Синтез законов управления погрузочным манипулятором-триподом из условия минимизации ускорения поворотного основания Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА:

НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.865.8 +62-503.5

СИНТЕЗ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ПОГРУЗОЧНЫМ

МАНИПУЛЯТОРОМ-ТРИПОДОМ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМИЗАЦИИ УСКОРЕНИЯ ПОВОРОТНОГО ОСНОВАНИЯ

SYNTHESIS OF LAWS LOADING MANIPULATOR TRIPOD BASIS OF THE CONDITIONS MINIMIZE ACCELERATION ROTARY BASE

Е.Н. Захаров, инженер

И.А. Несмиянов, кандидат технических наук, доцент С.Д. Фомин, кандидат технических наук, доцент

E.N. Zakharov, I.A. Nesmiyanov, S.D. Fomin

Волгоградский государственный аграрный университет Volgograd State Agrarian University

Роботизация наиболее тяжелых и монотонных технологических процессов сельскохозяйственного производства, в частности, погрузочно-разгрузочных и транспортных работ, является перспективным направлением развития агропромышленного комплекса России и других стран. Разработка оптимальных систем управления параллельно-последовательных манипуляторов с большим числом степеней подвижности, управляемых как в автоматическом, так и в полуавтоматическом режиме связана с проблемой синтеза программных движений исполнительных звеньев. Общая задача перемещения рабочего органа манипулятора разделяется на три этапа: позиционирование, синтез траектории в пространстве и определение закона движения по траектории. Программный закон движения исполнительных звеньев должен обеспечивать как можно меньшие ускорения, а, следовательно, и минимальные инерционные нагрузки. Разработана и апробирована динамическая модель манипулятора-трипода с сосредоточенными массами в виде уравнений Лагранжа с неопределенными множителями. Для расчета программных движений манипулятора проведен синтез системы уравнений, реализующей эти движения, и определены законы изменения управляющих сил. Синтезирован программный закон движения исполнительного линейного привода манипулятора из условия минимума касательного ускорения, реализация которого позволяет минимизировать инерционные динамические нагрузки на силовые элементы погрузочного манипулятора и перемещаемый груз.

Robotization of most severe and monotonous processes of agricultural production, in particular, handling and transport operations is a promising direction in the development of agro-industrial complex of Russia and other countries. Development of optimal control systems in parallel-serial manipulators with a large number of degrees of mobility, controlled either automatically or semi-automatically, linked to the problem of synthesis software movement actuators. The overall objective of moving the working member manipulator is divided into three phases - positioning, synthesis trajectory in space and the definition of the law of motion along the path. Programmed law of motion of the actuators must provide acceleration as small as possible, and therefore with the minimum inertial loading. Developed and tested was a dynamic model of the manipulator-tripod with concentrated masses in the form of Lagrange equations with undetermined multipliers. For the calculation of the manipulator programmed movements the synthesis of the system was performed that implemented these movements and determined the laws of change of control forces. Synthesized was the program law of motion of the linear actuator of the executive arm of the condition of minimum tangential acceleration, the implementation of which minimizes the inertial dynamic load on the bearing elements of the loading arm and move loads.

Ключевые слова: погрузочный манипулятор, манипулятор-трипод, система управления, закон движения, управляющие силы.

Key words: loading manipulator, the manipulator-tripod, the control system, the law of motion, governing force.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(13-08-00387-а), (16-48-340395р_а)

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Введение. Одним из перспективных направлений развития АПК является роботизация наиболее тяжелых и монотонных технологических процессов сельскохозяйственного производства, например, погрузочно-разгрузочных и транспортных работ [6, 8].

Разработка оптимальных систем управления параллельно-последовательных манипуляторов с большим числом степеней подвижности, управляемых как в автоматическом, так и в полуавтоматическом режиме связана с проблемой синтеза программных движений исполнительных звеньев. Общая задача перемещения рабочего органа манипулятора разделяется на три этапа: позиционирование, синтез траектории в пространстве и определение закона движения по траектории [9, 2, 3, 1]. Для погрузочных манипуляторов актуальна задача снижения динамических нагрузок при перемещении грузов, поэтому программный закон движения исполнительных звеньев должен обеспечивать как можно меньшие ускорения, а, следовательно, и минимальные инерционные нагрузки.

