Об уравнениях качения колеса с упругой шиной Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м XV 19 8 4 № 2

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.43

ОБ УРАВНЕНИЯХ КАЧЕНИЯ КОЛЕСА С УПРУГОЙ ШИНОЙ

В. С. Гоздек

Задача о малых колебаниях катящегося колеса, оснащенного упругой шиной, формулируется как краевая задача для уравнений с частными производными. Предлагается способ приведения этой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предложен метод составления уравнений качения, приближенно учитывающих инерцию деформируемой шины.

Уравнения, связывающие движение катящегося колеса, оснащенного упругой шиной, и реакцию на шину со стороны опорной поверхности, необходимы при решении ряда задач и, в частности, при исследовании шимми колес шасси самолета. Используемые при изучении шимми колес уравнения качения шины обычно базируются на следующих допущениях [1—3]:

— материал шины считается идеально упругим;

— предполагается, что качение шины происходит без скольжения относительно опорной поверхности;

— предполагается, что при качении имеют место дополнительные связи между переменными, характеризующими деформацию шины.

Последнее допущение формулируется разными авторами по-разному в зависимости от принимаемой схемы шины.

В статье предлагается метод составления уравнений качения колеса, свободный от ограничений в отношении используемой схемы упругой шины.

1. Рассмотрим малые колебания катящегося колеса. Будем считать эти колебания возмущением исходного движения.

Пусть невозмущенное движение представляет собой прямоли-

нейное качение колеса с постоянной скоростью V под постоянной нагрузкой по плоской поверхности земли. Введем движущуюся со

скоростью V прямоугольную систему координат о'х'у'г', ось о'х' которой находится на поверхности земли и направлена против

вектора скорости V, а ось о'у' перпендикулярна земле. Введем также прямоугольную систему координат охуг, оси ох и оу кото-

рой лежат в плоскости симметрии колеса. При этом ось ох параллельна земле, а центр колеса находится на оси оу на неизменном расстоянии от начала координат (рис. 1). Пусть при невозмущенном движении соответствующие оси этих систем совпадают между собой. Определим возмущенное движение корпуса колеса, который будем считать недеформируемым, смещениями $*(<); (¿); яг(0

точки о в направлении осей о'х'\ о'у'\ о’г', углами поворота <рх(£);

?у(£): системы охуг относительно осей о’х' и о'у', а также приращением <вг (0 угловой скорости корпуса колеса относительно оси его вращения (Ь—время).

Пусть точки внешней поверхности шины при невозмущенном движении колеса образуют поверхность 2. Определим вектором

Д (х, у, х, Ь) смещение точек поверхности шины относительно корпуса колеса, обусловленное возмущенным движением:

Д(лг, у, г, 0 = и(лг, у, г, у, г, ¿)^+т(х, у, г, /)&,

X, у, ге2,

где г; /; к-—единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей ОХ, оу И 02.

Будем называть зоной контакта участок поверхности Й! катящейся шины, находящийся в соприкосновении с землей при невозмущенном движении.

Допустим, что шина является идеально упругим телом, не обладающим инерцией. В этом случае компоненты реакции на шину со стороны земли можно найти как решение задачи о статическом напряженно-деформированном состоянии шины, если нам будет известно смещение точек ее поверхности в зоне контакта с землей.

Предположим, что поверхность катящейся шины не проскальзывает относительно земли в зоне контакта, т. е. абсолютная скорость точек поверхности шины в зоне контакта равна нулю. При малых возмущениях из этого допущения вытекает следующая связь между компонентами возмущенного движения корпуса колеса и шины:

, г ди , ди , ■ . V , А

^ + £+¿, + ^,+ 1^ = 0; | 0)

дх дЬ 7 *

V 4- + гух = 0, х,-г£йи )

где ш0 — угловая скорость колеса при невозмущенном движении.

Поскольку граничные условия (1) не определяют полностью функции и(х, г) и тю(х, 2) в зоне контакта, обратимся к особенностям деформации материала шины на границе этой зоны [4, 5]. Обозначим через Л линию границы зоны контакта при невозмущенном движении колеса (рис. 2). Эту границу можно разделить на две части: передний фронт контакта, т. е. участок границы, пересекая который точки поверхности катящейся шины приходят в соприкосновение с землей, и задний фронт контакта, т. е. участок

границы, пересекая который точки поверхности катящейся шины отходят от земли. Определим точки границы контакта длиной \ дуги, отсчитываемой от передней точки зоны контакта. (Точка А на рис. 2.) Обозначим через г\ расстояние от границы контакта до точек поверхности шины. Будем отсчитывать это расстояние в направлении внешней нормали к линии Л. В дополнение к функциям и(х, 2, ¿), v(x, 2, ¿) и Ш)(х, 2, £) выразим смещение точек поверхности шины в окрестности границы контакта смещением g{%, 1], в направлении касательной к линии Л и смещением /г (£, г], £) в направлении нормали к этой линии. Будем отмечать индексом „ + “ функции g и Л для свободной поверхности шины и индексом „—“ значения функций ^ и А внутри зоны контакта.

