CC BY
0ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 «Математика. Механика. Информатика« Вып. 4(63)
Научная статья
УДК 531- 9; 514.853
DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-70-79
К задаче приведения уравнений динамики твердого тела в гиперболическом пространстве
Николай Николаевич Макеев
Саратов, Россия, nmakeyev@mail.ru
Аннотация. Приводится аффинное преобразование пространства скоростей системы уравнений движения абсолютно твердого тела, движущегося относительно центра инерции в гиперболическом пространстве постоянной отрицательной кривизны. Движение тела происходит под воздействием системы гироскопических сил и постоянной следящей обобщенной силы, заданной силовым винтом. Структура гироскопических сил задается специальными условиями, содержащими характерные постоянные параметры (гироскопические коэффициенты). Для преобразованной системы уравнений при заданных структурно-кинетических ограничениях проводится редуцирование системы к интегро-дифференциальному уравнению, полученному относительно одной из компонент винта скорости сдвига. Приводится пример точной линеаризации преобразованной системы уравнений.
Ключевые слова: гиперболическое пространство; абсолютно твердое тело; гироскопические силы; редукция динамической системы; линеаризация системы уравнений
Для цитирования: Макеев Н. Н. К задаче приведения уравнений динамики твердого тела в гиперболическом пространстве // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 4(63). С. 70-79. DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-70-79.
Статья поступила в редакцию 10.10.2023; одобрена после рецензирования 25.10.2023; принята к публикации 29.11.2023.
Research article
On the Problem of Reducing the Equations of Rigid Body Dynamics in Hyperbolic Space
Nikolay N. Makeev
Saratov, Russia, nmakeyev@mail.ru
Abstract. An affine transformation of the space of velocities of the system of equations of motion of an absolutely rigid body is given, moving relative to the center of inertia in a hyperbolic space of constant negative curvature. The movement of the body occurs under the influence of a system of gyroscopic forces and a constant servo generalized force specified by the power screw. The structure of gyroscopic forces is given by special conditions containing characteristic constant parameters (gyroscopic coefficients). For the transformed system of equations under given structural-kinetic constraints, the system is reduced to an integro-differential equation obtained with respect to one of the components of the shear rate screw. An example of exact linearization of the transformed system of equations is given.
Keywords: hyperbolic space; absolutely rigid body; gyroscopic forces; reduction of a dynamical system; linearization of the system of equations
For citation: Makeev N. N. On the Problem of Reducing the Equations of Rigid Body Dynamics in Hyperbolic Space. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2023;4(63):70-79. (In Russ.). DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-70-79.
The article was submitted 10.10.2023; approved after reviewing 25.10.2023; accepted for publication 29.11.2023.
Эта работа О 2023 Макеев H.H. распространяется под лицензией СС BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Введение
Начало исследованию динамики твердого тела в гиперболическом пространстве было положено в работах, опубликованных в период, начиная с 70-х годов XIX века. Целью этих работ являлась верификация основных положений геометрии Н.И. Лобачевского в применении принципов классической механики Галилея-Ньютона к решению задач динамики твердого тела для неевклидовых пространств.
В 1873 г. У.К. Клиффорд исследовал движение тела в пространстве постоянной положительной кривизны (эллиптическом пространстве Римана) и эти исследования в дальнейшем продолжились. Основой этих разработок явилась геометрическая теория винтов, созданная Р.С. Боллом, конструктивное построение которой было наиболее полно разработано А.П. Котельниковым.
Новый этап в развитии теории динамики твердого тела для гиперболического пространства открылся с публикации работы А.П. Широкова [1], в которой рассмотрен аналог регулярной прецессии тела, существующий в евклидовом пространстве и распространенный на пространство Н.И. Лобачевского. Публикация этой работы вызвала появление ряда новых исследований в области динамики тела в гиперболическом пространстве, а также в трехмерном псевдоевклидовом пространстве и на плоскости Лобачевского.
К настоящему времени это научное направление продолжает расширяться. Библиография, относящаяся к истории возникновении и развития неевклидовой механики, содержится в работе [2].
1. Предварительные положения
Согласно проективной модели Ф. Клейна [2], пространство Лобачевского (пространство L3) реализуется внутренними точками абсолюта
gjX = - (xx)2- (x2)2- (x 3)2+ (x4)2 = 0 (1)
гиперболического пространства Г3. Здесь gj -метрический тензор псевдовекторного четырехмерного пространства, рассматриваемого как трехмерное проективное пространство Рз, реализующее пространство L3. Отобразив точки пространства Рз на точки гиперсферы
псевдоевклидова пространства Я\ , при реше-
нии задач в пространстве Г3 применяем тензорный аппарат пространства Я\.
