1 + х)Ъ. (13)

Уравнение (13) показывает, что контактная линия шины в области непроскальзывания — прямая линия, параллельная направлению движения колеса. Используя остальные два граничных условия в точке

х = —Ь, решим второе уравнение (4), т. е. определим смещение струны на первом участке контакта:

1Г 1 ................................

* = {"Г £ + е) ехр (“V") ~ “ е) ехР (— + (1 ^ ) Wl +

+ о -е2) {4- [ехр (^г) -ехр (~ ^)] “ 1 ~ *} б- <14>

Решение второго уравнения (8) содержит две константы интегрирования. Используя одно граничное условие в точке х = Ь, получим для области Ь^х<.Ь:

И7У = Сехр(--^) +o(l + -^-j ехр Аналогично для W11:

+ L

X2

' 7Г *2

W

"= СехР (- -f) + 0 (l + т) ехР (V1) + -2-^ * (16>

где С — константа интегрирования.

Уравнения (13) — (16) содержат неизвестные Li, С, Wi (или 0). Они определяются при использовании трех граничных условий в точке x = Li. Для упрощения последующих формул введем безразмерные величины:

о

~т

ас~ Г >

h.

L

6 = -

Р,=

1‘-Р

,0 »

F =

nLPy

Черточки при обозначении безразмерных величин в дальнейшем опустим. После преобразований получим 0 как функцию Ьс

| = —2

1 -L\

1 - £2

+ 2а

■ О + (1 + о) ехр

■Lt

В + £

1—if

1 — е2

AD+EB

где

А = 2 + (1+ е) ехр + (1 — в) ехр (- Ц-^) ;

В = — 2s + (1 - в) ехр - (1 — в) ехр (- ;

Е = 2 (1 + L,) + о (1 — £2) [2 - ехр (‘±^) — ехр (-

Г /1 + ЬЛ [ 1 +

D = 2s (1 + £,) + а (1 — е2) [ехр - ехр (-

Если известна величина 0, то №1 может быть найдена по формуле

—^ — 06 — , (18>

2е

W,= -

а константа С — из соотношения С = j UP, — (1+ /.,) 8—о (о+1) ехр

В

1 -L,

Л + 2о*

1 — Z.

7^72

П I L ехр

(19)

Таким образом, уравнения (13) — (16) совместно с соотношениями (17) — (19) описывают деформацию точек шины, лежащих в контактной области. Пример ее поведения для одного из вариантов расчета приведен на рис. 2.

Зная распределение деформации шины, определим боковую силу, действующую на нее:

Рассмотрим предельные случаи. При Ьу=\ проскальзывание отсутствует. В этом случае справедливы соотношения: ■;

Из (20) при е-Ю можно получить известные соотношения струнной теории качения шины:

3

(2 - ЗІ, + І?) ХРі + (1 + *)(! + Ц) ( Фї+ Є) + -2- (1 — /Л) О +

— 2е Ч- (1 + є) ехр (— | —(1 — £-) ехр

V °С I

(20)

/7 = 2(1 +<0(1^ 4 0) + [і — ехр (-^)] - (1 ~е*)о*]в-

2

б

—.

Рис. 2

уух =-о6; /=■ — 2(1 + а)2 в.

Рис. 3

При .£-1 = — 1 шина проскальзывает по всей контактной области. Боко-

4

вая. сила равна Рск = -^. Критический угол, при котором /7 = 0,9ГСК, определяется из соотношения

екр = (1 + о)ехр(— — 0+1.

На рис. 3 показан пример расчета силы бокового увода одной из авиационных шин при нескольких значения параметра е.

2. Расчет частотных характеристик шины. Решение полученных уравнений качения с учетом проскальзывания шины представляет собой большую трудность. Система уравнений движения получилась громоздкой и существенно нелинейной. Дополнительную сложность вносила практическая невозможность ее численного интегрирования по времени. Невозможно было применять и обратное преобразование Лапласа с целью перехода от изображения к оригиналу.

Кроме того, отсутствие экспериментальных данных о влиянии проскальзывания на динамику качения колес делает теоретический анализ несколько академичным. Можно также ожидать изменения параметров шины в процессе движения в зависимости от состояния поверхности земли, типа протектора шины, ско- ^

роста качения. Однако, несмотря о,к

на это, качественная сторона полу-чающихся зависимостей реакций Zgs

земли от параметров пневматика представляет интерес для исследователей шимми.

Алгоритм расчета частотных характеристик строился следующим образом. Переменные К, р$,

v ImF e-0,J ,6=2,0

; oo/T"

o,osv0/1

0,027

/0,038

/o,m

0J25

i i 1 1 1 i

sign Уг, Vz, F, М записывались в 0 °>05 ReF

комплексном виде. Из первого урав- Рис. 4

нения качения (7) находилось выра-

жеие для Wi в комплексной форме для определенного значения частоты 05 {ps == i -yj- ПРИ заданной амплитуде 0О в (17) для различных Li из

системы (12) находились Vz и signVz и затем подставлялись в выражение для боковой силы. Передаточные функции определялись как

\OFb\—V (ReFf + (ImF)2 ; -9j?е = arctg(-gf).

Аналогично определялись |£?же| и для момента, действующего на пневматик.

На рис. 4 показано поведение годографов боковой силы при различных 0.

Полученные результаты позволяют сделать предварительный вывод, что практически всегда учет проскальзывания снижает величину боковой силы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г оз дек В. С. Об уравнениях качения упругой шины.— Ученые

записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 4.

2. Н е й м а р к Ю. Н., Ф у ф а е в Н. А. Динамика неголономных си-

стем.— М.: Наука, 1967.

3. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси.— Труды ЦАГИ, 1945, вып. 564.

4. Р а с е j к а Н. В. The wheel shimmy phenomenon — Ph. D. Thesis,

Delft Technical Institute, Holland, 1966, Dec.

Рукопись поступила 26/VI 1985 г.