Материалы и методы. Для манипулятора с пространственным исполнительным механизмом в виде треугольной пирамиды с поворотным основанием, расчетная схема которого приведена на рисунке 1, самым нагруженным исполнительным звеном является линейный привод l4 [4, 10]. Синтез программного закона движения поворотного основания ВАС проведен из условия минимума ускорения точки А основания пирамиды АВСМ.

Уравнения связей для рассматриваемой схемы манипулятора представляют собой нелинейные уравнения, связывающие обобщенные координаты h, l2, l3, l4 с декартовыми координатами схвата точки М - x, y, z и точки А поворотного основания yA, Za [7].

Манипулятор представлен в виде эквивалентной схемы, представляющей собой систему с двумя сосредоточенными массами m - масса груза, приведённая к геометрической точке M схвата, mA - масса поворотной платформы и исполнительных актуаторов, приведённых к точке A.

Уравнение Лагранжа с неопределёнными множителями

/

м

Рисунок 1 - Расчетная схема манипулятора

d ( дТ Л дТ

dtVdqkJ dqI

к j

к

где q=x, q2=y, q3=z, q4=yA, qs=ZA.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

где ув

Кинетическая энергия системы

m

m,

T = — (x2 + у2 + z2)+—a

2 v 7 2

(y A + z A)

Уравнения связей

f1 = Vi 2 +(У - Уа )2 +(z - ZA )2 - £1(t ) = 0 f2 =yj(x - XB )2 + (У - Ув )2 + Z 2 - £ 2 (t) = 0

f3 = V(x-xC7+(y-yC7+z2-£3(t)= 0

f4 =4 yA +(zA - OO1 )2 - ^ 4 (t )= 0

f5 = Vz A +(Ув - У A )2 - AO ' = 0, yC, xB=-xC, OO1 = const, AO' = const.

(3)

Обобщенные силы

Qi=0, Q2=0, Q3=-—g, Q4=0, Q5=-—Ag

Найдя частные производные от кинетической энергии (2), получим систему из пяти уравнений:

x

mi = A---V A

(x - хв ) + a (i - Xc )

£1 £2 £3

—У = A, .^У-уЛ + A (y-л) + A byic)

£ 2 £ 3 £ a i a 2 3

mz = A • ——-A-) + A2 — + A3 — - mg

£1 £2 £3

mAyA = A .(У^а) + a4 Уа + a5 (У^А mAzA = A .(Z-Za) + A £aZ°°) + a zA

£1

5 AO' mAg

(4)

4

Из выражений (4) явно видно, что неопределенный множитель Лагранжа A

имеет размерность H = кг • м / с2, следовательно, в нашем случае это есть сила, тогда обозначим A4 = F4, а A5 = F5 где F4 и F5 - есть реакции в точке А.

Вводя новые коэффициенты

получим

u 4

f4

mA £ 4 - m

У A =

mA

a4 f5 a5

=------ и u =-------=--------

mA £ 4 mAAO' mAAO’’

ui(y - У A )+ u4 Уа - u5 (yB - У A ),

(5)

z A = ~ui(z - zA )V u4 (zA - OO1)V u5 • zA - g . mA

***** ИЗВЕСТИЯ ***** № 4 (44} 2016

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА:

НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Таким образом, получено 10 уравнений: пять уравнений связей (3) и пять дифференциальных уравнений движения (4) и имеем 10 неизвестных: x, у, z, yA, zA,

Uj, U2, Ы3, U4, U5.

Результаты и обсуждение. Для разработки программных движений манипулятора необходимо провести синтез системы уравнений, реализующей эти движения и определить управляющие силы, считая, что траектория точки М является функцией зависимостей координат по времени x(t), y(t) и z(t).

Исключив из уравнений (5) и (6) величину ы5, получим:

У A +—Щ (y - Уа )-U 4 Уа Z A +—Щ (Z - Z A )-U 4 (ZA - OO1 )+ g

m

m

m,

-(Ув - Уа ) z a

Далее, по выражению (7) находим касательное ускорение точки А:

• cosy

J L mA J

где sin w = -Za- и cos у = (Уа ~ Ув).