Под движением пространства Г понимается проективное линейное преобразование, переводящее в себя абсолют (1). Поскольку между одночленными группами движений в пространстве Г и специальными линейными
комплексами в пространстве Рз существует взаимно однозначное соответствие, то движение в пространстве Г, как и в пространстве Ьз, можно задавать бивектором пространства Я\ [3].
Трехмерное проективное пространство Рз , реализующее пространство Ьз, рассматривается как псевдовекторное четырехмерное пространство с метрическим тензором gij (1). Для отображения винтов в пространстве Ьз здесь применяется правило А. Котельникова-Е. Штуди путем их отображения на комплексные векторы комплексного евклидова пространства[2].
Рассмотрим свободное от связей абсолютно твердое тело, движущееся относительно его центра инерции в гиперболическом пространстве Ьз. Пусть К0(е°... е- опорный координатный тетраэдр, автополярный относительно абсолюта (1), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством Ьз. Этот неподвижный тетраэдр задается точками е° (у = 1, ..., 4) данного пространства. С твердым телом неизменно свяжем подвижный координатный невырожденный тетраэдр К (е ... е ) (тетраэдр инерции тела), заданный точками е ■ (] = 1, ... , 4), также автополярный относительно абсолюта (1). При этом тетраэдр Я выбирается так, чтобы его вершина - точка в4 тела - была собственной, совпадала с центром инерции тела, и чтобы пространственные ориентации этих тетраэдров совпадали [2].
Положение тетраэдра Я и его точек относительно Я0 задается параметрами положения и ориентации по схеме, принятой в работе [2]. Положение точки в4 задается двумя линейными и одним угловым параметрами, а ориентация тетраэдра Я относительно Я0 определяется заданными углами Эйлера.
Таким образом, взаимное положение данных тетраэдров устанавливается упорядоченным набором шести заданных характерных параметров.
Мгновенное состояние тела в пространстве Ьз задается винтом мгновенной скорости V 34(у3'4, «4) (кинематическим винтом) и винтом мгновенного кинетического момента (винтом импульса или кинетическим винтом)
0]4 4, - А(«4) (3 =1,2,3) стержня.
Здесь (V3 4, Ву4 ) — компоненты скорости
сдвига и моменты инерции сдвига тела относительно его главных осей инерции, соответственно; (О4, Л-4) (3 = 1, 2, 3) — компоненты скорости вращения и моменты инерции вращения тела относительно тех же осей, соответственно. Определения моментов инерции твердых тел в пространстве Ьз как понятия приведены в работе [1].
В дальнейшем предполагается, что движение твердого тела происходит под воздействием сил с гироскопической структурой (по Томсону и Тэту [4, 5]).
Система уравнений движения твердого тела, происходящего под воздействием силового винта внешних сил в пространстве Ьз, имеет вид [4]
В1АУ 14+ (Л34 + В2А)(у3«24- V2«34) + + Л34- Л24+ А12«24- Л34= к2т14,
Л(«14+ (В34 - в24)(«24«34+ V ''V34) + + Л12у24- Л3^34+ А34«24- А24«34 = (2) = - к2 п23 (1,2,3).
В системе уравнений (2) каждая из двух групп уравнений задана приведенным здесь уравнением-представителем. Остальные уравнения каждой из этих групп могут быть получены из данных путем циклической перестановки индексов 1, 2, 3 в указанных величинах, что здесь и всюду далее обозначается общепринятым символом (1, 2, 3).
В уравнениях (2) числа Л Г', т г\ пГ (г = 1, 2, 3; 5 = 1, ... , 4; г Ф 5) — заданные постоянные коэффициенты и характерные параметры винта внешних сил, соответственно.
Поскольку мощность силового винта с
1 ГА „„ ГА' „ ГА' Г\
параметрами Л при т = п = и тождественно равна нулю, то силы, определяемые этим винтом при данных условиях, являются
Г'
гироскопическими, а параметры Л — заданными гироскопическими коэффициентами, обусловливающими гироскопический эффект.
