CC BY
38
УДК 528.13
К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ИЗ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА С ИЗМЕРЕННЫМИ СТОРОНАМИ
Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор
Струсь Сергей Сергеевич к.э.н., доцент
Пшидаток Саида Казбековна к.с-х.н., ст. преподаватель
Губанова Наталья Яковлевна доцент
Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия
В работе найдены весовые функции для точек внутри сети. Полученная система уравнений решается по способу наименьших квадратов. В результате решения системы уравнений была выведена оригинальная формула для подсчета обратных весов любой точки рассматриваемой сети
Ключевые слова: СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ, ОБРАТНЫЕ ВЕСА, ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ, КООРДИНАТЫ
UDC 528.13
TO THE QUESTION OF ASSESSING THE ACCURACY OF GEODETIC NETWORKS OF A QUADRANGLE WITH MEASURED SIDES
Sokolov Yuriy Grigoryevich Cand.Tech.Sci., professor
Strus Sergey Sergeyevich Cand.Econ.Sci., associate professor
Pshidatok Saida Kazbekovna Cand.Agr.Sci., senior lecturer
Gubanova Natalia Yakovlevna associate professor
Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia
The article presents the weighting function for the points within the geodetic network. The obtained system of equations is solved by the method of least squares. In the result of solving the system of equations we found the original formula for calculation of reverse weights of any point in the geodetic network
Keywords: METHOD OF LEAST SQUARES, REVERSE WEIGHT, GEODETIC NETWORK, COORDINATES, ACCURACY ASSESSMENT
В работах [1,2] рассматриваются вопросы создания и уравнивания заполняющих сетей из четырехугольников с измеренными сторонами. При этом для составления условных уравнений с целью уравнивания таких сетей рекомендуется использовать следующий алгоритм:
ЭХ0П.Л
Эв1 1 у Г Э^ОЩ ' ЭБ1.1 у
ЭХОП,''
\ Э8г1 у
ЭГрп.,'
ЭБ21 У
ЭХ П.,'' + ( ЭХ д.,
П.,
Э 81.1 У V Э ^ Э 81.1
х А] +
1.1 у
П.,
_____1П
VЭ 81.1 У
+
_______Л,
VЭ Б1.1
Г эх П ■' Г эх
■■По
Э Б
+
2.1 У
^Л.,
_____чл,
Э 81.1 у
ЭХП., '
х С +
Э Б1.1 Э ^.1 у
Г ЭУЛ ЭУП '
П.,
Э ^.1 Э ^.1
х Л
1.1 у
VЭ 82.1
Г ЭУП ' Г ЭХ
П.,
Э Б
+
2.1 у
^Л.,
Э Б2
П.,
Г ЭУЛ ЭУП '
2.1 у
ЭХ '
VЭ 82.1
Э Э Б
ЭХ
2.1
Л
х С +
Г ЭУ
2.1 у
д.,
______п.,
Э 82.1 У
ЭУп, '
х 5,
Э Б21 э б
х Л
2.1 У
ОП,
ЭБ1
5,
ЭК
Ь2 х И
(Коп - Кп ) ];
ОП.,
ЭБ
10 У
_ _А]_
Ь х И,
(Хоп - XП )
П) ]
ЭХ,
ОП.,
ЭБ
2.]
У
х И
(Кд - Коп) ];
ЭК
ОП.,
V Э§20 У
Ь] х И]
(Хл - ХОП ) ]
(1)
где: , - номер четырехугольника;
ХОщ, УОП., - координаты определяемой точки в ,-том четырехугольнике;
Хщ, Хл.,, Уп.,, Ул., - координаты правой и левой точек в диагонали (по отношению к определяемой) в ,-том четырехугольнике;
Би, Б2.; - измеренные длины сторон 1-го четырехугольника, влияющие на определение координат определяемой точки в ,-том четырехугольнике;
А,, В,, С,, Б, - «передаточные коэффициенты»;
Ь, - длина диагонали ,-того четырехугольника;
И, - коэффициент определяемый по формуле (4).
«Передаточные коэффициенты» найдем из следующей зависимости:
А _
В _
х соб а
Б1п у
Б1па
1 У ] Л
Б1П у
х Б1п а
С.
А-
соБа
]
Л
Б1П у
Г
х соб а
соБа
Б1пу
х Б1п а
(2)
где: а, а2., - дирекционные углы сторон Б1.1, Б2.;;
у, - угол засечки в ,-том четырехугольнике.
