CC BY
45
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 120-121
УДК 531.3
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПО ПЛОСКОСТИ С АНИЗОТРОПНЫМ ТРЕНИЕМ
© 2011 г. Н.Н. Дмитриев
Санкт-Петербургский госуниверситет
dn7@rambler. ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Изучается движение твердых тел по плоскости в предположении, что трение анизотропное, а площадка контакта тела с плоскостью является кругом, тонким кольцом или представляет собой узкую прямоугольную область. Кроме того, при опоре на круговую площадку рассматриваются случаи равномерного распределения давления, распределения давления по закону Герца и Буссинеска. Для каждого из случаев получена зависимость между линейной скоростью центра площадки опоры и угловой скоростью от момента инерции в момент окончания скольжения. Сформулированы соответствующие утверждения.
Ключевые слова: анизотропное трение, ортотропное трение.
Движение тел, опирающихся на круговую площадку, в частности, рассматривалось в работах [1, 2]. Пусть твердое тело опирается на круговую площадку, и рассмотрим три классических случая распределения давления: равномерное, по закону Буссинеска и по закону Герца:
mg
p=—т; p=-
Po
na
ф-р2/а2’ P0 2na
mg
p 3mg
p = Ч-02’ p0 = W-
(1)
Кроме того, далее считаем, что оси Ох и Оу ортогональной системы координат выбраны так, что закон ортотропного трения имеет вид:
T = -p
(fx 0 Yvx/V ^
0 fy
y
к vy/v
(2)
где T — вектор силы трения; p — давление в точке контакта; vx, vy, v — проекции скорости точки на оси Ox, Oy и ее величина. Вектор скорости центра круговой площадки обозначим через
v0 = v0(cos S i + sin $ j), (3)
где v0 — величина вектора скорости; ф — угол, задающий направление вектора v0 , который отсчитывается от оси Ox.
Тогда можно сформулировать утверждения следующего вида (для случая распределения давления по закону Герца) [3]:
Утверждение 1. Пусть тело соприкасается с горизонтальной плоскостью и область контакта представляет собой круг, давление в котором
распределено по закону Герца. Пусть силы трения обладают ортотропными свойствами: /х и /у — коэффициенты трения вдоль ортогональных осей Ох и Оу, связанных с плоскостью, такие, что/у > /х, Ц = /у — /х > 0. Будем считать, что проекция силы тяжести на плоскость совпадает с центром круга и безразмерный момент инерции тела относительно оси, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости, равен I* = //(та2) (звездочку далее не пишем). Тогда:
1)при I е (0, (/ + Ц)/(5/)) угловая скорость ю стремится к нулю быстрее, чем линейная скорость центра круга у0 , но обращается в нуль одновременно при ю/у0 ^ 0, касательная к фазовой траектории в точке у0 = 0, ю = 0 имеет угол наклона, равный нулю;
2) при I е ((/ + Ц)/(5/Х), (6/Х + 5ц)/(24/)) Ю и v0 обращаются в нуль одновременно и при этом выполнено соотношение v0 = кю, к > 1;
3)при I е ((6/х + 5ц)/(24/), (2/х + ц)/(4/ )) ю и у0 обращаются в ноль одновременно и при этом выполнено соотношение у0 = кю, к < 1;
4) при I е ((2/х + ц)/(4/. ), +<~) ю и У0 обращаются в ноль одновременно при ю/у0 ^ 0, но V стремится к нулю быстрее, чем ю, и касательные к фазовым траекториям в точке v0 = 0, ю = 0 имеют угол наклона равный п/2.
Аналогичные утверждения можно сформулировать для двух других распределений давления. Сопоставление результатов представлено в таблице.
В случае прямоугольной области контакта имеет место следующее утверждение.
2
Таблица
Интервалы для моментов инерции, при которых выполняются пункты утверждения
Равномерное распределение давления Распределение давления по закону Буссинеска Распределение давления по закону Герца
1 I є (0, (fx + ц)/(4/ )) I Є (0, (fx + ^)/(3fx)) I Є (0, (fx + ц)/(5/))
2 I Є ((fx + ц)/(4/ ), (5fx + 4ц)/(15/ )) I Є ((fx + ц)/(3/ ), (4fx + Зц)/(8/ )) I є ((fx + ц)/(5/ ), (6fx + 5^)/(24fx ))
3 I є ((5fx + 4ц)/(15/ ), (2f + ц)/(3/х )) I є ((4fx + 3ц )/(8fx ), (2fx + ц)/(2/ )) I є ((6fx + 5^)/(24fx), (2fx + ц)/(4/ ))
4 I є ((2fx + ц)/(3/), +») I є ((2fx + ц)/(2/), +») I є ((2fx + jx)/(4/x), +»)
Утверждение 2. Пусть твердое тело опирается узкой прямоугольной областью на горизонтальную плоскость, взаимодействие тела с плоскостью характеризуется ортотропным трением. Тогда если момент инерции тела и его ориентация на плоскости в момент остановки таковы, что выполняется неравенство
J >
> max i +^ cos2 Ф fx (fx +^ )+^2sin229/41
112(fx +Цsin2ф) 8fx(fx +ц)+ц^іп22ф J’
то в момент остановки величина в = v/ю равна нулю.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-08-90006-Бел_а).
Список литературы
1. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусь-ко Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР МГТ. 1981. №4. С. 17-28.
2. Розенблат Г.М. Динамические системы с трением. М.-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. 156 с.
3. Дмитриев Н.Н. Скольжение твердого тела, опирающегося на круговую площадку, по горизонтальной плоскости с ортотропным трением. Ч. III. Распределение давления по закону Герца // Трение и износ. 2010. Т. 31, №4. С. 342-352.
SOME FEATURES OF THE MOTION OF SOLIDS ON THE PLANE WITH ANISOTROPIC FRICTION
N.N. Dmitriev
Motion of solids along a plane under the assumption that the friction is anisotropic and the contact area of the solid with the plane is a circle, a thin ring or a narrow rectangular area is studied. Moreover, for a circular contact area, the cases of uniform contact pressure distribution or the pressure distribution according to the law of Hertz and Boussinesq are considered. For each of the cases, the dependence between the linear speed of the center of the contact area and the angular velocity of the moment of inertia at the time moment corresponding to the end of the motion. The corresponding theorems have been formulated and proved.
Keywords: anisotropic friction, orthotropic friction.
