О многомерных вейвлетах с матричным коэффициентом масштабирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

О МНОГОМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТАХ С МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ

Н. К. Смоленцев

В данной работе установлены основные формулы теории вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования: условия ортогональности, формулы быстрого вейвлет-преобразования, условия на передаточные функции вейвлетов для разложения и точного восстановления сигнала.

1. Введение. Для анализа многомерных сигналов обычно используются вейвлеты, построенные на основе одномерных вейвлетов. Для общего случая вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования известны пока только самые общие факты о существовании таких вейвлетов [2 - 4]. При их построении возникают дополнительные трудности даже в простейшем случае построения аналогов вейвлетов Хаара. Носитель вейвлета может быть фрактальным множеством [1]. Вследствие этого данное направление теории вейвлетов развито пока в недостаточной степени. Нет систематического изложения данной темы. Поэтому имеет смысл установить основные формулы о многомерных вейвлетах с матричным коэффициентом масштабирования, хотя, возможно, что некоторые из них являются известными.

Многомерным сигналом будем называть массив действительных чисел {ап}, где индекс п меняется во множестве Zp всех наборов целых чисел, п = (пь..., пр), р>1. Если п є ZP и 2 = (гь ..., гр) є Ср, то символом гп будем обозначать моном вида г” = — гр . С каждым многомерным сигналом

{ап} ассоциируется степенной ряд вида: X(г) = £ апгп = £ аЩг^ — г"; .

"єZp "єZp

Нам потребуются также некоторые свойства многомерного преобразования Фурье. Пусть

/(х)єІ1(Кр)п, 12(Кр). Преобразование Фурье функции /(х) определяется формулой:

/(а) = | /(х)е-йрх,

и р

где а = (щ, со2, ..., ар), х = (х1, х2, ..., х р), (х,а) = х1а1 + х2а2 + ... + храр и &х = йх1йх2.йхр.

Преобразование Фурье в Яр обладает аналогичными свойствами, что и в одномерном случае. Отметим некоторые из них. Сдвиг пространственной переменной: ¥ [/(х - Ь)](а) = е-{Ь,щ/(а). (1)

Действие линейного оператора на х. Пусть у = Ах - линейный невырожденный оператор в пространстве Я.р Тогда

¥[ / (Ах)](а) =---1---/((А )-1 а), (2)

I ай(А) |

где (А‘ )-1 - обратная транспонированная матрица.

2. Масштабирующие функции. Масштабирующее соотношение для случая многомерного

пространства Яр определяется совершенно аналогично одномерному случаю. Нужно считать, что х = (х1,.,хр) е Я.р , п = (п1,..., пр) е Zp. Вместо коэффициента масштабирования берется невырожденная целочисленная р х р матрица А, модули собственных чисел которой больше единицы. Рассмотрим тор Тр = Кр/2я^р. Он является прямым произведением Тр = ^х.х ^ единичных окружностей С.

Определение 1. Функция ррх)е Ь2(Кр) называется А-масштабирующей, если она может быть представлена в виде следующего ряда:

р( х) = ^11 аег а | £ ьпф(Ах - п), (3)

nеZ р

где числа {Ип}, пе Zp, удовлетворяют условию ^ | Нп |2 <ж. Набор коэффициентов {Ип}

называется масштабирующим фильтром.

Пусть рх) - масштабирующая функция. Образуем следующие функции:

ру п (х) = ^| ёег А |1р(А1 х - п), 1 е Z, п е Zp. (4)

Теорема 1. Для любых уе Z, ке Zp имеет место следующее разложение:

Ру-1,к(х) = X кп-Ак Ру,п(х) = Е кп Ру,п+Ак(х). (5)

nеZp nеZp

Доказательство аналогично одномерному случаю, см. [6].

Сделаем преобразование Фурье масштабирующего соотношения (3):

р(а) = у/\йёгА\ X Кр\Р(Ах - п)] =

nеZd

=уЛ&егА е кр[р(а(х - а -п))] =

(п ,(А‘ ) 1а)

= »/[НеїА|—1— £ Ив '

^ 'ідЄі(А)ІпІ^р

= Н о(( А'П(( А'Г1 а). Окончательно получаем:

Х(а) = Н о(( АГ)-1а)ф(( АГ)-1а)

Х(( АГ )-1а- =

-і (п,Щ)

(6) (7)

где Но(а) = . / „, £ Ип

VI АI ^р

- частотная функция масштабирующей функции Х(х). Отметим, что она определена на торе Тр = ^/2%!?.

