CC BY
33
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 303.732.4 Б01: 10.24412/2071-6168-2021-2-3-12
К ВОПРОСУ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ПРОМЫШЛЕННЫХ
МАНИПУЛЯТОРОВ
Е.В. Ларкин, М.А. Антонов
Основная проблема использования роботов в промышленности - обеспечение точности выполнения механических операций. Манипуляторы с традиционной структурой включают модули подвижности, расположенные последовательно, один за другим, поэтому ошибка, возникающая в базовом звене, усиливается последующими механическими передачами. В свою очередь, при параллельном воздействии на звено исполнительных механизмов, перемещающих модуль манипулятора, ошибки управления усредняются. Итак, рассматривается манипулятор, в котором жесткость обеспечивается треугольной структурой, а перемещение штока - линейными исполнительными механизмами, работающими параллельно. Для запатентованного манипулятора решены прямая и обратная задачи кинематики, получены зависимости, которые определяют как пространственное положение исполнительного устройства манипулятора зависит перемещений линейных приводов, так и зависимость перемещений линейных приводов от пространственного положения исполнительного устройства манипулятора. Также получены функции, определяющие точность позиционирования исполнительного устройства манипулятора. Получена динамическая модель как система нелинейных дифференциальных уравнений, которая связывает перемещение линейных приводов и силы на штоках линейных приводов, и построены переходные процессы как реакция манипулятора на функцию Хевисайда.
Ключевые слова: манипулятор, жесткость, задача прямой кинематики, задача обратной кинематики, точность, линейный привод.
Промышленные роботы обычно используются для выполнения таких задач, как загрузка станков с числовым программным управлением (ЧПУ), сварка, лазерная и плазменная резка, окраска поверхностей, простые фрезерные операции и т. д. [1]. Для выполнения указанных технологических операций требуется высокая точность позиционирования захвата манипулятора. Обычный способ повышения механической точности, предусматривающий введение обратной связи по положению захвата, не всегда возможен из-за того, что объект манипулирования, как правило, механически отделен от манипулятора. Известные кинематические схемы промышленных роботов включают в себя модули подвижности, расположенные последовательно один за другим, а процесс управления ограничивается введением в модули локальной обратной связи. Таким образом, ошибка, возникающая в базовом звене, усиливается последующими механическими узлами цепи [2] и не компенсируется общей обратной связью по положению
захвата. Ошибка позиционирования захвата возникает, когда необходимо поэтапно решить задачу трассировки. В этом случае ошибка предыдущего шага увеличивается на ошибки последующих шагов, и трассировка в целом становится крайне неточной [3, 4, 5].
Для решения проблемы повышения точности необходимо как повысить жесткость конструкции манипулятора, так и заменить последовательное расположение механических модулей на параллельное [6]. Самая жесткая конструкция - треугольник, расположенный в одной плоскости. Наиболее жесткой ЗБ-конструкцией является тетраэдр, конструкция которого заложена в основу исследуемого манипулятора. Тетраэдр состоит из четырех треугольников, и все углы между его краями определяются только их длинами. В то же время зависимости, описывающие соотношения между ребрами и углами тетраэдра, довольно сложны, что сильно ограничивает практическое использование такого типа конструкции в инженерной практике. Поэтому для преодоления противоречия между потребностями в жестких манипуляторах и сложностью их кинематики и динамики разработано приведенное ниже аналитическое математическое описание.
1. Прямая и обратная задачи кинематики. Схема промышленного робота повышенной жесткости представлена на рис. 1.
Rot zc
Рис. 1. Схема промышленного робота повышенной жесткости
Система состоит из штока ОС фиксированной длинны с, на котором установлен линейный привод, с варьируемой длинной штока r, от точки О до точки К, в которой закреплено захватное устройство Система перемещается в пространстве линейными приводами, с изменяемой длинной штоков dA и dB, соответственно. Шток c и линейные приводы dA, dB вращаются на шарнирных опорах O, A, B. Шток c жёстко связан с линейным приводом r и очерчивает своим концом в пространстве сферическую систему координат ( рабочая зона - четверть сферы), с центром в точке O, при чём его положение определяется угловыми y, J и линейной c + r координатами. Линейный привод dA и dB соединяются со штангой c с помощью двух шарнирных опор в точке
С. Прямая задача кинематики определяет углы y, J, когда известны перемещения dA и dB линейных приводов A и B соответственно. Обратная задача кинематики [7] определяет перемещения dA and dB соответствующих линейных приводов, по известным углам y и J.