AO' AO'

Для упрощения уравнение (8) представим в виде:

aA = A1 • sin у + A2 • cos у ,

aA = mu. / \ 1 (Ув У)+ U4 Ув • sin у + mu} „ „ 1 z + u4OO1 + g

L mA J mA

(7)

(8)

(9)

где

A(t )=J A,2 + A22

г 2 |-

mu> / ч 1 (Ув У )+ U4 Ув + muj —1 z + u4OOx + g

L mA J L mA J

Отсюда, с целью определения функций uj(t) и u4(t), минимизируем квадратичную функцию

lk

ф=/A(t )2 • dt ^ min

(10)

ф =

mu

1 (t),

N2 Г ( )

(Ув - y(f))+ U 4 (t)-Ув + z()+ u 4 (t)^ OO1 + g

m

V mA

dt

Находим частные производные функции Ф по аргументам uj(t) и u4(t)

(дФ = 0, дФ = 01:

V ды1 ды 4

[y2B - 2ув ■ y(t)+ y(t) + z(t)]+ ы4(t)[yB - Ув ■ y(t) + OO1 •z(t)]+ g •z(t) = 0,

mA

\у2в - Ув ■ y(t) + OO! • z(t)]+ u4(t)[ув + OO12 ]+ g • OO1 = 0. (11)

m

Из выражений частных производных (11) совместным решением определяются законы изменения функций ux(t) и ы4(t) из которых находим значения множителей

5

Лагранжа \ и Я4, и далее - законы изменения управляющих сил Fj(t), F4(t).

2

t

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА:

НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Определив законы изменения u4(t) и u2(t), находим законы изменения множителей Лагранжа по времени t на участке траектории от начальной конфигурации до конечной:

Л (t) = u1 (t) • ml1, Л4 = u4 (t) • mAl4. (12)

Так как по физическому смыслу множители Лагранжа в нашем случае есть реакции (усилия) в линейных двигателях, то правильность вывода коэффициентов u4(t) и u2(t) может быть проверена по начальной и конечной конфигурациям манипулятора из уравнений статики стержневой конструкции (рисунок 2).

Согласно расчетной схеме (рисунок 2), получены две системы уравнений равновесия в точках сосредоточения приведенных масс:

в точке приведения М -

^ Fy = 0; -N23 cos а - N1cosft = 0,

^ Fz = 0; -G - N23 sin а = 0 (13)

в точке приведения А -

^ Fy = 0; - N cos Р - N0cosy - N4 sin S = 0 ^ Fz = 0; -N1 sin Р - GA - N0 sin у - N4 cos S = 0 . (14)

Рисунок 2 - Расчетная схема к определению коэффициентов ui(t) и u2(t)

Из уравнений (13) и (14) определяются реакции в шарнирах:

N23 =

G

sin а

N =- N23 cosa N = N1 cos Р + N0 cos у

, 1 ^ ^ ~ О ,4

cos Р

sin S

Так как X=Ni и X4=N4, то по этим реакциям однозначно определяются u4 и u4 для моментов времени t0=0 и tk=T:

U10

ml

u

40

10

Л40

mAl40

U1k

Лк u = Л4к

ml1k ' 4k mAl4k

(15)

Полученные различными способами коэффициенты u4(t) и u2(t) для конкретного случая сведены в таблицу 1.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Таблица 1 - Сравнение значений ui(t) и u2(t), определенных различными методами

Значения коэффициентов uI и u4

Способ нахождения to = =0 tk= =T

u10 U40 Uik U4k

Метод динамического синтеза -0,00219 -0,017 -0,00357 -0,026

Метод статики -0,00231 -0,019 -0,00363 -0,027

Знак “-“ при коэффициентах указывает на то, что актуаторы 1 и 4, (в рассматриваемом положении) работают на растяжение.

Зная начальную и конечную конфигурацию манипулятора при известных U1 (t)

и UA(t) можно определить максимальное значение коэффициента A(t). Двойным инте-

грированием выражения (4) получен закон программного движения точки A при условии минимума касательного ускорения (рисунок 3). Переход от закона движения точки А к закону движения исполнительного звена l4 не представляет сложностей.