Система уравнений (2) эволюционного типа является многопараметрической и аналитически замкнутой относительно компонент скоростей v14, а14 (1 = 1, 2, 3) при значениях заданных параметров (mrs, nrs) = const. Эта система может быть интерпретирована как динамическая система гиростата, движущегося в пространстве L3, c гиростатическими параметрами Лrs [4]. Система уравнений (2) в дальнейшем называется основной динамической системой (ОДС).
Из многообразия решений (aj4, v14) (j =1, 2, 3) системы уравнений (2) выделим множество, для которого гипотетически существуют соотношения связи вида
а4 = n}v34 + m (j = 1,2,3), (3) где n ■, m. — неотрицательные постоянные, подлежащие определению такие, что
3 3
Пn * 0, П(n - n) * 0 (i * j). (4)
1=1 1, 1=1
Система равенств (3) при условиях (4) может быть геометрически истолкована как невырожденное аффинное преобразование, являющееся композицией центрально-аффинного преобразования с центром, совпадающим с центром инерции тела, и параллельного переноса. При этом постоянные n являются коэффициентами центрально-аффинного преобразования, величины mj — параметрами параллельного переноса, а первое соотношение (4) — условием невырожденности данного преобразования.
Если допустить, что все параметры nj = n, mj = 0, то условия (3) соответствуют винтовому движению тела с параметром винта n Ф 0. Второе ограничение (4) исключает существование винтового движения тела из множества возможных движений, определяемого условиями (3).
Ограничения (4) исключают существование двух следующих случаев движения тела. Первый из них, при котором все nj = 0, согласно равенствам (3), соответствует перманентному вращению тела со скоростями of4 = mj (j = 1, 2, 3). Второй случай, при котором все значения nj = n0 * 0, как будет показано далее, предполагает существование центральной структурно-кинетической симметрии тела
(Aj4 = A, B4 = B; j = 1,2,3), для которого значение величины параметра n является неопределенным.
Ставится задача: применяя невырожденное преобразование (3) с условиями (4), привести ОДС (2) к динамической системе третьего порядка при выполнении определенных ограничений.
Эта формулировка соответствует ограниченной задаче редуцирования ОДС, реализуемой при определенных условиях совместности, построенных для исходной и преобразованной динамических систем.
2. Приведение основной динамической системы
Применяя к уравнениям системы (2) преобразование (3), в результате получаем системы уравнений следующих групп 1 и 2. Уравнения движения группы 1:
• 14 24 34 24
а01у14 + аиу V + а21у +
34 г\
+ а3^ + а41 = 0,
(5)
24 34 14 14
а02У + а^ V + а2^ + 34
+ -Ъ2у + а42 = 0,
• 34 14 24 14
а0^ + а^ V + а2^ +
+ а3^24+а43 = о,
где для коэффициентов а- имеем:
а01 = А14П1 , а11 = (В34 " В24)(1 + П2 nз),
а41 = (£34 - в24 )тт + л34 ш2 - (6) - Я24т + к2п14 (1,2,3).
Здесь циклической перестановке подлежат только вторые номера двойных индексов. При этом индексы номеров 0 и 4 здесь и всюду далее в данной перестановке не участвуют. Для остальных коэффициентов имеем:
(7)
а21 = (В34 - В24)тп + л34п + л12,
^ = (В4 - в34)тп - л34п - л12, а2з = - Д4 )тп + л24 п + л31, а31 = (в34 - В24)тп - л24п - л31, аз 2 = (В 4 - В34 )щп + л14 п + л23, а33 = (В24 - д4)тп - л14п - л23.
Соотношения (7) имеют сходную форму представления по отношению к характерным показателям системы уравнений (5) — инерционным параметрам В-4 , параметрам преобразования (3) П], т- и гироскопическим коэффи-
циентам Х™ (I, ] ; г, 5 = 1,2,3; г ^ з). Эта особенность отражает симметрическую структуру набора этих характеристик.
Аналогично для группы 2 имеем:
ъ^14+V 2\34+Ъ2^24+
+ ЪзlV34 + Ъ41 = 0,
Ъ^ 24 + Ъl2V 34v14 + Ъ2^ 14+
.34
(8)
+ Ъз2V34 + Ъ42 = 0,
Ъ0^34 + Ъ^14 V/4 + Ъ2^14 + + Ъ33 V24 + Ъ43 = 0, где коэффициенты Ь- определяются как
Ъ01 = Ъ11 = (А34 + В24)(п2 - пХ
Ъ41 = л12т - л31щ - к2т14 (1,2,3),
2> и - (А34 + В24) т3 + л12 п -л34
и (А14 + В34) т3 -л12 п + л34:
2> и - (А24 + В14) т2 + л31 п -л24
II (А34 + В24) т2 -л31 п + л24
II - (А14 + В34) т1 + л23п3 -л14
3> II (А24 + В14)т1 - л 23 п + л14
(9)
Сопоставляя между собой уравнения групп 1, 2, определяемые системами (5) и (8), получаем условия их совместности:
а,, Ъ,
— = = Р и = 1,2,3), (10)
а0 } 0 ]
а Ъ
— = — = Р (г = 2,3), (11)
0г 0г
С21 = .£33 = р
С01 С03
(12)
^ = ^ = Р (г = 1,2), (13)
а0г Ъ0г
аЛ,- Ъ,.
