CC BY
29рядка укладки слоев различного плетения на защитные свойства тканых преград. Несмотря на то что запреградные скорости при пробивании четырехслойных образцов различаются незначительно, наблюдались эффекты, усиливающиеся на десятислойных образцах. Для образцов, состоящих из одного типа ткани, запреградные скорости отличаются мало (для П10 падение скорости 15,8 м/с, для С10 — 16,5 м/с), однако использование комбинированных преград может привести как к увеличению, так и к уменьшению запреградной скорости. Было отмечено, что защитные свойства ухудшаются при частом чередовании полотняных и саржевых слоев, например падение запреградной скорости образца С/П10 составило всего 9,5 м/с. В то же время чередование слоев типа С3П5С2 (редкое чередование) улучшает защитные свойства (падение скорости составило 31,5 м/с). Ввиду того что слой саржевого плетения весит на 14% меньше, чем слой полотняного, в практических приложениях, таких, как проектирование защитных корпусных элементов, предлагаемый способ укладки позволит увеличить эффективность защитной преграды без увеличения ее массы.
Работа выполнена при поддержке Фонда содействия инновациям (договор №8791ГУ/2015). Работа проведена с применением оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М.В. Ломоносова.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kirkwood K.M., Kirkwood J.E., Lee Y.S., Egres R.G., Wagner N.J., Wetzel E.D. Yarn pull-out as a mechanism for dissipating ballistic impact energy in kevlar KM-2 fabric // Text. Res. J. 2004. 74. 920-928.
2. Моссаковский П.А., Баландин В.В., Беляев А.П., Белякова Т.А., Брагов А.М., Инюхин А.В., Костыре-ва Л.А. Исследование диссипативных факторов при пробивании многослойных тканых преград // Пробл. прочности и пластичности. 2015. 77, № 4. 385-392.
3. Беляев А.П. Экспериментально-вычислительное исследование влияния типа плетения, формы ударника и поперечной прошивки на пробиваемость многослойных тканевых преград // Тр. Конференции-конкурса молодых ученых 12-14 октября 2015 г. М.: Изд-во МГУ, 2016. 71-78.
4. Беляев А.П. Экспериментально-вычислительное исследование параметров межволоконного трения в тканых композитах с использованием редуцированных моделей // Тр. Конференции-конкурса молодых ученых 10-12 октября 2016 г. М.: Изд-во МГУ, 2017. 62-69.
5. Martinez M. A., Navarro C., Cortes R., Rodriguez J. Friction and wear behaviour of kevlar fabrics //J. Mater. Sci. 1993. N 28. 1305-1311.
6. Беляев А.П., Белякова Т.А., Зезин Ю.П., Инюхин А.В., Костырева Л.А., Моссаковский П.А., Чистяков П.В. Разработка и верификация редуцированных математических моделей динамического нагружения тканых композитов // Ломоносовские чтения-2017. Секция механики. 17-26 апреля 2017 г.: Тез. докл. М.: Изд-во МГУ, 2017. 31.
Поступила в редакцию 14.03.2018
УДК 531.7
К ЗАДАЧЕ КАЛИБРОВКИ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ ДАТЧИКОВ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТЕМПЕРАТУРЕ И. Е. Тарыгин1
Рассматривается задача калибровки бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) в эксперименте с изменяющейся температурой. Для калибровки инерци-альных датчиков вводится параметризованная модель погрешностей измерений, включающая помимо стандартных параметров коэффициенты зависимости от температурного поля. Ранее автором показана возможность оценки коэффициентов зависимости от температуры и производной температуры по времени совместно с другими параметрами. Важным этапом практического внедрения предложенного ранее подхода является определение производной температуры по времени внутри системы по показаниям датчиков температуры. В силу ряда особенностей показаний датчиков температуры получение производной температуры непосредственно из показаний датчиков является нетривиальной задачей.
1 Тарыгин Илья Евгеньевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: i.tarygin@gmail.com.