Рисунок 3 - Характер изменения линейной скорости и касательного ускорения т. А для синтезированного закона движения поворотного основания.

Заключение. Представленный в работе аналитический синтез программного закона движения исполнительного звена из условия минимума ускорения соответствует закону «мягкого» касания [10, 11], удовлетворяющего условию

d£(t)

dt

0 и

d2 £(t)

t=0, t=x

dt2

0

t=0, t=x

(16)

и позволяющему при его реализации существенно снизить динамические нагрузки, как на конструкцию манипулятора, так и на перемещаемые грузы.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА:

НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Библиографический список

1. Динамический синтез оптимальных программных движений манипулятора-трипода [Текст]/ В.В. Жога, В.М. Герасун, И.А. Несмиянов, Н.С. Воробьева, В.В. Дяшкин-Титов // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2015. - №2. - С. 85-92.

2. Дяшкин-Титов, В.В. Алгоритм позиционирования захвата манипулятора-трипода [Текст] / В.В. Дяшкин-Титов, Н.С. Воробьева, С.Е. Терехов // Современное машиностроение: Наука и образование: материалы 5-й Международной научно-практической конференции. Под ред. А.Н. Евграфова и А.А. Поповича. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. -С.634-644.

3. Задача позиционирования манипулятора параллельно-последовательной структуры с управляемым захватным устройством [Текст] / В.В. Жога, В.В. Дяшкин-Титов, И.А. Несмиянов,

H. С. Воробьева // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2016. - Т. 17. - №8. - С. 525-530.

4. Исследование оптимальных конфигураций манипулятора-трипода с поворотным основанием [Текст] / В.М. Герасун, В.В. Жога, И.А. Несмиянов, Н.С. Воробьева, В.В. Дяшкин-Титов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - №6. - с.21-26.

5. Основы динамики промышленных роботов [Текст] / М.З. Коловский, А.В.Слоущ. -М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит., 1998. - 240 с. - (Науч. основы робототехники).

6. Пындак, В.И. Кинематические возможности погрузочных манипуляторов на базе пространственных механизмов [Текст] / В.И. Пындак, Н.С. Воробьева, С.Д. Фомин // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2016. - № 1 (41). - С. 190-195.

7. Пындак, В.И. Теоремы аналитической геометрии и их приложение к исследованию шарнирно-стержневых механизмов и манипуляторов [Текст] / В.И. Пындак // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса. - 2011. - №1(21). - С. 166-172.

8. Walking Mobile Robot with Manipulator-Tripod. V.Zoga, A.Gavrilov, V.Gerasun,

I. Nesmianov, V.Pavlovsky, V.Skakunov, V.Bogatyrev, D. Golubev, V.Dyashkin-Titov, N.Vorobieva. Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Proceedings of ROMANSY 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Springer, рр. 463-471.

9. Synthesis of Control Algorithm and Computer Simulation of Robotic Manipulator-Tripod. Ivan Nesmiyanov Victor Zhoga, Vladimir Skakunov, Stanislav Terekhov, Natalia Vorob’eva, Victor Dyashkin-Titov, Farea Ali Hussein Al-hadsha. Creativity in Intelligent Technologies and Data Science. First Conference, CIT&DS 2015. Volgograd, Russia. Springer, pp 392-404.

10. Synthesis of Control Algorithm and Computer Simulation of Robotic Manipulator-Tripod. Ivan Nesmiyanov, Victor Zhoga, Vladimir Skakunov, Stanislav Terekhov, Natalia Vorob’eva, Victor Dyashkin-Titov, Farea Ali Hussein Al-hadsha. Creativity in Intelligent Technologies and Data Science. First Conference, CIT&DS 2105. Volgograd, Russia. Springer, pp 329-404.

11. Dynamics of tripod drive with elastic self-sustaining transmission. I. A. Nesmiyanov, V. V. Zhoga, N. S. Vorobieva, V. V. Dyashkin-Titov. Vibroengineering PROCEDIA Volume 8 contains papers presented at the 22-nd International Conference on VIBROENGINEERING. The main theme of this Conference is “Dynamics of Strongly Nonlinear Systems”. Kaunas, Lithuania, 2016. Pp.512516.