^ = = р (/ = 1,2,3), (14)
Ъ0 ]
где с — условное обозначение коэффициентов а, Ь с указанными в равенствах (12) индексами; р — параметр пропорциональности.
Из условий (10)—(14) согласно равенствам (6), (7), (9) следуют соотношения связи,
соответственно
Л14(Л34 + В24)(П2 - П3)П1-
- В14(В34 - В24Х1 + П2Пз) = 0
(1,2,3),
(Вы - в34)тп - л34п - Л12= Апр,
(В24 - В14)т2п + Л24п + Л31= Л34п3Р,
(Л14 + В34)т3 - Л12п + Л34 = В24р, (Л24 + В14)т2 - Л31 п + Л24 = - В34р,
(В34 - В24 + Л34 п + Л12=Л14пр, (В24 - В14- л14п2 - Л23=Л34пр,
(15)
(16)
(Л24 + в14)т - л23п2 + л14=В34 р,
(Л34 + В24)т3 - Л12п2 + Л34=-В14р,
(В34 - В24)т2 п3 - Л п3 - Л = Л14п р, (В14 - в34 )тп + л14 п + л23=Л24п2р,
(Л34 + В24)т2 - л31п3 + Л24 = В14р,
(Л14 + В34)т1 -Л п3 + Л = В24р.
В соответствии с условиями (14) имеем
(В34 - в24 )тт + Л34т2 -
- л24т + к2п14 = Лпр,
Л12т - Л31щ - к2т 14= ^р (1,2,3).
и положим
3
П (В 4 - В; 4) * 0 (/ * 3),
и 3 = 1
кинетической симметрии тела и тогда соотношения (15) представляются в виде
п (п2 - п) - Л (1 + пп) = 0 (20)
(1, 2, 3).
Равенства (20) определяют квадратичную зависимость коэффициентов щ от инерционных параметров тела. Обозначая
А = [(1 - Л)п]-4(1 + 2Л)п32 + ЛЛ],
А = А2+ 4 Л,
из системы уравнений (20) получаем зависимость вида п (п ) :
2п = А + л/А,
(21)
(17)
(18)
где Л3 * 1 в силу свойства, согласно которому
(Л34 + В34) В14 * В24В34 - ^4Л34 .
Зависимость (21) определена в ограниченной односвязной области, в которой А > 0,откуда следует
[(1 + 2л)п2+ ЛЛ]2 + 4Л[(1 - Л)п]2 > 0.
Из соотношений (20) следует
п2 =
(А + 4А) п + 2 Л А + л/а - 2Лп
(22)
(19)
Если не выполняется второе условие (4), то, согласно ограничениям (15), твердое тело обладает центральной кинетической симметрией, а значение параметра п, как отмечалось ранее, становится неопределенным.
Обозначим
J = В14(В34 - В24) 2 з)
1 = Л^4 (Л34 + В24) (,,)
что равносильно условию Л ■ * 0 (] =1, 2, 3). Это условие исключает наличие центральной
для области действительных значений параметров при ограничении
Лп2 - Ап -1 * 0.
Поскольку, согласно равенствам (20), Л3(1 + п,п2) , ч п1 - п2
то в силу равенств (21), (22) явная зависимость величины пз от инерционных параметров тела определяется очевидным образом.
Итак, значения всех параметров щ, удовлетворяющих условиям (15), определены и в дальнейшем полагаются известными.
Из соотношений совместности — последних равенств (16)—(18) — получаем, соответственно,
т = - (Л14 + В34)-1 {в24 р - л23пъ + л14) (23)
(1, 2, 3).
Равенства (23) для параметров т- являются определяющими при известных выражениях, относящихся к величинам ХГ5 . Внося выражения (23) в остальные уравнения данной системы, представляющие условия совместности систем уравнений (5), (8), в результате получаем следующие соотношения.
