К задаче Н. Е. Жуковского о плоском рассеве Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531

Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве

© В.В. Андронов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

В статье Н.Е. Жуковского «Заметка о плоском рассеве» (1896), исследована задача о движении частицы материала (материальной точки) по горизонтальной плоской опоре (ситу) с круговыми поступательными колебаниями в своей плоскости. В настоящей работе, являющейся естественным обобщением этой задачи, рассмотрено движение по такой же плоскости тела конечных размеров, когда фрикционный контакт осуществляется по некоторой площадке, а центр масс тела возвышается над этой площадкой. На примере тела, имеющего форму прямого кругового цилиндра, показано, что в установившемся движении реальное тело не только совершает круговое движение (как в задаче Жуковского), но еще и вращается вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью. Получены формулы для определения скоростей обоих компонент движения.

Ключевые слова: колебания, сухое трение, распределенный фрикционный контакт, локальный закон Кулона, сила, момент трения.

Введение. В связи с развитием вибрационных технологий, происходившим особенно интенсивно в 50-70 годы прошлого века, упомянутая выше статья Н.Е. Жуковского [1] вновь стала актуальной и получила дальнейшее развитие. Была исследована устойчивость найденного Н.Е. Жуковским решения [2], сделано обобщение задачи на случай наклонной плоскости [3], изучены разнообразные вибрационные технологические процессы, приводящие в конечном итоге к уравнениям того же вида, что и в задаче Н.Е. Жуковского [2-6]. Однако во всех перечисленных работах движущийся объект — материальная точка.

Представляет интерес рассмотреть задачу Н.Е. Жуковского для твердого тела. В отличие от материальной точки тело контактирует с опорной плоскостью по некоторой площадке с конечными размерами, центр масс тела возвышается над опорой и др. Это создает условия для появления качественно новых свойств движения, которые не обнаруживаются в рамках точечной модели. Следует добавить, что в последние годы динамика систем с распределенным фрикционным контактом интенсивно развивалась в работах [7-15] и сформировались вполне определенные подходы к решению подобных задач.

Задача о плоском рассеве для твердого тела. Рассмотрим движение тела с плоским основанием по горизонтальной плоскости, совершающей поступательные круговые колебания в своей плоскости. Тело примем в виде прямого кругового цилиндра радиусом Я и высотой И. Пусть ОхХ1У121— неподвижная система координат, плоскость Ох Х1У1 которой совпадает с колеблющейся плоскостью; ОХУ2 — оси,

неизменно связанные с подвижном плоскостью и соответственно параллельные осям неподвижной системы; С^п? — система осей Кени-га (рис. 1). При круговых колебаниях все точки подвижной плоскости движутся по окружностям одинакового радиуса A с частотой v согласно уравнениям

X1 = X10 + A eos vt, Y = Y10 + A sin vt, (1)

где Xb Yb X10, Y10 — координаты какой-либо точки вибрирующей плоскости и центра ее круговой траектории в неподвижной системе координат. Уравнения (1) одновременно являются уравнениями движения самой колеблющейся плоскости.

Рис. 1. Цилиндрическое тело на вибрирующей шероховатой опоре (О2 — центр основания цилиндра)

При колебаниях невысокой интенсивности первоначально неподвижное относительно плоскости тело продолжает оставаться в относительном покое. Если интенсивность колебаний достаточно высока, относительный покой невозможен, и тело будет скользить по плоскости. Дифференциальные уравнения этого относительного движения имеют вид

mXC = mAv 2cos vt + TX, mYC = mAv2 sin vt + TY, Jz cp =MZ,

(2)

где т — масса тела (цилиндра); Хс, Ус — координаты центра масс тела в осях ОХУ2; ТХ, ТУ — проекции на эти оси силы трения (главного вектора сил трения, распределенных по площадке контакта тела с опорной плоскостью); J 2 — момент инерции тела относительно оси симметрии; М2 — момент трения (алгебраический главный момент этих сил относительно центра основания цилиндра); первые слагаемые в правых частях двух первых уравнений определяют соответствующие проекции переносной силы инерции.

Составляющие силы трения и момент трения определяются интегрированием по площадке контакта выражений для силы и момента, записанных на основе закона сухого трения Кулона для малого элемента площадки контакта (закон Кулона в локальной форме):

Tx = -f TY = -f \\a(r )U,

JJ u JJ u

c(r) (3)

M = -f jj^up(r )dS.

Здесь f — коэффициент трения; Г — радиус-вектор малого элемента площадки контакта, проведенный из центра основания цилиндра; c(r ) — закон распределения нормального давления по площадке

контакта; dS — площадь этого элемента; U (uX, uY ) — относительная

скорость элемента.