В работе выдвигается предположение о виде аппроксимирующей показания датчиков температуры функции. Анализируется связь между предложенным видом функции и моделью теплового процесса внутри БИНС, который описывается уравнением теплопроводности.
Ключевые слова: инерциальные датчики, калибровка, температурные вариации, теория оценивания, фильтр Калмана.
In our study we consider the inertial navigation system (INS) calibration problem. The sensor error model includes a set of conventional parameters and the sensor error variations over temperature. In previous research, we have shown that the sensor error temperature variations can be estimated in an experiment with changing temperature. An important part of practical implementation of the proposed approach is the estimation of the temperature time derivative inside the INS using temperature sensors measurements. For a number of reasons, doing this directly from temperature sensor measurements is not trivial. We propose a pattern for approximation function and analyze the connection between this function and a model of the thermal process inside the INS, which is described by the heat equation.
Key words: inertial sensors, calibration, temperature variations, optimal estimation, Kalman filtering.
1. Введение. Как известно, инерциальная навигационная система предназначена для определения координат, вектора скорости и ориентации объекта, на котором она установлена. В качестве необходимых компонентов бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) выступают бортовой вычислитель и инерциальные датчики — датчики угловой скорости (ДУС) и ньютономет-ры (акселерометры). ДУС измеряют проекции абсолютной угловой скорости объекта на собственные оси чувствительности, а ньютонометры — проекции удельной силы реакции со стороны внешних тел, действующей на объект. В вычислителе БИНС решается прямая задача механики: на основе измерений инерциальных датчиков, модели силы тяжести и начальных условий определяются местоположение и ориентация объекта. Важным предэксплуатационным этапом является калибровка БИНС, представляющая собой процесс идентификации параметров модели погрешностей измерений инерциальных датчиков по показаниям датчиков во время калибровочных экспериментов. Основной идеей калибровки является сопоставление между собой показаний датчиков и некоторых эталонных величин. Методики калибровки отличаются между собой способом оценки параметров и требованиями к соответствующим калибровочным экспериментам. Наличие оценок параметров позволяет впоследствии компенсировать систематические составляющие погрешностей алгоритмическим путем в режиме навигации. Известна методика калибровки [1-4], предполагающая совместную оценку всех необходимых параметров в простом эксперименте на поворотном стенде с горизонтальной осью вращения. Установлено [2, 5, 6], что параметры инерциальных датчиков подвержены влиянию температурного поля внутри системы. Это влияние выражается в зависимости стандартных параметров погрешностей измерений инерциальных датчиков от температуры, производной температуры по времени, пространственного градиента температуры внутри системы и т.д. В работах [1, 4] показано, что стандартные модели инструментальных погрешностей измерений инерциальных датчиков можно модифицировать таким образом, что коэффициенты влияния температурного поля могут быть оценены совместно с традиционными параметрами погрешностей измерений. Особенностью практической реализации алгоритмов является определение производной температуры по показаниям датчиков температуры. Характер изменения температуры внутри системы и большой шаг дискретизации показаний датчиков температуры не позволяют получить производную температуры из показаний датчиков численным дифференцированием или с использованием обычных цифровых фильтров, поскольку характерные времена перехода через шаг дискретизации термодатчиков могут многократно изменяться в процессе работы БИНС (рис. 1). В настоящей работе предлагается учитывать особенности тепловых процессов, которые происходят внутри системы, и аппроксимировать показания датчиков температуры с использованием уравнения теплопроводности.
