Движение твердого тела в окрестности оси угловых колебаний наклонной шероховатой плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

иркутским государственный университет путей сообщения

стандартным инструментом на типовом оборудовании / Н. А. Колбасина // Транспортные средства Сибири: сб. науч. тр. с междунар. участием. - Красноярск, 2002. - Вып. № 8. -С.577-588.

5. Лимаренко Г.Н., Мальковский С.И. Геометрия зацепления в ортогональной зубчатой реечной передаче. Вестник машиностроения, 2009, №1, С.11-15.

УДК 519.853-519.632 Сельвинский Владимир Владимирович,

к. ф.-м. н., доцент Амурского государственного университета, тел.: 89246745701, e-mail: selvinvv@mail.ru

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ОКРЕСТНОСТИ ОСИ УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ НАКЛОННОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ

V. V. Selvinsky

MOVEMENT OF THE SOLID BODY NEAR THE AXIS OF THE ANGULAR VIBRATIONS OF THE INCLINED

ROUGH SURFACE

Аннотация. Исследуется влияние неоднородного вибрационного поля на перемещение твердого тела конечных размеров по шероховатой плоскости. На основе выбранной двухмассо-вой модели твердого тела устанавливаются общие закономерности движения, при котором происходит ориентирование твердого тела относительно оси угловых колебаний шероховатой плоскости.

Ключевые слова: шероховатая плоскость, вибрационное перемещение, двухмассовая модель твердого тела, система нелинейных дифференциальных уравнений с изменяющейся структурой.

Abstract. Aim of this article is to explore the influence of non-uniform vibration field on the movement of a solid body to be on rough plane. Based on the two-mass model of a solid body the general patterns of movement, in which appears the orientation of a solid body near the axis of angle vibration of rough plane, are established.

Keywords: rough plane, vibrating displacement, two-mass model of a solid body, system of nonlinear differential equations with varying structure.

Введение

Широко известны исследования вибрационного перемещения материальной частицы по шероховатой плоскости, совершающей поступательные гармонические колебания [1, 3-5]. Результаты этих исследований используются при проектировании вибрационных транспортирующих машин и устройств [2]. Практически неизученными остаются вопросы влияния угловых колебаний рабочей шероховатой поверхности на характер пере-

мещения транспортируемого объекта. Вместе с тем наличие угловых колебаний формирует неоднородность вибрационного поля определенной структуры, что приводит к перераспределению переносных сил инерции в относительном движении объекта. Это оказывает дополнительное влияние на вращательную часть движения объекта, способствует его самоориентации. Рассмотренная двухмассовая модель твердого тела учитывает все характерные особенности взаимодействия твердого тела с шероховатой плоскостью при безотрывном движении.

Базовая система уравнений состояния

Исследование движения материальной частицы в окрестности оси угловых колебаний шероховатой плоскости показало наличие режимов движения, при которых частица не покидает области безотрывности [ б]. Представляет интерес исследование аналогичного движения твердого тела, обладающего динамической асимметрией. В качестве простейшей модели такого твердого тела рассмотрим двухмассовую симметричную систему MjM2 с двумя точками опоры A и A (рис. 1). Она позволяет имитировать действие сил сухого трения, а также наличие осевых моментов инерции, определяющих вращательную часть движения реального объекта.

Шероховатая плоскость совершает угловые колебания относительно оси Ox по закону

a(t) = а0 Sin rat, где а0, ra - амплитуда и частота колебаний плоскости, t - время. Сама ось Ox наклонена под уг-

лом у к горизонту и совпадает с линией наибольшего ската шероховатой плоскости в ее среднем положении. Положение двухмассовой системы на плоскости определяется координатами хс, ус центра С и углом ф между поперечным направлением Сг и осью Ох.

(1)

Рис. 1. Схема взаимодействия двухмассовой системы с шероховатой плоскостью: а - общий вид; б - силы, действующие на массы М1 (г = 1,2) ; в - силы, действующие в точках

контакта Д (г = 1,2)

При безотрывном относительном движении на каждую массу системы действует сила тяжести ^ ( = 1, 2), к которой необходимо добавить переносные силы инерции

Ф; = таугп. Ф; = та' ;лу0, и кориолисову силу инерции

Ф,с = 2 таух0.

