К вопросу построения профилей, сопряженных с окружными профилями зубьев Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Елена Александровна Горячева родилась в 1982 г., окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2006 г. Аспирант кафедры "Вакуумная и компрессорная техника" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Ye.A. Goryacheva (b. 1982) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2006. Post-graduate of "Vacuum and Compressor Technology" department of the Bauman Moscow State Technical University.

Константин Евгеньевич Демихов — д-р. техн. наук, профессор, первый проректор по научной работе МГТУ им. Н.Э. Баумана, зав. кафедрой "Вакуумная и компрессорная техника" Автор более 150 научных трудов в области вакуумной и компрессорной техники.

K.Ye. Demikhov — D. Sc. (Eng.), professor, first pro-rector for scientific work, head of "Vacuum and Compressor Technology" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 150 publications in the field of vacuum and compressor technology.

Николай Константинович Никулин — канд. техн. наук, доцент кафедры "Вакуумная и компрессорная техника" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных трудов в области вакуумной и компрессорной техники.

N.K. Nikulin — Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Vacuum and Compressor Technology" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 100 publications in the field of vacuum and compressor technology.

ТЕХНОЛОГИЯ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ I МАШИНЫ |

УДК 621.514.5

И. В. Автономова

К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ПРОФИЛЕЙ, СОПРЯЖЕННЫХ С ОКРУЖНЫМИ ПРОФИЛЯМИ ЗУБЬЕВ

Изложен метод расчета профилей зубьев, сопряженных с окружными профилями, для винтовых, прямозубых роторных компрессоров и воздуходувок типа Рут.

В винтовых компрессорах и прямозубых роторных компрессорах с внутренним сжатием передняя сторона зуба ведущего ротора, как правило, описывается окружностью, а в воздуходувках типа Рут окружностью описывается головка ротора. Методики построения профилей, сопряженных с окружными профилями [1, 2], не позволяют построить сопряженные профили. Чтобы выяснить причину этого, рассмотрим

построение профиля зуба, сопряженного с исходным окружным зубом, графоаналитическим способом.

Для этого выберем четыре системы декартовых координат (рисунок):

две подвижные системы координат, из которых — Х101У1 жестко связана с исходным ротором, вращается вместе с ним с угловой скоростью и ее центр О1 совпадает с центром исходного ротора; Х202У2 жестко связана с сопряженным ротором, вращается вместе с ним с угловой скоростью и ее центр 02 совпадает с центром сопряженного ротора;

две неподвижные системы координат, из которых — Х0О1У0 связана с исходным ротором и ее центр 01 совпадает с центром исходного ротора; Х002У0 связана с сопряженным ротором и ее центр 02 совпадает с центром сопряженного ротора.

Расстояние между центрами координат, межосевое расстояние, обозначим как А.

При построении сопряженного профиля задается исходный профиль, т.е. число и профиль зубьев. Примем число зубьев равным г1, а профиль зуба опишем окружностью радиуса г, центр которой лежит внутри начальной окружности радиуса Г1н на расстоянии Ь от центра 01 координат Х101У1. Запишем уравнения профиля зуба ведущего винта в системе координат Х101У1 (в параметрической форме):

где ф — параметр профиля.

Изобразим зуб в произвольном положении, например, при повороте на угол координат Х101У1 относительно неподвижных коорди-

Построение сопряженного профиля и линии зацепления окружного профиля

x1 = b + r cos ф; y1 = r sin ф,

(1)

нат X0OiY0. Тогда координаты X2O2Y2 повернутся на угол ^/i, где i = m2/mi = г2н/г1н — передаточное число.