Длины отрезков ОС, АС и ВС равны соответственно:
2 . 2 . 2 . : xc + Ус + zc ;
dA =(a - xc )2 + (-b - Ус )2 + zC;
dB =(a - xc )2 +(b - Ус )2 + zC;
(i)
тогда, используя формулы пересчёта декартовых координат в сферические координаты1 [8], решение обратной задачи кинематики может быть представлено следующим образом:
¡A =( a - c cos J cos y)2 +(b + c cos Jsin y)2 +(c sin J)2;
d2B = (a - c cos J cos y)2 + (b - c cos Jsin y)2 + (c sin J)2;
2 2
Для решения прямой задачи кинематики[9], квадраты координат xc, yc должны быть исключены из (1), путём подстановки первого уравнения во второе:
d2A = a2 + b2 + c2 - 2axc + 2byc;
d2B = a2 + b2 + c2 - 2axc - 2by(
(3)
c-
Система (3) уравнений линейна относительно xc и yc, и имеет единственное
решение:
xc
yc
2
2a2 + 2b2 + 2c2 - dA - d2B _
4a
z,
c
d2 - d2 UA UB .
" 4b '
2 - 2 - 2 c xc yc■
(4)
Используя (4) можно найти координаты точки К соответствующие захватному устройству, следующим образом:
,2 , '112, ~ 2 т2 т2
x
c + r 2a2 + 2b2 + 2c2 - dA - dB
к
Ук
4a
c + r dA - dB
(5)
c
c + r
c
4b
V2 2 c - xc -
■Ус
Из (5) получены зависимости:
■ zc А
J= arcsin— = arcsin
c2 - " 2a2 + 2b2 + 2c2 - d2A - d2B ' 2 \ d2 - d2 1 A UB
4a 4b
c
Уc
a
y = arctan—- = arctan
(dA - dB)
b (2a2 + 2b2 + 2c2 - d2A - d2B)'
(6) (7)
В (6), (7) а, Ь, с являются параметрами, а dA, ёв - аргументами. Их значения лежат в следующих пределах:
d. ■ < d. < d, , dR ■ < dR < dR ; 0 < r < r
A min A A max' B min B B max' m
2
c
c
z
к
2
c
где d. ■ , dR ■ , r ■ нижний предел величин d., dR, r, а d. , dR , r - верхний
" A mi^ В mi^ min r " A> B> > A max' В max' max г
предел величин dA, dB, r, соответственно.
Зависимость (5), с ограничениями (8) показана на рис.2 (a, b, c), соответственно. Рис. 2 (c), иллюстрирует полушарие, которое описывает конец захватного устройства K при обходе границ рабочей зоны. Моделирование велось с использованием следующих параметров: a = 0.2 m, b = 0.2 m, c = 0.4 m, 0.3 < dA B < 0.6 m.
