О n-масштабируемости В-сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

8

П.H.Подкур

УДК 517.5

П.Н.Подкур

О N-МАСШТАБИРУЕМОСТИ В-СПЛАЙНОВ

Теория вейвлетов [1] имеет широкие применения в обработке одномерных сигналов и изображений. В основе этой теории лежит понятие масштабирующей функции. Для коэффициента масштабирования N =2 теория вейвлетов развита в значительной степени. В случае N>2 известно [1], что можно построить аналогичную теорию, которая позволит осуществлять разложение сигнала N фильтрами. Развитие этого направления обработки сигналов тормозится тем, что до сих пор нет достаточного числа примеров масштабирующих функций, соответствующих коэффициенту N>2. Ниже показано, что 5-сплайны являются ^-масштабирующими функциями для любого N>1, найдено общее выражение коэффициентов масштабирующего фильтра и приведен пример несплайновой А^-масштабирующей функции.

Пусть 1 - целое число, Z - множество всех целых чисел и - пространство функций на

числовой прямой И, интегрируемых с квадратом.

Определение 1. Функция (р{х)е назы-

вается N-масштабирующей, если она может быть представлена в виде

(р{х) = 4Й ^Ьп<№х-п) , (1) пеЪ

где числа кп, пе Z удовлетворяют условию

|2

II А*

<00.

иeZ

Равенство (1) называется масштабирующим уравнением. Набор коэффициентов

разложения в уравнении (1) называется масштабирующим фильтром.

Сделаем преобразование Фурье масштабирующего соотношения (1). Поскольку

ср(№-п)=ср (Щх-п/И)) ,

то

Р[(р(т-п)]=±е-1па/ИР[<р](со/М)-

Поэтому

. СО

-in — N

<Р

ne Z

со ~N

Положим

HN(o» = -f=^hne-inco

тогда

ne Z

со

ф(со) = Н N\ —

9

/ \ со

yNy

(2)

(3)

Соотношение (3) также называется масштабирующим уравнением. Функцию Д\{со) будем называть частотной функцией масштабирующей функции ср(х).

Хорошо известно [1], что 5-сплайны являются 2-масштабирующими функциями. Напомним, что сплайном порядка п называется функция Дх), которая является полиномом степени, не более чем п на каждом интервале [k, к+1) и п -1 раз непрерывно дифференцируема во всех точках, включая узлы. Множество всех сплайнов порядка п образует векторное пространство Sn. Например, при п = О пространство So состоит из кусочно-постоянных функций с возможными разрывами в целых числах. Функция Хаара сро(х) (характеристическая функция промежутка [0,1)) и ее сдвиги образуют базис для So. Поэтому функцию Хаара сро(х) называют базисным сплайном порядка нуль, или В-сплайном, где В - обозначает, что это базисная функция. 5-сплайн (р\{х) порядка 1 с носителем на промежутке [0, 2] можно записать в виде свертки ср${х) с собой

1

<Pl(x) = \<p0(x-t)dt =

= \щ(1)<р0(х-г)с1г = <р0*<р0(х).

-00

5-сплайны высших порядков определяются индуктивно. Если определен ^-сплайн срп(х\ то В-сплайн порядка п+1 определяется сверткой срп+1 — срп * фо. 5-сплайн (рп(х) порядка п имеет носитель на промежутке [0, п +1], график срп{х) симметричен относительно точки (п +1)/2. Для функции Хаара имеем преобразование Фурье

ср0(со) = е

со/2

и для любого п получаем

п+1

фп((о) = е-«п+1)со/2Ып(со/2)\

со/2 )

В дальнейшем удобнее сдвинуть носитель В-сплайна срп(х)\ будем считать, что для срп(х) при нечетном п носитель находится на промежутке [-(п +1)/2, (п +1)/2], а при четном - на промежутке [-п/2, п/2+1]. Тогда

sn+l

• is / о I vim т / / i

фп(со) = е~

-iKo)/2 ( sin(со/2)\ (4)

I со/2 ) где К=О - при нечетном п и К= 1 - при четном.

