К вопросу разложения сигнала в функциональный ряд по совокупности базисных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372

И. Е. Первак, канд. техн. наук, доц., (0872) 33-24-45, [email protected], И. Е. Шаталов, канд. техн. наук, ведущий инж.-программист,

(0872) 36-75-72, shatalov@tulaoblgaz.ги (Россия, Тула, ОАО «Тулаоблгаз»)

К ВОПРОСУ РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛА В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД ПО СОВОКУПНОСТИ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассматриваются способы математического описания вейвлетов и их взаимосвязь друг с другом. Приведен метод синтеза вейвлетов конечной длительности на основе рядов Фурье, позволяющих обнаруживать разрыв в значении сигнала или его производных.

Ключевые слова: сигнал, вейвлет, базисные функции, ряд Фурье.

Разложение исследуемого сигнала в функциональный ряд по некоторой совокупности базисных функций получило очень широкое распространение как в теоретических исследованиях, так и при обработке экспериментальных данных. Одним из требований, предъявляемых к базисным функциям, является их ортогональность на некотором интервале [1]. Известно достаточно большое число таких систем функций, имеющих свои преимущества и недостатки. Наиболее существенным из недостатков является тот, что длительность базисной функции сравнима или превышает длительность анализируемого сигнала, делая практически невозможным выявление локальных свойств сигнала на коротких интервалах (таких как разрыв в значении сигнала или некоторой его производной).

Получивший в последнее десятилетие широкое распространение так называемый вейвлет-анализ [2] изначально свободен от этого недостатка, поскольку базисные функции представляют собой сдвинутые и про-масштабированные копии некоторой исходной функции (в более общем случае исходных функций может быть несколько), длительность которой может быть выбрана произвольной по отношению к анализируемому сигналу (в зависимости от целей анализа).

На практике очень часто исследуемый сигнал содержит временные участки, где его значения изменяются скачкообразно. Также возможен конечный разрыв в значении некоторой производной сигнала. Во всех этих случаях изменения локализованы в пределах узкого временного интервала. Целью анализа является нахождение момента времени, в который произошло событие; выявление вида изменения сигнала (нарушение непрерывности значения самого сигнала или его производной); определение величины разрыва. Локальный характер вейвлет-анализа позволяет достаточно просто решать подобные задачи. Рассмотрим, каким образом можно синтезировать вейвлет, удовлетворяющий поставленным целям.

Теорема 1. Пусть сигнал я (t) является непрерывной функцией времени t и пусть также непрерывны все производные этого сигнала на всей временной оси, за исключением момента t = 0, где производная /-го порядка я( 1)(t) терпит конечный разрыв, равный А:

А = я( 1 )(0 + 0) - я( 1 )(0 - 0). Тогда сигнал я(t) можно представить в виде следующей суммы:

А /

я (t) = X (t) + ~' t • и+ (t),

где х (t)- непрерывный сигнал с непрерывными производными любого порядка на всей временной оси, и+ (t)- единичная ступенчатая функция.

Доказательство. Для моментов времени t <0 положим х(t) = я(t),

при этом для производных любого порядка справедливо х(п) (t) = я(п) (t), п = 1, 2, 3, ... Для t >0 сигнал х(t) будем искать по его производной /-го

порядка, которую зададим в виде: х( /)(t) = я( /)(t) - А, при этом

х( / )(0 + 0) = х( / )(0 - 0) (непрерывность в момент времени t = 0) и

х(п)(t) = я(п)(t), п = /+1, /+2, /+3, ... Осуществляя /-кратное интегрирование, при t>0 находим: х(t) = я(t)-р/(t), где р/(t) - некоторый многочлен степени /. Из условий я( / _1)(0 + 0) = я( / _1)(0 - 0),

я(/_2)(0 + 0) = я(/_2)(0-0), ..., я'(0 + 0) = я'(0-0), я(0 + 0) = я(0-0), а также из предполагаемой непрерывности искомого сигнала х (t) и его производных следует, что все коэффициенты многочлена р/ (t) равны нулю, за исключением множителя при старшей степени, который равен А//!. Таким образом, при t > 0 х^) = я^) - А//!• t^,

А . / - П ____

х(п)(t) = я(п)(t)- —----------, п = 0,/.

(/ - п)!

Традиционно при исследовании вейвлет-базисов используется теория линейных векторных нормированных пространств. Однако и классический подход, основанный на математическом аппарате рядов Фурье и Тейлора, позволяет получить интересные в теоретическом и практическом плане результаты.