3. Л-кратномасштабное разложение. Определение ортогонального кратномасштабного разложения — с У_х с У0 с у с У2 с — пространства 12(Кр) с матричным коэффициентом масштабирования А точно такое же, что и в одномерном случае (см. [3] и [6]). Ортонормированный базис пространства У0 образуют функции:

Хо, п (х) = Х(х - п), п є Zp .

&

nєZ

Поскольку пространства У- являются масштаби- ванный базис подпространства У0, то частотная

рованными версиями пространства У0, то функции функция Н0(а) обладает следующим свойством:

Х-,п(х) = >/А 1 -х(Ах-п), п є ^ образуют °р- £1 н0(а+ 2п(А)-1 ))|2 = 1 п. в., (9)

тонормированный базис пространства У- для любого -=0

-. Установим аналоги условия ортогональности. где &-є Zp/AtZp пробегает все элементы фактор-

Легко видеть, что функции Хп(х) = Х(х-п) обра- группы Zp/A^Zp.

зуют ортонормированный базис подпространства Доказательство. Подставим в (8) выражение У0 с 12(Цр), тогда и только тогда, когда (6):

£ | Х(а + 2пп) |2 = 1 п. в. (8)

пє Ър

Теорема 2. Если сдвиги Хп(х) = Х(х-п) масштабирующей функции х(х) образуют ортонормиро-

1 = £ | ф(аэ + 2л;^) |2 = £ |=0((Агу1(а + 2л-к))ф((А' Г + 2тгк)) |2 =

к^Єр

= £ \ !0СС( Г а + 2( Г ккС( Г а + 2( Г к) | = [А ' а = ^] =

____ 0

к є Ъ р

I н> ( + :2.^САГ Г1 )- к) |2

Выберем по одному представителю из каждого класса конечной группы Zp/AtZp. Пусть это будут элементы С0 = 0, й\, ..., с1н_\. Тогда целочисленная решетка Zp является объединением следующих классов: А^, й\ + А^, ., йы_\ + А^р. Поэтому последняя сумма может быть разбита на N сумм следующим образом:

X| Но(^ + 2п(А?)-1 к)р(д + 2п(А?)-1 к) |2 =

к єЪр

N-1

= £ £ | Н0(д + 2п(А )-1 (&- + Ат))Х(д + 2п(А )-1 (&- + Ат)) |2 =

т єЪр -=0

N-1

= £ £ I Н0(д + 2п(А )-1(&- ) + 2лт))Х(д + 2П(А )-1(&- ) + 2лт))І1 =

т єZр -=0

N-1

= £ £ \ Н 0(д + 2п( А )-1(&- ) + 2пт)) \2\ Х(.д + 2П( А') -1(& - ) + 2лmГ)\1 =

-=0 т єZр

= ^0 + 2тг(А )Г Ю? + - — +^0$ + 2тт(А ГГ 1 -! )П2 = ^.

В последнем равенстве мы использовалис 2 - торые вместе с У0 образуют ортогональное раз-

периодичность функции И0(а>) и равенство (8). ложение пространства ¥1:

Таким образом, мы имеем следующие два усло- ¥ = ¥0 © Щ01 © • • • © W0N-1. (11)

вия °ртогональности: Для любого 1 получаем следующее ортогональ-

X \р(а + 2як^ =1 п. в. ное разложение: ¥ +1 = ¥ © ©••• © -1. Функ-

к еЪр 1111

N-1 ции

и X| И0(ю+2п(А> У1(с1))|2 = 1 п. в. (10) Ц (х) = у[ы7ц/ {Ах - п), п е Zp, (12)

4. Вейвлеты с матрицей масштабирования А. образуют ортонормированные базисы пространств Пусть А - некоторая невырожденная целочисленная ^, I = 1,2,..., N-1.