(a)
0.6
z = 0.26 V \
.0.6 \
Z = 0.21
Рис. 2. Поверхности, полученные в результате моделирования движения манипулятора повышенной жёсткости
2. Оценка точности позиционирования. Для оценки точности позиционирования важно определить влияние первичных параметров а, Ь, с на смещение координат хк,ук,2к . Степень влияния определяется частными производными:
dxK c + r dx^ c + r b dx
к
VK
da
2c db c
II £ d 0- dyK
da 0 db
dzK = c + r
da c
dzK = c + r
db c
a do
c2
r 2a2 + 2b2 + 2с2 - d2A - d2B +(c + r) с
4a
2
a
c + r dA - d2B _ dyK _ r d2A - d
-xr
4b2 dc dxr
4b
(9) (10)
Ус
dyc
Vс2 - xi - yC da
Ф2 - xC - yC da
x
dxr
Ус
dyc
db
Ф2 - xi - yC db
(11)
dzK
dc
=- я
x
'Ус +
c + r
CXr
I 2 2 2 I 2 2 2 \]с - хс - ус а\]с - хс - ус у
Пусть а е {а, Ь, с} . При производстве манипулятора, параметры а реализуются со следующими отклонениями:
2
2
c
c
c
2
a -A <a<a +Д+,
nom a ^ — ^nom a' 'a' ""^a
где апот номинальное значение параметра а ; Да, А значений параметра, при чём, в общем случае, Да Ф Да. Выбор
Да=тах (да, да),
задает максимальные отклонения параметров ае {a, Ь, с] . Таким образом, выражения
(12)
отклонения от номинальных
(13)
A
xK
dxK (dA, dA, dr)
Ak =
da
ЭУк (dA, dA, dr )
A a +
dxK (dA, dA, dr)
A
zK
da
dzK ( dA , dA, dr )
A +
db
ЭУк (dA, dA , dr )
Ab +
dxK (dA, dA, dr)
A
da
A +
db
dzK (dA , dA , dr )
Ab +
dc
ЭУк (dA, dA , dr )
db
Ab +
dc
dzK (dA , dA , dr )
Ac; (14)
dc
A
где dA, dB, dr, ограниченные в соответствии с (8), позволяют получить функции xK (dA, dA, dr), yK (dA, dA, dr), zK (dA, dA, dr), абсолютные отклонения от номинала
во всей рабочей зоне.
3. Динамическая модель. Вернёмся к схеме манипулятора повышенной жёсткости, которая показана на рис. 1. Приведённая система приводится в движение движущими силами Fa , FB, Fr, которые создаются линейными приводами A, B, r, при перемещении их штоков на длинны dA, dB and r, соответственно. Со стороны штанги на
линейные приводы A, B, r воздействуют силы, в тоже время, на штангу воздействуют силы со стороны линейных приводов, в соответствии с третьим законом Ньютона. Линейные приводы A, B воздействуют на штангу параллельно, а линейный привод r - последовательно.
Предположим, что диссипативные силы сводятся к силам вязкости, действующим на штоки линейных приводов, и моментам вязкого трения, создаваемым в шарнирах A, B, O. Тогда системы уравнений, описывающие движение линейных приводов A, B, (направление от пересечения осей A, B к пересечению осью C считается положительным) следующие:
mAd A + 4ld A = FA + RAl - mAgSinJA ;
d ( JA J a )
d
dt
d ( JAyA )
+ ht JA = -mA^~2A - RAJdA ;
(15)
dt
+ ht ¥ A = RAy dA 1
mBdB + hldB = FB + RBI - mBgsinJB;
d ( Jb Jb )
dt
d ( JByB )
+ ht JB =-mBgdT - RBJdB;
(16)
2
dt
+ htyB = RBy dB1
где mA и mB - массы линейных приводов A и B, соответственно; FA, FB - силы, которые формируются на штоках линейных приводов A и B; h - коэффициент вязкого трения поступательного движения на штоках линейных приводов; ht _ коэффициент вязкого трения вращения в опорах линейных приводов; FA, FB - силы, направленные вдоль штоков линейных приводов A и B, соответственно; RAl, RBl - продольные компоненты сил, действующих в шарнире C, со стороны линейных приводов A и B в направлении осей xA и xB, сосредоточенные на концах штоков; RAy, RBy - поперечные компоненты векторов сил, действующих на шарнир С от линейных приводов A и B в направлении осей yA и yB, расположенные в горизонтальной плоскости перпендикулярно штокам линейных приводов; RAJ, RBJ - поперечные компоненты векторов сил, действующих на шарнир C, от линейных приводов A и B в направлении осей yA and yB , yB , расположенные в вертикальной плоскости перпендикулярно штокам линейных
mAdA T mBd2B
приводов; JA =—^^ и JB =—- мгновенный переменный момент инерции поступательного привода A и B, соответственно, относительно шарниров A и B; g - ускорение свободного падения [10, 11].