В работе будут рассматриваться вейвлет-функции, заданные на конечных временных интервалах длительностью Т, и принимающие вещественные значения. При этом возможны следующие способы их описания во временной ^) и частотной (/) областях:

1) в виде функций ^ или Ж(I);

2) набором коэффициентов ряда Фурье: {Ж [к ]}, к = -N;N . При

этом:

N

.2 п к J-t

w(t) = X W[к ]• e T ,

K=-N

N sin n T (f - к)

W(f )= Z W[к ]----------------;

k=-N ^(f - t )

3) в виде последовательности отсчетов функции w (t):

{ w[n]}:

w

nT

2 N +1

При этом -(t )=

i

w

2 N +1 n=-N

N

I (-1)

n

w

nT

,n = -N; N.

. (2 N + 1)л t

2 N +1

T

sln

nT

2 N +1

W (f )=

T

2N+1 n=-N

N

£(_ 1)k sin(*Tf) .e J 2N+1 "k

к=-N л Tf k

4) в виде последовательности отсчетов функции Ж (I):

^к V

W

T

к = - N; N .

При этом:

w\t ) = —

T

N

W(f )= I W

к=-N

sin л T

к=-N

к

yTj

.2 л к

J

T

f -

V

T

я T

f -

к

T

= X (-1) к W f к ^Sin T f

к=-N

T

к1 J

nTf-nк’

5) в виде разложения функции Ж (I) в окрестности точки Г = 0 в ряд Тейлора:

Ж (. I )=? ^. (/;

/=0 /!

w\

і' Ыг-Ч■»'1><' I-

і=0 ( 2 ж у )1 1!

Теорема 2. Если вейвлет м (') отличен от нуля на конечном временном интервале и обладает конечной величиной полной энергии Еж, то ряд Тейлора функции Ж (/) в окрестности точки / = 0 сходится во всей частотной области.

Доказательство. Найдем верхнюю границу для значений, принимаемых коэффициентами а} разложения Ж (/) в ряд Тейлора.

= Ж ^ 0), где ж( 1)(0 )=(-2 и ) )1 ■ | Iі- w (' )Ж,

1! -ТІ 2

Т/ 2

а1

-Т 2

ҐТ^І ТІ 2

Ж^1 0) <( 2 л)1 • | -| м (' )| Ж <( 2 л)1 • — • Л м (' )| Ж,

Ж

(1 )( 0) <(пТ)1 • | (і + м 2 (' ))ж = (пТ)1 • | Ж' + (лТ )1 • | м 2 (' )Ж'

-Т/2 -Т/2

Ж(1)(0)|<(яТ)1 •(Т + Еж )

(жТ)1 •(Т + Еж )

V ^ У _Т/ 2

Т/2 ТІ2

-ТІ 2

Отсюда следует, что аЛ <

і!

Обозначим с = Т + Еж , Х = %Т, тогда І а} I < с

(X)1

і!

и Ііш аі = 0 при

/ ^ . Из последнего равенства вытекает, что радиус сходимости данно-

го степенного ряда Я = +ю, поэтому ряд сходится во всей частотной области.

Между коэффициентами различных способов описания вейвлета существует следующая взаимосвязь:

Т/ 2 _ j 2 к к t

1) Ж [ к ] = - | м(' )е ' Т = - ■ Ж

1

Т

пТ

-Т/ 2

- N

2 N +1

ИЛИ

Ж

уТ;

Т

уТ;

N

Т

.2 л ик

V Т у

у

2 N+1

.2 % пк

пТ

2 N +1

-у

2 N+1

2 N +1 и=-N

- связь отсчетов во временной и в частотной области;

е

е

Т/ 2

3) Ж(/)(0)=(-j2л)/ | t/■ ^(t)Ж:

-Т/ 2

При этом

Ж (0 ) = Т • Ж [ 0 ]

/-1

Ж (/)(0 ) = -у7!Т/+1 • £

0

(-1)

|д_

N

(2ц+1)! Л.<-1>Л

к=-N к ф 0

/-1

-у/!Т/ • Е

^=0

(-1)

Л

N

Ж

чТу

___________У (-1)к

(2 ц +1)! к =Т^N к1 ~2^

если / - нечетное.