Из уравнений системы (17) при условии Д ^ 0 получаем:
где обозначено:
С = (А14 + В34 + В24 - В14) п^ С2 = Д14 + В34 + (В14 - В24)п2п3 , С3 = Д24 + В14 - (Д14 + В34) , С4 = (Д14 + В34)п2 - (Д24 + В14)п3 ,
Д1 С1С4 С2 С3 ;
Р1 = [ Д34(Д14 + В34)п3 + В24(В24 - В14)п2]Р , Р2 = [В24 (А24 + Д4) + В34 (Д 4 + В34)] р.
Аналогичным образом, в силу уравнений системы (16) при условии Д2 ^ 0, имеем:
л24 = д -1( £2 - /3), л31 = Д-1( ^3 /3 - gl /4),
(25)
где
gl = Д34 + В24 - (Д24 + В14),
g2 = (Д24 + В14)п3 - (Д34 + В24)п1 , gз = [В24 - В14 - (^24 + В14)]п1, g4 = (Д24 + В14)п3 - (Д34 + В24)п1 ,
Д2 = <§1 g4 - <§2 <§3 ,
/3 = В (Д24 + В14) + В34 (44 + В24)^р,
/4 = [ В34 (В
24 В14)п1 + Д34 (Д 24 + В14)п3 ]Р.
Согласно уравнениям системы (16) при ограничении Д3 ^ 0 находим:
л12 = Д-чк/6 - к4/5), л34 = д-ЧК3/5 - К/6).
(26)
Здесь обозначено:
¿1 = (Д34 + В24)п1 - (Д14 + В34)п2 ,
К = Д14 + В34 - (Д34 + В24) ,
¿3 = Д34 + В24 - (В14 - В34)п1 п2 ,
К4 = Д34 + В24 + (В14 - В34) ,
д3 = КК-КК,
/5 = [Д4( Д4 + В34) + В24 (Д34 + В24)]Р, /6 = [Д24(Д34 + В24)п2 + В14(В14 - В34)п1^^.
Итак, равенства (24)—(26) при заданных условиях однозначно выражают величины гироскопических параметров Аг5, где (г, 5) = 1, ... , 4, через моменты инерции тела с точностью до слагаемых, содержащих параметр р. Параметры силового винта т34, п34 (] = 1, 2, 3) определяются равенствами (19), (23) также с точностью до слагаемых, содержащих свободный параметр р.
Первые три уравнения системы (18), не применявшиеся для определения неизвестных параметров, при подстановке в них найденных выражений для соответствующих величин превращаются в тождества.
Таким образом, все неизвестные параметры п , т преобразования (3), а также условия
совместности для величин л']', л^4, П4, т! 4 (г, у = 1, 2, 3; г ^ у) при заданных ограничениях определены с точностью до величин, содержащих свободный параметр р.
3. Редуцирование приведенной динамической системы
Объединенная система уравнений (5), (8) (совокупность групп 1 и 2) является преобразованной динамической системой третьего порядка с квадратичной нелинейностью. Одна из этих групп уравнений (например, группа 1) принимается за определяющую, а другая применяется для установления условий совместности соответствующих уравнений данных групп.
Уравнения системы (5) при определенных условиях имеют структуру, характерную для динамических уравнений гиростата с постоянным гиростатическим моментом, движущегося относительно центра инерции в евклидовом пространстве Я3. Данная система уравнений с точностью до структурных признаков изоморфна динамической системе Н.Е. Жуковского [6], а модель моментно-силового воздействия на гиростат эквивалентна видоизмененной модели Р. Граммеля [7].
Эта модель реализуется в режиме авторегулирования при воздействии постоянного результирующего момента внешних сил, заданного относительно координатного тетраэдра инерции R (ег). Отсюда следует, что для данной системы уравнений возможно применение алгоритма редуцирования путем выделения определяющего уравнения для одной из переменных V4. Применим этот прием к системе уравнений (5), для которой коэффициенты аг5 удовлетворяют приведенным выше условиям совместности. При этом предполагается, что для данной системы в общем случае не существуют алгебраические первые интегралы относительно компонент
V4 (3 = 1,2,3).