р х р матрица и N = \АегА\. Предположим, что задано Поскольку Ц(х) е ^ с V , то каждый вейвлет

ортогональное ^кратномасштабное разложение

пространства Х2(ЯР) с масштабирующей функцией ц (а) раскладывается по базису функций про-р(х)е ¥0. странства ¥х:

Определение 3. Функции Ц(х), ... , Ц (х) =Лде* А | X g,n р( Ах - п), I = ..., N -1. (13)

Цг'1(х) е 12(ЯР) называются вейвлетами для А- nеър

масштабирующей функции рх), если их целочис- Числа ^1} называются фильтрами вейвлетов

ленные сдвиги образуют ортонормированные бази- ц/(х). Определим частотные функции вейвлетов

сы подпространств Ш^, ,..., 1 в £2(КР), ко- ц/(х)'

к єЪp

И/ (т) = X е-(п,т , / = 1,2, ..., N-1. (14)

\N nеЪр

5. Вейвлет-преобразование. Получим формулы быстрого вейвлет-преобразования. Предположим, что мы знаем приближение Р/ функции /х) в пространств ¥1: (/) = X а„рщ (x),

nеАd

где ап =(/ ,рп).

Тогда, в соответствии с разложением

¥1 = ¥1-1 © Щ- © • © Щ*-1, имеем:

N-1

Р(/) = X а1р-1, к(х)+X X К у-1,к(х),

kеАd /=1 kеЪp

где а1,к = (/,Р-х,к) и

с/к = (/У-к), / = 1,2,..., N-1.

Выразим базисные функции ру-1 к (х) и У -1,к (х) в этих формулах через базисные функции Р]п (х) пространства ¥1 по формулам (5):

Р-1,к(х) = X К Р,п+Ак(х),

nеЪ р

—-1, к (х) = X ^п Р, п+ Ак 1 = 1,2 , ■■■ , N - 1.

nеЪ р

Тогда получаем:

к = (/-> Ху-х,к ) =

.А £ £х

j ,п +Ак

V

= £ К £-

<к =(с,кк ) = 1 /, £

ё п Х], п+Ак nєZd У

= £ &

п пААк 9

1 = \2,■■■ , N - 1.

&[, к = £ &п

I = 1,2,..., N -1.

(15)

щие коэффициенты: Ип = И-

а1, к = £ К а Ак - п ,

nєZd

. Тогда:

К к = £ ё*п

п Ак—п '

I = 1, 2,..., N -1.

(16)

сА1 = {а1к} и сБ1 = {С\,...,Ск' '} производится следующим образом:

N -1

ап = X К-Ак°1,к +X X Ян-АкКк . (11)

к<е /=1 кер

Последнюю формулу можно также записать в виде свертки, сделав обратную децимацию массивов

сА = {а1,к} и с°1 = {d\,■■■, dkN-l},

а1 к ,если т = Ак,

0,если т ^ ЛАр

С 1 1 С[ к ,если т = Ак

т 0,если т ^ ^Ар

Тогда формула (17) принимает вид:

N-1

а = £ ка, + £ £ я:1 сі1, .

п п — т -, т -п — т -, т

т<Е.Ър 1=1 mєЪp

(18)

Таким образом, для сигнала, заданного массивом А = {ап}, вейвлет-разложение производится по формулам:

а1,к = X Кп ап + Ак ,

Индекс Ак в сумме справа говорит о проведенной А-децимации, т. е. выборке элементов с номерами из решетки AZp. Последние формулы можно записать в виде свертки. Для этого введем следую-

6. Разложение и восстановление. Формулы вейвлет-разложения и восстановления (16) - (17) установлены только для ортогонального случая. Предположим, что разложение сигнала {ак} производится некоторыми (неортогональными) фильтрами {К*} и Ы*}, / =1,2,., N-1 по формулам (16) и найдем другие фильтры {Кп}, g 1п, / = 1,2,..., N -1, которые

обеспечивают точное восстановление сигнала по формулам типа (18). Задачу удобно решить на уровне формальных степенных рядов. Определим передаточные функции заданных фильтров:

И(,(2) =X К*п, И/ (2) =X gn/z", к = 1,2,., N -1.

ne.Аp neАp

Как известно [5], действие фильтров {К*} и } на сигнал {ак} заключается в умножении соответствующего сигналу ряда Х(2) на И0(г) и И (г):

Х0> (2) = И0 (2)X(2), X/ (2) = И/ (2)X(2),

/ = 1,2,..., N-1.

При вейвлет-разложении (16) необходимо еще провести А-децимацию, т. е. выборку элементов с номерами из решетки AZp. На уровне формальных степенных рядов для этого достаточно удалить все слагаемые со степенями, отличными от 2Лк: Х(2) ^ Ха(2л) =Ха(м>).