Ж(/)(0) = (-1) 2 • /

-1

2

I

0

/

2 Л/ • Т/+1 / +1

2д N

(2Ц +1)

/ , ,/ /-1

(_ 1)2 Лл~Т) .Ж(0)-/!Т/■ £

(- • Е (-1)кЖ/

• Ж [ 0 ]-/!Т/+1 Ж [ к ]

к=-N

к Ф 0

/ +1

д=0

(-1)

п

Ж

к

V Т у

N

(2ц +1)! к=?N11 к1 -

к Ф 0

если / - четное.

Обозначим Ж [ к ]= и [к ]+ у ■ ^[к ], где

Т12 А 2лШ V т.г, т 1 Т/2 , ч . Г 2лЫ

Т

Ж; К [к ] = - Т | м> (t )sln

V

Т

и[к ] = Т | м?(t )cos

1 -Т/2 ^ Т Т -Т/2

к = - NN; и [ к ] - четная последовательность; и [- к ]= и [к ], V [к ] -четная последовательность; V [- к ] = -V [ к ] , V [ 0 ]=0.

С учетом новых обозначений можно записать Ж(0) = Т ■ Ж [ 0 ] = Т ■ и [ 0 ]

/-1

Ж (/)(0 )=-у 2 Т/+1 • £

д=0

/ - нечетное.

(- 1Г

/!

N

л

■ Ё (-1)к V

VI к ]

Ж , не-

Ж (1)(0 ) = -2 Т

і+1

1 -1 2

I

0

(- 1)^.я 2^

і!

N

_________ ^ /_ 1 \ к и [к ]

(2ц +1)!' к=і 1 к1 -

+

+(-1)2 >Т)1

і+1

■ Ж (0),

/ четное.

Последовательность {и [к ]} определяет Ж Ж(/ )| ,_0 для четных /.

Ж/

Последовательность { V [ к ]} задает поведение

-г\/-

Жж (/)

ж/і

в точке Г =

0 для нечетных /.

при Ж [ 0 ] = 0

N

I

к=1

Обозначим % [ і ]= X (-1) к^Ц^; Sv [ і ]= £ (-1)kV ^к ^

к

і

N

I

к=1

к

і

тогда

і-1

Ж(1)(0)= (-у)• 2Ті+1- І

д=0

(-1)^-1! (2ц +1)!

■ж 2ц-іу [ і - 2ц]

і - нечет-

ное,

і

-1

Ж

(1)(0)= (-1)• 2Ті+1- X

д=0

(-1)^-1! (2ц +1)!

■ж 2ц-SU [ і - 2ц]

і - четное.

При нечетном / Ж (/)(0) представляет собой линейную комбинацию членов Sv [1 ], Sv [3 ],..., Sv [/ ].

При четном / Ж(/ )( 0) представляет собой линейную комбинацию членов Sи [2 ], Sи [4 ],..., Su [/ ].

Из полученных результатов следует, что величины Sv [ 2ц], ц = 1, 2, 3,... и Su [2ц +1 ], ц = 0, 1, 2, 3,... при синтезе вейвлетов можно выбирать

произвольно, поскольку они не влияют на Ж(/)(0).

Теорема 3. Пусть (t) - некоторый вейвлет, отличный от нуля лишь на конечном временном интервале [0; Т]. Тогда существует следующая связь между интегралами и моментами функции (t):

1 t t 0п+1 03 ^2

— | (t - 0)п- ц>(0 )• Ж0 = | Ждп+1 | Ждп... | Ж02 | ^(01 )Ж01,

где п = 0, 1, 2, ..., t > 0.

Доказательство. Рассмотрим ряд вспомогательных функций, связанных с исходным вейвлетом ы(t) следующими соотношениями:

у0(t )= I ™(0)Ж0, У1 (t )= | (t-0) • ы(0)Ж0, у2(t )=! (t-0)2-ы(0)Ж0, ...

0 0 0

t

В общем случае уп(t ) = | (t -0)п• ы(0 )Ж0, где п = 0, 1, 2, ..., t > 0.

0

При отрицательных значениях аргумента функции уп (t) тождественно равны нулю:

t t

Ы1 (t)= | ы(0)Ж0 = | ы(0)^0,

-да 0

t t 0 2 Ы2(t )= | Ы1 (0)Ж0 = | Ж02 | ы(01 )Ж01,

-да 0 0

t t 03 02

(t )= I Ы2(0 )Ж0 = | Ж03 | Ж02 | Ы(01 )Ж01, ...