Рассмотрим вначале особенности функций ^ и Л на границе зоны контакта при отсутствии качения колеса. Сместим корпус колеса, шина которого имеет неподвижную зону контакта с землей, из исходного положения. Это смещение вызовет изменение деформации материала всей шины и, в частности, — изменение деформации на ее свободной поверхности вблизи границы контакта. Следовательно,

В то же время поверхность шины внутри зоны контакта останется недеформированной, т. е.

Таким образом, смещение корпуса колеса относительно зоны контакта вызывает разрыв первого рода производных дg¡дf\ и дН/дц на границе зоны контакта. Заметим, что производные дg|д% и д/г/д£ не могут иметь разрыв на линии Л из-за неразрывности материала шины.

Возвращаясь к рассмотрению катящейся шины, покажем, что на линии переднего фронта контакта производные дg|дr^ и остаются непрерывными, тогда как на линии заднего фронта контакта эти производные могут иметь разрыв первого рода. Указан-

Рис. 2

ные особенности деформации катящейся шины являются следствием допущений об идеальной упругости ее материала и об отсутствии скольжения шины относительно поверхности земли.

Процесс на линии переднего фронта контакта можно представить как поочередное прикрепление к земле сколь угодно малых площадок поверхности шины без приложения к этим площадкам в момент прикрепления внешней касательной нагрузки. Единственным источником такой нагрузки могла бы быть сила трения в случае скольжения площадки по земле перед прикреплением, однако такие режимы качения нами не рассматриваются, так как они не отвечают условию непроскальзывания шины во всей зоне контакта. При прохождении каждой площадки через линию переднего фронта контакта прекращается изменение деформации материала шины на поверхности этой площадки до момента прохождения через линию заднего фронта контакта. В течение этого промежутка времени аналогично рассмотренному выше случаю смещения корпуса колеса при отсутствии качения появляется касательная нагрузка, действующая на площадку со стороны земли. На линии заднего фронта контакта площадки, отделяясь от поверхности земли, сразу же переходят в напряженно-деформированное состояние, отвечающее равновесию шины при существующем в данный момент времени смещении точек ее поверхности в зоне контакта с землей. Принципиальное различие напряженно-деформированных состояний материала шины в окрестности линий переднего и заднего фронтов контакта состоит в том, что на линии заднего фронта контакта при отделении площадки от земли на нее одновременно перестает действовать внешняя касательная нагрузка, а на линии переднего фронта контакта прикрепление площадки к земле не сопровождается возникновением касательной нагрузки.

Итак, возмущенное движение катящейся шины определяется следующими условиями:

— деформация шины и реакция на шину со стороны земли, как и при отсутствии качения, определяются в каждый момент времени смещением относительно корпуса колеса точек поверхности шины в зоне ее контакта с землей;

— в зоне контакта шины с землей функции и(х, г, £), v{x,z, /) и т(х, г, £) удовлетворяют уравнениям (1);

— на линии переднего фронта контакта производные ди/дх, ди/дг, дм/дх и дт1дг остаются непрерывными. На линии заднего фронта контакта указанные производные могут иметь разрыв первого рода.

В дальнейшем будет показано, что перечисленные условия полностью определяют процесс качения упругой шины. При качении реальной шины около заднего фронта контакта возникает область, в которой поверхность шины проскальзывает относительно земли. Мы пренебрегаем влиянием этого явления на процесс качения шины для упрощения рассматриваемой задачи.

2. Точное решение сформулированной выше задачи возможно лишь при сильно упрощенной модели шины. Воспользуемся методом заданных форм для приближенного описания процесса качения

реальной шины. Представим приближенно вектор Д(х, у, г, ¿) суммой следующего ряда:

Д(х, у, г, 0= 2/Д*. У, х, у, г б 2, (2)

¿ = 1

где qt {t) — функции времени, принимаемые в качестве обобщенных

координат, fi(x, у, z) — формы смещения точек поверхности шины из положения, занимаемого ими при невозмущенном движении.

