CC BY
36
УДК 528.48
К ВОПРОСУ СОСТАВЛЕНИЯ УСЛОВНЫХ УРАВНЕНИЙ В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЯХ ИЗ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ИЗМЕРЕННЫМИ СТОРОНАМИ
Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор
Тимошенко Н.А. ассистент
Данильченко П.М. к. с.-х. н., доцент
Кубанский государственный аграрный университет,
Краснодар, Россия
Для составления условных уравнений с целью уравнивания трилатерационных сетей рассматривается вопрос нахождения коэффициентов при поправках в измеренные стороны, минуя решения треугольников сетей. Для сетей из треугольников разработан алгоритм вычисления коэффициентов путем дифференцирования известных формул последовательных линейных засечек.
Ключевые слова: УСЛОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЕТИ, ТРИЛАТЕРАЦИОН-НЫЕ СЕТИ, ТРЕУГОЛЬНИКИ С ИЗМЕРЕННЫМИ СТОРОНАМИ.
Известен метод составления условных уравнений в трилатерации, в которой по измеренным и исходным сторонам вычисляют значения углов и получают невязки (в секундах). После этого составляют условные уравнения поправок к углам и, наконец, эти поправки выражают через поправки в измеренные стороны. В результате получают искомые уравнения поправок в измеренные величины (стороны) [1]. Такой путь представляется нерациональным с точки зрения участия углов в уравнениях поправок.
Предлагается унифицировать способ составления условных уравнений (без промежуточной ступени) при уравнивании сетей трилатерации.
Рассмотрим предлагаемую методику на примере цепочки треугольников, опирающуюся на две стороны триангуляции (рисунок 1).
UDC 528.48
TO THE QUESTION OF COMPOSITION OF CONDITIONAL EQUATIONS IN GEODESIC NETS FROM TRIANGLES QITH MEASURED SIDES
Sokolov Yury Grigorievich Cand. Tech. Sci., professor
Timoshenko N.A. lecturer
Danilchenko P.M.
Cand. Agr. Sci., associate professor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
The question of coefficients finding under corrections in measured sides excluding the decision of triangular nets is considered for composing of conditional equations with the aim of trilateral nets equalization. The algorithm of coefficients computing by means of differentiation of known formulas of contiguous linear serifs was worked out for nets from triangles.
Key words: CONDITIONAL EQUATIONS, GEODESIC NETS, TRILATERAL NETS, TRIANGLES WITH MEASURED SIDES.
Рисунок 1. - Цепочка треугольников
В сети, показанной на рисунке 1, возникнут 3 условных уравнения : 2 координатных и одно для избыточно измеренной стороны 5 2п.
п-1
ЭБП ,
V 11 У
(Эу ^
ЭУп-1
Уи+
п-1
ЭБ1.1
ЧЭ^21 /
'ЭУ. '
^2.1 +
п-1
2
1.Х у
^1.2 + •••+
^1.1 +
п-1
ЭБ2.1
^2.1 +
п-1
ЭБ1.2
^1.2 +...+
• *ї(4) +
п-1
2.(п-1)
У2.„ + ^1.1
ЭХ
п -2
ЭБ
СОЗССі
ЭУ
ЭУп-1
чЭБ1.(п-1) у
• ^.м +
ЭХ-
V " 4 ' /
\
ЭУ
п-1
ЭХ
1.1
п-2 ).п
п-2
81и а
1.1
п -2 ).п
2.1
ЭХ
п -2
ЭБ
соза
2.1
2-(п-1)
п-2).п "
^2-(п-1) + /х-(п-1) 0
• ^.м+ /у(п-1)= 0
(1)
ЭУ
п -2
ЭБ
8іиа/
2.1
п-2 ).п
+... +
+
ЭХп-2 ЭУп-2 .
п 1 сО8 а (п - 2). п + ЭБ Я1п а (п-2 ).п
ЭБ
2. п - 2
2. п - 2
• У2.(п-2) + Л2.„ - 0,
(2)
где поправки в измеренные стороны Би б21, Б2п-1>Б2п,
^1.1, ^2.1...,Г2п _1/2 п
/х.«/У.«-\ " невязки в приращениях координат, а(п-2 )п - дирекционный угол стороны Б2п,
/,п - невязка в длине стороны Б2п, вычисленная как разность между измеренной длиной стороны и ее вычисленным значением.
В результате дифференцирования известных формул, используемых для определения координат линейными засечками, и последующих преоб -разований для частных производных по измеренным сторонам в формулах (1) и (2) был найден следующий алгоритм их определения
ЭХ0„., =(уоп - уп) ,• ЭУ0,
(Хоп - Хп )
J .
ЭБ1. I
ЭХ.
оп.)
и) ЭБ1.1
(л - уоп ) ; ЭУоп.) =
и,
(л -Хоп),
ЭБ
2.)