При построении профиля сопряженного зуба и линии зацепления необходимо найти точку С касания профилей. Эта точка должна лежать на общей нормали к профилям и нормаль должна проходить через полюс зацепления Р0. Нормалью к окружности F1D1F[, которой описан исходный зуб, является ее радиус OC. Точка С одновременно принадлежит исходному и сопряженному профилям. Чтобы построить сопряженный профиль, необходимо координаты точки С x1 и y1 в системе координат X1O1Y1 связать с координатами x2 и y2 этой же точки в системе координат X2O2Y2 и найти уравнение связи параметра профиля ф с углом поворота координат

В системе координат X1O1Y1 координаты точки С определяются по уравнениям (1) и длина отрезка О1Е равна x1, а длина отрезка СЕ равна y1. Для того чтобы определить координаты x2 и y2, которые соответственно равны длинам отрезков О2М и СМ, следует найти длины отрезков О1С; О1В; О2В; О2С; О2М и МС.

В системе координат X1 O1 Y1

О1С = (x2 + y2)0'5; О1В = (x2 + y2)0,5 cos 01;

в системе координат X2O2Y2

О2В = —А + (x1 + y2)°'5 cos 01;

О2 С = [-А + (x1 + y2)0'5 cos 01]/ cos 02;

О2М = x2 = [—А + (x1 + y2)0,5] cos 01 cos(02 + ^1/i)/ cos 02;

МС = y2 = [А + (x1 + y2)0,5] cos 01 sin(02 + ^1/i)/ cos 02 или

x2 = [—А + (b2 + r2 + 2br cos ф)0,5] cos 01 cos(02 + ^1/i)/ cos 02; y2 = [А + (b2 + r2 + 2br cos ф)0,5] cos 01 sin(02 + /i)/cos 02.

Уравнение связи параметра профиля ф с углом поворота координат найдем из треугольника О1О Р0 :

ф = ф1 + ^1. (3)

Из треугольника ОАР0 получим

ф1 = arctg[b sin ^1/(r1H — b cos ^1)], (4)

тогда

ф = arctg[b sin (г1н — b cos ^1)] + (5)

В работах [1,2] связь между параметром профиля ф и углом поворота координат (ротора) (5) представлена в виде только первого

слагаемого, что приводит к значительным ошибкам при вычислении координат профиля при значениях углов близких к максимальным значениям ^1max.

Углы и #2 находим из треугольников О\С В и О2 С В :

= arctg{ [r cos(^ — — г1н + b cos х

х tg(^ — ^)}/[r cos(^ — ^1) + bcos ^1]; (6)

#2 = arctg{ [r cos(^ — — г1н + b cos х

х tg(^ — ^)}/[A — r cos(^ — ^1) — bcos ^1]. (7)

Уравнения для ж2 и y2 можно упростить, если из треугольников О1ОА, ОАР0 и Р0СВ отрезок О1В определить как

О1В = b cos + r cos(^ — ^1).

Тогда

ж2 = [—А + bcos + r cos(^ — ^1)] cos(#2 + ^1/i)/ cos #2;

(8)

y2 = [А — bcos — r cos(^ — ^1)] sin(#2 + ^1/i)/cos #2. J

Уравнения (5), (7) и (8) или (2), (5), (6) и (7) являются уравнениями сопряженного профиля.

Чтобы построить профиль сопряженного зуба или сопряженной впадины необходимо задать пределы изменения угла Если за один предел взять ^1min = 0°, то другой предел ^1max будет определяться углом F101D1 (см. рисунок)

^1max = arccos[(r2H + b2 — г2)/2г1нь.

Чтобы построить линию зацепления необходимо определить координаты ж0 и y0 точки С в неподвижной системе координат XoO1Yo (см. рисунок). Значение координаты ж0 равно длине отрезка О1В, а значение координаты y0 равно длине отрезка С В и определяется из треугольника Р0СВ:

ж0 = b cos + r cos(^ — ^1); 1

(9)

У0 = [r — (г1н — b cos ^1)/cos(^ — ^1)] sin(^ — ^1). J Уравнения (5) и (9) являются уравнениями линии зацепления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. С а к у н И. А. Винтовые компрессоры. - Л.: Машиностроение, 1970. - 400 с.

2. Хисамеев И. Г., Максимов В. А. Двухроторные винтовые и прямозубые компрессоры: теория, расчет и проектирование. - Казань: Фэн, 2000. -638 с.

Статья поступила в редакцию 12.10.2006