Зададим формы /, внутри зоны контакта степенными функциями координат х и z. Допустим, что нами решены задачи о напряженно-деформированном состоянии покоящейся шины при заданных этими функциями смещениях точек ее поверхности в зоне контакта с землей. Не будем здесь останавливаться на методике решения указанных задач, требующей специального рассмотрения.

Продолжим каждую из форм /г за пределы зоны контакта в виде решения соответствующей задачи о статической деформации шины. Решения указанных задач позволяют выразить компоненты Rj реакции на шину со стороны земли линейными комбинациями переменных qt(t)\

Rj(t)=^aijqi(t). (3)

¡=i

Кроме того, решения тех же задач определяют функции Gt(k) и ЯДЕ), характеризующие величину разрыва производных dg/d^i и dh/dy на границе контакта:

д-q д-ц ’ H&) ду д7) ■ (4)

Следовательно, при качении шины величина разрыва производных dg/dt1 и dhjdri на границе контакта выражается линейной комбинацией переменных qt{t)\

G (S, t) = 2 G (I) qt (ty, tf(S, /)=2Я< (5) Я, (0- (5)

i=i i=i

Связь между переменными qt(t) и компонентами возмущенного движения корпуса колеса порождается условиями непроскальзы-вания шины и непрерывности деформации шины на линии переднего фронта контакта. Функция (2) позволяет выполнить эти условия лишь приближенно. Подставляя (2) в левую часть уравнений (1), получим три функции Ф;-, представляющие собой линейные комбинации переменных qj, составляющих движения корпуса колеса и их первых производных. Умножая Фу соответственно на векторы i, j, k и складывая эти произведения, получим векторную функцию Ф. Потребуем равенства нулю пх первых членов разложения функции Ф в области в ряд по некоторой полной системе векторных функций Ak(x, z):

¡Ф(х, z, t)Ak(x, z)dQ = 0, А = 1,2(6)

Потребуем далее равенства нулю п2 и п3 первых слагаемых в случае разложения в ряд функций (5) на линии переднего фронта контакта по некоторым полным системам функций Вк(%) и Ck(t). Последнее требование выражается пъ + пъ линейными зависимостями между переменными qi{ty

& ------ 1, . . . , /¿2»

п

/Я(Е, *)-С*(е)Л = Е8«Ы*) = 0,

А = 1, . .

Если число связей (6) и (7) равно числу функций <7£(£) в (2), т. е. если п = п1 + п2 + л8, соотношения (3), (6), \7) образуют замкнутую систему уравнений качения шины. Оставим без рассмотрения вопросы о возможности вырождения полученной системы уравнений, а также о рациональном выборе форм /г и функций

Благодаря симметрии шины относительно плоскости хоу ее малые продольные и поперечные колебания не связаны между собой и могут рассматриваться раздельно. Остановимся подробнее на уравнениях качения применительно к поперечным колебаниям колеса. Зададим смещение поверхности шины в области ее контакта с землей следующей суммой:

щение зоны контакта как твердого тела вдоль оси ог и ее поворот относительно осей оу и ох. Остальные слагаемые характеризуют деформацию материала шины в зоне контакта.

В результате решения задач о деформации шины по формам

А /б найдем функции (4), а также коэффициенты линейной связи между компонентами реакции на шину и функциями

где Рг, Му и Мх— соответственно сила, действующая на шину со стороны земли в направлении оси ог, и моменты сил, действующие относительно осей оу и ох. Благодаря симметрии шины часть коэффициентов в (3)' равна нулю:

Функции б7(£) симметричны, а функции И¿(Е) кососимметричны от-

Ак(х, 2); Вк{1)-, С*(?).

в

1 = 1

(2)'

X, 2 £9,.

Слагаемые /1*7,,/2 и /з<7з в (2)' выражают соответственно сме-

6

6

в

/%(0=2«1 .!?,(*); .2 «8.1 ?/(*): Мх$)= .2 «3.1 ?,(*). (3)'

¡=1 г=1 ¡=1

«1, 2 = *1, 4 — «2,1 = «2, 3 = «2, 5 = «2, 6 = а3, 2 = «3, 4 — 0.

В этом случае условие непроскальзывания поверхности катящейся шины относительно земли выражается следующими соотношениями:

Яг + Р1 Яъ + УЦг + — 0;

<7а+ УЯъ +?у = 0;

(6)'

Яз + 9х = 0>

21

Зададим в (7) следующие функции Вк{£) и С*(£):

Вх=\, С1 = з1§п|.