и)
ЭБ
2.)
И)
где ]=1,2,3,...,(п-1), хп.]?п.} 1 координаты правой и левой точек в ] - ом треугольнике (по Xл у ул у | отношению к определяемой точке);
X оп. у ,Уоп] - координаты определяемой точки в ] - ом треугольнике;
Н1.},Н2.у - высоты в треугольнике, опущенные на стороны 51у-, 52.у соответственно.
Так для первого треугольника (рисунок l) получим
дХ^ {Yl - Y); {X1 - Xj);
эх,., Hl.l ’ эх,., Hl.l ’
_ЭС^_{Yjj - Y,); ^_ (CI-C,). dS 2.1 H 2.1 dS 2.1 H 2.1
Здесь Я11 = 52 1 • sin g1, H2 1 = <S11 • sin g1.
Для второго треугольника будем иметь ЭХ2 =(Y2 -Yj) . ЭУ2 = (X2 -Xi) .
dSl.:
H
1.2
dSl.:
H
1.2
dC 2 _{Yl -Y2); _ЭЦ^ _ {C, -C2)
и так далее.
Для сторон 51Л,513,...,51.(„_1) частные производные найдутся по формулам:
= 1 .(у -У )
„ у1-оп.к М.]р
н1. ]
= --^--(хоп.к -X,] ),
dS 2.2 H 2.2 dS 2.2 H 2.2
dSl. J
dY
A ЛИ V
dS,.
1. J
(4)
где) = 1, 2, 3,..., (п-1)
Xопк,Уопк - определяемые координаты к - той точки цепи; х1.і , и1.) - координаты точки, из которой опущена высота И1, на сторону Б1., треугольника.
Согласно (4) для точки, например 5, получим для стороны Б1Л:
ЭХ5 1 и. „ ч. ЭУ5
_( -Y); _--L.(Y5-Cj
ЭХ,., H,.l ЭХ,.1 H,.l
а для стороны Sl3 будем иметь
-dC^_—^--y2); _—— -(y5-c2).
dSl.3 H,.3 5 2h dSl.3 H,.3 2’
Для сторон 52.],]=2, 4, 6,..., п частные производные можно найти по следующим формулам:
Э5 2. ] Н
= 1 . (х - У )
т, V 2.] оп.к Ь
2. ]
ЭУо
Э5
* = --^--(х2.] -Xо,* ),
2. ]
н
2. ]
(5)
где Х оп.к, Уоп.к
2. ] 2. ]
определяемые координаты к - той точки цепи,
координаты точки, из которой опущена высота н 2. ] на сторону
52.] треугольника.
Так, согласно формулам (5), для точки, например 4, и стороны 522, получим:
Э52.2 Н 2.2
=тЛ--Х -У4); (X,-X 4),
Э5
2.2
н
2.2
а для стороны 5 24 и точки 5 будем иметь:
= "771 Хз-У,); = --^- - Хз-X
Э52.4 Н 2.4
Э5
н2
’2.4 ''''2.4
Стороны 521,512,523,514,... являются связующими и служат базовыми при вычислении координат линейной засечкой. Проследим их влияние на положение точек цепи.
Запишем для точки 2:
X 2 = X, + д2-(X!-X,) + Нг-(У1 -у )1
где 42 = 2
1+
2
2.2
5 2 1
2.1
у2 =У + 42 -(Х1 -у)-.(Х1 -X7;
\21 17~ \2
(6)
1.2
^2 1 2.1
^2 =
2.2
^ 2 1 2.1
Учитывая, что точка I - жесткая, найдем:
дX 2 = Э42 Х V ) , ^1 4 . Э^2 Х У ) . ЭУ1
^----= ^~ ^1 ^ I) + ^^- 42 + ^^-1У1 - У1) + 47^-------
Э5 2.1 Э52.1 Э52.1 Э5 2.1 Э5 2.1
ЭУ2
Э42
Э5 2.1 Э52.1 Введем обозначения:
-(Ух-У1 ) + ^ ' 42
Э^2
Э5 2.1 Э52.1
-(Х1 -XI
ЭУ1
Э52.1
Yi-X,) + |^-(-Y,) = a2.
ЭS 2.1 ^ 2.1
d“2 -(y,-y,)(y,-X,)=b2.
Тогда получим:
ЭS 2.1
ЭХ 2 dS 2.1 Эи2 ЭS 2.1
ЭS2.1
(7)
ЭХ, ЭS 2.1
Эи, ЭS 2.1
- q2 +
- q2 -
Эи, ЭS 2.1
ЭХ, ЭS 2.1
- h2 + a2.
- h2 + b2 .
V У V У
Найдем выражения для коэффициентов а2 и Ь2.