Для моделирования передачи полезной нагрузки между точками K и C со стороны линейного привода r система рассматривается, как единое целое, в котором шток линейного привода и штанга есть одно целое. Кроме того, предполагается, что масса полезной нагрузки сосредоточена в точке K. Поэтому, математическое описание включает вращение штанги в шарнире O под действием сил RA, RB и продольное перемещение, под действием сил линейных приводов:
(mr + mK) dr +htdr = Fr +(mr + mK)gsin9;
d- J + J = ~mcg2 - mrg c + r - mKg(c + r) + rcajc + rcbjc;
- y + ht ¥ = RCAy C + RCBy С
(17)
f гл
V 2y
dJ_.. dt
где mC , mr и mK - массы штанги C, линейного привода r и полезной нагрузки K, соответственно; dr - перемещение в линейном приводе r; RCA&, RCBJ - поперечные компоненты векторов сил, действующих в шарнире C, со стороны линейных приводов A и B в направлении осей zA и zB, расположенные в вертикальной плоскости, перпендикулярно штокам линейных приводов; RCAy, RCBy - поперечные компоненты векторов сил,
действующих в шарнире C, со стороны линейных приводов A and B в направлении осей yA and zB , расположенные в горизонтальной плоскости, перпендикулярно штокам ли-
(mC + mr)(c + r )2 . ч2 нейных приводов; _ = ±—C-^-'— + mK (c + r) - мгновенный момент инерции,
состоящий из момента инерции штанги C, линейного приводаг r и полезной нагрузки mK [10, 11, 12].
Важно отметить, что продольные составляющие сил RCAl, RCBl, действующие на штангу со стороны линейных приводов A и B, полностью компенсированы силами реакций опоры в шарнире O, поэтому, они входят (17). Вообще, в (15), (16), (17) вектора сил RCAIRa , RCB/ RB представлены в разных системах координат, поэтому третий закон Ньютона выглядит следующим образом:
8
ЯСА ^ А ' ЯСВ ЯВ •
(18)
где ЯА = (ЯА1, ЯАу, ЯА*) (объяснено в (15)); ЯВ = (ЯВ1, ЯВу, ЯВ*) (объяснено в (16));
Я
СА
= (ЯСА1, ЯСАу, ЯСА* ) ; ЯСВ = (ЯСВ1 , ЯСВу, ЯСВ* ) ; (объяснено в (17)).
Системы координат, связанные с линейными приводами А, В и штангой С, получены из Мировой системы координат хОуг следующим образом:
( *А , УА , к А ) = ( *, 3, к ) ТуАТ*А ;
(1в , у , кв ) = (*, у, к)ТуВТ*В; (19)
, 3С, кС ) = (*, ], к )ТуСТ*С ,
где (/, у, к ) - орты, связанные с координатами в системе х0у2; (¿АВС, ]А В С, кА В С ) -орты, связанные с хАВС0уАВСгАВС хОуг координатами; ТуАВС, Т*АВС - матрицы поворота;
(20)
' С™ у А,В,С ^ уа,в,с 0 ^
Т = уА,В,С - ^ у А,В,С уа,в,с 0
1 0 0 и
Г С°8 *А,В,С 0 - ^ уА,В,С ^
Т = 1 *А,В,С 0 1 0
^ у А,В,С 0 уа,в,с ,
(21)
Углы уС = у, *С = * были получены выше (смотри (7)). Углы уА, *А, уВ, *В могут быть получены из (5):
у А = агйаи
Ус + ь.
; * = агйаи
X - а
>/(х^-а)7+суГ+ь)7
у - ь
у В = агйаи—-; * = агйаи-
(22) (23)
х„
а
>/(хГ-а)у+суГ-ь)т
Используя (19), Третий закон Ньютона для рассматриваемого случая, выглядит следующим образом:
( ЯА1, ЯАу, ЯА* ) ТуС Т*С = ( ЯСА1, ЯСАу , ЯСА* ) ТуА Т*А , (24)
( ЯА/, ЯАу, ЯА*)ТуСТ*С = ( ^СА1, ЯСАу, ЯСА*)ТуАТ*А • (25)
Выражения (15) - (17), (24), (25) образуют полную динамическую модель промышленного манипулятора повышенной жёсткости, и могут быть решены, для координат ёА,ёВ, ёг по одним из известных методов [13, 14, 15].