Длина диагонали ,-того четырехугольника найдется по формуле:
Ь] _•/(Хл - хп); +(Кл - Кп )2, (3)
где: Хп, Хл,, Уп,, Ул, - координаты правой и левой точек в диагонали (по отношению к определяемой) в ,-том четырехугольнике. Коэффициент рассчитаем по следующей формуле:
И _
5.
2.]
V Ь] У
(4)
где: Б2.1 - измеренные длины сторон 1-го четырехугольника, влия-
ющие на определение координат определяемой точки в ,-том четырехугольнике;
Ь, - длина диагонали ,-того четырехугольника; qJ - коэффициент определяемый по формуле (5).
Я] _
1 +
5.
2.]
V Ь] У
5,
V Ь] У
(5)
где: Б1.1, Б2.1 - измеренные длины сторон 1-го четырехугольника,
влияющие на определение координат определяемой точки в ,-том четырехугольнике;
Ь, - длина диагонали ,-того четырехугольника.
2
2
Важным аспектом таких построений является оценка точности полученных координат точек сети. Рассмотрим её на примере сети из фигур близких к квадратам (рис.1). В такой сети имеются 6 избыточно измеренных сторон: Бьы 31.24, 31-34, 32-4л, 32.4.2 З2.43. Следовательно, для этой сети можно записать 6 условных уравнений сторон.
Рис.1 - Сеть из четырехугольников с измеренными сторонами
Например, для стороны 1-1.4 запишем:
^1-1.4 Х,4 - )2 +(11 4 - У,3 ) = /5|_,4,
где: Х14, Х13, У14, У13 - координаты точек 1.3 и 1.4, вычисленные последовательными линейными засечками;
31.14 - измеренная длина стороны 1-1.4;
/51-1.4 - невязка в длине стороны 31.14.
Выражению (7) после дифференцирования будет соответствовать
условное уравнение вида:
V
у 1-1.4
V Э^1-1.1 Э^1-1.1 у
х соб а1-14 +
7
ЭХ1.4 эх,
Л
V Э52-1.1 Э52-1.1 у
ЭХ1.4 ЭХ,
х соб а1-14 +
V Э^2-1.3 Э52-1
х С08Ц-М +
2 -1.3
^ -_Э111 Л
ЧЭ^1-1.1 Э^1-1ЛУ
Э11.4 Э11.3 ^
ЧЭ5 2-1.1 Э52-1.1 у
' Э114 Э11, ^
ЧЭ52-1.3 Э52-1.3 У
+ /51-14 = 0
Біпа
1 -1.4
х V_lЛ
Біпа
1 -1.4
Біпа
х ^^2-1.1
Х ^^2-1.3 +
(8)
Учитывая, что точка 4.1 - жесткая, получим следующее уравнение:
Г ^ эк. ^
^-Ы +
Э-^Х! 3 и ^ 1 3
------— х С0Б а-1 4 +---------------------------— х Біп а-1 4
Э51-1.1
Э51-1.1
(
+
ЭХ
V Э52-1.1
ЭХ
V
Э1
— х соб а1-14 +----------------— х БІп а1-14
х К-и +
л
у
Э5 2-1.1
х ^^2-1.1 +... +
у
(9)
+
V Э5 2-1.3
Э1
—х соб а1-14 +-------------------— х БІп а1-14
Э52-1.:
+ -/51-1.4 = 0
х ^^2-1.3 +
где: V - поправки к измеренным сторонам; а1-14 - дирекционный угол линии 1-1.4;
эх эк
— и — - частные производные, взятые по всем сторонам,
Э5 Э5
влияющие на положение точки 1.3.
Следуя приведенному алгоритму и учитывая, что для рассматриваемой сети «передаточные коэффициенты» А=В=С=0; Б=1., вычислим значения частных производных и подставим их в (9). В результате получим:
^П1-1.г + /51-1.4 0
г =1
Аналогичным образом получим условные уравнения для избыточно измеренных линий 81.24 31-34, 82-4 1 32.4.2, 82-43. В результате получим систему из 6 условных уравнений вида:
^П1-1.г + /51-1.4 0; ^П2-гл + /5 2-4.1 0;
г=1 г=1
44
^П1-2.г + /51-2.4 = 0; ^П2-г.2 + /5 2 - 4.2 = 0;
г=1 г=1
44
^П1-3.г + /51-3.4 = 0; ^П2-г.3 + /5 2-4.3 = 0.