Прикладная математика

9

Теорема 1. В-сплайны срп(х) порядка п являются N-масштабирующими функциями для любого целого N>1. При этом правая часть масштабирующего соотношения

(п + 1)! ,(5)

является конечной суммой. В случае нечетного п

ик = 1 X ' , , ,

Л^аШ\а\=п+1а0!а1!-"аМ-1! к

к =

= а1 + 2а2+-" + (М-1)ам_1-(М-1)(п + 1)/2,

а= (ао, а\9 ..., а^./) - мультииндекс, \а\=аъ + а\ + ...+ аы-1 - порядокмультииндек-са, к меняется от -(Ы-1 )(п+1 )/2 до (И-1)(л+1 )/2. В случае четного п

1 ^ (п + 1)! , (6)

л/аГ\а\=п+1 сс0 !а]!... ам_1! к

к =

= а1 +2а2 +--- + (Ы - 1)ам_1 - (И - 1)п/2,

к меняется от -(И-1)п/2 до (N-1)11/2+1.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай нечетного п. Тогда носитель срп(х) находится на промежутке [-(п+1)/2, (п+1)/2] и преобразование Фурье имеет вид (4), где К=0. Подставим (4) в масштабирующее соотношение и выразим частотную функцию Нм((о):

\П+1/ \П+1

ИИ\С0)- ~ ( \ -<РпН

8Ш(№±)

I зт(№^)

N

П+1

N ®

1 Ш~2 1 е 2 -

со/2

Б1П '

7 1

-1®

е 2 -е 2

1 ¡(N-1)%

N

п+1

N т е 2

-¡N(0

1-е

1СО

(М-1)(п+1)

N

п+1

1-е 'N-1

Ъе \к=0

-1(0

;

-1ксо

п+1

Таким образом, мы получаем представление частотной функции в виде

1 у 7_ „-¿к со

Коэффициенты этого разложения, взятые с учетом

дают нам требуемые коэффициенты к.

масштабирующего соотношения. При этом суммирование производится по к от -(Ы-1)(п+1)/2

до (И-1)(п+1)/2.

Используя известный аналог формулы бинома Ньютона

(20+21+--- + 2р)т =

т!

а0

а,

получаем

/

(п + 1)!

^4К\а\=п+1а0!а1!---аЫ-1! к

к =

= аI + 2а2 + + (N - 1 -

(N-1)1 п+1) 2 '

В случае четного п доказательство теоремы проводится аналогично.

Пример. Рассмотрим 5-сплайн

<Р2(Х) =

[-10]

х- — 2

хе[0,1]

-{х-2)2, 2\ )

0, Х£[-1,2]

Для любого N >2 масштабирующее соотношение (3) в частотной области принимает вид :

„-т/2 _2_

со/2

™Н

N

со

Л;

2И

5Ш

СО

2И

со 2Ы

Отсюда частотная функция:

нП(<») = -гтт

™ пег

ЪКе-Ы(0

. (N-1)0)

-I

= е

.Ысо

2

N

81П

со

Учитывая, что при N=3

Н3(со) =

Л 2 со

1 1

4з 9у[з

+ Зеш +6 + 7е

-ш

+

. г2со , з-гЗсо . -¡4со + ое + Зе +е

согласно (6), можно найти коэффициенты к п масштабирующего фильтра

10

П.Н.Подкур

h_? =h4 =

1

h0=h2 =

2

h_i =hi =

з4з'

hj=-

7

3^3' _ 9л[3

Масштабирующее соотношение имеет вид:

<р2(х) = ^<р2(Зх + 2) + ^<р2(Зх + 1) +

2 7 2

+ -<р2(Зх) + -(р2(Зх-1) + -(р2(Зх-2) +

+ ^<р2(3х-3) + ^(р2(3х~4).

Приведем еще один пример А^-масштабирова-ния для любого целого А^>1, отличный от В-сплайновых функций.

рш гг у

Теорема 2. Функция (р(х) =_является

7ГХ

N-масштабирующей функцией для любого целого N>1. Масштабирующее соотношение для данной функции имеет вид:

зтя(Их-п) _

ср(х)= 2>(и/л0

„eZ Tt(Nx-n)

ГТ7 ^ , sinn(Nx-n)

= <N I hn—7Tr-) >

neZ ft(Nx-n)

/ \

n ~N

-sin

m

m ~N

Доказательство. Напомним, что функция f[x)e Z2(R) называется функцией с ограниченной шириной полосы [1], если ее преобразование Фурье f{oj) равно нулю вне некоторой полосы частот [-П, О].

Преобразование Фурье для

, . sinnx (р( х) =-

7ГХ

с носителем на промежутке [-71,71] имеет вид: \1, СО^[-7Г,7Г]

[О, 0)£[-7Г,7Г] Можно считать, что носитель лежит на промежутке (большем) [-7rN,7rN]. По теореме Котель-никова, функция с ограниченной шириной полосы [-Г2, Q] может быть представлена в виде

ф(со) = -

f(x)= I /

neZ

71

-1

Q

sin(i2x-7C n)

Qx- к n

Для нашей функции, если i2=7tN, sin7r(Nx-n)

7r(Nx-n)

= JN Y^h^Nx-n).

neZ

где

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - М.; Ижевск: РХД, 2001, 494 с. □ Автор статьи:

Подкур Полина Николаевна - ст. преп. каф.высшей и прикладной математики Кемеровского института-филиала РГТЭУ