Введем структурно-кинетические условия симметрии:
Лг 4 = Л, ВГ 4 = В (Г = 1,2), (27)
а23 * 0
(28)
и применим естественно принимаемые ограничения а0 - * 0 (3 = 1, 2, 3). Равенства (27)
определяют кинетическую симметрию тела относительно главной центральной оси инерции (е4, е3) координатного тетраэдра инерции Я. В этом случае имеем а1з = 0 и третье уравнение системы (5) становится линейным, причем
а23 = Л п + Л ,
а33 = - (Л14 п + л23),
а43 = Л24щ - Л14т + к2п34.
(29)
Поставим задачу: произвести редуцирование системы уравнений (5) путем сведения ее к определяющему уравнению относительно одной из компонент винта скорости сдвига тела при условиях (27), (28).
Выражая из линейного уравнения (5) величину V14, согласно условию (28), получаем
V14 = - (а23)-1 (а03т>34 + а3^24 + а43), (30)
где коэффициенты агз (г = 2, з, 4) определяются равенствами (29).
В силу соотношения (30) и условий (27), (28) из системы уравнений (5) следует:
V34 + V24 - к^ 24v34 -
V24 - / (v34)v24 = Б (V3>34), (32) где обозначено
к1 = (а03)-1 ^ кг = та(г-1)1 (Г = 2,..., т = (а01 а03) -1 а23 > п = (а01 а02)- 1 а3lа33 > .34
/(V ) = Л(а^ + а22), Б(V34, V34) = ацЛ V34+ (аиЛ2 - И>34 - И
(Л , Л) = (а33, а03) Р, Р = (а02а23) - 1,
(И1, И2) = (¿^ ^2) P,
(33)
^г = аг2а43 - а23а(г + 2)2 (Г = 1,2).
г иг 2 43 23 (Г + 2)2
Рассматривая равенство (32) как урав-
24
нение относительно величины V24, получаем
V24 = ^34) Ф (V3>34), (34)
где обозначено
г
/(V34) = ехр |/^3>г, (35)
0
г
Ф(V34, V34) = V24 + |Б(V3>34)ц-1 У4)с1т,
0
при этом V24 = v24(0).
Из равенств (31), (33), (34), (35) имеем
V34 + - (/к2Ф + К)v + + (к/- к)/Ф - к = 0.
(36)
Равенство (36) является результирующим интегро-дифференциальным уравнением, содержащим функции /л, /, Б, Ф, зависящие от V34, V34. Уравнение (36) может вырождаться в определяющее дифференциальное уравнение относительно функции V34. Это возможно, в частности, при значениях
^^ 0, ^^ (а03 ^а^з) - ^23 0.
4. Приведение к линейной динамической системе
Рассмотрим пример вырождения системы уравнений (5) в линейную систему. Введем структурно-кинетические условия:
Ля = Л, В}4 = В (3" = 1,2,3), (37) к которым присоединим ограничения
л14=л23=0.
(38)
- к.V24 - кду34 - к = 0,
(31)
Условия (37) выражают кинетическую симметрию тела относительно его центра
инерции, а ограничения (38) — перекрестную стабилизацию данных компонент гироскопического винта, действующего на тело. В силу условий (37), (38) имеем а32 = а33 = 0 и из системы уравнений (5) получаем
V14 + 02 V14 = I,
(39)
где обозначено
О2 = п + к
^ = (а22) а42п + (а23) а43 к4 .
Здесь (г = 1,..., 4; у = 1,2,3) — инерционно-кинетические коэффициенты, определяемые равенствами (6), (7). Обозначим
(Ц, и2) = л (щ, щ) + (л12, л12), (^3, и4) = л24(п3,п) + (л31, л31).
Если выполняется условие
(п)- + (п)- > 0, (40)
то уравнение (39) определяет движение проекции фазовой точки на координатную ось 14 как гармонического осциллятора с собственной частотой О, находящегося под воздействием постоянной моментно-силовой нагрузки Ь. В случае, при котором имеет место условие (40) с противоположным знаком, уравнение (39) при Ь = 0 соответствует движению проекции фазовой точки по той же координатной оси, происходящему под воздействием гипотетической силы отталкивания, линейно зависящей от величины отклонения этой точки.
Полагая решение уравнения (39) из-
24 34
вестным, выражения для компонент V , V определяются из уравнений системы
—0г Vг4 + а21у14 + -4г = 0 ( г = 2,3),
которая следует из системы (5) при условиях (37), (38).
Данный пример показывает, что движение твердого тела в пространстве Ь3 под воздействием заданной моментно-силовой нагрузки относительно его центра инерции при условиях (37), (38) в определенном смысле можно сопоставить с движением гармонического осциллятора в фазовом пространстве.