-да 0 0 0

В общем случае:

0 п 03 0 2

(t)=| ! ждп_1... | ^021 ы(01 )Ж0Ь

0 0 0 0

гдеп = 1, 2, 3, ..., t>0.

t

Воспользовавшись тем фактом, что | ы(0)Ж0 = ы(t )*и+ (t), где

—да

и+ (t) - единичная ступенчатая функция, а также свойством ассоциативности операции свертки, можно записать:

Ы1 (t )= Ы0 (t )* и+ (t) = Ы (t )* и+ (t),

Ы2(t )= Щ (t )*и+ (t) = ы(t )*(и+ (t) *и+ (t) ),

Ы3 (t ) = Ы2 (t )* и+ (t) = Ы(t )*(и+ (t) * и+ (t) * и+ (t) ),

Ы4 (t )= Ы3 (t )* и+ (t) = ы(t )*(и+ (t) * и+ (t) * и+ (t) * и+ (t) )

И т. д.

Рассмотрим, чему равны выражения, заключенные в круглые скобки:

+да

и+ (t)*и+ (t) = | и+(0)-и+ (t-0)Ж0 .

В последнем интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля, если одновременно выполняются два условия: 0>0 и t- 0>0

(т. е. 0 < t). Поэтому при отрицательных значениях ? интеграл равен нулю,

t

а при t > 0: и+ (t) * и+ (t) = | Ж0 = t.

0

В общем случае и+ (t) * и+ (t) = t • и+ (t). Аналогично

+да

'

(') * и+ (') * и+ (') = |0- и+(0)- и+ (' -0) Ж0 = |0- Ж0 = — • и+ (').

0 2

и

— да

(') * и+ (') * и+ (') * и+ (') = | 3

+да а 2 ' а 2

--------и+ (0 )• и+ (' - 0) Ж0 = |--------------------------------Ж0

-да 2 0 2

=-----и+ (t).

3! +

Таким образом, п-кратная свертка функции и+ (t) с самой собой

1п

равна--------и+ (t).

п!

Подставляя полученные результаты в выражения для (t), нахо-

дим

+да

^2 (' )= | м (б)' (' ) ■ и+ (' -0) = \ (' -0) • м (0)Ж0 = ^1 ('),

—да

(' — А) 1 'о 1

м3 ( ' )= | м(б)------2----и+ ('_0)Ж0 = 2 'І('_0) ■ м(0)Ж0 = 2 '^2 ( ' ),

-да 0

' _ а )3 1 ' 1

^4 (' )= | м(0)---------—■ и+ ('-0) <Ж0 = —('-0) • м(0)<Ж0 = —(')

—да

ИТ. Д.

В итоге искомая связь между функциями у п (t) и (t) принимает

вид

мп+1 (' ) = м(' )*

п

' / л

— • и + ( ' ) и!

+да (*___л ) п

= | м(0)-(--------------------)— и+ ('-0)Ж0 =

п!

—да

=і

(*-е)

п!

п

— • м (0 )Ж0

мп+1 ( ' )= -1 'V п ( ' ). п!

0

Синтез вейвлетов с требуемыми характеристиками сводится к определению совокупности коэффициентов {Ж [ к ]}, к = -N; N или

{м[п ]} = < м пТ I, п = -N;N, удовлетворяющих условию

V 2 N +1

Т/ 2

Ж(п)(0) = (-у2л)п | *п • м(')Ж = 0, п = 0^7.

-Т/2

Такие вейвлеты позволяют определить, в какой момент времени анализируемый сигнал испытал разрыв в производной і-го порядка, а также при свертке с сигналом, содержащим многочлен степени не выше і, позволяют полностью отфильтровать последний.

Теорема 4. Пусть м (') - вейвлет с конечной длительностью Т, обладающий следующим свойством:

Т ___

| їп • м(' )Ж = 0, п = 0,і.

0

Тогда в результате его свертки с многочленом, степень которого не превышает і, получится сигнал, тождественно равный нулю на всей временной оси.

Доказательство. Пусть рі (') - многочлен степени і (случай многочлена меньшей степени получается путем обнуления соответствующего

і

количества старших коэффициентов): рі(') = ^ ап • . Его свертка с

п-0

вейвлетом дает сигнал

Т і Т

Ч (' )=| м (б)-рі ('-0)Ж0= X апм (0)-('-0)п Ж0 .