Пусть еь е2, ..., е р - стандартный базис пространства Яр. Если А - матрица с целыми элементами и Ае5 = А1е1 +--------ь А’р ер - образы базисных

векторов, то определим следующие мономы:

■и^ = гАе1 = г! г21 — ^2

= г = г.

А

р

ар

Из данных формул следует, что вейвлет-разложение производится сопряженными фильтрами {К*}, {^11} с последующей А-адической децимацией (выбором только элементов с номерами из решетки AZp).

Легко видеть [5], что восстановление массива А = {ап} по коэффициентам вейвлет-разложения

Такой набор переменных V = ^}, ..., ^р) будем обозначать символом V = 2Л. Отметим, что для любого целочисленного набора к имеет место равенство 2м = м>к. После А-децимации должен остаться многочлен ХА(V) только от этих переменных V. Коэффициенты полученного ряда ХА(^) дают требуемую А-децимацию.

п

nєЪ

nєЪ

Для транспонированной матрицы А1 рассмотрим решетку А*Ьр, порожденную векторами Аіеі, - = = 1,2, . , р, и конечную коммутативную группу Zp/AtZp порядка N = ^еЫ |. Пусть є Zp, 5 = 0,1,.,N-1 - все элементы, представляющие классы группы Zp/AtZp, считаем, что &0 = 0. Тогда целочисленная решетка Zp является объединением следующих классов: Аі'Ьр, &1 + Аі'Ьр, ..., &м-1 + Аі'Ьр.

Для каждого для 5 = 0,1,., N-1 рассмотрим вектор-столбцы координат векторов:

(А )-1 є Яр:

(Ау1 = (а&и,..., а&р,).

Определим числа рЄ = е- 2па&™ и для

5 = 0,1,. ,N-1 зададим вектор:

-і 2п(А )-1 - - і2яа&,' -і 2п а&р5 ^ /іг\\

р, = е 3 = (е -і - іі- Є рі). (19)

Определим умножение векторов рЄ и г = (г1, ..., гр) покоординатно:

—і 2.П ((А 1

рє г = е к > 3 ^ =

— і 2 п а&

X (г) = £

Х (Р2г) = £

са гАп +а +Ап А- ^

Ап А Ап Т

+ а -1+Ап

‘Х-1 А Ап^

а гАп Аа е-2п(&1,А~'&1)7&1аАп + \

Ап Т “& А Але Т'

+ а е-2п(A,Ar'dN—1) ,7dN—\АAn

■■■~rUdN—1 А АпС ^

а гАп +а е-2п (&2,ЛГ'&1) 7&1ААп + ^

Ап А АпК Т

+ а е-2п(d2,Ar^dN—\) .7dN—1АAn

+ А АпЄ А

а гАп Аа е-г&1 +Ап + '''

Ап Т и&1 А Ап Т'

+ а е-2п(dN—1,A~'dN—1) .7dN—1АAn

■■■~rUdN -1 А АпК

— 7 2 п а+л 5 _

е 15 21 , . . .

Тогда, если с = (с1, ..., ср)е Zp, то для монома 2с имеем следующую формулу умножения:

(Р 2) с = е -^+‘,А~' ) 2С .

Действительно,

( 2))с = (2пе 2 2 — (еаСр 2 рр =

= е~72п(аС'‘ р‘ р } (1 2 р ) =

е~И ?с:(( П )-1 С? ) 1рс = е~ - п П п , п 1 рс

Отсюда, в частности, следует, что для Ас еAZp выполняется (р 2)Ас = 2АС .

Проведем удаление степеней. Для этого рассмотрим следующие степенные ряды:

Рассмотрим числа на единичной окружности:

1 е~-2 п ( П , А “С ) е~-2 п ( П2 2 Л 1 е~-2 п ( -1, А-111}

^ е е е е . • • 9 е .

Легко видеть, что они образуют группу порядка N. Это следует из того, что классы А^, С1 + А^, ..., + А^" образуют группу Zp/AtZp. Действи-

тельно, например:

е — - 2 п (С-1_ А11 е — 7 7 п ((2 1С1 1 ________

__ е — с (1 1 +2 , 1С ) ___

__ е — - - п {+1 1 +2 2 +т к ^,~xdА к^ е=

Получается гомоморфизм группы г£р/Аг£р в группу 51 чисел единичной окружности. Поэтому:

1 + е~— п ( +*!’Л _|_ е^— п *■ +12’А2+*1) +

^_е—+п^^N—l’JЛ lАl} — 0

Это верно для любой нетривиальной конечной группы в ^. Совершенно аналогично, для любого 5 = 1,2, ..,N-1 выполняется равенство:

1 , —/2п(П ,А 11Є , п(І1^і .