5. Приведение интегралов динамической системы
В работе [5] показано, что для ОДС (2) при движении тела по инерции, когда компоненты результирующего винта внешних сил
ту4 = 0, пг = 0 (у,г,5 = 1, 2,3; г * 5),
существуют алгебраические интегралы
I - Е ВЮ2+Д4(®14)2]=к2,
(12 3)
11 - Е[(д4V14+л23)2- (41)
(12 3)
- (Д4®14+л14)2] = К, 12 - Е(В14V 14+л23)(Д4®14 +л14) = И2.
(12 3)
В равенствах (41) величины 1,1, 12 являются интегралами энергии и кинетического винта, соответственно. При этом величина /2 представляет собой аналог классического интеграла Э. Нетер [5], существующего для уравнений движения тела в евклидовом пространстве. Символ (1, 2, 3), находящийся под знаком суммы, обозначает суммирование по всем величинам, получаемым циклической перестановкой данных числовых индексов, содержащихся в этих величинах.
Применим к интегралам (41) преобразование (3), предварительно полагая
т^ = 0, В у 4 - Д 4 п > 0 (у = 1,2,3),
лу4 = лг5 = 0 (у,г,5 =1,2,3; г * 5),
(42)
и приведем геометрическую интерпретацию преобразованных интегралов. Обозначим:
К = В14 + Д14п2, #1 = (В14)2- (Д14п1)
(1,2,3).
(43)
Преобразованные алгебраические интегралы (41) при условиях (42) в обозначениях (43) имеют вид
Е[К^14)2] = К2,
(12 3)
Е[ ад14)2]=к.
(12 3)
Е[ Д14 14)2] = К2.
(12 3)
(44)
(45)
Уравнение (44) в пространстве квазико-
3 4
ординат V является каноническим уравнением преобразованного эллипсоида кинетической энергии сдвига с длинами полуосей, равными (К)-^к (3 = 1, 2, 3; к > 0). Здесь каждому фиксированному значению параметра к соответствует единственный определенный уровень энергии сдвига.
Равенство (45) представляет в v-про-странстве уравнение поверхности второго порядка, характеризующей согласно условиям (42) модуль преобразованного кинетического винта сдвига тела. Если характерная величина N М > 0, то эта поверхность является эллипсоидом с длинами полуосей
р, =у1 (N)-1к (3 = 1,2,3).
Соотношение (46) истолковывается как уравнение проекции преобразованного кинетического винта сдвига тела на некоторую ось, связанную с осью этого винта.
Линейная связка преобразованных интегралов (44)—(46) в координатном v-прост-ранстве определяет область изменения вели-3 4
чин компонент V , соответствующую данному набору фиксированных значений параметров к, к\, к2.
Аналогичное истолкование интегралов возможно и в общем случае, вне ограничений (42), но оно обладало бы меньшей наглядностью по сравнению с интерпретацией в случае, определяемом этими ограничениями.
Заключение
Установлена принципиальная возможность приведения исходной динамической системы шестого порядка к нелинейной системе третьего порядка. Исходная система как гладкое аналитическое многообразие описывает движение твердого тела относительно центра инерции в гиперболическом пространстве постоянной отрицательной кривизны. Это приведение реализовано при выполнении ряда параметрических ограничений, условий совместности и выполнено с точностью до функций, зависящих от некоторого произвольного независимого параметра.
Приведение системы уравнений с использованием преобразования вида (3) ранее применялось в работе [8] при решении задачи о движении относительно неподвижной точки гиростата в центральном гравитационном поле евклидова пространства Я3.
В этой работе примененное преобразование позволило произвести интегрирование преобразованной системы уравнений движения в квадратурах.
Для приведенной динамической системы в случае осевой структурно-кинетической симметрии тела произведено ее редуцирование к интегро-дифференциальному уравнению для одной из компонент винта скорости сдвига тела. Этот прием способствует нахождению точных частных решений системы в замкнутой конечной форме (без применения разложений функций в ряды и приближенных методов). Как было отмечено: "Для построения точных решений классической задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку, сведение этой задачи к одному уравнению имеет принципиальное значение" [9]. Действенность этого положения подтверждается практикой исследований при решении задач классической динамики твердого тела.
Преобразование вида (3) в частном случае, для которого все т^ = 0, было применено в работе [10], где рассматривалась задача, аналогичная приведенной в настоящей статье.
Список источников
1. Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Ученые записки Казанского университета. 1963. Т. 123. Кн. 1. С. 196-207.