0 п=0 0

Разлагая множитель (' - 0)п по формуле бинома Ньютона, получим

Ч(')= I ап • ЕС •(-1)п“т • гт •|0п“т • м(0)Ж0 = 0.

п=0 т=0 0

Теорема 5. Пусть м (') - вейвлет с конечной длительностью Т, обладающий следующим свойством:

Т ___

| їп • м(' )Ж* = 0, п = 0,і.

0

Пусть анализируемый сигнал я (t) и все его производные являются непрерывными функциями, за исключением момента t = 0, где производная я(/)(t) терпит конечный разрыв, равный А. Тогда вейвлет ы (t) позволяет обнаружить разрыв в значении производной / - го порядка анализируемого сигнала я (t).

Доказательство. По доказанному ранее сигнал я (t) можно представить в виде

А 1

я (t) = X (t) + ~' t • и+ (t),

где х (t)- непрерывный сигнал с непрерывными производными любого порядка на всей временной оси; и+ (t)- единичная ступенчатая функция. Осуществляя свертку анализируемого сигнала я (t) с вейвлетом, получим

Т

г(t) = | ы(©)•я(I-9)ёв =

0

Т А Т

= Г Ы(е)-X(t-0)ЖЭ + — Г Ы(е)-(t-0)/-и+ (I-0)Ж0 =

^ /! *

0 *0

А t 1

= у(t)+ /г(t-0) • = у{t) +

/! 0

t 0/+1 0 3 0 2

+ А Ж0/+1 | Ж/... | Ж02 I Ы (01 )^01 =

0 0 0 0

А ■Ы/+1 (t).

А t /

Рассмотрим слагаемое А • Ы/+1 (t )= — (t -0) • ы(0)-Ж0 . При t < 0

/! 0

оно равно нулю, потому что вейвлет равен нулю для отрицательных моментов времени, а при t > Т оно также равно нулю в силу условий теоремы. Поэтому А • Ы/+1 (t), как и вейвлет ы (t), представляет собой сигнал с конечной длительностью Т. Амплитуда этого сигнала прямо пропорциональна величине разрыва производной я(/)(t) в точке t = 0, а длительность Т задает точность регистрации момента разрыва.

Если х^) - низкочастотный сигнал, а ) представляет собой отре-

зок колебания, (т. е. является сигналом с полосовым спектром), то уменьшая длительность вейвлета, можно добиться выполнения условия:

T

+да

у(г) = |ы(0) • х(г -0)^0= \ ж(/) • х(/) • в]2^ж = 0.

0 -да

Тогда

г^) = А ■Ы/+l(t).

С учетом введенных ранее обозначений, уравнения для расчета коэффициентов {ж [к ]}={^ [к ]}+ ] ■{¥[к ]} примут вид:

п-1 2

ж(п)(0) = (-У)• 2Tn+l- ]Г

д=0

где n - нечетное, n < l

.я 2^-Sr [П - 2ц]

= 0,

n

-1

^ % [п - 2ц]

0

Ж^)(0) = (-1)• 2Tn+1- X

д=0

где п - четное, п < l

Зная {Su [п ]}, находим {и [ к ]} , а зная {SV[п ]Ь находим {V [ к ]}. Чтобы исключить случай нулевых корней получившейся системы линейных уравнений, необходимо добавить некоторые другие уравнения, например, задать отличную от нуля энергию вейвлета:

N t N

E = T ■ Z\ж [к ]|2 = -— • Е| м-[п ]|2.

к=-N 2 N + 1 п=-N

Из сказанного выше следует, что подход, при котором вейвлет представляется в виде усеченного ряда Фурье, а также взаимосвязь коэффициентов ряда с другими способами математического описания вейвлета, позволяет достаточно просто формулировать требования к его степени гладкости и осуществлять синтез вейвлетов с заданными свойствами.

Список литературы

1. АхмедН., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980.

2. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, Philadelphia, SIAM, 1992.

I. Pervak, I. Shatalov

THE QUESTION OF EXPANSION SIGNAL IN FUNCTIONAL SERIES ON AGGREGATE BASIS FUNCTIONS

Wavelet aHalyses оп fmite iMervals based оп the Fourier series is comidered. The method of syMhesis of wavelets for detectmg signal abrupt cha»ges is proposed.

Key words: signal, wavelet basis^UmHom, Fourier series.

Получено 12.11.10