(11)
г =1
г =1
Добавим к этим уравнениям выражения весовых функций для координат 4-х точек(2.1, 2.2, 1.1, 1.2):
¥Х2.2 ^2-1.2 ^2-2.2; ¥Г 2.2 ^^1-2.1 + ^^1-2.2 ’
¥Х1.2 = -^^2-1.2 ; ¥71.2 = ^1-1.1 + ^1-1.2;
¥ = -V - V • ¥ = V •
Х2.1 2-1.1 2-2.1 1 2.1 1-2.1
¥ = -V • ¥ = V ■
1 Х 1.1 ' 2-1.1 > 1 11.1 ' 1-1.1 5
(12)
В результате решения полученной системы по способу наименьших квадратов (считая, что все измерения равноточные) для обратных весов этих точек были найдены следующие значения:
1 . 1 . 1
1;
Х 2.2
1 3
Р
1;
Р
Р
Х 1.2 1
Р
4 Р = 1;
= 1;
11.2
13
2.2 1
Р2 М 1
----1----
РР
Х2.2 12.2
л/2 = 1,41.
— + -^ = л/ЇТ5 = 1,32.
РР
Х 1.2 ^ 1.2
Х 2.1
13
— + -^ = -у/1,75 = 1,32.
(13)
РР
1 Х 2.1 1 12.1
— + — = л/Ї5 = 1,22.
Р 4’ РА
^ 12.1 2.1 \
_____= __ = 3 =
Р ~ 4’ Р ~ 4’ Р ~ А Р Р
1Х1.1 ^ 111.1 ^ -‘1.1 V Х1.1 ^ 11.1
Распространим аналогичные расчеты на сети размером п на т квадратов, для обратных весов точек с координатами і и j будут получены следующие выражения:
1
РХг} П х (п - 0
1 _ І
РТг, ] т х (т - І У
(14)
1 = іх(п-і) + Іх(т -І); Р, V п т ’
г, .7
Для примера используем сеть размером п = 6, т = 4. По формуле (14) будем иметь следующий результат:
1
Р.1
1
Р3.1
= 1,26; 1 = 1,35; 1 = 1,26;
= 1,44; 1 Р 2.2 = 1,53; 1 Р 2.3 = 1,44;
= 1,50; 1 Р = 1,58; 1 Р = 1,50.
Поле распределения полученных обратных весов по результатам уравнивания приведено на рисунке 2.
Как и следовало ожидать, самое слабое место в сети (по точности определения координат) оказалось в середине - самой удаленной точки от опорных точек.
Интерес представляет анализ зависимости точности определения координат точек в самом слабом месте сети от её размеров (т х п)
По формуле (14) для симметричных сетей получим:
1
1) т = 4, п = 4, (т х п) = 16, — = 1,41;
Р1
2) т = 4, п = 6, (т х п) = 24, — = 1,58;
Р1
3) т = 6, п = 6, (т х п) = 36, — = 1,73;
Р1
4) т = 6, п = 8, (т х п) = 48, — = 1,87;
Р1
5) т = 8, п = 8, (т х п) = 64, — = 2,00;
Р1
Как видно из приведенных расчетов, по мере увеличения размеров сети точность определения положения точек в самом слабом месте падает и это надо учитывать.
1
14(6.1) 13(6.2) 12(6.3)
Рис. 2 - Распределение весов по вершинам фигур.
В заключении следует отметить, что приведенные результаты исследований могут быть рекомендованы при составлении проектов геодезических сетей подобного вида.
Список литературы
1. Ю.Г. Соколов, A.T. Гаврюхов К вычислению коэффициентов условных уравнений при уравнивании заполняющих сетей из четырехугольников с измеренными сторонами // Научный журнал Труды Куб^У, Краснодар, 2008 №15 - 7с.
2. Ю.Г. Соколов, НА. Тимошенко, П.М. Данильченко. К вопросу составления условных уравнений в геодезических сетях из четырехугольников с измеренными сторонами // Научный журнал «Электронный ресурс - Краснодар», КубГAУ. 2007 - №28 -7 с.
References
1. Ju.G. Sokolov, A.T. GavrJuhov K vychlslenlJu koJefflclentov uslovnyh uravnenlJ prl uravnlvanll zapolnJaJushhlh seteJ lz chetyrehugol'nlkov s lzmerennyml storonaml // NauchnyJ zhurnal Trudy KubGAU, Krasnodar, 2008 №15 - 7s.
2. Ju.G. Sokolov, N.A. Tlmoshenko, P.M. Danll'chenko. K voprosu sostavle-nlJa uslovnyh uravnenlJ v geodezlchesklh setJah lz chetyrehugol'nlkov s lzmerennyml storonaml // NauchnyJ zhurnal «JelektronnyJ resurs - Krasnodar», KubGAU. 2007 - №28 - 7 s.