Reference

1. Dinamicheskij sintez optimal'nyh programmnyh dvizhenij manipulyatora-tripoda [Tekst]/ V. V. Zhoga, V. M. Gerasun, I. A. Nesmiyanov, N. S. Vorob'eva, V. V. Dyashkin-Titov // Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin. - 2015. - №2. - S. 85-92.

2. Dyashkin-Titov, V. V. Algoritm pozicionirovaniya zahvata manipulyatora-tripoda [Tekst] / V. V. Dyashkin-Titov, N. S. Vorob'eva, S. E. Terehov // Sovremennoe mashinostroenie: Nauka i obra-zovanie: materialy 5-j Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Pod red. A. N. Evgrafova i A. A. Popovicha. - SPb.: Izd-vo Politehn. un-ta, 2016. -S.634-644.

3. Zadacha pozicionirovaniya manipulyatora parallel'no-posledovatel'noj struktury s upravly-aemym zahvatnym ustrojstvom [Tekst] / V. V. Zhoga, V. V. Dyashkin-Titov, I. A. Nesmiyanov, N. S. Vorob'eva // Mehatronika, avtomatizaciya, upravlenie. - 2016. - T. 17. - №8. - S. 525-530.

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА:

НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

4. Issledovanie optimal'nyh konfiguracij manipulyatora-tripoda s povorotnym osnovaniem [Tekst] / V. M. Gerasun, V. V. Zhoga, I. A. Nesmiyanov, N. S. Vorob'eva, V. V. Dyashkin-Titov // Mehatronika, avtomatizaciya, upravlenie. - 2013. - №6. - s.21-26.

5. Osnovy dinamiki promyshlennyh robotov [Tekst] / M. Z. Kolovskij, A. V. Slousch. - M.: Nauka. Gl. red. fiz. -- mat. lit., 1998. - 240 s. - (Nauch. osnovy robototehniki).

6. Pyndak, V. I. Kinematicheskie vozmozhnosti pogruzochnyh manipulyatorov na baze pros-transtvennyh mehanizmov [Tekst] / V. I. Pyndak, N. S. Vorob'eva, S. D. Fomin // Izvestiya Nizh-nevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2016. - № 1 (41). - S. 190-195.

7. Pyndak, V. I. Teoremy analiticheskoj geometrii i ih prilozhenie k issledovaniyu sharnirno-sterzhnevyh mehanizmov i manipulyatorov [Tekst] / V. I. Pyndak // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa. - 2011. - №1(21). - S. 166-172.

8. Walking Mobile Robot with Manipulator-Tripod. V. Zoga, A. Gavrilov, V. Gerasun, I. Nesmi-anov, V. Pavlovsky, V. Skakunov, V. Bogatyrev, D. Golubev, V. Dyashkin-Titov, N. Vorobieva. Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Proceedings of ROMANSY 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Springer, рp. 463-471.

9. Synthesis of Control Algorithm and Computer Simulation of Robotic Manipulator-Tripod. Ivan Nesmiyanov Victor Zhoga, Vladimir Skakunov, Stanislav Terekhov, Natalia Vorob’eva, Victor Dyashkin-Titov, Farea Ali Hussein Al-hadsha. Creativity in Intelligent Technologies and Data Science. First Conference, CIT&DS 2015. Volgograd, Russia. Springer, pp 392-404.

10. Synthesis of Control Algorithm and Computer Simulation of Robotic Manipulator-Tripod. Ivan Nesmiyanov, Victor Zhoga, Vladimir Skakunov, Stanislav Terekhov, Natalia Vorob’eva, Victor Dyashkin-Titov, Farea Ali Hussein Al-hadsha. Creativity in Intelligent Technologies and Data Science. First Conference, CIT&DS 2105. Volgograd, Russia. Springer, pp 329-404.

11. Dynamics of tripod drive with elastic self-sustaining transmission. I. A. Nesmiyanov, V. V. Zhoga, N. S. Vorobieva, V. V. Dyashkin-Titov. Vibroengineering PROCEDIA Volume 8 contains papers presented at the 22-nd International Conference on VIBROENGINEERING. The main theme of this Conference is “Dynamics of Strongly Nonlinear Systems”. Kaunas, Lithuania, 2016. - Pp.512-516.

E-mail: [email protected]