Для построения картины поведения манипулятора, система дифференциальных уравнений решена простейшим методом прямого интегрирования (методом Эйлера), относительно действующих входных сил ЕА,ЕВ,Ег, заданных, как:
^ =Л( t), (26)
где I) - функция Хэвисайда.
Моделирование проводилось, со следующими параметрами:
а = 0.2т, Ь = 0.2т, с = 0.4т, тА = 5.7к§, тВ = 5.7к§, тС = 3к§, тг = 1к§, 0 < тК < 2к§ . 9
г
с
г
с
Результаты интегрирования показаны на рис. 3.
(Ь) 4
[т] 0.55
0.50
0.45
0.4
Рис. 3. Переходные процессы изменения длин штоков линейных приводов А, В, г соответственно
На рис. 3 (а) показан переходный процесс, возникающий в исполнительных механизмах А и В, когда управляющие сигналы подаются на исполнительные механизмы одновременно. Прямая линия 1 представляет поведение линейной безынерционной системы, кривая 1 демонстрирует реакцию, когда модель является линейной. В этом случае кривая стремится к асимптоте 3. Кривая 4 показывает ускорение длин штоков при изменении условий нагрузки исполнительного механизма из-за изменения наклона штока С.
На рис. 3 (б) показано семейство переходных процессов, возникающих в исполнительном механизме г, когда полезная нагрузка, удерживаемая захватом К, увеличивается от 0 кг (наиболее быстрая реакция манипулятора) до 2 кг (наименее быстрая реакция).
На рис. 3 (с) показано семейство переходных процессов, возникающих в исполнительном механизме г, когда шток с принимает разные угловые Ф положения. В этом случае времена отклика при всех угловых положениях стержня практически одинаковы, но асимптоты, к которым стремятся кривые, расположены под разными углами.
Вид семейств переходных процессов, показанных на рис. 3 (Ь) и рис. 3 (с), объясняется тем, что управляющий сигнал подавался на привод г.
Заключение. Итак, в данной статье проанализирована проблема повышения жесткости промышленных манипуляторов. Предложена кинематическая структура с двумя параллельными и одним последовательным линейными исполнительными механизмами, которые приводят шток с захватом на сферу с изменяемым радиусом. Разработаны модели, прямой и обратной задач кинематики, оценки точности и динамики перемещения штоков исполнительных механизмов. Дальнейшее развитие показанной конструкции манипулятора должно быть направлено на снижение массогабаритных характеристик и разработку инженерной методики проектирования аналогичной конструкции повышенной жесткости.
Список литературы
1. Wei Ji, Lihui Wang.: Industrial robotic machining: a review. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2019. 103. P. 1239-1255.
2. Bruno Siciliano, Oussama Khatib.: Springer Handbook of Robotics. 1st edn. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (2008).
3. C. Gong, J. Yuan, and J. Ni. Nongeometric error identification and compensation for robotic system by inverse calibration. International Journal of Machine Tools and Manu-fac-ture. 2000. 2(14). P. 2119-2137.
4. P. Lambrechts, M. Boerlage, M. Steinbuch. Trajectory planning and feedforward de-sign for electromechanical motion systems. Control Engineering Practice, 2005. 13(2). P. 145-157.
5. Swevers J., Verdonck W., Joris De Schutter Dynamic Model Identification for Industrial Robots. IEEE control systems. 2007. 26(5). P. 58-71.
6. Ларкин Е., Долгов А., Осетров А., Осетров С.: Модуль промышленного робота, Патент №. 103086 (ЗФ) IPC B 25 J 9/08. Тульский Государственный Университет бюллетень № 9 (2010).
7. Botto D., Gola M. Solution of the inverse kinematic problem of a robot manipulator with Eulerian joints. IFAC Proceedings. 1994. Volumes 27(14). P. 375-379.
8. Sciavicco L., Siciliano B. Coordinate Transformation: A Solution Algorithm for One Class of Robots. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics 16(4). 1986. P. 550-559.