Как следует из соотношений (2), (3), для вычисления составляющих силы трения и последующего определения движения тела по колеблющейся плоскости требуется знать распределение нормальных напряжений в области контакта. Упрощая, будем считать, что распределение c(r), равномерное при покое цилиндра на неподвижной плоскости, при колебаниях плоскости деформируется в направлении переносной силы инерции Ф по линейному закону c(Г) = c 0 + qy.

Здесь а0 — интенсивность равномерного распределения; q — постоянный коэффициент; y1 — координата, отсчитываемая в направлении силы Ф. Значения c0 и q примем такими же, как при прямолинейном и равномерном движениях цилиндра под действием приложенной в его центре масс горизонтальной постоянной силы Ф. В этом случае уравнения динамики имеют следующий вид (рис. 2):

mac = Ф- f jJ(co +qy) dxdy,

jj(c о + qy )dxdy - mg = 0, (4)

jj(( + qy )ydydx - ^fhjj(c0 + qy )dxdy = 0.

Интегрируя по всей площади основания цилиндра, при ac = 0 находим

mg 2 fmgh , _

c0 = , q = Л , Ф= fmg. nR2 4 nR4

Теперь несложно найти условие существования полного контакта, решив неравенство а(-R) > 0. Оно состоит в выполнении требования 2 fh/R < 1. При строгом обратном неравенстве происходит либо контакт по части площади основания, либо цилиндр опрокидывается. Эти случаи из дальнейшего рассмотрения исключены.

Пусть цилиндр скользит по плоскости со скоростью его оси v и вращается вокруг этой оси с угловой скоростью ю. Для удобства вычисления составляющих силы трения введем в плоскости основания цилиндра систему координат O2 xy, ось O2 x которой направлена вдоль скорости v (рис. 3). Тогда формула для закона распределения g( r) принимает вид

g(f) = g0 + q (x cos а + y sin а), (5)

где а — угол между направлениями v и Ф0; x, y — координаты элемента площади в этой системе координат.

Рис. 3. Схема расчета сил трения

Рис. 2. Схема сил при прямолинейном движении с полным контактом

Проекции силы трения на эти оси и момент трения с использованием полярных координат г, 0 запишем как

T = -f jj(oo +qr cos (a-6)))

V

v - r ш z sin6 . „

=rdra 6,

Ty = -f JJ(ao +qrcos (a-6)))

V

v2 - 2ш zrv sin6 + r 2ш2 гш zcos6

M = Mz = - f jj(a 0 + qr cos (a-6))——^

V

v2 - 2ш zrv sin6 + r 2ш2 шz cos26-(v - гшz sinш ) sin6

rdrd 6, (6)

r 2drd 6.

¡v2 - 2ш zrv sin6 + r2ш2 Возвращаясь к основной системе координат OXYZ, получаем

TX = Tx cos(v/-a)-Tysin(v/-a), TY = Txsin (vt -a) + Tycos (v t -a), т. е. уравнения (2) можно представить в следующем виде: dvcx

m-

m-

dt

dvcY dt

= Ф0cos vt + Txcos (vt - a) - Tysin (vt - a),

= Ф 0sinvt + Txsin (vt -a) + Tycos (vt -a), (7)

, dшz , ,

Jz—^ = Mz. dt

Здесь vcx, vCY — проекции относительной скорости центра масс цилиндра на оси OXYZ , а Tx, Ty, Mz определяются выражениями (6).

Уравнения (7) допускают частное решение

vcx = Vcos (vt - a), vcy = Vsin (vt - a),

(8)

шz = const, V = const > 0, a = const,

определяющее установившееся относительное движение тела по колеблющейся плоскости. В этом предельном движении центр масс цилиндра равномерно перемещается по круговой траектории радиусом H = V/ v и одновременно вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг своей оси в сторону движения плоскости (при ш2 > 0) либо против движения плоскости (при шz < 0). Подставляя равенства (8) в первое и второе уравнения системы (7), получаем

-m vVsin (vt - a) = Ф0 соб vt + Txcos (vt - a) - Ty sin (vt - a), m vVcos (vt - a) = Ф0 sin vt + Txsin (vt - a) + Ty cos (vt - a).

Умножая первое уравнение на -sin(vt-a) и складывая со вторым, умноженным на cos (vt-a), имеем mvV = O0sin a + Ty. Аналогично, складывая первое уравнение со вторым, предварительно умноженными на cos (vt -a) и sin (vt -a) соответственно, приходим к равенству Ф0 cos a + Tx = 0. В итоге получаем следующие уравнения для определения параметров установившегося движения (величин V, a, ю2):

m vV = Ф 0 sin a + Ty, Ф 0 cos a + Tx = 0, Mz = 0. (9)

Учитывая сложный вид выражений для Tx, Ty и Mz, найти аналитическое решение полученных уравнений затруднительно. Однако простые опыты показывают, что угловая скорость вращения ш в установившемся движении весьма мала, чем можно воспользоваться для упрощения подынтегральных выражений в формулах (6) и получить для Tx, Ty и Mz простые аналитические выражения.