1 А е у е + е е. -і + ...

^е-2п<-dы-lА N3 = 0

(20)

р

nєЪ

г/ь

пє&

Произведем усреднение рядов, учитывая полученные равенства (20):

1 N-1

— £х(р-г)= £ аАпгЛп +

-=0 nєЪp

1 £ ' а г+лп +1 е~і2ж<'(1 е^'2ж<'(1 + е-/2ж>'■dN-1==='

Л т Ь>1 + Ап V • • • _

nєЪp

— £

ЛГ

а і е~ііжП 1,"А + ^_7'22,"А ~\~ + в-7'2 =d™-^^= —

ЛГ bN-1 А Ап ^ """ ^

7У nєЪp

= £ 2^Аа = X ^^^№п = ^А (^)

пє^ пє’Ь

- многочлен, содержащий только степени м)п =гАп. Таким образом, мы получили формулу децимации.

Теорема 4. Если Х(г) - формальный степенной относительно переменных w =гА, дают А-

ряд, соответствующий сигналу {ак}, то коэффици- децимацию сигнала {ак}.

енты следующего ряда: Следовательно, на уровне степенных рядов

1 вейвлет-разложение производится по формулам:

— (X (г) А X (р г) А X (р2 г) А - А X {р^х г) )= * N-1

"V А (21) Xо(w) = - £ Н0(р-г ^ (р-г),

= £ алпгАп = Xа ^) N--0

Х/ (V) =1X И/ (Р2)Х(р2\ / = 1,2,., N -1. (22)

k 5=0

Образуем матрицу:

И0(2) И0Р2) — И0(Рр2) Л

И1(2) ИР — И1(рМ-12)

И ( 2) = ~(=

И N-1 (2) И N-1 (р2) — И N-1(РN-12),

.(23)

Тогда разложение производится по формуле:

( Х0(V) ^

ВД

Х N-М)

( И0(2) И0(р2)

И1(2) ИР

-12)

И N-1(2) ИИ-1(Р12) — И Ы-1(рЫ-12)

И0Р2) у Х(2) а Х(Р2

(24)

Х(Ры-12),

Из равенства:

Х(2) = X (аЛп2ЛП + а+1

nеА р

Р+1 +А” + — + аЛя ^

= X( а^ + г+'а^ + — + 2+”—1 а++

=X(

алп2Л + 2+ а+1Ап2Ап + — + 2+”-' а+я1Ап22

= X а Ап 2Лп + 2++

'' XadА

2лп +—+а п* ^ ^ Аи+

-1+Лп) = 1п ) =

1п ) =

Ап

„ 2

И. (2) = X В,, 1 (2Л) 2+1 , 2е Тр = Rp/2пZp.

(25)

1=0

И (2) = -(= ^/N

И Ы-1(2') Им-1(р12) — Им-1(рм-12),

( 1

= В(2Л )

1

(р)

(26)

2+ (р — (рр)Р

Я ( 2 ) =

Здесь матрица

( 1 1

^

1

y/N

( Рм-1

1 Л

+1

(рр)2- — (рм -А-

является унитарной на торе Тр = S1х.х S1. Действительно, для 2 = (21, ..., 2р) е Тр, используя равенство

2 = 2= (2-',..., 2—), получаем элементы произведения N^2)^(2):

(А, 0 + С)Р1 + ( +1 А+ ,,)Р1 +...

+(^^-12 ((-12 =

=+ (2-1 + ••• + (р)

— 2 ^ —,• — — -г ' 21 + р} 7 ' А '

= BоCwP + 2+' В» +— + 2+"-} BN_+(*), где V = ра , мы видим, что полифазные слагаемые В^) можно выделить по формуле (21), примененной к 2 + Х(2). Для матрицы фильтров И(р) определим полифазную матрицу В(м>) по формуле:

ВР = А X (Р*2)+1И1 (р,2), 2е Тр = Rp/2пZp.