(8)
Учитывая, что q2 =1
22
производные:
Эq2 =(l - 2 - q2) . Эh2
2 21 2
1 + S2.2 S1.2 и h2 =j S2.2
S2 1 2.1 S2 1 2.1 S2 1 2.1
-<?2 , найдем частные
ЭS 2.1 S 2.1 ЭS 2.1 S 2.1
, + q2-(l - q2)
После их подстановки в (7) получим:
a2 = (l - 2q2) • cos a2 , - й2
b2 =(1 - 2q 2)-sin a 2.1 + /
, + q2-(l - q2)
_ h22
, + q2-(l - q2)
- sin a
2.1
cos а
2.1
(9)
где а 21 - дирекционный угол стороны Б 21.
После несложных преобразований эти коэффициенты примут более простой вид:
1
a0 =-
S
2.1
1
S
2.1
(Y,-X2-(, -Y2) h2
-Y2)-Y-q-l-(Y,-X2)
(10)
Для точки 3 и последующих точек цепи для стороны Б 21 коэффициенты а и ь пропадают и выражения для нахождения частных производных примут вид:
h
2
h
ЭХ
оп. ]
ЭБ2.1
ЭХ
п.у
дБ 2.1
+
ЭУ
оп. ]
ЭБ2.1
ЭУ
п. У
ЭБ 2.1
+
ЭБ2.1 ЭБ2.1 ЭУ„ ЭУп
• Чу +
/у
ЭБ2.1 ЭБ2.1
• и •
/У
ЭБ2.1 ЭБ2.1
' ЭХ л ЭХ п Л
/у
ЭБ 2.1 ЭБ 2.1
• и,
/у
(11)
где Хоп.,,У
оп.у ? А оп.у
координаты определяемых точек в у - том треугольнике;
Х п. У, Уп. У Хл.у .Улу
координаты правой и левой точек (по отношению к опре-
деляемой) в у - том треугольнике.
Нетрудно теперь заметить, что для точек, находящихся против сторон ходовой линии, в выражениях для частных производных будут присутствовать коэффициенты а и ь; для остальных точек в последующих треугольниках они будут отсутствовать. Поэтому можно записать следующий алгоритм определения частных производных для связующих сторон:
ЭХ
оп. у
ЭБ
ЭУ
св. у
ЭХ
п. у
ЭБ
св. у
+
оп. у
ЭБ
св. у
ЭУ ■ ' г
п. у
ЭБс
св. у V 3 У
+
ЭХ л £ ЭХ Э \
ЭБсв ЭБсв уу
ЭУл £ ЭУ Э \
ЭБ св ЭБсв уу
• Чу +
• Чу -
^Эу-ЭУ„Л
ЭБсв ЭБсв
•и +а ,
эх л эх п
/]
\
ЧЭБ св ЭБс^у
•и +ь ,
(12)
где Бсв.у - связующая сторона в у - том треугольнике, противолежащая определяемой точке;
1
а
]
Б
св-у
(Xп-Хоп ) + (1-ИЧу •(уп-Уоп )
]
ь. = -
у Б.
св.
(Уп -Уоп )-(1^ •(( п -X о
При к > у , ак = 0 , Ьк = 0, получим:
ЭХ
оп.к
ЭБ
ЭУ
св.
ЭХ
п.к
ЭБ
св.
оп.к
ЭБ
св.
ЭУ
к +
У V \ /
ЭХ
л. к
ЭХ
п. к
ЭБсв.у ЭБсв.у
п. к
ЭБ
св.
+
ЭУл.к ЭУ
ЭБ
п.к
св.
ЭБ
св.
• Чк +
Чк
ЭУл.к ЭУ
п.к
ЭБсв.у ЭБсв.у
• ик
ЭХл.к ЭХ
Э£
п.к
св.
ЭБ
св.
• ик
(13)
Для стороны, например Б12, и точки 3, согласно формулам (12), получим:
ЭХ з Э51.2 ЭУз
3^1.2
"ЭХ2 Л
Ч^12 У
^ЭУ2 Л
Э51.:
•I1 - Яз )-
'I1 - Яз) +
"эу Л
ч^12 у 'ЭХ 2 Л
+
Э51.:
+
1.2
1
5
1.2
(X2-Х3) + -(1^•( -Уз!
Ъ3
(Х2 -Уз )--ХХ^ '(X 2 -Х з;
Значения частных производных
ЭХ2
ЭЯ;
и
ЭУ2
Э51.2
найдутся по форму-
лам (з).
Таким образом, предлагаемые алгоритмы позволяют достаточно просто находить коэффициенты условных уравнений и невязки, вычислив координаты точек цепи треугольников последовательными линейными засечками.
Литература
1. В.Д. Большаков и Г.П. Левчук. Справочник геодезиста, кн. 2. Изд. 3, переработанное и дополненное. М., «Недра», 1985 г. с. 91 - 94.