2. Постановка задачи калибровки. Модель погрешностей измерений инерциальных датчиков (ньютонометров и ДУС) в проекциях на оси приборной системы координат Mz (связана с осями чувствительности ньютонометров) имеет следующий вид:
f'z = fz + Afz + Гfz + TfkAf + TfKrfz + Tf Ад/ + Afzs, u'z = Wz - Vz - ©Wz - Тш kv - тш К@Шг - ТшAv + Vzs,
0,5 1 1,5 2 2,5
Рис. 1. Пример показаний датчиков температуры в реальной системе
где / — вектор истинной удельной силы, действующей на приведенную чувствительную массу ньютонометров, который записан в проекциях на оси приборной системы координат Ыг;
— вектор абсолютной угловой скорости;
/ — вектор-столбец показаний ньютонометров;
— вектор-столбец показаний ДУС;
Д/ — столбец смещений нулевых сигналов ньютонометров;
Г — матрица малых углов перекосов осей чувствительности и погрешностей масштабных коэффициентов ньютонометров;
у2 — столбец смещений нулевых сигналов ДУС;
В — матрица малых углов перекосов осей чувствительности и погрешностей масштабных коэффициентов ДУС;
Тш — матрица с температурами датчиков угловой скорости на диагонали;
Tf — матрица с температурами ньютонометров на диагонали;
кд/ — столбец коэффициентов зависимости от температуры нулевых сигналов ньютонометров;
к„ — столбец коэффициентов зависимости от температуры нулевых сигналов ДУС;
К г — матрица коэффициентов зависимости от температуры масштабных коэффициентов и малых углов перекосов осей чувствительности ньютонометров;
К© — матрица коэффициентов зависимости от температуры масштабных коэффициентов и малых углов перекосов осей чувствительности ДУС;
Лд/ — столбец коэффициентов зависимости от производной температурного поля по времени нулевых сигналов ньютонометров;
Ли — столбец коэффициентов зависимости от производной температурного поля по времени нулевых сигналов ДУС.
В рамках калибровочного эксперимента параметры Д/, Г, ух, В, кд/, к^, Кг, К©, Лд/, Ли подлежат определению по измерениям инерциальных датчиков , / и датчиков температуры Тш, Т/. Датчики температуры обычно располагаются вблизи соответствующих инерциальных датчиков. На один инерциальный датчик может также приходиться несколько датчиков температуры.
В реальных системах скорость изменения температуры имеет величину порядка 1-5 °С/ч, при этом величина шага дискретизации показаний датчиков температуры обычно составляет 0,1-0,2 °С. Следует заметить, что скорость изменения температуры не является постоянной величиной, что с учетом вышеперечисленного делает определение производной температуры непосредственно из показаний термодатчиков нетривиальной задачей. На рис. 1 представлен профиль изменения температуры внутри БИНС во время саморазогрева. Экспериментально установлено [6], что функции вида
т (г) = а + Ьге-к11 + Ъ2е-Ы,
(1)
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2019. № 1
67
где bi, 62, a, k\ > 0, k.2 > 0 — некоторые постоянные, аппроксимируют показания датчиков температуры с высокой точностью.
3. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим малую шаровую окрестность чувствительного элемента датчика температуры, покажем, что в любой точке этой окрестности изменение температуры может быть выражено функцией вида (1). Нормализованное уравнение теплопроводности в сферических координатах (r, р, ф) имеет следующий вид:
дт 1 д ( 2 дт \ 1 д (sin ip дт \ 1 д ( 1 дт
dt г2 дг \ дг J г sin <р dtp \ г др> J г sin <р дф \ г sin <р dtp
где 5(г,<р,ф) — функция тепловых источников. Источники обеспечивают приход/уход тепла, в том числе при равномерном распределении температуры. Искомая функция т = т(г,р,ф,Ь) задает температуру в точке с координатами (r, р, ф) в момент времени t.
Начальное условие
т(г,р,ф, 0) = то(г,р,ф).
Стационарное краевое условие
т (r,t)||r| = 1 = т1-
Будем считать, что внутри рассматриваемой окрестности среда однородна и изотропна.