Здесь т - величина каждой из масс; а, а -угловая скорость и угловое ускорение плоскости; х1 = хс +1 Бтф, х1 = хс +1 ф Соиф,

У] = Ус ~1 , = Ус ~1 Ф ®пФ > х2 = хс -1 Бтф , х2 = хс -1 ф Соъф,

У2 = Ус + 1 СшФ ' У2 = Ус ~ 1 Ф ®ПФ

- координаты и проекции скорости массы М ( = 1, 2) в системе координат Охух, связанной с плоскостью; МХМг = 21 - расстояние между

массами системы; х0, , г0 - единичные орты осей Охух.

Взаимодействие двухмассовой системы с шероховатой плоскостью осуществляется в двух точках контакта А ( = 1,2), расположенных симметрично относительно центра С на расстоянии АА = 2М ■ В каждой из точек контакта А действуют нормальная реакция плоскости N и сила трения ^ . Уравнения, определяющие состояние двухмассовой системы, имеют вид (гс =±с =гс =0):

2 тхс = 2пщБту + + 2 тус = —2»щСоА'у81па + туса2 +

0 = —2mgCosyCosa + + Ж, — —2туса — 4 туса, 0 = — N^1 + ту\а1 — ту^а! + +2 ту\а,1 — 2ту^а1, 2тГ'ф = Fy.ll — К, + тл\а21 Б1пф — —ту^а'18тф. Здесь силы трения подчиняются закону Амонтона - Кулона: если скорость точки контакта отлична от нуля, гг Ф 0, то

где / - коэффициент трения скольжения; V0 = V /V - единичный вектор направления скорости 7-й точки контакта;

у1г = хс + ИфСояф, = ус + МфБтф,

Уод. =хс - А 1ф Сонф. у, „ = ус ~ Мф Бтф

- проекции скоростей точек контакта А ( = 1, 2);

Ъг = ргхС™Ф + ЪуМпф

- проекции силы трения на направление Сг .

Перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве характерного времени период уг-

2%

ловых колебаний шероховатой плоскости Т = — ,

ш

а в качестве характерной длины величину gCosу _

Ь =-

ш

г

т = 2 % — = ш г - время;

Т

Хс =—;Ус =—;х = -; у1 = —;1 = -

координаты и размеры;

а

а

а = —, а =—-— угловая скорость и уг-ш ш

ловое ускорение плоскости;

^С ~ Ус ~ Vlx ~ V1y —с ; —с =~С;= 7^;——y = 7^ -

Ьш Ьш Ьш Ьш

проекции скоростей;

—м ХС —м У С

Х С — 2~; У С — 2~

Ьш Ьш

рения центра С системы;

N =

N

F =-

F

' mg Cosy' ' mg Cosy

- (а'' Cos^-2a'^'Sin^), N = — (Cosa + yc ау' + 2 y 'c а') +

y ' ' с =-8'па+ Уса'2 + F1 y + F2 y , —

ф '' = -а'2Б'пф Cosф + -(Flr - F2r);

Fx =-/N1v0x = -f N'

F = - f N v0 =- f N

,y J г г y J '

2 , 2 V2 + v,y

J

v 2 + v,;.

проекции уско-

(' = 1,2) -

действующие силы.

Тогда уравнения (1) преобразуются (далее «волну» над безразмерными переменными для краткости записи опускаем):

x' С = tgy + F—x + F2 x,

y ' ' с =-&па+ ycа'2+F—y + F2 y,

О = - Cosa - ycа''- 2y'cа'+ N + N, (2)

О = -1а"^ф + 21а'ф'8тф - N - + N2— —

ф" = -а'2Бтф^ф + -(F - F2r).