2. Крюков М.С. О движении стержня по инерции в пространстве Лобачевского // Известия вузов. Математика. 1964. № 4. С. 86-98.
3. Крюков М.С. О движении твердого тела в пространстве Лобачевского // Известия вузов. Математика. 1967. № 5. С. 34-39.
4. Макеев Н.Н. Устойчивость перманентных движений гиростата в пространстве Лобачевского // Дифференциальная геометрия. Геометрия обобщенных пространств и ее приложения: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: изд-во Саратов. ун-та. 1981. Вып. 6. С. 58-71.
5. Макеев Н.Н. Интегралы уравнений движения в пространстве Лобачевского // Математический вестник Вятского государственного университета. 2022. № 1 (24). С. 24-32. DOI: 10. 257307VSU.0536.22.004.
6. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью: собр. соч. в 7 т. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 2. С. 152-309.
7. Граммель Р. Теория несимметричного гироскопа с реактивным приводом // Механика: периодический сб. переводов иностранных статей. 1958. № 6. С. 145-151.
8. Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закрепленную точку // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 4. С. 733-737.
9. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегро-дифференциальное уравнение динамики твердого тела. Донецк: Академия наук УССР. Ин-т прикладной математики и механики, 1986. 296 с.
10. Макеев Н.Н. Движение симметричного твердого тела в пространстве Лобачевского // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. Перм. ун-т. Пермь, 2010. Вып. 42. С. 46-63.
References
1. Shirokov A.P. Vintovaya regulyarnaya pretsessi-ya v prostranstve Lobachevskogo // Uchenye zapiski Kazanskogo un-ta. 1963;(123:1): 196207. (In Russ.).
2. KryukovM.S. O dvizhenii sterzhnya po inertsii v prostranstve Lobachevskogo // Izvestiya vuzov. Mathematica. 1964;(4):86-98. (In Russ.).
3. Kryukov M.S. O dvizhenii tverdogo tela v pros-transtve Lobachevskogo // Izvestiya vuzov. Mathematica. 1967;(5):34-39. (In Russ.).
4. Makeev N.N. Ustoychivost permanentnykh dvi-zheniy girostata v prostranctve Lobachevskogo
// Differentsialnaya geometriya. Geometriya // obobshchennykh prostranstv i eye prilozheniya: mezhvuz. sb. nauch. tr. Saratov: izd-vo Saratov. un-ta. 1981;(6):58-71. (In Russ.).
5. Makeev N.N. Integraly uravneniy dvizheniya v prostranstve Lobachevskogo // Matematicheskiy vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo universi-teta. 2022;(1:24):24-32. DOI: 10.25730/VSU. 0536.22.004. (In Russ.).
6. Zhukovsky N.E. O dvizhenii tvyerdogo tela, imeyushchego polosti, napolnennye odnorod-noyu kapelnoyu zhidkostyu: sobr. soch. v 7 t. M.; L.: Gostekhizdat, 1949. T. 2. S. 152-309. (In Russ.).
7. Grammel' R. Teoriya nesimmetrichnogo giros-kopa s reaktivnym privodom // Mekhanika: pe-riodicheskiy sb. perevodov inostrannykh statey. 1958. N 6. S. 145-151. (In Russ.).
8. Kharlamova E.I. Nekotorye resheniya zadachi o dvizhenii tela, imeyushchego zakreplyennuyu tochku // Prikladnaya matematika I mekhanika. 1965:(29:4):733-737. (In Russ.).
9. Kharlamova E.I., Mozalevskaya G.V. In-tegrodifferentsialnoe uravnenie dinamiki tvyerdogo tela. Donetsk: Akademiya nauk USSR. In-t prikladnoy matematiki i mekhani-ki. 1986. 296 s. (In Russ.).
10. Makeev N.N. Dvizhenie simmetrichnogo tvyer-dogo tela v prostranstve Lobachevskogo // Prob-lemy mekhaniki i upravleniya. Nelineynye dinamicheskie sistemy: mezhvuz. sb. nauch. tr. Perm. un-t. Perm', 2010;(42):46-63. (In Russ.).
Информация об авторе:
Н. Н. Макеев - доктор физико-математических наук, профессор, AuthorlD: 374535, WoS: AAW-4380-2020, IRID: 310401529.
Information about the author:
N. N. Makeev - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, AuthorlD: 374535, WoS: AAW-4380-2020, IRID: 310401529.