N 5=0

Легко видеть, что сумма справа зависит от V = ра . Обратное преобразование определяется формулой:

N -1

-А ч

Тогда последнее соотношение (25) может быть представлено как:

( И0(2) И0Р12) — И0(рЯ—}2) >

И}(2) ИР) — И}(Рр2)

Действительно, если с = +-- + ., то

Р+ ~Л‘ = е - 2ж{+‘ ’А ) и числа

1, е2^А,А-'с), е22п(+2,А~'с),..., е22п( +”-',А~'с) образуют

при / ^1 конечную нетривиальную группу чисел на единичной окружности. Поэтому

1 + е-'2п(+',А~'с) + e^i2пCd2,Лr^c) + + e~i2пC■d^'-',лr^c'р = 0

В выражении (26) матрица В(^) является уже произвольной невырожденной матрицей с полиномиальными элементами. Специфика матрицы И(2) отражена теперь в матрице Я(р). Задавая В(м>), мы можем построить матрицу И(2) и вместе с ней частотные функции И}(а), ... , Иы.'(а) вейвлетов, следовательно, и сами вейвлеты У(х), ... , 1/~\х).

Восстановление производим другими фильтрами: О,(2) = X„ёг,2п, / = 0, 1, 2, ..., N-1 по формуле

(18). На уровне степенных рядов обратная децимация эквивалентна замене степенного ряда Х(^) по степеням переменной V на ряд Х(2Л), по степеням переменной 2, Х(м>) ^ Х(рл). Поэтому восстановление на уровне степенных рядов делается по формуле:

N -1 1 N -1 N-1

X О, ( 2) Х, ( )А ) =—X О, (2) X И, (р,2 )Х (Р2) =

/=о N /=о 5=0

1 N -1 И -1 Л

= X X О (2')И1 Р,2-\Х(р,г2) = Х(2).

*=о м=о )

Поэтому для точного восстановления достаточно, чтобы выполнялись равенства:

X О I (2)И, (2) = N (при 5 = 0),

1=0 N -1

X О1 (2) И1 (рР 2) = 0 для 5 = 1, 2, ..., N-1.

Данные условия точного восстановления удобно выразить через матрицы фильтров разложения и восстановления в виде:

N Go 0 z) Go 0 P o )

G— z ) Gp (p z)

^-1 z\ f ~N-1 p\

Z) G1 (P ()

Ho ( Z ) )) p z ) -

Hi ( z ) H) (p z ) -

VGo )P

-

Gx-1(z ) e

Gx-1 ( P z )

Gx-—( (p Л He)-1 z) Л Hp P x-1Z )

HN_P p x-1 z )_

= N.

^Н- N—112) HNт 11 1 1

Мы получили следующий факт.

Теорема 5. Если матрица Н(г) фильтров разложения невырождена при гє Тр, то возможно точное восстановление сигнала фильтрами Ок(г), 1 = 0, 1, 2, ..., N-1, матрица которых:

G(z) =

vx

Go(z)

G)(z)

Go(Pz)

G)(pz)

Go(px—1 z) G)(px—1 z)

(21)

кGх_l(г) Gх_1(pг) - Gх_1(рхрг)У является транспонированной к обратной матрице Н(г) исходных фильтров.

Замечание. В ортогональном случае Н(г) - унитарная матрица, а G(г) - комплексно сопряженная к Н(г). В общем случае для нахождения фильтров вос-

становления необходимо найти матрицу, обратную к H(z).

Литература

1. Bratteli, O. Iterated function systems and permutation representations of the Cuntz algebra / O. Bratteli, P. E. T. Jorgensen // arXiv.org: funct-anI9612002v1. -1996. - 84 p.

2. Bratteli, O. Wavelet filters and infinitedimensional unitary groups / O. Bratteli, P. E. T. Jorgensen // arXiv.org: math.FA/0001171v3. - 2000. - 31 р.

3. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. - М.; Ижевск: РХД, 2001. - 494 с.

4. Jorgensen, P. E. T. Matrix Factorizations, Algorithms, Wavelets / P. E. T. Jorgensen // Notices Amer. Math. Soc. - 2003. - Vol. 50, no. 8. - Р. 880 - 894. (Электронный вариант статьи: www.math.uiowa.edu/ ~j orgen/fea-j orgensen.pdf).

5. Podkur, P. N. Construction of some types wavelets with coefficient of scaling N / P. N. Podkur, N. K. Smolentsev // arXiv.org: math.FA/0612573v1. -2006. - 19 р.

6. Смоленцев, Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н. К. Смоленцев. - М., ДМК-Пресс, 2008. - 448 с.

1

З0