Изменение структуры системы уравнений состояния

Третье и четвертое уравнения системы (2) однозначно определяют нормальные реакции Ni при безотрывном движении (N — 0; i = 1, 2):

N = — (Cosa + yc а"+ 2 y 'с а')-

Если у1 = 0, Ф 0, < fN (скольжение происходит в точке контакта А), двухмассовая система совершает поворот вокруг точки контакта Лг, который описывается дифференциальным уравнением:

ф" = - ттт^т[{¿ус +1 Соъф)ааБтф + + ХГг],(5)

l(l + —)[

(3)

+

где Г2г = /^.¿И^пфГ = tgyCosф - Бта 8тф ; в точке контакта Лг величина силы трения рассчитывается через ее проекции:

Г1х = Х"с- ШУ - Г2х = - ШУ - Г2гС^Ф -

- XI(ф"Созф-ф'2Бтф),

2 2 (6)

= у "с + $та - уса' - ¥г = $та - уса' -

- XI(ф'Бтф + ф'2Соф)- Г2^тф.

Если у1 ф 0, = 0, < fN2 (скольжение происходит в точке контакта Лг), двухмассовая система совершает поворот вокруг точки контакта А, который описывается дифференциальным уравнением:

ф" =-' [(Лус - ¡^ф)ааБтф + 2Щг +Х¥г], (7) I (1 + X )

где ^ = - fNlSignф'; в точке контакта А величина силы трения рассчитывается через ее проекции:

+ — (a"Cos0- .

2Л

Если v ^ 0, ^ ^ 0 (скольжение происходит в обеих точках контакта A; i = 1, 2 ), двухмассовая система совершает плоское движение, которое описывается тремя дифференциальными уравнениями (первое, второе и последнее уравнения системы (2)):

х "с = tgy + Fix + F2 x,

(4)

¥2 х = Х"с - Р1х =- tgy - Р,С08ф -

- XI (ф"Со>^ф - ф'2Smф), Г2 = у"с + Sinа - уса'2 - ^ = Sinа -- XI (ф"Sinф + ф'2Cosф) - уса'2 - FlrSinф. Если

VI = 0, У2 = 0,(^1 < fNl, < fN 2,

^/f2N^ > ,

где Г = - tgySinф - ^^та Соиф, двухмассовая система находится в состоянии относительного покоя, которое сохраняется до тех пор, пока выполняются все неравенства (8) с выражениями:

(8)

при этом

v

v

'y

F =--

1r 21

F =--

2r 21

~[(1 ус - l Cos$)aa 8тф + 1Fr J , ^ [(1 yc + l Cosф) a '2 8тф + 1Fr J .

(9)

Vlx = Cosф ', Vj = $тф Sig^

F,

F

2 + F2

2 x + 1 2 y

2 y

2y

(13)

2 + F2

2 x + F 2 y

F„

F

+F2

1 y

V1 y =-

1y

VF1S

+F2

1y

(14)

Состояние относительного равновесия прерывается, если нарушается одно из неравенств (8); одновременное нарушение нескольких неравенств практически исключается. Если нарушается неравенство |Flr | < f N, начинается поворот двухмас-совой системы вокруг точки A2, описываемый уравнением (7), где в переходный момент времени нужно полагать

F = - fNSign \[[!yc -1 Cosfi) a '2 Ътф + 1Fr J. (10)

Если нарушается неравенство |F2r | < f N2 , начинается поворот двухмассовой системы вокруг точки A, описываемый уравнением (5), где в переходный момент времени нужно полагать

F2r = - fN2Sign [[1yc +1 Cosф) a '2 Siпф + 1Fr J . (11)

Если нарушается последнее из неравенств (8), начинается плоское скольжение, описываемое уравнениями (4), в которых в переходный момент времени нужно полагать:

F =4 f2 N2 - SignF,,

F2l =fNfFrSignF, (12)

F = FirCosф - FtSiпф,

Fv = FirSi^+ (i = 1,2).