Разлагая функцию

1

ф(ш) =

■y¡v2 - 2ozrvsin0 + r2ш2

входящую в качестве множителя в подынтегральные выражения в формулах (6), в ряд по степеням шz и сохраняя в разложении только линейные по переменной шz слагаемые, получаем

/ ч 1 rsin 0

ф(ш) = —+—— Oz.

v v2

Подставляя это разложение в формулы (6) и вычисляя соответствующие двойные интегралы, находим

Tx = -f ü0tcR 2,

T f nR4

Ty =--qoz cos a,

4v

^ f nR\ • ч

Mz = ^— (qvsina-a0oz).

Теперь подставляя эти значения Tx, Ty, Mz, в которых следует положить v = V, в формулы (9) и раскрывая обозначения a0, q, получаем

окончательные уравнения для определения параметров установившегося периодического движения V, a, ш :

ghf2

Av 2sin a--ш z cos a-vV = 0;

2V z

Av2 cos a- fg = 0; (10)

Vsin a--R— шz = 0.

2fh

Должны также выполняться условия fg < Av2, 2fh < R, обеспечивающие скольжение тела с полным контактом.

Вводя безразмерные величины

у = А, X = f

1 Av2 R

и решая эти уравнения, находим

a = arccos у,

V = AvVTf - 4У2X2), (11)

XV r-2

ш = — V1 -Y2.

R

Заключение. В конкретных расчетах по полученным формулам параметры у, X следует задавать в области определения уравнений (10), задаваемой неравенствами X< 1, у< 1. Значения f и v можно выбирать свободно, исходя из физических соображений. Сопоставляя формулы (11) с результатами, полученными для материальной точки [1], видим некоторые отличия — радиус круговой траектории и скорость кругового движения для тела становятся меньше, появляется верчение. С уплощением тела эти отличия все менее выражены, и в пределе при h ^ 0 (X ^ 0) (случай бесконечно тонкого диска) исчезают вовсе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Жуковский Н.Е. Заметка о плоском рассеве. Полное собрание сочинений. Т. VIII. Котельников А.П., ред. Москва; Ленинград, ОНТИ, 1937, с. 39-46.

[2] Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Вибрационное перемещение. Москва, Наука, 1964, 410 с.

[3] Блехман И.И., Гортинский В.В., Дулаев В.Г., Нагаев Р.Ф. Движение материальной частицы по шероховатой плоскости, совершающей колебания, близкие к круговым поступательным. Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1971, № 2, с. 136-141.

[4] Блехман И.И., Гортинский В.В., Пушкина Г.Е. Движение частицы в колеблющейся среде при наличии сопротивления типа сухого трения (К теории вибрационного разделения сыпучих смесей). Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 4, с. 31-41.

[5] Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. Москва, Наука, 1978, 160 с.

[6] Гортинский В.В., Демский А.Б., Борискин М.А. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. Москва, Колос, 1980, 304 с.

[7] Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1981, № 4, с. 17-28.

[8] Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела. Вестник МГУ. Сер. Математика и механика, 1981, № 2, с. 76-78.

[9] Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел. Прикладная математика и механика, 1998, т. 62, вып. 5, с. 762-767.

[10] Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задачах динамики твердых тел. Успехи механики, № 3, 2005, с. 58-76.

[11] Киреенков А. А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения. Известия РАН. Механика твердого тела, 2002, № 1, с. 60-67.

[12] Розенблат Г.М. Об интегрировании уравнений движения диска по шероховатой плоскости. Известия РАН. Механика твердого тела, 2007, № 4, с. 65-71.

[13] Андронов В.В., Журавлев В.Ф. Сухое трение в задачах механики. Москва — Ижевск, РХД, 2010, 184 с.

[14] Иванов А.П. Основы теории систем с трением. Москва — Ижевск, РХД, 2011, 302 с.

[15] Сальникова Т.В., Трещев Д.В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости. Нелинейная динамика, т. 8. № 1, с. 83-101.

Статья поступила в редакцию 26.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Андронов В.В. Развитие задачи Н.Е. Жуковского о плоском рассеве. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/ catalog/eng/teormech/1133.html

Андронов Вячеслав Васильевич родился в 1938 г., окончил Поволжский лесотехнический институт им. М. Горького в 1961. Д-р техн. наук., профессор кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор свыше 100 работ в области динамики и теории колебаний. e-mail: spm@bmstu.ru