9. Morella A,. Tarokhb M,. Acosta L. Solving the forward kinematics problem in parallel robots using Support Vector Regression. Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2013. 26(7). P. 1698-1706.
10. Dreizler, Reiner M., Lüdde, Cora S. Theoretical Mechanics - Theoretical Physics 1. 1st edn. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. 2010.
11. Helrich, Carl S. Analytical Mechanics. 1st edn. Springer International Publishing, Switzer-land. 2017.
12. Nicholas J. Woodhouse: Introduction to Analytical Dynamics. New edn. Springer-Verlag, London Limited. 2009.
13. M. Kanat Camlibel, A. Agung Julius, Ramkrishna Pasumarthy, Jacquelien M.A. Scherpen: Mathematical Control Theory I. 1st edn. Springer International Publishing, Switzerland. 2015.
14. Sontag, Eduardo D. Mathematical Control Theory. 2nd edn. Springer-Verlag, New York. 1998.
15. Hinrichsen Diederich, Anthony J. Pritchard: Mathematical Systems Theory I. 1st edn. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. 2005.
Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Антонов Максим Александрович, аспирант, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
ON THE QUESTION OF INCREASING THE ACCURACY OF INDUSTRIAL
MANIPULATORS
E. V. Larkin, M.A. Antonov
The main problem of using robots in industry is a providing of mechanical operations execution exactness. Manipulators with traditional structures include mobility modules, disposed in series, one after another, so error, occurred at the base link, amplified by the sub-
11
sequent mechanical assemblies of the chain. In turn, when actuators, moving manipulator modulus, affect on it in parallel, their errors are averaged up. So, manipulator, in which rigidity is provided with triangle structure and moving of rod is provided with linear actuators, operated in parallel, is considered. For patented manipulator direct and inverse kinematics tasks are solved, and dependencies, which define both space position of manipulator grip in accordance of linear actuators lengths, and needful linear actuators lengths in accordance of space position of grip, are obtained. Also are obtained functions, which determine exactness of manipulator grip positioning. Dynamic model, as a system of non-linear differential equations, which links length of linear actuators and forces on actuators stems, is integrated, and transients as manipulator reaction on Heaviside function, were constructed.
Key words: Manipulator, rigidity, direct kinematics task, inverse kinematics task, exactness, linear actuator.
Larkin Eugene Vasilievich, doctor of technical science, professor, elarkinamail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Antonov Maxim Alexandrovich, postgraduate, max0594ayandex.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.317.39
АЛГОРИТМЫ ВЫЯВЛЕНИЯ МАНЕВРА ЦЕЛЕЙ В МНОГОПОЗИЦИОННЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
О.Н. Акиншин, А.И. Полубехин, В.Л. Румянцев
Представлены способы выявления маневра цели, основанные на анализе тра-екторных признаков сопровождаемой цели. Рассмотрен вариант параметрического обнаружителя маневра цели, основанного на статистических характеристиках цепи формирования управляющих сигналов фильтра Калмана. Методом моделирования проведена оценка работоспособности предложенного алгоритма выявления маневра цели по курсу и скорости.
Ключевые слова: траекторные признаки, фильтр Калмана, маневрирующая
цель.
Совершение маневра воздушной целью приводит к возникновению значительных динамических ошибок сопровождения, снижающих качество вторичной информации и приводящих к срыву сопровождения цели. Поэтому при разработке устройства вторичной обработки информации необходимо использовать в его составе алгоритмы выявления маневра цели и его типа для адаптации параметров фильтра сопровождения или его структуры в целом к изменениям динамики полета цели.
В системе вторичной обработки радиолокационной информации многопозиционных радиолокационных систем выявление маневра сопровождаемого летательного аппарата может быть основано одновременно на использовании анализа траекторных признаков (изменении величины тангенциального или нормального ускорения) и оценке параметров первичной (сигнальной) обработки сигналов сопровождаемых целей. В качестве дополнительного параметра при использовании квазинепрерывного излучения может использоваться оценка ширины спектра флуктуаций отраженных сигналов.