Плоское скольжение может начаться также во время поворота вокруг одной из точек контакта. Если при повороте вокруг точки A (v ^ 0, v2 = 0) нарушается неравенство |F21 < fN2, движение двухмассовой системы

начинает подчиняться уравнениям (4), в которых в переходный момент времени нужно полагать:

Если при повороте вокруг точки A1 ^ = 0, у2 Ф 0) нарушается неравенство

< fN, движение двухмассовой системы также будет подчиняться уравнениям (4), в которых в переходный момент времени нужно полагать:

v°x = - Cosф Signф ', v\y = - Sinф Signф '.

Анализ численного решения задачи

Таким образом, уравнения (4)-(14) полностью определяют безотрывное движение двухмас-совой системы по шероховатой плоскости. Аналитическое решение уравнений движения не представляется возможным даже на отдельном этапе движения ввиду их существенной нелинейности. Поэтому в дальнейшем использовались численные методы решения на основе математического пакета MаthCаd 13. В проводившихся ранее аналогичных исследованиях движения материальной частицы в окрестности угловых колебаний шероховатой плоскости было установлено наличие области значений параметров, при которых частица не покидает окрестности оси колебаний, периодически отклоняясь в поперечном направлении от оси и смещаясь вдоль нее как линии наибольшего ската. В этом смысле движение двухмассо-вой системы может иметь две противоречивые тенденции: с одной стороны, как совокупность двух материальных частиц она должна стремиться занять положение, близкое к параллельному оси колебаний (ф = ж/2), с другой - возникающий момент переносных сил инерции (слагаемое -а'2Sinф Cosф в последнем уравнении системы (4)) стремится развернуть двухмассовую систему перпендикулярно оси колебаний (ф = 0). Численные расчеты подтверждают существование обеих тенденций.

При сравнительно большой амплитуде угловых колебаний шероховатой плоскости (а0 = а0 / f = 1,85) имеет место наличие трех областей на плоскости параметров X, ф0 (рис. 2, а). Стрелки на рисунке указывают направление изменения угловой координаты ф двухмассовой системы по отношению к ее начальному значению ф0 (0<ф0 <л/2):

- в области 1 при 0,04 < X < 0,45 угловая координата убывает до ф = 0, двухмассовая система разворачивается перпендикулярно оси колебаний; при 0,45 < X < 1,2 угловая координата

убывает до граничных значений области 1 с областью 2, в устойчивом состоянии двухмассовая система находится под некоторым углом к оси колебаний;

- в области 2 при 0,45 < X < 1,2 угловая координата возрастает до граничных значений области 2 с областью 1, в устойчивом состоянии двух-массовая система находится под некоторым углом к оси колебаний; при X > 1,2 угловая координата

иркутским государственный университет путей сообщения

возрастает до ф = % /2, двухмассовая система разворачивается параллельно оси колебаний;

- в области 3 при X > 0,75 угловая координата убывает до ф = 0, двухмассовая система разворачивается перпендикулярно оси колебаний.

а) I = 0,2; / = 0,1; а0 = 1,85; у = 0,01

б) l = 0,2; f = 0,1; а0 = 1,5; у = 0,01

той плоскости. При X = 0,4 характер затухающих колебаний полностью исчезает, интегральные кривые сгущаются в окрестности значения ф = 0 (рис. 3, б). При 0,45 < X < 1,2 интегральные кривые сгущаются в окрестности некоторых характерных значений; для X = 1 этими значениями являются ф = 0 и ф = 0,463% с разделительным значением ф = 0,126% (рис. 3, в). При Х> 1,2 интегральные кривые сгущаются в окрестности значений ф = 0 и ф = % /2 с разделительными значениями, соответствующими граничным значениям ф на границе областей 2 и 3.

а) I = 0,2; / = 0,1; а0 = 1,85; у = 0,01; Х = 0,041

б) l = 0,2; f = 0,1; а0 = 1,85; у = 0,01; Я = 0,4

Рис. 2. Области значений параметров Я, ф0 ,

соответствующих различным устойчивым состояниям двухмассовой системы

При малых значениях Я ( Я < 0,04 ) нарушается безотрывность движения двухмассовой системы в одной из точек контакта Д (i = 1,2), что отодвигает левую границу области 1 от вертикальной оси. При а0 > 1,85 двухмассовая система в среднем удаляется от оси колебаний и покидает область безотрывности. При уменьшении ÖQ разделяющая граница областей 1 и 2 на рис. 2 смещается влево, а разделяющая граница областей 2 и 3 - вправо, прижимается к прямой ф = 0 и при

а0 = 1,5 практически исчезает (рис. 2, б).