Тогда условие непрерывности деформации шины на линии переднего фронта контакта выражается соотношениями (см. рис. 2):

Соотношения (3)', (6)' и (7)' образуют замкнутую систему уравнений качения шины при поперечных колебаниях колеса.

Таким образом, для составления уравнений качения шины необходимо получить решения ряда задач о напряженно-деформированном состоянии этой шины при заданных статических смещениях относительно корпуса колеса точек ее поверхности, образующих зону контакта с землей. По мере увеличения числа используемых решений уравнения качения более точно отвечают условию непроскальзывания поверхности шины относительно земли и условию непрерывности деформации материала шины на линии переднего фронта контакта и, следовательно, более точно воспроизводят связь между движением корпуса колеса и реакцией на шину со стороны земли. Поясним это на примере поперечных колебаний катящегося колеса.

Зададим деформацию шины двумя первыми слагаемыми в (2)'. В этом случае условие непроскальзывания шины относительно земли может быть выражено лишь первым из соотношений (6)'. Выразим условие непрерывности деформации материала шины на линии переднего фронта контакта первым из соотношений (7)'. В результате мы получим уравнения качения, известные как „теория бокового увода шины“ [2]. Уравнения удовлетворительно отражают процесс качения колеса под небольшой вертикальной нагрузкой, если одновременно мала частота его колебаний, т. е.

(7)'

в условиях, когда размеры зоны контакта малы в сравнении с размерами шины и длиной пути, пройденного колесом за период колебаний.

Если дополнительно ввести в рассмотрение функцию q3 из (2)', уравнения качения будут учитывать влияние угловых колебаний колеса, характеризуемых переменной на компоненты реакции

(3)' и связь между переменными qx и q2 (7)'.

Если к обобщенным координатам qlt q2 и q3 добавить функцию qb из (2)', характеризующую изгиб шины в зоне контакта, можно более точно выполнить условие непроскальзывания шины относительно земли, выражая его первым, вторым и четвертым из соотношений (6)'. Условие непрерывности деформации шины на линии переднего фронта контакта по-прежнему останется выраженным лишь первым из соотношений (7)'. Полученные при таком подходе уравнения качения практически совпадают с уравнениями, предложенными в работе [1]. В отличие от уравнений теории бокового увода шины последние уравнения учитывают протяженность зоны контакта вдоль оси ох и, как следствие, позволяют объяснить факт устойчивости от шимми свободно ориентирующегося колеса при относительно малой скорости качения.

Задавая, наконец, деформацию шины полным выражением (2/, мы дополнительно вводим в рассмотрение деформацию сдвига в материале шины, способную изменяться вдоль зоны контакта с землей. Такое дополнение дает возможность более точно выполнить условие непрерывности деформации материала шины на линии переднего фронта контакта, которое выражается теперь двумя соотношениями (7)', и, следовательно, точнее учесть протяженность зоны контакта вдоль оси oz. Решение уравнений (3)', (6)' и (7)' отражает факт снижения момента Му, действующего на шину при установившемся качении с углом увода, в сравнении со случаем поворота на такой же угол зоны контакта неподвижной шины. Помимо этого, указанное решение воспроизводит процесс демпфирования поперечных колебаний катящегося колеса продольными силами, действующими на шину в зоне контакта.

3. Остановимся здесь на методике составления уравнений качения шины, учитывающих инерцию ее материала, в случае поперечных колебаний колеса. Ориентировочные оценки показывают, что влияние сил инерции на характеристики качения реальных шин относительно невелико, поэтому представляется возможным учесть влияние указанных сил хотя бы приближенно.

Будем рассматривать процесс качения шины, обладающей инерцией, как качение безынерционной шины, к поверхности которой

дополнительно приложена инерционная нагрузка Р(х, у, z, t), определяемая выражением:

Р(х, у, z, *)=— р(х, у, z) 1(х, у, z, t), х, у, z €2, (8)

где р — масса элемента шины, отнесенная к площади его внешней поверхности,

I — вектор ускорения точек поверхности шины, порождаемого возмущенным движением.

Считая нагрузку Р малой в сравнении с реакцией на шину со стороны земли, допустим, что ускорение I может быть с достаточной

7—«Ученые записки» № 2

97

точностью выражено через компоненты возмущенного движения корпуса колеса и деформацию шины по формам (2).

Вектор ускорения / удобнее представить в системе цилиндрических координат, поэтому выразим положение точек на поверхности Q углом ©, радиусом г и координатой 2 (см. рис. 1)

1 = arctg —-— ; г = V х1 + (г0 — у)2,

Го —у

где г0 — расстояние от оси колеса до земли при невозмущенном движении.