Ищем решение в виде
т(r, t) = a(r) + ^ bn(r)e-nkt. (3)
n=1
Найдем частные производные выражения (3):
+ §(г,р,ф),
(2)
дт
— = -^пкЪп{г)е~пк\
n=1
дт da(r) db(r)
дг dr dr '
n=1
д2т d2a(r) ^ d2b(r) dr2 dr2 dr2
n=1
Подставив производные в уравнение (2) и приравняв коэффициенты при одинаковых экспонентах, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
с?2а(г) 2 da{r)
г2 г '
Л2Ьп(г) 2 ЛЬп(г)
~Г2--1---1— = -пкЬп(г).
Лг2 г Лг
Решение системы имеет вид
1 I А2 // 6(г)гЛг
a(r) = А Н---b
, sin(V^fcr) 2 cos(V^kr)
On{r) = вп----h вп ■
где А1, А2, ВП, ВП — неизвестные постоянные, которые подлежат определению из начальных и краевых условий.
Окончательно получим
т(r, t) = a(r) +
те
Е
n=1
Б;
sin(
+ Б;
cos{л/rikr) \ r
r
4. Пример. Для проверки предложенного подхода к оценке температуры внутри БИНС использовались реальные записи показаний датчиков температуры внутри системы. Эксперименты проводились на калибровочном стенде с термокамерой. Всего было проведено 7 экспериментов в различных температурных точках, лежащих в диапазоне от -10 до 60°С. Перед включением системы в термокамере устанавливалась постоянная температура, после подачи питания начинался саморазогрев. Продолжительность эксперимента в каждой температурной точке составляла примерно 3-4 часа, за это время температура внутри системы изменялась в среднем на 10-15 градусов и приближалась к стационарным значениям.
Для аппроксимации показаний термодатчиков использовалась модель (1). Неизвестные коэффициенты оценивались по методу наименьших квадратов. Производная температуры по времени (рис. 2) аналитически определялась после аппроксимации (рис. 3). Вычисленная производная использовалась для оценки параметров зависимости от производной температуры по времени погрешностей измерений инерциальных датчиков. Из графика рис. 3 видно, что записанные показания термодатчика достаточно точно описываются предложенной моделью. Подобная картина наблюдается и для остальных датчиков температуры.
_I_I_I___1-1-1-
0 1 2 3 «,ч 0 1 2 3 ¡,ч
Рис. 2. Производная температуры Рис. 3. Пример аппроксимации
по времени показаний термодатчика
5. Выводы. Функции предложенного вида (1) достаточно хорошо аппроксимируют показания
датчиков температуры, позволяют вычислить производную температуры по времени в реальных
экспериментах с БИНС в режиме саморазогрева и соответствуют уравнению теплопроводности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов А.В., Тарыгин И.Е., Голован А.А. Калибровка инерциальных измерительных блоков на грубых стендах с оценкой температурных зависимостей по эксперименту с переменной температурой // XXI Санкт-Петербургская междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ—ЦНИИ "Электроприбор", 2014. 319-322.
2. Вавилова Н.Б., Парусников Н.А., Сазонов И.Ю. Калибровка бескарданных инерциальных навигационных систем при помощи грубых одностепенных стендов // Современные проблемы математики и механики. 2009. 1. 212-222.
3. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы навигационных систем. Ч. II. Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. М.: Изд-во МГУ, 2008.
4. Козлов А.В., Тарыгин И.Е., Голован А.А. Калибровка инерциальных измерительных блоков на грубых одноосных стендах: оценка коэффициентов зависимости от производной температуры // XXIII Санкт-Петербургская междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ—ЦНИИ "Электроприбор", 2016. 56-61.
5. Джашитов В.Э., Панкратов В.М. Математические модели теплового дрейфа гироскопических датчиков инерциальных систем. СПб.: ГНЦ—ЦНИИ "Электроприбор", 2001.
6. Измайлов Е.А., Кухтевич С.Е., Тихомиров В.В., Стафеев Д.В., Фомичев А.В. Анализ методов оценки случайной составляющей дрейфа лазерного гироскопа с виброчастотной подставкой // Тр. ФГУП НПЦАП. Системы и приборы управления. 2015. 2, № 32. 22-28.
Поступила в редакцию 22.06.2018