На рис. 3 показаны характерные примеры интегральных кривых при различных значениях параметра Я и значениях других параметров, отвечающих рис. 2, а. Следует отметить, что при малых значениях параметра Я ( 0,04 <Я< 0,45 ) угловая координата двухмассовой системы изменяется по закону затухающих колебаний (рис. 3, а при Я = 0,041) с частотой, существенно отличающейся от частоты угловых колебаний шерохова-

в) l = 0,2; f = 0,1; а0 = 1,85; у = 0,01; Я = 1

Рис. 3. Характер семейства интегральных кривых при различных значениях параметров системы

Заключение

Результаты решения поставленной задачи позволяют сделать вывод о возможности организации процесса вибрационного транспортирования с одновременной ориентацией перемещаемых объектов относительно оси угловых колебаний рабочей плоскости. При указанных сочетаниях значений параметров и достаточно произвольном начальном состоянии твердое тело, не покидая окрестности оси угловых колебаний и перемещаясь вдоль нее, разворачивается под определенным углом к оси.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Блехман И.И. Вибрационное перемещение. -М.: Наука, 1968.

2. Спиваковский А.О., Гончаревич И.Ф. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомогательные устройства. - М.: Машиностроение, 1972. 326 с.

3. Андронов В.В., Нагаев Р.Ф. Вибрационное перемещение вдоль плоскости, колеблющейся перпендикулярно линии наибольшего ската // Изв. АН СССР, МТТ.- 1976. - № 1. - С. 28-33.

4. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР, МТТ. - 1981. - № 4. - С. 17-28.

5. Нагаев Р.Ф. Периодические режимы вибрационного перемещения. - М.: Наука, 1978.

6. Сельвинский В.В. Взаимодействие материальной частицы с шероховатой плоскостью, совершающей угловые колебания // Управляемые механические системы: Сб. науч. тр. - Иркутск: ИПИ, 1986. - С. 156-161.

УДК 621.01: 65.015.13; 621.833.6 Синенко Евгений Григорьевич,

к. т. н., профессор кафедры «Теория и конструирование механических систем» Политехнического института Сибирского федерального университета (ПИ СФУ), тел. (391) 24-34-558

Кулешов Владимир Ильич,

к. т. н., доцент кафедры «Проектирование и экспериментальная механика машин» (ПиЭММ) ПИ СФУ,

тел. (391) 24-97-071, e-mail: kvi_01_59@mail.ru Карпенко Валерий Витальевич, магистр кафедры ПиЭММ ПИ СФУ, тел. (391) 24-97-555

О РАСЧЕТЕ КОЛЕС ЭПИЦИКЛИЧЕСКОГО ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА

E. G. Sinenko, V.I. Kuleshov, V. V. Karpenko

CALCULATION OF WHEELS OF EPICYCLIC PLANETARY GEARING

Аннотация. Рассмотрены особенности выбора геометрических параметров эпициклических планетарных редукторов и применения САПР при их проектировании.

Ключевые слова: эпициклический планетарный редуктор, моделирование.

Abstract. This paper develops geometry ofplanetary gear of epicycle type and computer aided designing of the gear.

Keywords: epicyclic planetary gearing, designing.

Особенностью кинематической схемы эпициклических (эксцентриковых) механизмов (рис. 1) является то, что сателлиты имеют различные диаметры, вследствие чего центральные колеса несоосные и ведомое звено получает дополнительное плоское движение [1].

Рис. 1. Кинематическая схема

Эпициклический планетарный редуктор состоит из центрального колеса 1, центрального колеса 4 с внутренними зубьями и сателлитов 2 и 3 (количество сателлитов может быть произвольным, в зависимости от режима и условий эксплуатации). Для удобства анализа рассмотрим двухса-