Выразим смещение точек поверхности шины относительно корпуса колеса также в системе цилиндрических координат:

Д = 6’ 2)^9 + V*1 (г> 9’ z^e + w* (г’ 6’ ^ qt W’ (9)

« = 1

г, е, 2 б Q,

где ¿в и у'е — единичные векторы, лежащие в плоскости хоу и образующие с ОСЯМИ ОХ и оу соответственно углы 0 и 0--------------.

Вектор ускорения I(г, 9, 2, t) определяется следующим выражением:

/ = (sz — Г0 <fx) k + «pj, (r COS 0 Ъ + 2 COS 0 ¿9 -Ь 2 Sin б /9 -f-+ ^ (г sin 0 k + z sin 6 íe + 2 eos 0 ye) -f 2ш0 (tpy r sin 0 k -f 9X r eos 0 k) -f-

+ 2 ífi Qi + 2% -гг Я i + “o Я1) = 2 fk(r> z) Як (0- (10)

/ = i \ o0 да / ft=i

Следовательно, инерционная нагрузка P(r, 0, 2, ¿) также выражается линейной функцией переменных qk(t), входящих в (10):

Р {г, 0, 2, t) = 2 рк (Г, 0, 2) qk(t). (8/

А = 1

Решая задачи о деформации шины под действием статически приложенных нагрузок Pk (г, 0, 2) при неподвижном корпусе колеса и неподвижном участке поверхности шины в зоне ее контакта с землей, определим коэффициенты а"*, связывающие инерционную нагрузку, передаваемую шиной на корпус колеса, с функциями qk(t):

FT (t) = 2 aft qk (ty, My (t) = 2 я™, * <7* (<);

ft=i fe=i

(П)

М7 (0 = 2 «5"м4*(*),

й = 1

а также найдем функции Сг™ (С) и //¿н(С), характеризующие разрыв деформации материала шины на границе зоны контакта под действием этой нагрузки:

Син (5, 0 = 2 ОТ (!) Чи (*); яин (Е, 0 = 2 ЯГ (С) (0. (12)

Й = 1 А=1

Тогда компоненты реакции на корпус колеса со стороны шины и условие непрерывности деформации шины на линии переднего фронта контакта вместо (3) и (7) выражаются следующими соотношениями:

Fl=Fz + FT; м; = му + миуя\ М*х = Мя + М*/; (13)

f (Gl+G»") Bk(t) = 0; f (H+H**)Ck(l)iK = 0. (14)

о о

k - 1 , • . I f ТЬ2 k ■■ ■ - lj • • I j /ig

Условие непроскальзывания поверхности шины относительно земли по-прежнему выражается соотношениями (6). Итак, соотношения (6), (11), (13) и (14) образуют замкнутую систему уравнений качения шины, учитывающую влияние инерции ее материала.

Отметим, что соотношения (11) учитывают силы инерции, связанные как с деформацией шины, так и с ее движением как твердого тела вместе с корпусом колеса.

Остановимся в заключение на одной особенности уравнений качения шины, учитывающих инерции ее материала. Влияние инерционной нагрузки Р (г, 6, z, t) выражено нами в виде дополнительной реакции на корпус колеса и дополнительного разрыва деформации материала шины на границе зоны контакта в условиях, когда зона контакта шины с землей остается неподвижной. В то же

время действие нагрузки P (г, 0, z, t) можно выразить в виде дополнительной реакции на корпус колеса и дополнительного смещения поверхности шины относительно земли в зоне контакта в условиях, когда на шину со стороны земли не действует нагрузка. В последнем случае условие непроскальзывания, шины вместо (6) будет выражено более сложным соотношением, а условие непрерывности деформации шины на линии переднего фронта контакта будет представлено соотношениями (7). Указанные пути составления уравнений являются эквивалентными, однако второй путь при прочих равных условиях ведет к системе уравнений более высокого порядка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколеского шасси.—Труды ЦАГИ, 1945, вып. 564.

2. Неймарк Ю. Н., Ф у ф а е в Н. А. Динамика неголономных систем.—М.: Наука, 1967,

3. Ра се j ka Н. В. The wheel shimmy phenomenon.—Ph. D. Thesis,

Delft Technical Institute, Holland, Dec. 1966.

4. Гоздек В. С. Устойчивость качения сблокированных ориентирующихся колес шасси самолета. — Труды ЦАГИ, вып. 1196, 1970.

5. Гоздек В. С. К постановке задачи о качении колеса с упругой шиной. ДАН СССР, 1969, т. 186, N° 5.

Рукопись поступила 22/П ¡982 г.